Formule di Duplicazione e Bisezione

Dal doppio di un angolo alle formule di duplicazione

Le formule di addizione valgono per ogni coppia di angoli reali. Ponendo i due angoli uguali ad \(\alpha\), otteniamo le formule per \(2\alpha=\alpha+\alpha\).

Duplicazione del seno

Dalla formula del seno di una somma segue

\[ \sin(2\alpha) =\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha. \]

I due prodotti sono uguali, quindi

\[ \boxed{\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha}, \qquad \alpha\in\mathbb{R}. \]

Duplicazione del coseno

Dalla formula del coseno di una somma ricaviamo

\[ \boxed{\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}, \qquad \alpha\in\mathbb{R}. \]

Usando l’identità fondamentale \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), possiamo esprimere il risultato mediante il solo coseno oppure il solo seno.

\[ \begin{aligned} \cos(2\alpha) &=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\ &=2\cos^2\alpha-1, \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \cos(2\alpha) &=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha. \end{aligned} \]

Le tre forme sono quindi equivalenti.

\[ \boxed{ \cos(2\alpha) =\cos^2\alpha-\sin^2\alpha =2\cos^2\alpha-1 =1-2\sin^2\alpha. } \]

Duplicazione della tangente

Nella formula di addizione della tangente poniamo entrambi gli angoli uguali ad \(\alpha\). Se \(\cos\alpha\ne 0\) e \(1-\tan^2\alpha\ne 0\), otteniamo

\[ \boxed{ \tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}. } \]

Le condizioni garantiscono che siano definite sia \(\tan\alpha\) sia \(\tan(2\alpha)\). Infatti, quando \(\cos\alpha\ne 0\),

\[ \cos(2\alpha)=\cos^2\alpha(1-\tan^2\alpha). \]

La formula in termini di \(\tan\alpha\) richiede dunque

\[ \alpha\ne\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad \alpha\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Può accadere che \(\tan(2\alpha)\) esista anche quando la formula non è applicabile. Per esempio, per \(\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{2}\), si ha \(\tan(2\alpha)=\tan\pi=0\), ma \(\tan\alpha\) è indefinita.

Formule di bisezione di seno e coseno

Per ricavare le funzioni dell’angolo \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\), applichiamo le formule di duplicazione del coseno a questo angolo.

Bisezione del seno

Dalla relazione

\[ \cos\alpha=1-2\sin^2\frac{\alpha}{2} \]

segue

\[ \sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}. \]

Prendendo la radice quadrata di entrambi i membri, otteniamo il valore assoluto.

\[ \boxed{ \left|\sin\frac{\alpha}{2}\right| =\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}. } \]

Bisezione del coseno

Analogamente, da

\[ \cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}-1 \]

si ricava

\[ \boxed{ \left|\cos\frac{\alpha}{2}\right| =\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. } \]

I radicandi sono sempre non negativi, perché \(-1\leq\cos\alpha\leq 1\). Le formule valgono quindi per ogni \(\alpha\in\mathbb{R}\).

Per determinare il valore della funzione si scrive

\[ \sin\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}, \qquad \cos\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}. \]

Il segno di ciascuna radice deve essere scelto in base al segno della funzione nell’angolo \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\). Le due scelte sono indipendenti. Se il radicando è zero, anche la funzione vale zero.

Bisezione della tangente

Formula con la radice quadrata

La tangente dell’angolo dimezzato esiste quando \(\cos\left(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\right)\ne 0\), ossia quando \(\alpha\ne\pi+2k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\). Dividendo i quadrati delle formule di bisezione, otteniamo

\[ \tan^2\frac{\alpha}{2} =\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}. \]

Pertanto

\[ \boxed{ \tan\frac{\alpha}{2} =\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}, } \qquad \alpha\ne\pi+2k\pi. \]

Il segno è positivo nel primo e nel terzo quadrante dell’angolo dimezzato, negativo nel secondo e nel quarto. Se il numeratore è zero, la tangente vale zero.

Formule senza radici

Dalle formule di duplicazione si ha

\[ \sin\alpha =2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}, \qquad 1+\cos\alpha=2\cos^2\frac{\alpha}{2}. \]

Dividendo membro a membro e semplificando, ricaviamo

\[ \boxed{ \tan\frac{\alpha}{2} =\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}, } \qquad \alpha\ne\pi+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

Questa formula vale su tutto il dominio della tangente dell’angolo dimezzato e determina direttamente anche il segno.

Se \(\sin\alpha\ne 0\), moltiplicando numeratore e denominatore per \(1-\cos\alpha\) otteniamo anche

\[ \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}{1-\cos^2\alpha} =\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}. \]

Quindi

\[ \boxed{ \tan\frac{\alpha}{2} =\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}, } \qquad \alpha\ne k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}. \]

L’ultima forma richiede una condizione più restrittiva. Per esempio, in \(\alpha=0\), la tangente dell’angolo dimezzato vale \(0\), mentre il rapporto \(\displaystyle\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}\) è indefinito.

Come scegliere il segno

Nelle formule di bisezione il quadrante da considerare è quello di \(\displaystyle\frac{\alpha}{2}\). Per scegliere il segno, calcoliamo prima la metà della misura assegnata e poi la riconduciamo al primo giro, se necessario.

La tabella riguarda angoli che non giacciono sugli assi. Sugli assi si usano direttamente i valori di seno e coseno e si controlla l’esistenza della tangente.

Conoscere soltanto il punto associato ad \(\alpha\) sulla circonferenza non basta per determinare i segni di seno e coseno dell’angolo dimezzato. Gli angoli \(\alpha\) e \(\alpha+2\pi\) hanno lo stesso punto associato, ma le loro metà differiscono di \(\pi\). I seni e i coseni delle due metà hanno quindi segni opposti quando sono diversi da zero.

Immagine

Esempi svolti

1. Calcolare le funzioni del doppio di un angolo

Sia \(\sin\alpha=\displaystyle\frac35\), con \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\). Nel secondo quadrante il coseno è negativo, quindi \(\cos\alpha=-\displaystyle\frac45\). Le formule di duplicazione danno

\[ \sin(2\alpha) =2\cdot\frac35\cdot\left(-\frac45\right) =-\frac{24}{25}, \]

\[ \cos(2\alpha) =\frac{16}{25}-\frac9{25} =\frac7{25}. \]

Poiché il coseno del doppio è diverso da zero,

\[ \tan(2\alpha) =\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} =-\frac{24}{7}. \]

2. Calcolare seno e coseno di \(15^\circ\)

L’angolo \(\displaystyle\frac{\pi}{12}\), pari a \(15^\circ\), è la metà di \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\). Appartiene al primo quadrante, quindi scegliamo entrambe le radici positive.

\[ \sin\frac{\pi}{12} =\sqrt{\frac{1-\cos(\pi/6)}2} =\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}} =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}, \]

\[ \cos\frac{\pi}{12} =\sqrt{\frac{1+\cos(\pi/6)}2} =\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{4}} =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \]

Le ultime uguaglianze si verificano elevando al quadrato le espressioni positive. Per esempio,

\[ \left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2 =\frac{8-4\sqrt3}{16} =\frac{2-\sqrt3}{4}. \]

3. Scegliere un segno negativo

Consideriamo \(\alpha=\displaystyle\frac{5\pi}{3}\). La sua metà è \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\), che appartiene al secondo quadrante. Il seno è positivo e il coseno è negativo. Poiché \(\cos\alpha=\displaystyle\frac12\),

\[ \sin\frac{5\pi}{6} =\sqrt{\frac{1-\frac12}{2}} =\frac12, \]

\[ \cos\frac{5\pi}{6} =-\sqrt{\frac{1+\frac12}{2}} =-\frac{\sqrt3}{2}. \]

4. Calcolare la tangente mediante la bisezione

Usiamo la formula senza radici con \(\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{6}\).

\[ \begin{aligned} \tan\frac{\pi}{12} &=\frac{\sin(\pi/6)}{1+\cos(\pi/6)}\\ &=\frac{\frac12}{1+\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{1}{2+\sqrt3}\\ &=2-\sqrt3. \end{aligned} \]

Il denominatore \(1+\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)\) è positivo, quindi il rapporto è definito.

Errori comuni e riepilogo

Duplicare l’angolo modifica l’argomento della funzione. Per esempio, \(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\). Anche il coseno richiede una delle tre espressioni ricavate dalle formule di addizione.

Nelle formule di bisezione, la radice quadrata fornisce il valore assoluto. Il segno dipende dalla funzione e dal quadrante dell’angolo dimezzato. Nelle formule della tangente occorre inoltre conservare le condizioni sui denominatori.