Le equazioni goniometriche con parametro contengono, oltre all’incognita, una lettera che rappresenta un numero assegnato. Risolverle significa determinare le soluzioni dell’incognita al variare del parametro, distinguendo i casi nei quali l’equazione ammette soluzioni, non ne ammette oppure assume una forma particolare.
La discussione si basa sulle proprietà delle funzioni goniometriche: insieme dei valori, periodicità, condizioni di esistenza e identità. Un passaggio algebrico valido per alcuni valori del parametro può non esserlo per altri: prima di dividere per un’espressione che lo contiene, bisogna esaminare separatamente i valori che la annullano.
In questa pagina indichiamo con \(x\) l’incognita e con \(m\in\mathbb R\) il parametro. Gli angoli sono espressi in radianti e \(k\in\mathbb Z\) indica un intero arbitrario nelle famiglie di soluzioni.
Indice
- Che cosa significa discutere un’equazione con parametro
- Equazioni elementari con seno e coseno
- Valori che annullano un coefficiente
- Sostituzioni e vincoli sui valori ammissibili
- Equazioni con tangente
- Combinazioni di seno e coseno
- Condizioni di esistenza dipendenti dal parametro
- Metodo generale ed errori comuni
Che cosa significa discutere un’equazione con parametro
Consideriamo l’equazione
\[ \sin x=m. \]
L’incognita è \(x\). Il parametro \(m\), invece, viene fissato e determina il valore che il seno deve assumere.
- Per \(m=0\), l’equazione diventa \(\sin x=0\).
- Per \(\displaystyle m=\frac12\), diventa \(\displaystyle\sin x=\frac12\).
- Per \(m=2\), diventa \(\sin x=2\), che non ha soluzioni reali.
La richiesta non è quindi trovare contemporaneamente un valore di \(x\) e uno di \(m\), ma descrivere l’insieme delle soluzioni in \(x\) per ciascun valore del parametro.
Soluzioni generali e numero di soluzioni
Occorre distinguere due domande:
- Quali sono tutte le soluzioni reali? Si scrivono famiglie periodiche, quando presenti.
- Quante soluzioni appartengono a un intervallo assegnato? Si contano soltanto i valori distinti nell’intervallo.
Per esempio, \(\sin x=0\) ha infinite soluzioni su \(\mathbb R\), ma soltanto due in \([0,2\pi)\): \(0\) e \(\pi\). Il valore \(2\pi\) non si conta perché l’estremo destro è escluso.
Equazioni elementari con seno e coseno
Il primo controllo riguarda l’insieme dei valori:
\[ -1\le\sin x\le1, \qquad -1\le\cos x\le1. \]
Di conseguenza, un’equazione del tipo \(\sin x=f(m)\) oppure \(\cos x=f(m)\) ammette soluzioni reali se e solo se
\[ -1\le f(m)\le1. \]
Esempio 1. L’equazione \(\sin x=m\)
Se \(|m|>1\), non esistono soluzioni reali.
Se \(-1<m<1\), poniamo
\[ \alpha=\arcsin m, \qquad -\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}. \]
Le soluzioni generali sono
\[ x=\alpha+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\pi-\alpha+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
I valori estremi del parametro si trattano separatamente:
\[ m=1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \] \[ m=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi. \]
Nell’intervallo \([0,2\pi)\), il numero di soluzioni distinte è:
| Valore del parametro | Numero di soluzioni in \([0,2\pi)\) |
|---|---|
| \(m<-1\) oppure \(m>1\) | Nessuna |
| \(m=-1\) oppure \(m=1\) | Una |
| \(-1<m<1\) | Due |
Quando \(m\) è negativo, il valore principale \(\alpha=\arcsin m\) è negativo. Le formule generali restano valide; per ottenere le soluzioni in \([0,2\pi)\) bisogna scegliere opportunamente gli interi \(k\).
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Esempio 2. Parametro dopo l’isolamento del coseno
Discutiamo
\[ 2\cos x-1=m. \]
Isolando il coseno, otteniamo
\[ \cos x=\frac{m+1}{2}. \]
La condizione di esistenza delle soluzioni è
\[ -1\le\frac{m+1}{2}\le1, \]
ossia
\[ -3\le m\le1. \]
Per \(-3<m<1\), posto
\[ \beta=\arccos\left(\frac{m+1}{2}\right), \]
le soluzioni sono
\[ x=\pm\beta+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Ai valori estremi:
\[ m=-3 \quad\Longrightarrow\quad x=\pi+2k\pi, \] \[ m=1 \quad\Longrightarrow\quad x=2k\pi. \]
Per \(m<-3\) oppure \(m>1\), l’equazione è impossibile.
Valori che annullano un coefficiente
Se un coefficiente dipende dal parametro, non si può dividere per esso prima di averne discusso l’annullamento.
Esempio 3. Un valore che rende l’equazione un’identità
Consideriamo
\[ m\sin x=m. \]
Portando tutto al primo membro,
\[ m(\sin x-1)=0. \]
Si distinguono due casi.
- Se \(m=0\), l’equazione diventa \(0=0\) ed è verificata per ogni \(x\in\mathbb R\).
- Se \(m\ne0\), possiamo dividere per \(m\) e ottenere \(\sin x=1\).
La discussione completa è quindi
\[ \begin{cases} x\in\mathbb R, & m=0,\\[2mm] x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z, & m\ne0. \end{cases} \]
Dividere subito per \(m\) farebbe perdere il caso nel quale ogni numero reale è soluzione.
Sostituzioni e vincoli sui valori ammissibili
Quando l’equazione è algebrica in una funzione goniometrica, si può introdurre una variabile ausiliaria. Per esempio, ponendo \(t=\sin x\) oppure \(t=\cos x\), bisogna rispettare
\[ -1\le t\le1. \]
Le radici dell’equazione algebrica che non appartengono a questo intervallo non producono soluzioni goniometriche.
Esempio 4. Una famiglia sempre presente e una dipendente dal parametro
Discutiamo
\[ \sin^2x-(m+1)\sin x+m=0. \]
Ponendo \(t=\sin x\), con \(-1\le t\le1\), otteniamo
\[ t^2-(m+1)t+m=0. \]
Il polinomio si scompone:
\[ (t-1)(t-m)=0. \]
Quindi l’equazione iniziale equivale a
\[ \sin x=1 \quad\text{oppure}\quad \sin x=m. \]
La prima equazione fornisce, per ogni parametro, la famiglia
\[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
La seconda produce soluzioni soltanto per \(-1\le m\le1\).
- Se \(m<-1\) oppure \(m>1\), rimane soltanto la famiglia \(\sin x=1\).
- Se \(m=-1\), si aggiunge la famiglia \(\sin x=-1\).
- Se \(-1<m<1\), si aggiungono le due famiglie corrispondenti a \(\sin x=m\).
- Se \(m=1\), le due equazioni coincidono: le stesse soluzioni non vanno contate due volte.
In particolare, nell’intervallo \([0,2\pi)\):
| Parametro | Numero di soluzioni distinte |
|---|---|
| \(m<-1\) oppure \(m>1\) | Una |
| \(m=-1\) | Due |
| \(m=1\) | Una |
| \(-1<m<1\) | Tre |
Per \(m=1\), l’equazione è \((\sin x-1)^2=0\). La radice doppia dell’equazione algebrica non corrisponde a due valori distinti dell’incognita.
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Equazioni con tangente
La tangente assume tutti i valori reali. Un’equazione \(\tan x=f(m)\) ammette quindi soluzioni per ogni parametro per il quale \(f(m)\) è un numero reale definito.
Occorre conservare il dominio della tangente:
\[ x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 5. Un valore eccezionale del parametro
Consideriamo
\[ (m-1)\tan x=m. \]
Se \(m=1\), per ogni \(x\) del dominio l’equazione diventa
\[ 0=1, \]
quindi non ha soluzioni.
Se \(m\ne1\), possiamo dividere per \(m-1\):
\[ \tan x=\frac{m}{m-1}. \]
Le soluzioni generali sono
\[ x=\arctan\left(\frac{m}{m-1}\right)+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Queste soluzioni rispettano il dominio perché il valore principale dell’arcotangente appartiene a \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\).
Per ogni \(m\ne1\) esiste una sola soluzione nell’intervallo \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\), mentre per \(m=1\) non ne esiste alcuna.
Combinazioni di seno e coseno
Quando compaiono seno e coseno dello stesso argomento, una formula di addizione può ricondurre l’equazione a una forma elementare.
Esempio 6. Discussione di \(\sin x+\cos x=m\)
Usiamo l’identità
\[ \sin x+\cos x =\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right). \]
L’equazione diventa
\[ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{m}{\sqrt2}. \]
Esistono soluzioni reali se e solo se
\[ -1\le\frac{m}{\sqrt2}\le1, \]
cioè
\[ -\sqrt2\le m\le\sqrt2. \]
Per \(-\sqrt2<m<\sqrt2\), posto
\[ \theta=\arcsin\left(\frac{m}{\sqrt2}\right), \]
si ottiene
\[ x+\frac{\pi}{4}=\theta+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x+\frac{\pi}{4}=\pi-\theta+2k\pi. \]
Quindi
\[ x=\theta-\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{3\pi}{4}-\theta+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Ai valori estremi:
\[ m=\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{\pi}{4}+2k\pi, \] \[ m=-\sqrt2 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi. \]
Per \(|m|>\sqrt2\), l’equazione è impossibile.
In \([0,2\pi)\) ci sono due soluzioni per \(|m|<\sqrt2\), una per \(|m|=\sqrt2\) e nessuna per \(|m|>\sqrt2\).
La forma generale
Più in generale, se \(u\) e \(v\) sono coefficienti reali fissati e non entrambi nulli, si può scrivere
\[ u\sin x+v\cos x =\rho\sin(x+\varphi), \qquad \rho=\sqrt{u^2+v^2}, \]
scegliendo \(\varphi\) in modo che
\[ \cos\varphi=\frac{u}{\rho}, \qquad \sin\varphi=\frac{v}{\rho}. \]
Pertanto
\[ u\sin x+v\cos x=m \]
ammette soluzioni reali se e solo se
\[ |m|\le\sqrt{u^2+v^2}. \]
Se i coefficienti dipendono a loro volta dal parametro, bisogna discutere separatamente gli eventuali valori per i quali si annullano entrambi.
Condizioni di esistenza dipendenti dal parametro
Quando il parametro compare in un denominatore, il dominio può cambiare al suo variare. Le soluzioni ottenute mediante trasformazioni algebriche devono essere confrontate con le condizioni originarie.
Se nell’equazione originaria compaiono funzioni non definite per ogni \(x\), un’identità ottenuta per un particolare parametro va comunque interpretata nel dominio originario, non automaticamente su tutto \(\mathbb R\).
Esempio 7. Una frazione goniometrica
Discutiamo
\[ \frac{\sin x}{\sin x-m}=0. \]
Il denominatore deve essere diverso da zero:
\[ \sin x\ne m. \]
Una frazione è nulla se e solo se il numeratore è nullo e il denominatore è diverso da zero. Pertanto dobbiamo imporre contemporaneamente
\[ \sin x=0, \qquad \sin x-m\ne0. \]
Sostituendo la prima condizione nella seconda, otteniamo \(m\ne0\).
- Se \(m\ne0\), le soluzioni sono \(x=k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
- Se \(m=0\), l’equazione non ha soluzioni: nei punti in cui il numeratore si annulla, si annulla anche il denominatore.
Per \(m=0\), infatti, la frazione vale \(1\) in tutti i punti del suo dominio e non può essere uguale a zero.
Moltiplicare per il denominatore e dimenticare la condizione di esistenza porterebbe ad accettare erroneamente \(x=k\pi\) anche per \(m=0\).
Metodo generale ed errori comuni
Per discutere un’equazione goniometrica con parametro conviene seguire questi passaggi.
- Determinare il dominio originario. Individuare anche le eventuali restrizioni che dipendono dal parametro.
- Riconoscere i valori eccezionali. Esaminare i parametri che annullano coefficienti o rendono non definite le espressioni usate nei passaggi.
- Ridurre l’equazione. Usare identità, scomposizioni o sostituzioni appropriate.
- Imporre i vincoli di ammissibilità. Per seno e coseno i valori devono appartenere a \([-1,1]\).
- Scrivere le soluzioni per ciascun caso. Distinguere le famiglie che coincidono dai valori effettivamente diversi.
- Applicare l’eventuale intervallo assegnato. Controllare inclusione degli estremi e periodicità.
- Verificare nell’equazione originaria. Eliminare i valori esclusi dal dominio o introdotti da trasformazioni non equivalenti.
| Errore | Correzione |
|---|---|
| Dividere subito per un’espressione contenente il parametro. | Discutere prima i valori che la annullano. |
| Accettare radici algebriche esterne a \([-1,1]\) dopo una sostituzione con seno o coseno. | Intersecare le radici con l’insieme dei valori ammissibili. |
| Contare due volte una soluzione quando due famiglie coincidono. | Contare i valori distinti dell’incognita, non il numero di formule che li rappresentano. |
| Confondere una radice doppia con due soluzioni distinte. | Distinguere la molteplicità algebrica dal numero di valori diversi di \(x\). |
| Scrivere che un’identità vale per ogni reale dopo aver eliminato un denominatore. | Conservare il dominio dell’equazione originaria. |
| Confondere il parametro reale \(m\) con l’intero \(k\) delle soluzioni periodiche. | Specificare il ruolo e l’insieme di appartenenza di ciascuna lettera. |
| Contare sia \(0\) sia \(2\pi\) nell’intervallo \([0,2\pi)\). | Escludere l’estremo \(2\pi\). |
| Trasformare l’argomento senza modificare correttamente le famiglie di soluzioni. | Isolare \(x\) in ciascuna famiglia e mantenere coerente il termine periodico. |
La discussione di un’equazione con parametro richiede di collegare i passaggi algebrici alle proprietà delle funzioni goniometriche. I valori eccezionali del parametro, i limiti dell’insieme dei valori e le condizioni di esistenza determinano i casi da distinguere.