Formula dell’Angolo Aggiunto

Dalla combinazione di seno e coseno a un’unica sinusoide

Consideriamo:

\[ f(x)=a\sin x+b\cos x, \qquad a,b\in\mathbb R. \]

Se \(a=b=0\), la funzione è identicamente nulla. Supponiamo quindi che i due coefficienti non siano entrambi nulli e poniamo:

\[ R=\sqrt{a^2+b^2}>0. \]

La formula dell’angolo aggiunto è:

\[ a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi), \]

dove \(\varphi\) è un angolo che soddisfa entrambe le condizioni:

\[ \cos\varphi=\frac aR, \qquad \sin\varphi=\frac bR. \]

Il numero \(R\) è l’ampiezza della sinusoide; \(\varphi\) è la fase nella rappresentazione scelta.

Gli angoli che soddisfano queste condizioni differiscono tra loro di multipli interi di \(2\pi\). Non individuano funzioni diverse, perché il seno ha periodo \(2\pi\).

Dimostrazione della formula

Poiché:

\[ \left(\frac aR\right)^2+\left(\frac bR\right)^2 = \frac{a^2+b^2}{R^2} = 1, \]

il punto \(\displaystyle\left(\frac aR,\frac bR\right)\) appartiene alla circonferenza goniometrica. Esiste dunque un angolo \(\varphi\) per il quale:

\[ \cos\varphi=\frac aR, \qquad \sin\varphi=\frac bR. \]

Applichiamo la formula del seno della somma:

\[ \begin{aligned} R\sin(x+\varphi) &= R\sin x\cos\varphi+R\cos x\sin\varphi\\ &= R\sin x\frac aR+R\cos x\frac bR\\ &= a\sin x+b\cos x. \end{aligned} \]

L’identità vale quindi per ogni \(x\in\mathbb R\).

La dimostrazione spiega anche l’associazione tra i coefficienti: il coefficiente del seno determina il coseno della fase; il coefficiente del coseno determina il seno della fase.

Come determinare l’angolo aggiunto

Dopo aver calcolato \(R\), cerchiamo un angolo che abbia contemporaneamente coseno \(\displaystyle\frac aR\) e seno \(\displaystyle\frac bR\).

Il quadrante della fase

Poiché \(R>0\), il segno di \(\cos\varphi\) coincide con quello di \(a\), mentre il segno di \(\sin\varphi\) coincide con quello di \(b\).

Se uno dei coefficienti è zero, il punto si trova su un asse e la fase si determina direttamente.

Perché non basta l’arcotangente

Se \(a\ne0\), dalle due condizioni segue:

\[ \tan\varphi=\frac ba. \]

Questa uguaglianza, da sola, determina la fase soltanto a meno di multipli interi di \(\pi\). Gli angoli \(\varphi\) e \(\varphi+\pi\) hanno la stessa tangente, ma seni e coseni di segno opposto.

Di conseguenza, non possiamo porre sempre \(\displaystyle\varphi=\arctan\frac ba\) senza controllare il quadrante.

Per esempio, se \(a=-1\) e \(b=\sqrt3\), allora:

\[ R=2, \qquad \cos\varphi=-\frac12, \qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Possiamo scegliere \(\displaystyle\varphi=\frac{2\pi}{3}\). Invece:

\[ \arctan\frac ba = \arctan(-\sqrt3) = -\frac{\pi}{3}, \]

che ha coseno positivo e seno negativo, quindi non soddisfa le condizioni richieste.

I casi con un coefficiente nullo

Se \(b=0\) e \(a\ne0\), possiamo scegliere:

\[ \varphi= \begin{cases} 0, & a>0,\\ \pi, & a<0. \end{cases} \]

Se \(a=0\) e \(b\ne0\), possiamo scegliere:

\[ \varphi= \begin{cases} \frac{\pi}{2}, & b>0,\\ -\frac{\pi}{2}, & b<0. \end{cases} \]

In ogni caso, la verifica conclusiva consiste nel controllare entrambe le uguaglianze \(\displaystyle\cos\varphi=\frac aR\) e \(\displaystyle\sin\varphi=\frac bR\).

Immagine

Ampiezza, traslazione e valori estremi

Dalla rappresentazione:

\[ f(x)=R\sin(x+\varphi), \]

si leggono direttamente le proprietà del grafico.

• Il dominio è \(\mathbb R\).
• L’ampiezza è \(R=\sqrt{a^2+b^2}\).
• Il periodo fondamentale è \(2\pi\).
• La retta centrale è \(y=0\).
• Il grafico di \(y=R\sin x\) è traslato orizzontalmente di \(-\varphi\).

Infatti:

\[ x+\varphi=x-(-\varphi). \]

Se scegliamo un rappresentante positivo di \(\varphi\), possiamo descrivere la trasformazione come uno spostamento verso sinistra di \(\varphi\). Se scegliamo un rappresentante negativo, lo spostamento corrispondente è verso destra.

Massimo, minimo e immagine

Poiché il seno assume tutti i valori di \([-1,1]\):

\[ -R\le a\sin x+b\cos x\le R. \]

Entrambi gli estremi vengono raggiunti:

\[ \max f=R, \qquad \min f=-R, \qquad f(\mathbb R)=[-R,R]. \]

I massimi si hanno quando il seno vale \(1\):

\[ x+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \]

ossia:

\[ x=\frac{\pi}{2}-\varphi+2k\pi. \]

I minimi si hanno invece per:

\[ x=\frac{3\pi}{2}-\varphi+2k\pi. \]

Argomenti della forma \(\omega x+c\)

Se seno e coseno hanno lo stesso argomento, la formula resta applicabile:

\[ a\sin(\omega x+c)+b\cos(\omega x+c) = R\sin(\omega x+c+\varphi). \]

Per \(\omega\ne0\), il periodo fondamentale è:

\[ T=\frac{2\pi}{|\omega|}. \]

Un eventuale termine esterno \(d\) sposta la retta centrale a \(y=d\) e i valori estremi a \(d-R\) e \(d+R\).

Se \(\omega=0\), l’espressione è costante. Se invece i coefficienti iniziali sono entrambi nulli, la combinazione di seno e coseno è identicamente nulla, indipendentemente dall’argomento.

Applicazione alle equazioni goniometriche

Consideriamo:

\[ a\sin x+b\cos x=c, \]

con \(a\) e \(b\) non entrambi nulli. La formula dell’angolo aggiunto dà l’equazione equivalente:

\[ R\sin(x+\varphi)=c. \]

Poiché \(R>0\), possiamo dividere:

\[ \sin(x+\varphi)=\frac cR. \]

Condizione di esistenza delle soluzioni

Il seno assume valori compresi tra \(-1\) e \(1\). L’equazione ha quindi soluzioni reali se e solo se:

\[ \left|\frac cR\right|\le1, \]

ossia:

\[ |c|\le R=\sqrt{a^2+b^2}. \]

Soluzioni generali

Se \(|c|\le R\), poniamo:

\[ \theta=\arcsin\frac cR, \qquad -\frac{\pi}{2}\le\theta\le\frac{\pi}{2}. \]

Le soluzioni sono:

\[ x+\varphi=\theta+2k\pi \]

oppure:

\[ x+\varphi=\pi-\theta+2k\pi. \]

Quindi:

\[ x=\theta-\varphi+2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\pi-\theta-\varphi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Se \(|c|=R\), le due famiglie descrivono lo stesso insieme di soluzioni. Se \(|c|<R\), l’equazione ha esattamente due soluzioni distinte in ogni intervallo semiaperto di lunghezza \(2\pi\), cioè della forma \([u,u+2\pi)\) oppure \((u,u+2\pi]\), con \(u\in\mathbb R\).

Nel caso escluso \(a=b=0\), l’equazione è \(0=c\): ogni numero reale è soluzione se \(c=0\), mentre non esistono soluzioni se \(c\ne0\).

Esempi svolti

Esempio 1. Determinare ampiezza e fase

Riscriviamo:

\[ \sqrt3\sin x+\cos x. \]

L’ampiezza è:

\[ R=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=2. \]

La fase deve soddisfare:

\[ \cos\varphi=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\varphi=\frac12. \]

Possiamo scegliere \(\displaystyle\varphi=\frac{\pi}{6}\). Pertanto:

\[ \sqrt3\sin x+\cos x = 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right). \]

Il grafico ha ampiezza \(2\), periodo \(2\pi\) e si ottiene traslando quello di \(y=2\sin x\) di \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\) verso sinistra. Il massimo è \(2\) e il minimo è \(-2\).

Esempio 2. Una fase nel secondo quadrante

Consideriamo:

\[ -\sin x+\sqrt3\cos x. \]

Abbiamo:

\[ R=2, \qquad \cos\varphi=-\frac12, \qquad \sin\varphi=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Scegliamo \(\displaystyle\varphi=\frac{2\pi}{3}\):

\[ -\sin x+\sqrt3\cos x = 2\sin\left(x+\frac{2\pi}{3}\right). \]

Il quadrante della fase è determinato dai segni dei coefficienti: il coefficiente del seno è negativo e quello del coseno è positivo.

Esempio 3. Una fase non notevole

Riscriviamo:

\[ 3\sin x-4\cos x. \]

L’ampiezza è:

\[ R=\sqrt{9+16}=5. \]

Cerchiamo una fase con:

\[ \cos\varphi=\frac35, \qquad \sin\varphi=-\frac45. \]

Possiamo scegliere:

\[ \varphi=-\arctan\frac43. \]

Infatti questo angolo appartiene a \(\displaystyle\left(-\frac{\pi}{2},0\right)\), ha tangente \(\displaystyle-\frac43\), coseno positivo e seno negativo. Ne segue:

\[ 3\sin x-4\cos x = 5\sin\left(x-\arctan\frac43\right). \]

L’immagine della funzione è \([-5,5]\).

Esempio 4. Risolvere un’equazione

Risolviamo:

\[ \sqrt3\sin x+\cos x=1. \]

Dall’esempio 1:

\[ 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=1, \]

quindi:

\[ \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac12. \]

Le due famiglie sono:

\[ x+\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}+2k\pi \]

oppure:

\[ x+\frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}+2k\pi. \]

Sottraendo \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\):

\[ x=2k\pi \quad\text{oppure}\quad x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Esempio 5. Riconoscere un’equazione impossibile

Consideriamo:

\[ 3\sin x-4\cos x=6. \]

Il primo membro ha ampiezza \(5\), quindi assume soltanto valori compresi tra \(-5\) e \(5\). Poiché \(6>5\), l’equazione non ha soluzioni reali.

Non è necessario determinare esplicitamente la fase.

Errori comuni

Scambiare seno e coseno nelle condizioni sulla fase

Nella rappresentazione \(R\sin(x+\varphi)\), le condizioni sono:

\[ R\cos\varphi=a, \qquad R\sin\varphi=b. \]

Si possono ricontrollare sviluppando il seno della somma.

Calcolare l’ampiezza sommando i coefficienti

L’ampiezza non è, in generale, \(a+b\) né \(|a|+|b|\). È:

\[ R=\sqrt{a^2+b^2}. \]

Determinare la fase soltanto dalla tangente

L’equazione \(\displaystyle\tan\varphi=\frac ba\) non distingue due quadranti opposti. Bisogna verificare anche i segni di seno e coseno.

Confondere la fase con lo spostamento orizzontale

Nella funzione \(R\sin(x+\varphi)\), la fase è \(\varphi\), mentre la traslazione rispetto a \(R\sin x\) è \(-\varphi\).

Applicare direttamente la formula ad argomenti diversi

La formula si applica direttamente a seno e coseno dello stesso argomento. Un’espressione come:

\[ a\sin x+b\cos(2x) \]

non può essere trasformata in questo modo in un’unica sinusoide di argomento \(x+\varphi\), salvo casi particolari.

Dividere per un’ampiezza nulla

Prima di introdurre \(\displaystyle\frac aR\), \(\displaystyle\frac bR\) o \(\displaystyle\frac cR\), occorre escludere il caso \(a=b=0\), che va trattato separatamente.

Riepilogo

Se \(a\) e \(b\) non sono entrambi nulli, poniamo:

\[ R=\sqrt{a^2+b^2}>0 \]

e scegliamo \(\varphi\) in modo che:

\[ \cos\varphi=\frac aR, \qquad \sin\varphi=\frac bR. \]

Allora, per ogni \(x\in\mathbb R\):

\[ a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi). \]

La formula si dimostra sviluppando il seno della somma. Per applicarla correttamente, calcoliamo l’ampiezza positiva, determiniamo la fase controllando sia il seno sia il coseno e distinguiamo il caso in cui entrambi i coefficienti siano nulli.