Il seno iperbolico e il coseno iperbolico sono due funzioni definite mediante l’esponenziale. Le loro proprietà richiamano quelle del seno e del coseno, con alcune differenze di segno nelle identità. Il legame geometrico emerge dall’iperbole \(u^2-v^2=1\), sulla quale il punto \((\cosh x,\sinh x)\) si trova per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Introduciamo le due funzioni, ne costruiamo i grafici e dimostriamo le principali identità. La variabile \(x\) è un numero reale.
Indice
- Definizioni di seno e coseno iperbolico
- Identità fondamentale e interpretazione geometrica
- Grafici di seno e coseno iperbolico
- Simmetrie e formule di addizione
- Confronto con seno e coseno
- Esempi svolti
- Riepilogo
Definizioni di seno e coseno iperbolico
Per ogni \(x\in\mathbb{R}\), il seno iperbolico e il coseno iperbolico sono definiti da
\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Entrambe le funzioni hanno dominio \(\mathbb{R}\), perché le espressioni \(e^x\) ed \(e^{-x}\) sono definite per ogni numero reale. In \(x=0\) si ottiene
\[ \sinh 0=0,\qquad \cosh 0=1. \]
Sommando e sottraendo le due definizioni, ricaviamo due relazioni utili per i calcoli.
\[ \cosh x+\sinh x=e^x, \qquad \cosh x-\sinh x=e^{-x}. \]
Identità fondamentale e interpretazione geometrica
Identità fondamentale delle funzioni iperboliche
Moltiplicando membro a membro le due relazioni precedenti, otteniamo
\[ (\cosh x+\sinh x)(\cosh x-\sinh x)=e^xe^{-x}=1. \]
Applicando la formula della differenza di quadrati, segue l’identità fondamentale
\[ \boxed{\cosh^2 x-\sinh^2 x=1.} \]
Come nella notazione goniometrica, \(\cosh^2 x\) indica \((\cosh x)^2\) e \(\sinh^2 x\) indica \((\sinh x)^2\).
Il punto associato sull’iperbole
Consideriamo il punto \(P=(\cosh x,\sinh x)\) in un piano cartesiano con coordinate \((u,v)\). L’identità fondamentale mostra che \(P\) appartiene all’iperbole
\[ u^2-v^2=1. \]
L’ascissa \(u=\cosh x\) è positiva, perché è la metà della somma di due esponenziali positivi. Inoltre, dall’equazione dell’iperbole segue \(u^2=1+v^2\geq 1\), quindi \(u\geq 1\). Il punto appartiene al ramo destro. Per \(x=0\) coincide con \(A=(1,0)\). Se \(x>0\), si trova sopra l’asse delle ascisse. Se \(x<0\), si trova sotto.
Il parametro ha anche un’interpretazione mediante l’area. Si dimostra che la regione delimitata dai segmenti \(\mathcal{O}A\), \(\mathcal{O}P\) e dall’arco di iperbole tra \(A\) e \(P\) ha area \(\displaystyle\frac{|x|}{2}\). Attribuendo all’area segno positivo per \(x>0\) e negativo per \(x<0\), il suo doppio è \(x\). Questa parametrizzazione mediante un’area spiega l’analogia con le funzioni circolari.
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Grafici di seno e coseno iperbolico
Grafico del seno iperbolico
Se \(x\) aumenta, \(e^x\) aumenta ed \(e^{-x}\) diminuisce. La differenza \(e^x-e^{-x}\) è quindi strettamente crescente. Lo stesso vale per \(\sinh x\).
Dalla definizione e dal comportamento dell’esponenziale segue
\[ \lim_{x\to-\infty}\sinh x=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\sinh x=+\infty. \]
Il seno iperbolico è continuo, passa per l’origine e assume tutti i valori reali. La sua immagine è \(\mathbb{R}\). Il suo unico zero è \(x=0\), è negativo per \(x<0\) ed è positivo per \(x>0\).
Grafico del coseno iperbolico
Dalle definizioni si ha \(\cosh x>0\). Inoltre, l’identità fondamentale dà \(\cosh^2 x=1+\sinh^2 x\geq 1\). Ne segue
\[ \cosh x\geq 1, \]
con uguaglianza soltanto per \(x=0\). Il punto \((0,1)\) è quindi il punto di minimo assoluto del grafico.
Per \(x\geq 0\), il seno iperbolico è non negativo e strettamente crescente. La relazione \(\cosh x=\sqrt{1+\sinh^2 x}\) mostra che anche il coseno iperbolico è strettamente crescente su \([0,+\infty)\). Poiché \(\cosh(-x)=\cosh x\), è strettamente decrescente su \((-\infty,0]\).
Si ha inoltre
\[ \lim_{x\to-\infty}\cosh x=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}\cosh x=+\infty. \]
Per continuità, l’immagine è \([1,+\infty)\). Il coseno iperbolico è sempre positivo e non ha zeri. Il suo grafico è una catenaria, la curva che descrive la forma di una fune ideale, uniforme e flessibile, sospesa per i suoi estremi sotto l’azione del proprio peso.
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Simmetrie e formule di addizione
Disparità del seno iperbolico e parità del coseno iperbolico
Sostituendo \(-x\) nelle definizioni, otteniamo
\[ \sinh(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}=-\sinh x, \qquad \cosh(-x)=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\cosh x. \]
Il seno iperbolico è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine. Il coseno iperbolico è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
Formule di addizione
Per ogni \(a,b\in\mathbb{R}\) valgono
\[ \sinh(a+b)=\sinh a\cosh b+\cosh a\sinh b, \]
\[ \cosh(a+b)=\cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b. \]
Per dimostrare la prima formula, sostituiamo le definizioni nel membro destro e sviluppiamo i prodotti.
\[ \begin{aligned} \sinh a\cosh b+\cosh a\sinh b &=\frac{(e^a-e^{-a})(e^b+e^{-b}) +(e^a+e^{-a})(e^b-e^{-b})}{4}\\ &=\frac{2e^{a+b}-2e^{-(a+b)}}{4}\\ &=\sinh(a+b). \end{aligned} \]
Per la seconda formula si procede con la somma dei prodotti corrispondenti.
\[ \begin{aligned} \cosh a\cosh b+\sinh a\sinh b &=\frac{(e^a+e^{-a})(e^b+e^{-b}) +(e^a-e^{-a})(e^b-e^{-b})}{4}\\ &=\frac{2e^{a+b}+2e^{-(a+b)}}{4}\\ &=\cosh(a+b). \end{aligned} \]
Ponendo \(b=a=x\), ricaviamo le formule di duplicazione
\[ \sinh(2x)=2\sinh x\cosh x, \qquad \cosh(2x)=\cosh^2 x+\sinh^2 x. \]
Confronto con seno e coseno
Le analogie di notazione si accompagnano ad alcune differenze fondamentali. Per seno e coseno vale \(\cos^2 x+\sin^2 x=1\), mentre per le funzioni iperboliche vale \(\cosh^2 x-\sinh^2 x=1\).
Seno e coseno sono periodici e assumono valori in \([-1,1]\). Il seno iperbolico è strettamente crescente su tutta \(\mathbb{R}\), mentre il coseno iperbolico ha un unico punto di minimo. Nessuna delle due funzioni iperboliche è periodica sulla retta reale.
Per il seno iperbolico, la stretta crescenza esclude che due ascisse distinte abbiano lo stesso valore. Per il coseno iperbolico, un periodo positivo \(p\) richiederebbe \(\cosh p=\cosh 0=1\), mentre il valore \(1\) è assunto soltanto in \(x=0\).
Esempi svolti
1. Calcolare seno e coseno iperbolico di \(\ln 2\)
Poiché \(e^{\ln 2}=2\) ed \(e^{-\ln 2}=\displaystyle\frac12\), dalle definizioni otteniamo
\[ \sinh(\ln 2)=\frac{2-\frac12}{2}=\frac34, \qquad \cosh(\ln 2)=\frac{2+\frac12}{2}=\frac54. \]
I due valori verificano l’identità fondamentale.
\[ \left(\frac54\right)^2-\left(\frac34\right)^2 =\frac{25-9}{16}=1. \]
2. Ricavare il coseno iperbolico dal seno iperbolico
Supponiamo che \(\sinh x=2\). Dall’identità fondamentale segue \(\cosh^2 x=5\). Poiché il coseno iperbolico è sempre positivo,
\[ \cosh x=\sqrt5. \]
3. Risolvere un’equazione con il coseno iperbolico
Risolviamo \(\cosh x=\displaystyle\frac54\). Sostituendo la definizione e moltiplicando entrambi i membri per \(4e^x>0\), otteniamo
\[ \frac{e^x+e^{-x}}2=\frac54 \quad\Longleftrightarrow\quad 2e^{2x}-5e^x+2=0. \]
Ponendo \(z=e^x>0\), l’equazione diventa \(2z^2-5z+2=0\), ossia \((2z-1)(z-2)=0\). Entrambe le radici sono positive. Pertanto
\[ e^x=\frac12\quad\text{oppure}\quad e^x=2, \qquad x=-\ln 2\quad\text{oppure}\quad x=\ln 2. \]
Le due soluzioni opposte corrispondono alla simmetria del grafico del coseno iperbolico rispetto all’asse delle ordinate.
Riepilogo
| Proprietà | Seno iperbolico | Coseno iperbolico |
|---|---|---|
| Definizione | \(\displaystyle\frac{e^x-e^{-x}}2\) | \(\displaystyle\frac{e^x+e^{-x}}2\) |
| Dominio | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Immagine | \(\mathbb{R}\) | \([1,+\infty)\) |
| Valore in \(0\) | \(0\) | \(1\) |
| Zeri | \(x=0\) | Nessuno |
| Simmetria | Rispetto all’origine | Rispetto all’asse delle ordinate |
| Monotonia | Strettamente crescente su \(\mathbb{R}\) | Strettamente decrescente su \((-\infty,0]\) e strettamente crescente su \([0,+\infty)\) |
| Estremi assoluti | Nessuno | Minimo \(1\), raggiunto in \(x=0\) |