Le formule di addizione e sottrazione permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma o della differenza di due angoli conoscendo quelle dei singoli angoli. Sono utili per determinare valori esatti, trasformare espressioni e risolvere equazioni.
Dimostreremo le formule di seno e coseno mediante la circonferenza goniometrica e il confronto tra due corde, senza utilizzare vettori. Ricaveremo poi quelle di tangente e cotangente, precisandone le condizioni di validità.
Indice
- Il coseno della differenza di due angoli
- Il coseno della somma
- Il seno della somma e della differenza
- Le formule per la tangente
- Le formule per la cotangente
- Esempi svolti
- Errori comuni
- Riepilogo
Il coseno della differenza di due angoli
La formula del coseno della differenza è:
\[ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \]
Vale per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb R\).
Dimostrazione mediante due corde
Sulla circonferenza goniometrica consideriamo i punti associati agli angoli \(\alpha\) e \(\beta\):
\[ P=(\cos\alpha,\sin\alpha), \qquad Q=(\cos\beta,\sin\beta). \]
Ruotiamo la figura intorno all’origine di un angolo \(-\beta\). Il punto \(Q\) raggiunge \(A=(1,0)\), mentre \(P\) raggiunge il punto associato all’angolo \(\alpha-\beta\):
\[ R=(\cos(\alpha-\beta),\sin(\alpha-\beta)). \]
Una rotazione conserva le distanze, quindi le corde \(PQ\) e \(RA\) hanno la stessa lunghezza:
\[ PQ^2=RA^2. \]
Immagine
Calcoliamo il primo membro con la formula della distanza tra due punti:
\[ PQ^2 = (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2. \]
Sviluppando i quadrati:
\[ \begin{aligned} PQ^2 ={}& \cos^2\alpha+\cos^2\beta -2\cos\alpha\cos\beta\\ &+\sin^2\alpha+\sin^2\beta -2\sin\alpha\sin\beta. \end{aligned} \]
Applichiamo l’identità fondamentale ai due angoli:
\[ PQ^2 = 2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta. \]
Per la seconda corda:
\[ \begin{aligned} RA^2 &= (\cos(\alpha-\beta)-1)^2 +\sin^2(\alpha-\beta)\\ &= 2-2\cos(\alpha-\beta). \end{aligned} \]
Uguagliando le due espressioni:
\[ 2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta = 2-2\cos(\alpha-\beta). \]
Semplificando, otteniamo:
\[ \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta. \]
Il ragionamento utilizza soltanto le coordinate sulla circonferenza, la formula della distanza e la conservazione delle lunghezze mediante una rotazione; non richiede che gli angoli appartengano a un particolare quadrante.
Il coseno della somma
Sostituiamo \(\beta\) con \(-\beta\) nella formula appena dimostrata:
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta). \]
Poiché il coseno è pari e il seno è dispari:
\[ \cos(-\beta)=\cos\beta, \qquad \sin(-\beta)=-\sin\beta. \]
Quindi:
\[ \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. \]
Le due formule del coseno si possono raccogliere nella scrittura:
\[ \cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta. \]
Il segno tra i prodotti è opposto a quello tra gli angoli: alla somma corrisponde il segno meno, alla differenza il segno più.
Il seno della somma e della differenza
Il seno della somma
Utilizziamo la relazione tra seno e coseno di angoli complementari:
\[ \sin(\alpha+\beta) = \cos\left(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)\right). \]
Riscriviamo l’argomento:
\[ \sin(\alpha+\beta) = \cos\left(\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right). \]
Applichiamo la formula del coseno della differenza:
\[ \begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) ={}& \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta\\ &+ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta. \end{aligned} \]
Poiché \(\displaystyle\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha\) e \(\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha\), otteniamo:
\[ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \]
Il seno della differenza
Sostituendo \(\beta\) con \(-\beta\):
\[ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta). \]
Dalla parità del coseno e dalla disparità del seno:
\[ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. \]
In forma compatta:
\[ \sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta. \]
Per il seno, il segno tra i prodotti coincide con quello tra gli angoli. Tutte le formule di questa sezione valgono per ogni \(\alpha,\beta\in\mathbb R\).
Le formule per la tangente
La tangente della somma
Quando \(\cos(\alpha+\beta)\ne0\), possiamo scrivere:
\[ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}. \]
Sostituendo le formule di addizione:
\[ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta} {\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}. \]
Se anche \(\cos\alpha\ne0\) e \(\cos\beta\ne0\), dividiamo numeratore e denominatore per \(\cos\alpha\cos\beta\):
\[ \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta} {1-\tan\alpha\tan\beta}. \]
Questa forma richiede che le tangenti dei singoli angoli siano definite e che il denominatore sia diverso da zero:
\[ \cos\alpha\ne0,\qquad \cos\beta\ne0,\qquad 1-\tan\alpha\tan\beta\ne0. \]
La tangente della differenza
Con lo stesso procedimento:
\[ \tan(\alpha-\beta) = \frac{\tan\alpha-\tan\beta} {1+\tan\alpha\tan\beta}, \]
con le condizioni:
\[ \cos\alpha\ne0,\qquad \cos\beta\ne0,\qquad 1+\tan\alpha\tan\beta\ne0. \]
In forma compatta:
\[ \tan(\alpha\pm\beta) = \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta} {1\mp\tan\alpha\tan\beta}. \]
Al numeratore compare lo stesso segno degli angoli; al denominatore compare quello opposto.
Se una delle tangenti dei singoli angoli non è definita, la formula in termini di tangenti non è utilizzabile. La tangente della somma o della differenza può comunque esistere: in quel caso possiamo ricorrere al rapporto tra le formule di seno e coseno.
Le formule per la cotangente
Quando \(\sin(\alpha+\beta)\ne0\):
\[ \cot(\alpha+\beta) = \frac{\cos(\alpha+\beta)}{\sin(\alpha+\beta)}. \]
Applicando le formule già dimostrate:
\[ \cot(\alpha+\beta) = \frac{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta} {\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}. \]
Se \(\sin\alpha\ne0\) e \(\sin\beta\ne0\), dividiamo numeratore e denominatore per \(\sin\alpha\sin\beta\):
\[ \cot(\alpha+\beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta-1} {\cot\alpha+\cot\beta}. \]
Le condizioni di validità sono:
\[ \sin\alpha\ne0,\qquad \sin\beta\ne0,\qquad \cot\alpha+\cot\beta\ne0. \]
Analogamente, per la differenza:
\[ \cot(\alpha-\beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta+1} {\cot\beta-\cot\alpha}, \]
con:
\[ \sin\alpha\ne0,\qquad \sin\beta\ne0,\qquad \cot\beta-\cot\alpha\ne0. \]
Nel denominatore della formula di sottrazione l’ordine è importante: compare \(\cot\beta-\cot\alpha\).
Anche per la cotangente, se una funzione del singolo angolo non è definita, possiamo valutare l’eventuale esistenza della funzione dell’angolo composto usando direttamente seno e coseno.
Esempi svolti
Esempio 1. Calcolare il seno di \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\)
L’angolo \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\), equivalente a \(15^\circ\), si può scrivere come differenza di due angoli notevoli:
\[ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}. \]
Applichiamo la formula del seno della differenza:
\[ \begin{aligned} \sin\frac{\pi}{12} &= \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\\ &= \frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &= \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{aligned} \]
Esempio 2. Calcolare il coseno di \(\displaystyle\frac{5\pi}{12}\)
Poiché:
\[ \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}, \]
otteniamo:
\[ \begin{aligned} \cos\frac{5\pi}{12} &= \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6}\\ &= \frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &= \frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{aligned} \]
Il risultato coincide con quello dell’esempio precedente perché \(\displaystyle\frac{\pi}{12}+\frac{5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}\): i due angoli sono complementari.
Esempio 3. Calcolare la tangente di \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\)
Usiamo ancora \(\displaystyle\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\):
\[ \begin{aligned} \tan\frac{\pi}{12} &= \frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan\frac{\pi}{6}} {1+\tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{6}}\\ &= \frac{1-\frac1{\sqrt3}} {1+\frac1{\sqrt3}}\\ &= \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}. \end{aligned} \]
Il denominatore è diverso da zero. Razionalizzando:
\[ \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1} = \frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1} = \frac{4-2\sqrt3}{2} = 2-\sqrt3. \]
Quindi:
\[ \tan\frac{\pi}{12}=2-\sqrt3. \]
Esempio 4. La tangente della somma può non esistere
Consideriamo:
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\right). \]
Le tangenti dei singoli angoli esistono e valgono \(1\), ma il denominatore della formula di addizione è:
\[ 1-\tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{4} = 1-1 = 0. \]
La somma degli angoli è \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), dove la tangente non è definita. La divisione per zero segnala quindi una reale esclusione dal dominio, non un valore da assegnare alla funzione.
Esempio 5. Calcolare una cotangente
Calcoliamo:
\[ \cot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right). \]
Le cotangenti dei due angoli sono definite e valgono \(1\) e \(\sqrt3\). Quindi:
\[ \begin{aligned} \cot\frac{\pi}{12} &= \frac{1\cdot\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\\ &= \frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}\\ &= \frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}\\ &= 2+\sqrt3. \end{aligned} \]
Il risultato è il reciproco di \(2-\sqrt3\), come previsto:
\[ (2-\sqrt3)(2+\sqrt3)=1. \]
Errori comuni
Distribuire una funzione sulla somma
In generale:
\[ \sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta, \] \[ \cos(\alpha+\beta)\ne\cos\alpha+\cos\beta. \]
Per esempio:
\[ \sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt3}{2}, \]
mentre:
\[ \sin\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{6}=1. \]
Confondere i segni delle formule
Per il seno, il segno tra i prodotti coincide con quello tra gli angoli. Per il coseno è opposto:
\[ \sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta; \] \[ \cos(\alpha\pm\beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta. \]
Ignorare i denominatori
Le formule di tangente e cotangente richiedono che le funzioni presenti siano definite e che il denominatore finale non sia zero. Le formule di seno e coseno, invece, valgono per tutti gli angoli reali.
Invertire il denominatore della cotangente della differenza
Nella formula di \(\cot(\alpha-\beta)\), il denominatore è \(\cot\beta-\cot\alpha\). Invertirne l’ordine senza cambiare anche il segno del numeratore produce il risultato opposto.
Riepilogo
| Funzione | Formula di addizione | Formula di sottrazione |
|---|---|---|
| Seno | \(\sin(\alpha+\beta)= \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\) | \(\sin(\alpha-\beta)= \sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\) |
| Coseno | \(\cos(\alpha+\beta)= \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\) | \(\cos(\alpha-\beta)= \cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\) |
| Tangente | \(\displaystyle \tan(\alpha+\beta)= \frac{\tan\alpha+\tan\beta} {1-\tan\alpha\tan\beta}\) | \(\displaystyle \tan(\alpha-\beta)= \frac{\tan\alpha-\tan\beta} {1+\tan\alpha\tan\beta}\) |
| Cotangente | \(\displaystyle \cot(\alpha+\beta)= \frac{\cot\alpha\cot\beta-1} {\cot\alpha+\cot\beta}\) | \(\displaystyle \cot(\alpha-\beta)= \frac{\cot\alpha\cot\beta+1} {\cot\beta-\cot\alpha}\) |
Le formule di seno e coseno valgono per ogni coppia di angoli reali. Quelle di tangente e cotangente valgono quando le funzioni dei singoli angoli sono definite e i denominatori indicati sono diversi da zero.
Per applicarle a un calcolo esatto, scomponiamo l’angolo assegnato nella somma o nella differenza di due angoli di cui conosciamo i valori goniometrici. Sostituiamo poi tali valori e semplifichiamo, controllando le condizioni di esistenza quando compaiono rapporti.