Grafici delle Funzioni Seno e Coseno Iperbolico

Le curve esponenziali di partenza

Nella pagina sul seno e coseno iperbolico abbiamo introdotto le definizioni

\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]

Il grafico di \(y=e^{-x}\) si ottiene riflettendo quello di \(y=e^x\) rispetto all’asse delle ordinate. Entrambe le curve sono positive e passano per \((0,1)\). La prima è strettamente decrescente, mentre \(y=e^x\) è strettamente crescente.

Per costruire i grafici delle funzioni iperboliche, consideriamo le ordinate delle due esponenziali alla stessa ascissa. La loro semisomma dà il coseno iperbolico, mentre la loro semidifferenza dà il seno iperbolico.

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Costruzione del grafico del seno iperbolico

Segno, zero e simmetria

Il seno iperbolico è la semidifferenza tra \(e^x\) ed \(e^{-x}\). Per \(x>0\) si ha \(e^x>e^{-x}\), quindi \(\sinh x>0\). Per \(x<0\) la disuguaglianza si inverte e \(\sinh x<0\). Le due esponenziali coincidono soltanto in \(x=0\), che è l’unico zero del seno iperbolico.

Sostituendo \(-x\) nella definizione, otteniamo

\[ \sinh(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}=-\sinh x. \]

La funzione è dispari. Il suo grafico è quindi simmetrico rispetto all’origine. Per disegnarlo basta costruire il tratto con ascisse non negative e riportare ogni punto \((x,\sinh x)\) nel punto \((-x,-\sinh x)\).

Monotonia e immagine

Quando \(x\) aumenta, \(e^x\) aumenta ed \(e^{-x}\) diminuisce. La loro differenza è dunque strettamente crescente. Ne segue che il seno iperbolico è strettamente crescente su \(\mathbb{R}\).

Inoltre,

\[ \lim_{x\to-\infty}\sinh x=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\sinh x=+\infty. \]

Per continuità, la funzione assume ogni valore reale. Il suo dominio e la sua immagine sono entrambi \(\mathbb{R}\). Non ha massimo né minimo assoluto.

Due punti utili per la costruzione sono

\[ \sinh(\ln 2)=\frac34, \qquad \sinh(-\ln 2)=-\frac34. \]

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Costruzione del grafico del coseno iperbolico

Semisomma e simmetria

Per ogni ascissa \(x\), il valore \(\cosh x\) è la media aritmetica di \(e^x\) ed \(e^{-x}\). Il punto \((x,\cosh x)\) è quindi il punto medio del segmento verticale che unisce \((x,e^x)\) a \((x,e^{-x})\).

Sostituendo \(-x\), i due addendi si scambiano e la somma resta invariata.

\[ \cosh(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\cosh x. \]

Il coseno iperbolico è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Minimo, monotonia e immagine

Poiché \(\cosh x>0\), dall’identità fondamentale \(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\) ricaviamo

\[ \cosh x=\sqrt{1+\sinh^2 x}\geq 1. \]

L’uguaglianza vale soltanto per \(x=0\). Il grafico ha dunque minimo assoluto \(1\), raggiunto nel punto \((0,1)\), ed è interamente sopra l’asse delle ascisse.

Su \([0,+\infty)\), il seno iperbolico è non negativo e strettamente crescente. La formula precedente mostra che anche il coseno iperbolico è strettamente crescente su questo intervallo. Per simmetria, è strettamente decrescente su \((-\infty,0]\).

Infine,

\[ \lim_{x\to-\infty}\cosh x=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\cosh x=+\infty. \]

Il dominio è \(\mathbb{R}\) e, per continuità, l’immagine è \([1,+\infty)\). Il coseno iperbolico non ha massimo assoluto. Il suo grafico è chiamato catenaria.

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Confronto tra i due grafici

Sottraendo le definizioni, otteniamo

\[ \cosh x-\sinh x=e^{-x}. \]

Poiché \(e^{-x}>0\) per ogni \(x\), il grafico del coseno iperbolico è sempre sopra quello del seno iperbolico. Le due curve non si intersecano.

Sommando le definizioni, si ottiene anche \(\cosh x+\sinh x=e^x>0\), quindi \(\cosh x>-\sinh x\). Le due disuguaglianze si riassumono in

\[ \cosh x>|\sinh x|, \qquad x\in\mathbb{R}. \]

Per \(x\to+\infty\), la distanza verticale tra i grafici del coseno iperbolico e del seno iperbolico tende a zero, perché è esattamente \(e^{-x}\). Entrambe le ordinate crescono verso \(+\infty\).

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Comportamento all’infinito

Per \(x\to+\infty\), il termine \(e^{-x}\) tende a zero. Dalle definizioni segue

\[ \sinh x-\frac{e^x}{2}=-\frac{e^{-x}}{2}\longrightarrow 0, \qquad \cosh x-\frac{e^x}{2}=\frac{e^{-x}}{2}\longrightarrow 0. \]

I due grafici si avvicinano quindi alla curva \(y=\displaystyle\frac{e^x}{2}\), rispettivamente dal basso e dall’alto.

Per \(x\to-\infty\), invece,

\[ \sinh x+\frac{e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2}\longrightarrow 0, \qquad \cosh x-\frac{e^{-x}}{2}=\frac{e^x}{2}\longrightarrow 0. \]

Verso sinistra, il seno iperbolico si avvicina alla curva \(y=-\displaystyle\frac{e^{-x}}{2}\), mentre il coseno iperbolico si avvicina a \(y=\displaystyle\frac{e^{-x}}{2}\). Le funzioni crescono in valore assoluto più rapidamente di qualunque funzione affine. I loro grafici non hanno quindi asintoti orizzontali né obliqui. Non hanno neppure asintoti verticali, perché sono continue su tutta \(\mathbb{R}\).

Esempi svolti

1. Leggere il segno del seno iperbolico

Poiché il seno iperbolico è strettamente crescente e vale zero nell’origine, per ogni \(x<0\) si ha \(\sinh x<0\). Per esempio,

\[ \sinh(-2)<0. \]

2. Contare le soluzioni di un’equazione

Consideriamo l’equazione \(\cosh x=a\), con \(a\in\mathbb{R}\). Le soluzioni corrispondono alle intersezioni del grafico con la retta orizzontale \(y=a\).

• Se \(a<1\), non ci sono soluzioni.
• Se \(a=1\), l’unica soluzione è \(x=0\).
• Se \(a>1\), ci sono esattamente due soluzioni opposte, una positiva e una negativa.

Nell’ultimo caso, l’esistenza e l’unicità della soluzione positiva seguono dalla continuità e dalla stretta crescenza su \([0,+\infty)\), insieme al limite \(+\infty\). La soluzione negativa si ottiene per simmetria.

3. Calcolare la distanza verticale tra i grafici

In \(x=\ln 2\), il seno iperbolico vale \(\displaystyle\frac34\) e il coseno iperbolico vale \(\displaystyle\frac54\). La distanza verticale è

\[ \cosh(\ln 2)-\sinh(\ln 2) =\frac54-\frac34=\frac12. \]

Lo stesso risultato segue direttamente da \(e^{-\ln 2}=\displaystyle\frac12\).

Riepilogo