Il teorema di Stolz-Cesàro fornisce uno strumento fondamentale per il calcolo del limite di rapporti di successioni. È particolarmente utile quando il denominatore tende all’infinito e il calcolo diretto del limite risulta difficile o indeterminato.
Questo risultato rappresenta una generalizzazione dei criteri di Cesàro ed è ampiamente utilizzato nello studio della convergenza delle successioni.
In tutto il testo assumiamo che \( \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} \).
Indice
- Teorema di Stolz-Cesàro
- Dimostrazione
- Corollario I
- Corollario II (Teorema di Cesàro)
- Corollario III
- Corollario IV
Teorema di Stolz-Cesàro. Siano \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) e \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) due successioni numeriche. Supponiamo che:
- \( b_n > 0 \) per ogni \( n \) sufficientemente grande;
- \( b_{n+1} > b_n \) per ogni \( n \) sufficientemente grande;
- \[ \lim_{n \to \infty} b_n = +\infty. \]
Se esiste il limite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \in \mathbb{R}, \]
allora esiste anche il limite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Dimostrazione. Supponiamo che
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L. \]
Vogliamo dimostrare che
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Per definizione di limite, per ogni \( \varepsilon > 0 \) esiste \( n_\varepsilon \in \mathbb{N} \), scelto abbastanza grande da garantire anche \( b_n > 0 \) e \( b_{n+1} > b_n \) per ogni \( n \ge n_\varepsilon \), tale che
\[ \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon, \qquad \forall n \ge n_\varepsilon. \]
Equivalentemente,
\[ L - \varepsilon < \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} < L + \varepsilon. \]
Poiché \( b_{n+1} - b_n > 0 \) per ogni \( n \ge n_\varepsilon \), possiamo moltiplicare i membri della disuguaglianza ottenendo:
\[ (L - \varepsilon) (b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < (L + \varepsilon) (b_{n+1} - b_n). \]
Sommiamo membro a membro da \( k = n_\varepsilon \) fino a \( k = n - 1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k). \]
Le somme sono telescopiche. Infatti:
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon}, \]
e analogamente
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon}. \]
Pertanto:
\[ (L - \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < (L + \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}). \]
Dividendo per \( b_n > 0 \), otteniamo:
\[ (L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < (L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n}. \]
Poiché
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \]
passando al limite inferiore e superiore nella disuguaglianza precedente otteniamo:
\[ L - \varepsilon \le \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le L + \varepsilon. \]
Poiché \( \varepsilon > 0 \) è arbitrario, segue che
\[ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Dunque:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Questo conclude la dimostrazione del teorema di Stolz-Cesàro.
Corollario I. Se
\[ \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L, \]
allora
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Dimostrazione. Basta applicare il teorema di Stolz-Cesàro alla successione \( b_n = n \). Infatti:
\[ b_{n+1} - b_n = 1, \]
dunque
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L. \]
Pertanto:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Corollario II (Teorema di Cesàro). Sia \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione convergente a \( L \). Definiamo:
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k. \]
Allora:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L. \]
Dimostrazione. Poniamo
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k, \qquad b_n = n. \]
Allora:
\[ \alpha_n = \frac{c_n}{b_n}. \]
Inoltre:
\[ \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{a_n}{1} = a_n. \]
Poiché \( a_n \to L \), il teorema di Stolz-Cesàro implica:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L. \]
Corollario III. Sia \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione tale che:
- \( a_n > 0 \) per ogni \( n \);
- \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L > 0. \]
Allora:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Dimostrazione. Definiamo:
\[ b_n = \log a_n. \]
Poiché \( a_n \to L > 0 \), si ha:
\[ b_n = \log a_n \longrightarrow \log L. \]
Consideriamo le medie aritmetiche:
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} b_k. \]
Sostituendo la definizione di \( b_k \):
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \left( \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} \right). \]
Per il Corollario II:
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \log L. \]
Applicando la funzione esponenziale:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Corollario IV. Sia \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una successione di numeri reali strettamente positivi.
Se
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 0, \]
allora:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Dimostrazione. Definiamo, per ogni \( n \ge 1 \),
\[ b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}}. \]
Per ipotesi:
\[ b_n \to L. \]
Applicando il Corollario III alla successione \( \{b_n\}_{n \ge 1} \), otteniamo:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = L. \]
D’altra parte,
\[ \prod_{k=1}^{n} b_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{a_n}{a_0}. \]
Quindi:
\[ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}} = \frac{\sqrt[n]{a_n}}{\sqrt[n]{a_0}}. \]
Poiché
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_0} = 1, \]
segue che:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Questo conclude la dimostrazione.