Le equazioni goniometriche fratte contengono l’incognita nell’argomento di funzioni goniometriche presenti al denominatore. Per risolverle bisogna stabilire anzitutto le condizioni di esistenza: ogni soluzione deve rendere definite tutte le espressioni dell’equazione iniziale.
Vedremo come eliminare i denominatori, semplificare i fattori comuni e utilizzare le identità goniometriche senza introdurre soluzioni non ammesse o perdere quelle valide. Cercheremo le soluzioni reali; gli angoli sono espressi in radianti e \(k\) indica un numero intero.
Indice
- Le condizioni di esistenza
- Eliminare i denominatori
- Semplificare senza cambiare il dominio
- Utilizzare le identità goniometriche
- Equazioni con tangente e cotangente
- Il controllo delle soluzioni
- Errori comuni
- Riepilogo
Le condizioni di esistenza
Un’equazione fratta è definita soltanto quando tutti i denominatori sono diversi da zero. Se compaiono tangente, cotangente, secante o cosecante, occorre rispettare anche i domini di queste funzioni.
Per esempio:
\[ \frac1{\sin x} \quad\text{richiede}\quad \sin x\ne0, \]
quindi:
\[ x\ne k\pi. \]
Analogamente:
\[ \frac1{\cos x} \quad\text{richiede}\quad x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi. \]
Le condizioni devono essere determinate sull’espressione iniziale, prima di cancellare fattori o applicare altre trasformazioni.
Denominatori con somme o differenze
Le esclusioni dipendono dall’intero denominatore. In particolare:
\[ 1-\cos x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne2k\pi; \] \[ 1+\cos x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne\pi+2k\pi; \] \[ 1-\sin x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne\frac{\pi}{2}+2k\pi; \] \[ 1+\sin x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne-\frac{\pi}{2}+2k\pi. \]
Non bisogna escludere gli zeri dei singoli addendi: dobbiamo escludere esattamente gli angoli che annullano la loro somma o differenza.
Eliminare i denominatori
Per una frazione definita:
\[ \frac{N(x)}{D(x)}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} N(x)=0,\\ D(x)\ne0. \end{cases} \]
Se l’equazione contiene più frazioni, possiamo moltiplicare per un denominatore comune, purché conserviamo tutte le condizioni di esistenza.
Nel dominio iniziale, il denominatore comune è diverso da zero: la moltiplicazione produce quindi un’equazione equivalente. Se dimentichiamo il dominio, l’equazione ottenuta può ammettere valori che non hanno significato in quella iniziale.
Esempio 1. Una frazione uguale a zero
Risolviamo:
\[ \frac{2\sin x-1}{\cos x}=0. \]
La condizione di esistenza è:
\[ \cos x\ne0. \]
Nel dominio, l’equazione equivale a:
\[ 2\sin x-1=0, \] \[ \sin x=\frac12. \]
Le soluzioni candidate sono:
\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi. \]
In entrambe le famiglie il coseno è diverso da zero. Tutti i valori trovati sono quindi ammessi:
\[ x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 2. Un’equazione con due denominatori
Risolviamo:
\[ \frac1{\sin x}=\frac1{\cos x}. \]
Il dominio richiede contemporaneamente:
\[ \sin x\ne0, \qquad \cos x\ne0. \]
Moltiplicando per \(\sin x\cos x\), diverso da zero nel dominio:
\[ \cos x=\sin x. \]
Poiché \(\cos x\ne0\), possiamo dividere per il coseno:
\[ \tan x=1. \]
Otteniamo:
\[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Tutti questi angoli hanno seno e coseno diversi da zero, quindi sono soluzioni dell’equazione iniziale.
Semplificare senza cambiare il dominio
La cancellazione di un fattore comune è lecita soltanto dove quel fattore è diverso da zero. Anche dopo la semplificazione restano valide le esclusioni dell’espressione iniziale.
Per esempio:
\[ \frac{\sin x\cos x}{\sin x}=\cos x \]
vale per \(\sin x\ne0\). Il secondo membro è definito anche quando il seno è zero, ma la frazione iniziale non lo è.
Esempio 3. Una semplificazione con soluzioni da scartare
Risolviamo:
\[ \frac{\sin^2x}{\sin x}=\frac{1-\cos x}{2}. \]
La condizione di esistenza è:
\[ \sin x\ne0. \]
In questo dominio semplifichiamo:
\[ \sin x=\frac{1-\cos x}{2}, \] \[ 2\sin x+\cos x=1. \]
Utilizziamo le formule parametriche:
\[ t=\tan\frac{x}{2}, \qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \]
Gli angoli esclusi dalla sostituzione, \(x=\pi+2k\pi\), sono già esclusi dal dominio iniziale perché hanno seno nullo.
Sostituendo:
\[ \frac{4t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1. \]
Moltiplichiamo per \(1+t^2>0\):
\[ 4t+1-t^2=1+t^2, \] \[ 2t(t-2)=0. \]
Le radici sono \(t=0\) e \(t=2\). Il valore \(t=0\) corrisponde a \(x=2k\pi\), dove la frazione iniziale non è definita, e va scartato.
Per \(t=2\), le formule parametriche danno:
\[ \sin x=\frac45, \qquad \cos x=-\frac35. \]
Il seno è diverso da zero e l’equazione iniziale è soddisfatta. Le soluzioni sono:
\[ x=2\arctan2+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Utilizzare le identità goniometriche
Le identità fondamentali e le formule di duplicazione e bisezione possono rendere più semplice un rapporto. Prima di utilizzarle, determiniamo comunque il dominio iniziale.
Esempio 4. Il rapporto tra seno e \(1+\cos x\)
Risolviamo:
\[ \frac{\sin x}{1+\cos x}=1. \]
Il denominatore richiede:
\[ 1+\cos x\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne\pi+2k\pi. \]
In questo dominio vale:
\[ \frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\frac{x}{2}. \]
L’equazione diventa:
\[ \tan\frac{x}{2}=1. \]
Quindi:
\[ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi, \] \[ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Questi angoli sono ammessi e verificano l’equazione.
Esempio 5. Un rapporto riconducibile alla tangente
Risolviamo:
\[ \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)}=1. \]
Poiché:
\[ 1+\cos(2x)=2\cos^2x, \]
il dominio è:
\[ \cos x\ne0. \]
In questo dominio:
\[ \frac{\sin(2x)}{1+\cos(2x)} = \frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2x} = \tan x. \]
Pertanto:
\[ \tan x=1, \] \[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Esempio 6. Una somma di frazioni
Risolviamo:
\[ \frac1{1-\cos x}+\frac1{1+\cos x}=4. \]
Le condizioni di esistenza sono:
\[ \cos x\ne1, \qquad \cos x\ne-1. \]
Equivalentemente, \(\sin x\ne0\). Nel dominio:
\[ \begin{aligned} \frac1{1-\cos x}+\frac1{1+\cos x} &= \frac{1+\cos x+1-\cos x}{1-\cos^2x}\\ &= \frac2{\sin^2x}. \end{aligned} \]
L’equazione equivale a:
\[ \frac2{\sin^2x}=4, \] \[ \sin^2x=\frac12. \]
Possiamo usare \(\cos(2x)=1-2\sin^2x\):
\[ \cos(2x)=0. \]
Quindi:
\[ 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \] \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In tutti questi angoli \(\sin^2x=\displaystyle\frac12\ne0\), quindi le soluzioni sono ammesse.
Equazioni con tangente e cotangente
Le condizioni di esistenza riguardano sia le funzioni goniometriche sia gli eventuali denominatori esterni.
Per esempio, nell’espressione:
\[ \frac1{\tan x-1}, \]
devono essere soddisfatte entrambe le condizioni:
\[ \cos x\ne0, \qquad \tan x\ne1. \]
Non basta escludere soltanto gli zeri del denominatore scritto esplicitamente.
Esempio 7. Una frazione contenente la tangente
Risolviamo:
\[ \frac{\tan x}{\tan x-1}=2. \]
Il dominio richiede:
\[ \cos x\ne0, \qquad \tan x\ne1. \]
Moltiplicando per \(\tan x-1\), diverso da zero nel dominio:
\[ \tan x=2(\tan x-1). \]
Da cui:
\[ \tan x=2. \]
Le soluzioni sono:
\[ x=\arctan2+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
La tangente è definita in questi angoli e vale \(2\ne1\), quindi tutte le soluzioni trovate sono ammesse.
Esempio 8. Il reciproco della cotangente
Risolviamo:
\[ \frac1{\cot x}=1. \]
Perché il primo membro sia definito, la cotangente deve esistere ed essere diversa da zero:
\[ \sin x\ne0, \qquad \cos x\ne0. \]
In questo dominio:
\[ \frac1{\cot x}=\tan x. \]
Quindi:
\[ \tan x=1, \] \[ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Tutte queste soluzioni soddisfano le condizioni iniziali.
La sostituzione con la tangente non autorizza ad aggiungere gli angoli \(x=k\pi\): lì la tangente esiste, ma la cotangente dell’espressione iniziale non è definita.
Il controllo delle soluzioni
Se tutti i passaggi sono equivalenti nel dominio iniziale, basta selezionare le soluzioni dell’equazione trasformata che appartengono a quel dominio. Una sostituzione nell’equazione iniziale rimane comunque un utile controllo dei calcoli.
Esempio 9. Una candidata esclusa dal dominio
Risolviamo:
\[ \frac{\sin x}{1-\cos x}=0. \]
Il dominio è:
\[ x\ne2k\pi. \]
Una frazione definita è zero se e solo se il numeratore è zero:
\[ \sin x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=k\pi. \]
Tra questi angoli, i multipli pari di \(\pi\) sono esclusi. Restano soltanto:
\[ x=\pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In corrispondenza di essi, il numeratore vale zero e il denominatore vale \(2\).
Immagine
Esempio 10. Un’equazione senza soluzioni
Risolviamo:
\[ \frac{\sin^2x}{\sin x}=0. \]
La condizione di esistenza è \(\sin x\ne0\). Nel dominio, semplificando:
\[ \sin x=0. \]
L’uguaglianza ottenuta contraddice la condizione di esistenza. L’equazione non ha quindi soluzioni reali.
Gli zeri della funzione semplificata non sono zeri della frazione iniziale, perché in quegli angoli la frazione non è definita.
Errori comuni
Cercare le condizioni dopo aver semplificato
Le condizioni vanno ricavate dall’equazione iniziale. Una semplificazione può nascondere un denominatore e far dimenticare gli angoli esclusi.
Considerare una frazione nulla quando numeratore e denominatore sono nulli
Una frazione con denominatore zero non è definita. Per ottenere il valore zero servono numeratore nullo e denominatore diverso da zero.
Cancellare addendi invece di fattori
La cancellazione riguarda fattori comuni dell’intero numeratore e dell’intero denominatore. Non possiamo cancellare singoli termini all’interno di somme.
Per esempio, non è lecito semplificare \(\sin x\) nell’espressione:
\[ \frac{\sin x+1}{\sin x}. \]
Nel dominio possiamo invece separare il rapporto:
\[ \frac{\sin x+1}{\sin x} = 1+\frac1{\sin x}. \]
Dimenticare il dominio delle funzioni presenti
Un denominatore come \(\tan x-1\) richiede sia che la tangente esista sia che il suo valore sia diverso da \(1\). Le due condizioni sono distinte.
Moltiplicare per un denominatore e poi ignorarne gli zeri
L’equazione senza denominatori deve essere risolta insieme alle condizioni di esistenza iniziali. Gli eventuali risultati che le violano vanno scartati.
Dividere ulteriormente per un fattore senza controllarlo
Anche dopo aver eliminato i denominatori, una divisione per \(\sin x\), \(\cos x\) o un’altra espressione richiede di esaminare il caso in cui il divisore sia zero, se non è già escluso dal dominio.
Riepilogo
Il procedimento generale è:
- Determinare il dominio dell’equazione iniziale.
- Scegliere se eliminare i denominatori, semplificare fattori o utilizzare un’identità.
- Risolvere l’equazione trasformata conservando tutte le esclusioni.
- Controllare l’ammissibilità delle famiglie ottenute.
- Se richiesto, selezionare le soluzioni nell’intervallo assegnato.
| Situazione | Regola |
|---|---|
| \(\displaystyle\frac{N(x)}{D(x)}=0\) | \(N(x)=0\) e \(D(x)\ne0\), con tutte le espressioni definite |
| Più denominatori | Devono essere tutti diversi da zero |
| Cancellazione di un fattore | Conservare l’esclusione dei suoi zeri dal dominio iniziale |
| Tangente o cotangente in un denominatore | Controllare sia il dominio della funzione sia il denominatore esterno |
| Soluzione dell’equazione trasformata | Accettarla soltanto se appartiene al dominio iniziale |
Il punto decisivo non è soltanto ottenere un’equazione più semplice, ma conservarne il dominio. Una soluzione valida deve rendere definita e vera l’equazione da cui siamo partiti.