Le formule di Werner trasformano un prodotto di seni e coseni in una somma o in una differenza di funzioni goniometriche. Si ricavano dalle formule di addizione e sottrazione e valgono per ogni coppia di angoli reali.
Dimostreremo le formule, mostreremo come scegliere quella adatta a un’espressione e le applicheremo al calcolo di valori esatti, alla semplificazione e alla risoluzione di un’equazione. Gli angoli sono espressi in radianti e \(k\) indica un numero intero.
Indice
- Dal prodotto alla somma
- Il prodotto di seno e coseno
- Il prodotto di due coseni
- Il prodotto di due seni
- Il collegamento con le formule di duplicazione
- Esempi svolti
- Errori comuni
- Riepilogo
Dal prodotto alla somma
Nelle formule di Werner, agli angoli \(\alpha\) e \(\beta\) dei fattori corrispondono gli angoli \(\alpha+\beta\) e \(\alpha-\beta\) delle funzioni ottenute.
Le tre formule principali sono:
\[ \sin\alpha\cos\beta = \frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr]; \] \[ \cos\alpha\cos\beta = \frac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr]; \] \[ \sin\alpha\sin\beta = \frac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]. \]
Sono identità valide per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb R\): non compaiono denominatori variabili né funzioni con punti esclusi dal dominio.
La trasformazione è particolarmente utile quando una somma risulta più semplice da calcolare o da manipolare rispetto al prodotto iniziale. Non è però necessario applicarla a ogni prodotto: la scelta dipende dall’obiettivo.
Il prodotto di seno e coseno
Partiamo dalle formule del seno della somma e della differenza:
\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta, \] \[ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. \]
Sommiamo membro a membro. I termini contenenti \(\cos\alpha\sin\beta\) si eliminano:
\[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) = 2\sin\alpha\cos\beta. \]
Dividendo per \(2\), otteniamo:
\[ \sin\alpha\cos\beta = \frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr]. \]
Quando il coseno è il primo fattore
Sottraendo invece la seconda formula dalla prima:
\[ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\sin\beta. \]
Quindi:
\[ \cos\alpha\sin\beta = \frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\bigr]. \]
Le due scritture sono coerenti con la commutatività del prodotto. Infatti, applicando la prima formula a \(\sin\beta\cos\alpha\):
\[ \sin\beta\cos\alpha = \frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\beta-\alpha)\bigr]. \]
Poiché il seno è dispari, \(\sin(\beta-\alpha)=-\sin(\alpha-\beta)\), si ritrova la seconda scrittura.
Per evitare errori, nella formula del prodotto \(\sin\alpha\cos\beta\) possiamo ricordare che la differenza degli argomenti è angolo del seno meno angolo del coseno.
Il prodotto di due coseni
Consideriamo:
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, \] \[ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \]
Sommiamo le uguaglianze. I prodotti dei seni si eliminano:
\[ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) = 2\cos\alpha\cos\beta. \]
Pertanto:
\[ \cos\alpha\cos\beta = \frac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr]. \]
Il risultato non cambia scambiando \(\alpha\) e \(\beta\), perché il coseno è pari:
\[ \cos(\beta-\alpha)=\cos(\alpha-\beta). \]
Il prodotto di due seni
Utilizziamo ancora le formule del coseno, ma sottraiamo quella della somma da quella della differenza:
\[ \begin{aligned} &\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\\ &= \bigl(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\bigr) - \bigl(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\bigr)\\ &= 2\sin\alpha\sin\beta. \end{aligned} \]
Dividendo per \(2\):
\[ \sin\alpha\sin\beta = \frac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]. \]
In questa formula l’ordine è essenziale: compare prima il coseno della differenza e poi, con il segno meno, il coseno della somma.
Una scrittura equivalente è:
\[ \sin\alpha\sin\beta = -\frac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\bigr]. \]
Anche questa identità è simmetrica rispetto allo scambio dei due angoli, grazie alla parità del coseno.
Il collegamento con le formule di duplicazione
Ponendo \(\beta=\alpha\), le formule di Werner restituiscono relazioni già ricavate dalle formule di duplicazione.
Il prodotto di seno e coseno dello stesso angolo
\[ \begin{aligned} \sin\alpha\cos\alpha &= \frac12\bigl[\sin(2\alpha)+\sin0\bigr]\\ &= \frac12\sin(2\alpha). \end{aligned} \]
Equivalentemente:
\[ \sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha. \]
Il quadrato del coseno
\[ \begin{aligned} \cos^2\alpha &= \frac12\bigl[\cos(2\alpha)+\cos0\bigr]\\ &= \frac{1+\cos(2\alpha)}{2}. \end{aligned} \]
Il quadrato del seno
\[ \begin{aligned} \sin^2\alpha &= \frac12\bigl[\cos0-\cos(2\alpha)\bigr]\\ &= \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}. \end{aligned} \]
Le formule per i quadrati sono quindi casi particolari delle formule di Werner, oltre che conseguenze dirette della duplicazione del coseno.
Immagine
Esempi svolti
Esempio 1. Trasformare un prodotto con argomenti diversi
Trasformiamo:
\[ 2\sin x\cos(2x). \]
Nella formula di Werner poniamo \(\alpha=x\) e \(\beta=2x\):
\[ 2\sin x\cos(2x) = \sin(3x)+\sin(-x). \]
Utilizzando la disparità del seno:
\[ 2\sin x\cos(2x) = \sin(3x)-\sin x. \]
Esempio 2. Il prodotto di due coseni
Trasformiamo:
\[ \cos(5x)\cos(2x). \]
Gli argomenti della somma e della differenza sono \(7x\) e \(3x\). Quindi:
\[ \cos(5x)\cos(2x) = \frac12\bigl[\cos(7x)+\cos(3x)\bigr]. \]
Esempio 3. Il prodotto di due seni
Trasformiamo:
\[ \sin(4x)\sin x. \]
Applichiamo la formula con il coseno della differenza meno il coseno della somma:
\[ \sin(4x)\sin x = \frac12\bigl[\cos(3x)-\cos(5x)\bigr]. \]
Esempio 4. Calcolare un valore esatto
Calcoliamo:
\[ \sin\frac{5\pi}{12}\sin\frac{\pi}{12}. \]
La differenza e la somma degli angoli sono:
\[ \frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{5\pi}{12}+\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}. \]
Pertanto:
\[ \begin{aligned} \sin\frac{5\pi}{12}\sin\frac{\pi}{12} &= \frac12\left[\cos\frac{\pi}{3}-\cos\frac{\pi}{2}\right]\\ &= \frac12\left(\frac12-0\right)\\ &= \frac14. \end{aligned} \]
Non è stato necessario calcolare separatamente i seni dei due angoli.
Esempio 5. Semplificare una combinazione di prodotti
Semplifichiamo:
\[ 2\cos(3x)\cos x-2\sin(3x)\sin x. \]
Applicando le due formule:
\[ 2\cos(3x)\cos x = \cos(4x)+\cos(2x), \] \[ 2\sin(3x)\sin x = \cos(2x)-\cos(4x). \]
Sottraendo l’intera seconda espressione:
\[ \begin{aligned} &2\cos(3x)\cos x-2\sin(3x)\sin x\\ &= \cos(4x)+\cos(2x) -\bigl[\cos(2x)-\cos(4x)\bigr]\\ &= 2\cos(4x). \end{aligned} \]
Lo stesso risultato si ottiene direttamente con la formula del coseno della somma. Le due procedure offrono un controllo reciproco.
Esempio 6. Risolvere un’equazione
Risolviamo:
\[ 2\sin x\cos(2x)=\sin(3x). \]
L’equazione è definita per ogni \(x\in\mathbb R\). Dall’identità dell’esempio 1:
\[ \sin(3x)-\sin x=\sin(3x). \]
Sottraendo \(\sin(3x)\) da entrambi i membri:
\[ -\sin x=0. \]
Quindi tutte e sole le soluzioni sono:
\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
Non abbiamo diviso per una funzione che può annullarsi: tutti i passaggi sono equivalenti e nessuna soluzione è stata esclusa.
Errori comuni
Dimenticare il fattore \(\displaystyle\frac12\)
Il prodotto è uguale a metà della somma o della differenza indicata. Se il prodotto iniziale è già moltiplicato per \(2\), il fattore si semplifica:
\[ 2\sin\alpha\cos\beta = \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta). \]
Invertire i termini nella formula del prodotto di due seni
La forma corretta è:
\[ \sin\alpha\sin\beta = \frac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]. \]
Invertire i due coseni senza cambiare il segno esterno produce il risultato opposto.
Scambiare gli argomenti senza considerare la disparità del seno
Nel prodotto \(\sin\alpha\cos\beta\), la formula contiene \(\sin(\alpha-\beta)\). Se la differenza risulta negativa, bisogna conservarla oppure usare:
\[ \sin(-u)=-\sin u. \]
Per il coseno, invece:
\[ \cos(-u)=\cos u. \]
Confondere Werner e prostaferesi
Le formule di Werner trasformano prodotti in somme o differenze. Le formule di prostaferesi effettuano la trasformazione inversa: da somme o differenze a prodotti.
Dividere per un fattore durante la risoluzione di un’equazione
Le formule di Werner sono identità e possono essere sostituite senza introdurre esclusioni. Una successiva divisione per \(\sin x\), \(\cos x\) o un’altra espressione richiede invece di distinguere il caso in cui il divisore sia zero.
Riepilogo
Per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb R\):
| Prodotto | Somma o differenza equivalente |
|---|---|
| \(\sin\alpha\cos\beta\) | \(\displaystyle \frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\bigr]\) |
| \(\cos\alpha\sin\beta\) | \(\displaystyle \frac12\bigl[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\bigr]\) |
| \(\cos\alpha\cos\beta\) | \(\displaystyle \frac12\bigl[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\bigr]\) |
| \(\sin\alpha\sin\beta\) | \(\displaystyle \frac12\bigl[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\bigr]\) |
Per applicare una formula, individuiamo prima il tipo di prodotto e calcoliamo la somma e la differenza degli argomenti. Manteniamo poi il fattore \(\displaystyle\frac12\), controlliamo l’ordine dei termini e utilizziamo, quando necessario, la parità del coseno o la disparità del seno.