Grafico delle Funzioni Arcoseno e Arcocoseno

Perché occorre restringere il dominio

Nei grafici di seno e coseno, una stessa ordinata può corrispondere a più ascisse. Per esempio, \(\sin 0=\sin\pi=0\) e \(\cos 0=\cos 2\pi=1\). Per risalire a un unico angolo, scegliamo quindi un intervallo sul quale ogni valore di \([-1,1]\) sia assunto una sola volta.

• Il seno è strettamente crescente su \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) e passa da \(-1\) a \(1\). L’inversa di questa restrizione è l’arcoseno, indicato con \(\arcsin\).
• Il coseno è strettamente decrescente su \([0,\pi]\) e passa da \(1\) a \(-1\). L’inversa di questa restrizione è l’arcocoseno, indicato con \(\arccos\).

Passando alla funzione inversa, si scambiano ingresso e uscita. Se \((t,x)\) appartiene al grafico della funzione ristretta, allora \((x,t)\) appartiene al grafico dell’inversa. I due punti sono simmetrici rispetto alla retta \(y=x\).

Grafico della funzione arcoseno

Per \(x\in[-1,1]\), l’arcoseno di \(x\) è l’unica misura angolare \(t\) nell’intervallo scelto il cui seno vale \(x\). In formule,

\[ t=\arcsin x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin t=x\quad\text{e}\quad -\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}. \]

L’arcoseno ha dominio \([-1,1]\) e immagine \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\). È strettamente crescente, perché nell’intervallo scelto a un valore maggiore del seno corrisponde un angolo maggiore. Il grafico parte da \(\left(-1,-\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\), passa per l’origine e arriva a \(\left(1,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\).

Poiché \(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\), il punto \(P=\left(\displaystyle\frac{\pi}{3},\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) appartiene al grafico del seno ristretto. Scambiando le coordinate si ottiene \(Q=\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2},\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) sul grafico dell’arcoseno.

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Grafico della funzione arcocoseno

Per \(x\in[-1,1]\), l’arcocoseno di \(x\) è l’unica misura angolare \(t\) in \([0,\pi]\) il cui coseno vale \(x\). In formule,

\[ t=\arccos x \quad\Longleftrightarrow\quad \cos t=x\quad\text{e}\quad 0\leq t\leq\pi. \]

L’arcocoseno ha dominio \([-1,1]\) e immagine \([0,\pi]\). È strettamente decrescente, perché nell’intervallo scelto a un valore maggiore del coseno corrisponde un angolo minore. Il grafico parte da \((-1,\pi)\), passa per \(\left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\) e arriva a \((1,0)\).

Poiché \(\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\), il punto \(P=\left(\displaystyle\frac{\pi}{3},\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) appartiene al grafico del coseno ristretto. Scambiando le coordinate si ottiene \(Q=\left(\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)\) sul grafico dell’arcocoseno.

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Simmetrie dei due grafici

Arcoseno e simmetria rispetto all’origine

Se \(t=\arcsin x\), allora \(\sin t=x\). Per la disparità del seno, \(\sin(-t)=-x\). Anche \(-t\) appartiene all’intervallo \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\). Perciò, per ogni \(x\in[-1,1]\),

\[ \arcsin(-x)=-\arcsin x. \]

L’arcoseno è una funzione dispari. I punti del grafico con ascisse opposte hanno ordinate opposte e sono simmetrici rispetto all’origine.

Arcocoseno e simmetria rispetto al punto \(\left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\)

Se \(t=\arccos x\), allora \(\cos t=x\). Poiché \(\pi-t\in[0,\pi]\) e \(\cos(\pi-t)=-\cos t=-x\), per ogni \(x\in[-1,1]\) si ha

\[ \arccos(-x)=\pi-\arccos x. \]

Due punti del grafico con ascisse opposte hanno ordinate la cui somma è \(\pi\). Il loro punto medio è quindi sempre \(\left(0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)\), il centro di simmetria del grafico.

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Relazione tra arcoseno e arcocoseno

Sia \(t=\arcsin x\). Poiché \(t\in\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\), l’angolo \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\) appartiene a \([0,\pi]\). Inoltre,

\[ \cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t=x. \]

Per definizione di arcocoseno, \(\arccos x=\displaystyle\frac{\pi}{2}-t\). Otteniamo quindi, per ogni \(x\in[-1,1]\),

\[ \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}. \]

Alla stessa ascissa, la media delle due ordinate è \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Il grafico dell’arcocoseno si ottiene quindi riflettendo quello dell’arcoseno rispetto alla retta orizzontale \(y=\displaystyle\frac{\pi}{4}\).

I due grafici si incontrano quando entrambe le ordinate valgono \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\). Poiché \(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}\), il loro unico punto comune è \(\left(\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{4}\right)\).

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Esempi svolti

1. Calcolare un valore dell’arcoseno

Cerchiamo l’angolo in \(\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\) il cui seno vale \(-\displaystyle\frac{1}{2}\). Poiché \(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{6}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\), per disparità otteniamo

\[ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}. \]

2. Calcolare un valore dell’arcocoseno usando la simmetria

Poiché \(\cos\left(\displaystyle\frac{\pi}{3}\right)=\displaystyle\frac{1}{2}\), si ha \(\arccos\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{\pi}{3}\). Dalla relazione \(\arccos(-x)=\pi-\arccos x\) segue

\[ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) =\pi-\arccos\left(\frac{1}{2}\right) =\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}. \]

3. Comporre l’arcoseno con il seno

L’angolo \(\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) è fuori dall’immagine dell’arcoseno. Il suo seno vale \(\displaystyle\frac{1}{2}\), quindi l’arcoseno restituisce \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\), l’unico angolo dell’intervallo scelto con quel valore del seno.

\[ \arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) =\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}. \]

In generale, \(\arcsin(\sin t)=t\) se e solo se \(t\in\left[-\displaystyle\frac{\pi}{2},\,\displaystyle\frac{\pi}{2}\right]\), mentre \(\arccos(\cos t)=t\) se e solo se \(t\in[0,\pi]\). Nell’ordine opposto, \(\sin(\arcsin x)=x\) e \(\cos(\arccos x)=x\) per ogni \(x\in[-1,1]\).

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