Un sistema di equazioni goniometriche richiede di determinare i valori delle incognite che soddisfano contemporaneamente tutte le equazioni assegnate. In questa pagina consideriamo sistemi in una sola incognita reale, indicata con \(x\), e misuriamo gli angoli in radianti.
Il principio fondamentale è l’intersezione degli insiemi delle soluzioni: dopo aver risolto le singole equazioni, occorre conservare soltanto i valori comuni. In altri casi è più conveniente usare le identità goniometriche o combinare le equazioni, così da ottenere un sistema equivalente più semplice.
Vedremo come confrontare famiglie periodiche, riconoscere un sistema impossibile e usare le identità senza perdere soluzioni o introdurne di estranee.
Indice
- Significato di un sistema e soluzioni comuni
- Metodo risolutivo e condizioni di esistenza
- Intersezione delle famiglie di soluzioni
- Sistemi impossibili e identità fondamentale
- Uso delle identità e combinazione delle equazioni
- Sistemi con tangente e condizioni di esistenza
- Famiglie con periodi diversi
- Errori comuni e riepilogo
Significato di un sistema e soluzioni comuni
Consideriamo un sistema della forma
\[ \begin{cases} f(x)=0,\\ g(x)=0. \end{cases} \]
Se \(S_1\) è l’insieme delle soluzioni della prima equazione e \(S_2\) quello della seconda, l’insieme delle soluzioni del sistema è
\[ S=S_1\cap S_2. \]
Un valore appartiene a \(S\) se e solo se appartiene sia a \(S_1\) sia a \(S_2\). Se le due equazioni non hanno soluzioni comuni, il sistema è impossibile e si scrive \(S=\varnothing\).
Occorre distinguere due operazioni:
- le diverse famiglie che risolvono una singola equazione si riuniscono mediante un’unione;
- gli insiemi delle soluzioni delle equazioni di un sistema si confrontano mediante un’intersezione.
Per esempio, l’equazione \(\sin x=0\) è soddisfatta da \(x=0\), mentre \(\cos x=0\) è soddisfatta da \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\). Nessuno di questi due valori soddisfa entrambe le equazioni: risolverle separatamente non basta a risolvere il sistema.
Metodo risolutivo e condizioni di esistenza
Un procedimento generale comprende i seguenti passaggi.
- Determinare il dominio comune. Tutte le espressioni del sistema devono essere definite.
- Semplificare le equazioni. Usare, quando opportuno, identità goniometriche e trasformazioni equivalenti.
- Determinare le soluzioni comuni. Intersecare gli insiemi delle soluzioni oppure risolvere il sistema equivalente ottenuto.
- Verificare i valori trovati. Controllare le equazioni originarie e le condizioni di esistenza.
- Applicare l’eventuale intervallo assegnato. Conservare soltanto le soluzioni che vi appartengono.
Per le funzioni goniometriche più comuni, le condizioni di esistenza sono:
| Espressione | Condizione |
|---|---|
| \(\sin x\), \(\cos x\) | \(x\in\mathbb R\) |
| \(\tan x\), \(\sec x\) | \(\cos x\ne 0\) |
| \(\cot x\), \(\csc x\) | \(\sin x\ne 0\) |
Eventuali denominatori, radici o altre espressioni presenti nel sistema possono imporre ulteriori condizioni. Se l’argomento è, per esempio, \(2x\), le condizioni vanno applicate a quell’argomento: \(\tan(2x)\) richiede \(\cos(2x)\ne 0\).
Intersezione delle famiglie di soluzioni
Esempio 1. Seno e coseno assegnati
Risolviamo il sistema
\[ \begin{cases} \sin x=\dfrac12,\\ \cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}. \end{cases} \]
La prima equazione ha soluzioni
\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
La seconda ha soluzioni
\[ x=\frac{\pi}{6}+2m\pi \quad\text{oppure}\quad x=-\frac{\pi}{6}+2m\pi, \qquad m\in\mathbb Z. \]
Le lettere \(k\) e \(m\) sono parametri interi indipendenti: le due equazioni sono state risolte separatamente.
Per individuare i valori comuni possiamo sostituire nella seconda equazione le due famiglie della prima.
- Se \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+2k\pi\), allora \(\displaystyle\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\): la seconda equazione è soddisfatta.
- Se \(\displaystyle x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi\), allora \(\displaystyle\cos x=-\frac{\sqrt3}{2}\): la seconda equazione non è soddisfatta.
Le soluzioni del sistema sono quindi
\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Nell’intervallo \([0,2\pi)\) rimane la sola soluzione \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}\).
Interpretazione geometrica. Sulla circonferenza goniometrica, il seno è l’ordinata e il coseno è l’ascissa del punto associato all’angolo. Le due equazioni richiedono quindi il punto di coordinate \(\displaystyle\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)\), che si trova nel primo quadrante.
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Sistemi impossibili e identità fondamentale
L’identità
\[ \sin^2x+\cos^2x=1 \]
consente di verificare rapidamente la compatibilità del sistema
\[ \begin{cases} \sin x=a,\\ \cos x=b, \end{cases} \qquad a,b\in\mathbb R. \]
Se il sistema ha una soluzione, necessariamente \(a^2+b^2=1\). Vale anche il viceversa: se \(a^2+b^2=1\), il punto \((b,a)\) appartiene alla circonferenza goniometrica e individua un angolo, a meno di multipli interi di \(2\pi\). Pertanto
\[ \text{Il sistema è risolubile se e solo se }a^2+b^2=1. \]
Esempio 2. Due equazioni risolubili, ma nessuna soluzione comune
Consideriamo
\[ \begin{cases} \sin x=\dfrac12,\\ \cos x=\dfrac12. \end{cases} \]
Se esistesse una soluzione, avremmo
\[ 1=\sin^2x+\cos^2x =\frac14+\frac14 =\frac12, \]
che è impossibile. Dunque
\[ S=\varnothing. \]
Ciascuna equazione, considerata da sola, ha infinite soluzioni, ma i due insiemi delle soluzioni non hanno elementi comuni.
Attenzione ai segni. Dalla sola equazione \(\displaystyle\sin x=\frac12\) segue \(\displaystyle\cos^2x=\frac34\), quindi
\[ \cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}. \]
Non è lecito scegliere il segno positivo senza un’ulteriore condizione sul coseno o sull’angolo.
Uso delle identità e combinazione delle equazioni
Esempio 3. Somma e differenza di seno e coseno
Risolviamo
\[ \begin{cases} \sin x+\cos x=1,\\ \sin x-\cos x=0. \end{cases} \]
Sommando le equazioni otteniamo \(2\sin x=1\); sottraendo la seconda dalla prima otteniamo \(2\cos x=1\). Queste operazioni conducono al sistema equivalente
\[ \begin{cases} \sin x=\dfrac12,\\ \cos x=\dfrac12. \end{cases} \]
Il sistema è impossibile, come mostrato nell’esempio precedente. La combinazione delle equazioni ha reso evidente una contraddizione che nelle equazioni iniziali era meno immediata.
Esempio 4. Identità dell’angolo doppio
Consideriamo
\[ \begin{cases} \sin x+\cos x=1,\\ \sin(2x)=0. \end{cases} \]
Usiamo l’identità \(\sin(2x)=2\sin x\cos x\). La seconda equazione equivale a
\[ \sin x\cos x=0. \]
Per la legge di annullamento del prodotto, almeno uno dei due fattori deve essere nullo.
- Se \(\sin x=0\), la prima equazione impone \(\cos x=1\), dunque \(x=2k\pi\).
- Se \(\cos x=0\), la prima equazione impone \(\sin x=1\), dunque \(\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\).
Entrambe le famiglie soddisfano le equazioni originarie. Pertanto
\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Una seconda lettura. Elevando al quadrato la prima equazione si ottiene
\[ (\sin x+\cos x)^2=1. \]
Sviluppando il quadrato e applicando l’identità fondamentale, troviamo
\[ \sin^2x+\cos^2x+2\sin x\cos x=1, \] \[ 1+\sin(2x)=1, \]
da cui \(\sin(2x)=0\).
La prima equazione implica quindi la seconda. Il viceversa non vale: per esempio \(x=\pi\) soddisfa \(\sin(2x)=0\), ma dà \(\sin x+\cos x=-1\).
La seconda equazione è una conseguenza della prima e non aggiunge vincoli. Sostituire l’intero sistema con la sola seconda equazione introdurrebbe soluzioni estranee.
Sistemi con tangente e condizioni di esistenza
Esempio 5. La seconda equazione seleziona una famiglia
Risolviamo
\[ \begin{cases} \tan x=1,\\ \sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}. \end{cases} \]
La tangente richiede \(\cos x\ne 0\). La prima equazione ha soluzioni
\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z, \]
che rispettano tutte la condizione di esistenza. Sostituendo nella seconda equazione, troviamo
\[ \sin\left(\frac{\pi}{4}+k\pi\right) =(-1)^k\frac{\sqrt2}{2}. \]
Il valore richiesto si ottiene esattamente quando \(k\) è pari. Ponendo \(k=2n\), con \(n\in\mathbb Z\), otteniamo
\[ x=\frac{\pi}{4}+2n\pi,\qquad n\in\mathbb Z. \]
La famiglia della tangente comprende angoli del primo e del terzo quadrante; la condizione sul seno conserva soltanto quelli del primo quadrante.
Le semplificazioni non cancellano il dominio originario
Consideriamo anche il sistema
\[ \begin{cases} \tan x\cos x=0,\\ \cos x=0. \end{cases} \]
La prima equazione è definita soltanto per \(\cos x\ne 0\), mentre la seconda impone \(\cos x=0\). Le condizioni sono incompatibili e il sistema è impossibile.
L’identità
\[ \tan x\cos x=\sin x \]
si può usare soltanto nel dominio in cui la tangente esiste. Una semplificazione algebrica non rende ammissibili i valori esclusi dalle espressioni originarie.
Famiglie con periodi diversi
Esempio 6. Confronto mediante parametri interi
Risolviamo
\[ \begin{cases} \sin(2x)=0,\\ \cos(3x)=1. \end{cases} \]
Dalla prima equazione segue \(2x=k\pi\), mentre dalla seconda segue \(3x=2m\pi\). Pertanto
\[ x=\frac{k\pi}{2}, \qquad x=\frac{2m\pi}{3}, \qquad k,m\in\mathbb Z. \]
Un valore è comune alle due famiglie se e solo se
\[ \frac{k\pi}{2}=\frac{2m\pi}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad 3k=4m. \]
Poiché \(3\) e \(4\) sono coprimi, \(k\) deve essere multiplo di \(4\). Scrivendo \(k=4n\), l’uguaglianza impone \(m=3n\). Ne segue
\[ x=2n\pi,\qquad n\in\mathbb Z. \]
La verifica è immediata:
\[ \sin(2\cdot 2n\pi)=\sin(4n\pi)=0, \] \[ \cos(3\cdot 2n\pi)=\cos(6n\pi)=1. \]
Non bisogna imporre \(k=m\). I parametri delle due famiglie sono indipendenti e devono soddisfare la relazione \(3k=4m\). Imporre arbitrariamente che siano uguali farebbe perdere tutte le soluzioni diverse da zero.
Metodo alternativo: lavorare in un periodo comune
Le funzioni \(\sin(2x)\) e \(\cos(3x)\) hanno rispettivamente periodo fondamentale \(\pi\) e \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\). Un periodo comune è \(2\pi\).
Nell’intervallo \([0,2\pi)\), le soluzioni delle due equazioni sono
\[ S_1=\left\{0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}\right\}, \] \[ S_2=\left\{0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\right\}. \]
L’unico valore comune è \(0\), dunque
\[ S_1\cap S_2=\{0\}. \]
Ripetendo questa soluzione mediante traslazioni di \(2\pi\), ritroviamo \(x=2n\pi\).
Questo metodo è utile quando si conosce un periodo comune: si risolve il sistema in un intervallo che ne copre uno, evitando di contare due volte gli estremi, e poi si estendono le soluzioni per periodicità. Il periodo comune scelto non deve essere necessariamente il più piccolo.
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Errori comuni e riepilogo
| Errore | Procedimento corretto |
|---|---|
| Riunire tutte le soluzioni delle equazioni. | Conservare soltanto le soluzioni comuni a tutte le equazioni. |
| Imporre lo stesso valore ai parametri di famiglie diverse. | Usare parametri indipendenti e determinare la relazione che rende uguali le espressioni di \(x\). |
| Scegliere sempre il segno positivo estraendo una radice. | Considerare entrambi i segni e usare le altre condizioni per selezionare quelli ammessi. |
| Dividere per \(\sin x\) o \(\cos x\) senza discuterne l’annullamento. | Esaminare prima il caso in cui il divisore è nullo; dividere soltanto nel caso in cui è diverso da zero. |
| Trattare il passaggio al quadrato come sempre reversibile. | Conservare le condizioni sui segni e verificare nelle equazioni originarie le eventuali soluzioni ottenute. |
| Dimenticare le condizioni di esistenza dopo una semplificazione. | Mantenere il dominio delle espressioni originarie fino alla conclusione. |
| Risolvere in \([0,2\pi)\) e considerare automaticamente complete le soluzioni reali. | Verificare che \(2\pi\) sia un periodo comune prima di estendere le soluzioni con quel passo. |
Per risolvere un sistema di equazioni goniometriche bisogna rispettare il dominio, usare trasformazioni equivalenti e determinare l’intersezione degli insiemi delle soluzioni. Le identità possono semplificare il calcolo o rivelare subito un’incompatibilità; il controllo nelle equazioni originarie permette di confermare che ogni valore trovato soddisfa tutte le condizioni richieste.