Equazioni Goniometriche Lineari in Seno e Coseno

La forma generale e i casi particolari

Consideriamo:

\[ a\sin x+b\cos x=c. \]

L’equazione è definita per ogni \(x\in\mathbb R\). Prima di applicare un metodo generale, controlliamo i coefficienti.

• Se \(a=b=0\), l’equazione diventa \(0=c\): ogni numero reale è soluzione se \(c=0\), mentre non esistono soluzioni se \(c\ne0\).
• Se \(a=0\) e \(b\ne0\), otteniamo \(\displaystyle\cos x=\frac cb\).
• Se \(b=0\) e \(a\ne0\), otteniamo \(\displaystyle\sin x=\frac ca\).

Nei metodi generali supponiamo che \(a\) e \(b\) non siano entrambi nulli e poniamo:

\[ R=\sqrt{a^2+b^2}>0. \]

Le procedure seguenti restano valide anche quando uno solo dei due coefficienti è nullo, ma in quel caso la risoluzione elementare è generalmente più breve.

Quando esistono soluzioni

La formula dell’angolo aggiunto permette di scrivere:

\[ a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi), \]

dove:

\[ \cos\varphi=\frac aR, \qquad \sin\varphi=\frac bR. \]

Poiché il seno assume tutti i valori di \([-1,1]\), il primo membro assume tutti e soli i valori di \([-R,R]\). L’equazione ha quindi soluzioni reali se e solo se:

\[ |c|\le R=\sqrt{a^2+b^2}. \]

Equivalentemente:

\[ c^2\le a^2+b^2. \]

Numero di soluzioni in un periodo

Nell’ipotesi \(R>0\):

• Se \(|c|>R\), non esistono soluzioni reali.
• Se \(|c|=R\), esiste esattamente una soluzione in ogni intervallo semiaperto di lunghezza \(2\pi\).
• Se \(|c|<R\), esistono esattamente due soluzioni distinte in ogni intervallo semiaperto di lunghezza \(2\pi\).

Per intervallo semiaperto intendiamo un intervallo della forma \([u,u+2\pi)\) oppure \((u,u+2\pi]\), con \(u\in\mathbb R\).

Il metodo dell’angolo aggiunto

Calcoliamo \(R\) e scegliamo \(\varphi\) in modo che:

\[ \cos\varphi=\frac aR, \qquad \sin\varphi=\frac bR. \]

La trasformazione si verifica mediante la formula del seno della somma:

\[ \begin{aligned} R\sin(x+\varphi) &=R\cos\varphi\sin x+R\sin\varphi\cos x\\ &=a\sin x+b\cos x. \end{aligned} \]

L’equazione iniziale equivale dunque a:

\[ \sin(x+\varphi)=\frac cR. \]

Se \(|c|\le R\), poniamo:

\[ \theta=\arcsin\frac cR. \]

Le soluzioni generali sono:

\[ x=\theta-\varphi+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\pi-\theta-\varphi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Quando \(|c|=R\), le due famiglie coincidono.

Controllare la fase

Se \(a\ne0\), si ha \(\displaystyle\tan\varphi=\frac ba\). Questa relazione non basta però a scegliere il quadrante: angoli che differiscono di \(\pi\) hanno la stessa tangente, ma seni e coseni opposti.

La fase scelta deve soddisfare entrambe le condizioni sul seno e sul coseno.

Esempio 1. Risolvere \(\sin x+\cos x=1\)

In questo caso:

\[ R=\sqrt2, \qquad \varphi=\frac{\pi}{4}. \]

Quindi:

\[ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1, \] \[ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. \]

Otteniamo:

\[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \]

oppure:

\[ x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2k\pi. \]

Pertanto:

\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Il metodo delle formule parametriche

Poniamo:

\[ t=\tan\frac{x}{2}, \qquad x\ne\pi+2k\pi. \]

Utilizziamo:

\[ \sin x=\frac{2t}{1+t^2}, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}. \]

Sostituendo nell’equazione:

\[ a\frac{2t}{1+t^2} + b\frac{1-t^2}{1+t^2} =c. \]

Poiché \(1+t^2>0\), possiamo moltiplicare per questo denominatore:

\[ 2at+b-bt^2=c+ct^2. \]

Riordinando:

\[ (b+c)t^2-2at+(c-b)=0. \]

Per ogni radice reale \(t_0\), ricaviamo:

\[ x=2\arctan t_0+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Il controllo degli angoli esclusi

Gli angoli \(x=\pi+2k\pi\) appartengono al dominio iniziale, ma non sono rappresentati da un parametro reale. In essi:

\[ a\sin x+b\cos x=-b. \]

Quindi la famiglia:

\[ x=\pi+2k\pi \]

è soluzione se e solo se \(c=-b\). Questo controllo è necessario per non perdere soluzioni.

Il grado e il discriminante

Se \(b+c\ne0\), l’equazione in \(t\) è di secondo grado e:

\[ \begin{aligned} \Delta &=(-2a)^2-4(b+c)(c-b)\\ &=4(a^2+b^2-c^2). \end{aligned} \]

La condizione \(\Delta\ge0\) coincide con quella già ottenuta mediante l’ampiezza.

Se \(b+c=0\), cioè \(c=-b\), il termine quadratico scompare:

\[ -2at-2b=0. \]

• Se \(a\ne0\), si ottiene \(\displaystyle t=-\frac ba\), a cui va aggiunta la famiglia esclusa dalla sostituzione.
• Se \(a=0\), allora \(b\ne0\): l’equazione in \(t\) non ha soluzioni e le sole soluzioni iniziali sono \(x=\pi+2k\pi\).

Esempio 2. La stessa equazione con le formule parametriche

Riprendiamo:

\[ \sin x+\cos x=1. \]

Gli angoli \(x=\pi+2k\pi\) non sono soluzioni, perché il primo membro vale \(-1\).

Per gli altri angoli:

\[ \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} =1. \]

Moltiplicando e riordinando:

\[ 2t+1-t^2=1+t^2, \] \[ 2t(t-1)=0. \]

Quindi \(t=0\) oppure \(t=1\), da cui:

\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Il metodo geometrico

Poniamo:

\[ X=\cos x, \qquad Y=\sin x. \]

L’identità fondamentale e l’equazione iniziale danno il sistema:

\[ \begin{cases} X^2+Y^2=1,\\ bX+aY=c. \end{cases} \]

Cerchiamo quindi le intersezioni tra la circonferenza goniometrica e una retta. Ogni punto di intersezione individua un angolo a meno di multipli interi di \(2\pi\).

La distanza della retta dall’origine

La retta \(bX+aY=c\) dista dall’origine:

\[ \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|c|}{R}. \]

Confrontiamo questa distanza con il raggio \(1\):

• Se \(|c|>R\), la retta è esterna: nessuna intersezione.
• Se \(|c|=R\), la retta è tangente: un solo punto di intersezione.
• Se \(|c|<R\), la retta è secante: due punti distinti.

Esempio 3. Interpretare geometricamente \(\sin x+\cos x=1\)

Il sistema è:

\[ \begin{cases} X^2+Y^2=1,\\ X+Y=1. \end{cases} \]

Sostituendo \(Y=1-X\):

\[ X^2+(1-X)^2=1, \] \[ 2X(X-1)=0. \]

Le intersezioni sono:

\[ P=(1,0), \qquad Q=(0,1). \]

Poiché \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), ritroviamo:

\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \] 

Immagine

Esempi svolti

Esempio 4. Coefficienti con una fase notevole

Risolviamo:

\[ \sqrt3\sin x+\cos x=1. \]

Abbiamo:

\[ R=2, \qquad \cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac12. \]

Scegliendo \(\displaystyle\varphi=\frac{\pi}{6}\):

\[ 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1. \]

Quindi:

\[ x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+2k\pi \]

oppure:

\[ x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+2k\pi. \]

Le soluzioni sono:

\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Esempio 5. Recuperare le soluzioni escluse dal parametro

Risolviamo:

\[ \sin x+\cos x=-1. \]

Gli angoli \(x=\pi+2k\pi\) soddisfano l’equazione e vanno conservati.

Negli altri angoli, ponendo \(\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}\):

\[ \frac{2t+1-t^2}{1+t^2}=-1. \]

Moltiplicando:

\[ 2t+1-t^2=-1-t^2, \] \[ 2t+2=0, \qquad t=-1. \]

Questa radice dà:

\[ x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi. \]

Le soluzioni complete sono quindi:

\[ x=\pi+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Esempio 6. Il caso di tangenza

Risolviamo:

\[ 3\sin x+4\cos x=5. \]

L’ampiezza è \(R=5\). Scegliamo:

\[ \varphi=\arctan\frac43, \]

che appartiene al primo quadrante e soddisfa:

\[ \cos\varphi=\frac35, \qquad \sin\varphi=\frac45. \]

L’equazione diventa:

\[ 5\sin(x+\varphi)=5, \]

quindi:

\[ x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac43+2k\pi. \]

Equivalentemente:

\[ x=\arctan\frac34+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Nel metodo geometrico, la retta \(4X+3Y=5\) è tangente alla circonferenza nel punto \(\displaystyle\left(\frac45,\frac35\right)\).

Esempio 7. Un’equazione impossibile

Consideriamo:

\[ 3\sin x+4\cos x=6. \]

Il primo membro ha ampiezza \(5\), quindi:

\[ -5\le3\sin x+4\cos x\le5. \]

Il valore \(6\) non può essere raggiunto: non esistono soluzioni reali.

Scelta del metodo ed errori comuni

Quale metodo scegliere?

• Angolo aggiunto: è particolarmente rapido quando la fase è notevole e permette di leggere immediatamente ampiezza e valori estremi.
• Formule parametriche: riconducono il problema a un’equazione algebrica di grado al più due, con un controllo separato degli angoli esclusi.
• Metodo geometrico: chiarisce il numero di soluzioni e permette di determinarle attraverso le coordinate delle intersezioni.

Scambiare i coefficienti

Nella rappresentazione \(R\sin(x+\varphi)\):

\[ R\cos\varphi=a, \qquad R\sin\varphi=b. \]

Nel metodo geometrico, invece, con \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), la retta è \(bX+aY=c\). L’associazione va controllata mediante le definizioni, non soltanto ricordando l’ordine delle lettere.

Dimenticare il quadrante della fase

La sola relazione \(\displaystyle\tan\varphi=\frac ba\) non distingue quadranti opposti. Verifichiamo sempre sia il seno sia il coseno della fase scelta.

Considerare sempre quadratica l’equazione parametrica

Prima di applicare la formula risolutiva, controlliamo che \(b+c\ne0\). Se questo coefficiente è zero, dobbiamo risolvere l’equazione di grado inferiore che rimane.

Perdere gli angoli esclusi dalla sostituzione

La sostituzione \(\displaystyle t=\tan\frac{x}{2}\) non rappresenta \(x=\pi+2k\pi\). Questi angoli sono soluzioni esattamente quando \(c=-b\).

Dividere per seno o coseno senza distinguere i casi

Una divisione per \(\sin x\) o \(\cos x\) può eliminare soluzioni. Prima di dividere bisogna verificare separatamente i valori che annullano il divisore.

Confondere il parametro con l’angolo

Da una radice reale \(t_0\) ricaviamo:

\[ x=2\arctan t_0+2k\pi. \]

Il valore \(t_0\) non è direttamente una soluzione in \(x\).

Contare due volte la stessa famiglia

Nel caso \(|c|=R\), le due famiglie ottenute con l’equazione elementare del seno coincidono. Prima di elencare le soluzioni in un intervallo, eliminiamo le eventuali duplicazioni.

Riepilogo

Per \(a\) e \(b\) non entrambi nulli, poniamo \(R=\sqrt{a^2+b^2}>0\).

Le tre trasformazioni

Se \(a=b=0\), l’equazione è \(0=c\): ogni numero reale è soluzione per \(c=0\), mentre non esistono soluzioni per \(c\ne0\).

Se viene assegnato un intervallo, dopo aver determinato le famiglie generali selezioniamo soltanto gli angoli che vi appartengono, rispettando l’inclusione o l’esclusione degli estremi.