Le formule di bisezione permettono di calcolare le funzioni goniometriche della metà di un angolo mediante quelle dell’angolo di partenza. Si ricavano dalle formule di duplicazione e sono particolarmente utili per determinare valori esatti.
Nelle formule con le radici quadrate, il segno dipende dalla posizione dell’angolo dimezzato sulla circonferenza goniometrica. Dimostreremo le formule di seno, coseno, tangente e cotangente, distinguendo le diverse condizioni di validità. Gli angoli sono espressi in radianti e \(k\) indica un numero intero.
Indice
- La bisezione del seno e del coseno
- Come scegliere il segno
- La bisezione della tangente con la radice
- La tangente dell’angolo metà senza radici
- La bisezione della cotangente
- Esempi svolti
- Errori comuni
- Riepilogo
La bisezione del seno e del coseno
Nelle formule di duplicazione del coseno sostituiamo l’angolo con la metà di \(\alpha\):
\[ \cos\alpha = 1-2\sin^2\frac{\alpha}{2}, \] \[ \cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1. \]
Isolando i quadrati, otteniamo:
\[ \sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{2}. \]
Queste identità valgono per ogni \(\alpha\in\mathbb R\). Poiché \(-1\le\cos\alpha\le1\), i secondi membri sono sempre non negativi.
Dai quadrati ai valori assoluti
Prendendo la radice quadrata non negativa dei due membri, ricaviamo:
\[ \left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \] \[ \left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. \]
Per ottenere le funzioni senza valore assoluto, si scrive abitualmente:
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \] \[ \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. \]
Il simbolo \(\pm\) non significa che una funzione assuma due valori per uno stesso angolo assegnato. Indica che bisogna scegliere il segno corrispondente al valore della funzione cercata. Le due scelte, per seno e coseno, vanno effettuate separatamente.
Come scegliere il segno
Il segno si determina considerando l’angolo dimezzato \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\), non direttamente l’angolo \(\alpha\).
| Quadrante di \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\) | Segno del seno | Segno del coseno | Segno di tangente e cotangente |
|---|---|---|---|
| Primo | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| Secondo | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| Terzo | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| Quarto | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
La tabella riguarda gli angoli interni ai quadranti. Se l’angolo dimezzato appartiene a un asse, occorre controllare direttamente quali funzioni valgono zero e quali non sono definite.
Il valore del coseno non basta a scegliere i segni
Consideriamo:
\[ \alpha=\frac{2\pi}{3}, \qquad \alpha+2\pi=\frac{8\pi}{3}. \]
I due angoli sono associati allo stesso punto sulla circonferenza e hanno entrambi coseno \(\displaystyle-\frac12\). Le loro metà, però, sono:
\[ \frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{3}, \qquad \frac{\alpha+2\pi}{2}=\frac{4\pi}{3}. \]
Questi ultimi angoli differiscono di \(\pi\) e individuano punti diametralmente opposti:
\[ \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}, \qquad \sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}; \] \[ \cos\frac{\pi}{3}=\frac12, \qquad \cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12. \]
Le radici delle formule di bisezione restituiscono gli stessi valori assoluti nei due casi; è la posizione dell’angolo dimezzato a determinare i segni.
Immagine
Dimezzare prima di ridurre l’angolo
Se sostituiamo \(\alpha\) con \(\alpha+2k\pi\), la metà diventa:
\[ \frac{\alpha+2k\pi}{2} = \frac{\alpha}{2}+k\pi. \]
Per \(k\) dispari, seno e coseno cambiano segno. Pertanto non possiamo sostituire liberamente l’angolo di partenza con un altro che differisce di un giro prima di dimezzarlo, se vogliamo conservare i valori di seno e coseno della metà.
Possiamo invece dimezzare prima l’angolo assegnato e poi ricondurre la metà a un angolo che differisce da essa di un multiplo intero di \(2\pi\).
La bisezione della tangente con la radice
La tangente dell’angolo metà è definita quando \(\displaystyle\cos\frac{\alpha}{2}\ne0\), cioè:
\[ \alpha\ne\pi+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In questo dominio possiamo dividere le identità dei quadrati:
\[ \tan^2\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}} {\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}. \]
Il denominatore è positivo negli angoli ammessi. Prendendo la radice quadrata:
\[ \left|\tan\frac{\alpha}{2}\right| = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}. \]
La formula con scelta del segno è quindi:
\[ \tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}, \qquad \alpha\ne\pi+2k\pi. \]
Si sceglie il segno positivo nel primo e nel terzo quadrante dell’angolo dimezzato, quello negativo nel secondo e nel quarto. Se il numeratore è zero, la tangente vale zero.
La tangente dell’angolo metà senza radici
Esistono due espressioni razionali della tangente dell’angolo metà. Non richiedono una scelta esplicita del segno, perché questo è già determinato dai valori di seno e coseno presenti nel rapporto.
La formula con \(1+\cos\alpha\) al denominatore
Dalle formule di duplicazione:
\[ \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}, \qquad 1+\cos\alpha = 2\cos^2\frac{\alpha}{2}. \]
Quando \(\displaystyle\cos\frac{\alpha}{2}\ne0\):
\[ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} {2\cos^2\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}. \]
Pertanto:
\[ \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, \qquad \alpha\ne\pi+2k\pi. \]
Il dominio del rapporto coincide esattamente con quello della tangente dell’angolo metà.
La formula con \(\sin\alpha\) al denominatore
Utilizziamo:
\[ 1-\cos\alpha=2\sin^2\frac{\alpha}{2}. \]
Se \(\sin\alpha\ne0\), seno e coseno dell’angolo metà sono entrambi diversi da zero, quindi:
\[ \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}} {2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} = \tan\frac{\alpha}{2}. \]
Otteniamo:
\[ \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}, \qquad \alpha\ne k\pi. \]
Questa seconda espressione ha un dominio più ristretto. Per esempio, per \(\alpha=0\) la tangente dell’angolo metà esiste e vale zero, mentre il rapporto \(\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\) non è definito.
La bisezione della cotangente
La formula con la radice
La cotangente dell’angolo metà è definita quando \(\displaystyle\sin\frac{\alpha}{2}\ne0\), ossia:
\[ \alpha\ne2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]
In questo dominio:
\[ \cot^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}. \]
Quindi:
\[ \cot\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}, \qquad \alpha\ne2k\pi. \]
Il segno si sceglie considerando il quadrante dell’angolo dimezzato. Se il numeratore è zero, la cotangente vale zero.
Le formule senza radici
Dalle formule di duplicazione:
\[ \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} = \frac{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}} {2\sin^2\frac{\alpha}{2}} = \cot\frac{\alpha}{2}, \]
quando \(\displaystyle\sin\frac{\alpha}{2}\ne0\). Pertanto:
\[ \cot\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}, \qquad \alpha\ne2k\pi. \]
Questa espressione ha lo stesso dominio della cotangente dell’angolo metà.
Dividendo invece \(1+\cos\alpha\) per \(\sin\alpha\), otteniamo:
\[ \cot\frac{\alpha}{2} = \frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}, \qquad \alpha\ne k\pi. \]
Il dominio di quest’ultimo rapporto è più ristretto. Per esempio, per \(\alpha=\pi\) la cotangente dell’angolo metà vale zero, mentre il rapporto non è definito.
Esempi svolti
Esempio 1. Calcolare seno e coseno di \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\)
L’angolo \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\), equivalente a \(15^\circ\), è la metà di \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\). Poiché appartiene al primo quadrante, seno e coseno sono positivi.
Usando \(\displaystyle\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}\):
\[ \sin\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}, \] \[ \cos\frac{\pi}{12} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}. \]
Questi valori si possono scrivere anche come:
\[ \sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}, \qquad \cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \]
Le forme sono equivalenti. Infatti:
\[ \left(\frac{\sqrt6\pm\sqrt2}{2}\right)^2 = 2\pm\sqrt3, \]
e sia \(\sqrt6-\sqrt2\) sia \(\sqrt6+\sqrt2\) sono positivi.
Esempio 2. Un angolo metà nel secondo quadrante
Supponiamo:
\[ \cos\alpha=-\frac35, \qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}. \]
Dimezzando le disuguaglianze:
\[ \frac{\pi}{2}<\frac{\alpha}{2}<\frac{3\pi}{4}. \]
L’angolo metà appartiene al secondo quadrante: il seno è positivo e il coseno è negativo. Dunque:
\[ \sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} = \sqrt{\frac45} = \frac{2\sqrt5}{5}, \] \[ \cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} = -\sqrt{\frac15} = -\frac{\sqrt5}{5}. \]
Il loro rapporto dà:
\[ \tan\frac{\alpha}{2}=-2. \]
Possiamo controllare il risultato senza radici. Poiché \(\alpha\) appartiene al terzo quadrante:
\[ \sin\alpha=-\sqrt{1-\frac9{25}}=-\frac45. \]
Pertanto:
\[ \tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \frac{-\frac45}{1-\frac35} = -2. \]
Esempio 3. Calcolare la tangente di \(\displaystyle\frac{\pi}{8}\)
L’angolo \(\displaystyle\frac{\pi}{8}\), equivalente a \(22{,}5^\circ\), è la metà di \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Utilizziamo una formula senza radici:
\[ \begin{aligned} \tan\frac{\pi}{8} &= \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{1+\cos\frac{\pi}{4}}\\ &= \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}\\ &= \frac{\sqrt2}{2+\sqrt2}. \end{aligned} \]
Il denominatore è positivo. Razionalizzando:
\[ \frac{\sqrt2}{2+\sqrt2} = \frac{\sqrt2(2-\sqrt2)}{4-2} = \sqrt2-1. \]
Quindi:
\[ \tan\frac{\pi}{8}=\sqrt2-1. \]
Poiché questo valore è diverso da zero:
\[ \cot\frac{\pi}{8} = \frac1{\sqrt2-1} = \sqrt2+1. \]
Esempio 4. Un angolo maggiore di un giro
Calcoliamo seno e coseno di:
\[ \frac12\cdot\frac{8\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}. \]
L’angolo metà è nel terzo quadrante, quindi entrambe le funzioni sono negative. Poiché:
\[ \cos\frac{8\pi}{3} = \cos\frac{2\pi}{3} = -\frac12, \]
le formule di bisezione danno:
\[ \sin\frac{4\pi}{3} = -\sqrt{\frac{1+\frac12}{2}} = -\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ \cos\frac{4\pi}{3} = -\sqrt{\frac{1-\frac12}{2}} = -\frac12. \]
Ridurre prima \(\displaystyle\frac{8\pi}{3}\) a \(\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) e poi dimezzare avrebbe prodotto \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\), con seno e coseno di segno opposto.
Errori comuni
Scegliere il segno usando l’angolo di partenza
La scelta dipende dalla funzione dell’angolo \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\). Prima di applicare una formula con la radice, determiniamo dove si trova questo angolo.
Usare lo stesso segno per seno e coseno
Nel secondo e nel quarto quadrante seno e coseno hanno segni opposti. Il segno davanti a ciascuna radice va quindi stabilito separatamente.
Considerare \(\sqrt{u^2}=u\) per ogni numero reale
La relazione corretta è:
\[ \sqrt{u^2}=|u|. \]
È per questo che, ricavando una funzione dal suo quadrato, bisogna recuperare il segno mediante le informazioni sull’angolo.
Trattare tutte le formule razionali come se avessero lo stesso dominio
Le due espressioni:
\[ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, \qquad \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \]
coincidono dove sono entrambe definite, ma hanno domini diversi. Per esempio, soltanto la prima è utilizzabile per \(\alpha=0\).
Analogamente, tra le due espressioni della cotangente, soltanto \(\displaystyle\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\) è utilizzabile per \(\alpha=\pi\).
Dividere il valore della funzione invece dell’angolo
In generale:
\[ \sin\frac{\alpha}{2}\ne\frac{\sin\alpha}{2}. \]
Per esempio, per \(\alpha=\pi\) il primo membro vale \(1\), mentre il secondo vale \(0\).
Riepilogo
Le formule con le radici sono:
| Funzione | Formula di bisezione | Condizioni, con \(k\in\mathbb Z\) |
|---|---|---|
| Seno | \(\displaystyle \sin\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\) | \(\alpha\in\mathbb R\) |
| Coseno | \(\displaystyle \cos\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\) | \(\alpha\in\mathbb R\) |
| Tangente | \(\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}\) | \(\alpha\ne\pi+2k\pi\) |
| Cotangente | \(\displaystyle \cot\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}}\) | \(\alpha\ne2k\pi\) |
In ogni riga, il segno deve corrispondere a quello della funzione dell’angolo metà. Le formule senza radici sono:
| Formula | Condizioni, con \(k\in\mathbb Z\) |
|---|---|
| \(\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2} =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}\) | \(\alpha\ne\pi+2k\pi\) |
| \(\displaystyle \tan\frac{\alpha}{2} =\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\) | \(\alpha\ne k\pi\) |
| \(\displaystyle \cot\frac{\alpha}{2} =\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha}\) | \(\alpha\ne2k\pi\) |
| \(\displaystyle \cot\frac{\alpha}{2} =\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha}\) | \(\alpha\ne k\pi\) |
Per applicare una formula di bisezione, determiniamo prima la posizione dell’angolo metà e controlliamo il dominio dell’espressione scelta. Se utilizziamo una radice, assegniamo il segno della funzione cercata; se utilizziamo un rapporto senza radici, il segno è già contenuto nei valori del numeratore e del denominatore.