I grafici delle funzioni seno e coseno si possono costruire a partire dalla circonferenza goniometrica. Quando il punto associato all’angolo \(x\) si muove sulla circonferenza, la sua ordinata descrive i valori di \(\sin x\) e la sua ascissa quelli di \(\cos x\). Riportando queste coordinate in funzione di \(x\), si ottengono le due curve.
Costruiremo dapprima i grafici su un giro completo, da \(0\) a \(2\pi\), e poi li estenderemo a tutta la retta reale. Le misure degli angoli sono espresse in radianti.
Indice
- Dalla circonferenza goniometrica ai grafici
- Grafico della funzione seno
- Grafico della funzione coseno
- Periodicità e simmetrie
- Come passare dal grafico del seno a quello del coseno
- Esempi svolti
- Riepilogo
Dalla circonferenza goniometrica ai grafici
Sia \(x\) la misura di un angolo orientato. Sulla circonferenza goniometrica, il punto associato a \(x\) ha coordinate
\[ P=(\cos x,\sin x). \]
Per costruire il grafico del seno, a ogni valore di \(x\) associamo il punto \((x,\sin x)\). Per costruire quello del coseno, associamo a \(x\) il punto \((x,\cos x)\). In entrambi i grafici, l’asse orizzontale rappresenta la misura dell’angolo. Il valore della funzione si legge sull’asse verticale, anche quando quel valore proviene dall’ascissa di \(P\) sulla circonferenza.
Partiamo dalle cinque posizioni che il punto \(P\) occupa sugli assi durante un giro completo.
| \(x\) | \(P=(\cos x,\sin x)\) | \(\sin x\) | \(\cos x\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \((1,0)\) | \(0\) | \(1\) |
| \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) | \((0,1)\) | \(1\) | \(0\) |
| \(\pi\) | \((-1,0)\) | \(0\) | \(-1\) |
| \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) | \((0,-1)\) | \(-1\) | \(0\) |
| \(2\pi\) | \((1,0)\) | \(0\) | \(1\) |
Questi valori individuano alcuni punti di riferimento. Per capire come procede la curva tra un punto e il successivo, osserviamo come varia la coordinata corrispondente mentre \(P\) percorre la circonferenza.
Grafico della funzione seno
Il seno è l’ordinata di \(P\). Quando \(x\) varia da \(0\) a \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\), il punto \(P\) percorre il primo quadrante e la sua ordinata cresce da \(0\) a \(1\). Da \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) a \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), \(P\) passa dalla posizione più alta a quella più bassa. L’ordinata decresce da \(1\) a \(-1\) e si annulla in corrispondenza di \(x=\pi\). Infine, da \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) a \(2\pi\), l’ordinata cresce da \(-1\) a \(0\).
Immagine
Il dominio della funzione seno è \(\mathbb{R}\) e la sua immagine è \([-1,1]\). Per \(k\in\mathbb{Z}\),
- gli zeri sono \(x=k\pi\)
- il massimo \(1\) si raggiunge per \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\)
- il minimo \(-1\) si raggiunge per \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2k\pi\)
Grafico della funzione coseno
Il coseno è l’ascissa di \(P\). Quando \(x\) varia da \(0\) a \(\pi\), il punto \(P\) percorre la semicirconferenza superiore, dalla posizione più a destra a quella più a sinistra. La sua ascissa decresce da \(1\) a \(-1\) e si annulla per \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Da \(\pi\) a \(2\pi\), \(P\) percorre la semicirconferenza inferiore e la sua ascissa cresce da \(-1\) a \(1\), passando per \(0\) quando \(x=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\).
Immagine
Il dominio della funzione coseno è \(\mathbb{R}\) e la sua immagine è \([-1,1]\). Per \(k\in\mathbb{Z}\),
- gli zeri sono \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\)
- il massimo \(1\) si raggiunge per \(x=2k\pi\)
- il minimo \(-1\) si raggiunge per \(x=\pi+2k\pi\)
Periodicità e simmetrie
Periodo fondamentale
Gli angoli di misura \(x\) e \(x+2\pi\) individuano lo stesso punto sulla circonferenza. Le sue coordinate coincidono, quindi per ogni \(x\in\mathbb{R}\) vale
\[ \sin(x+2\pi)=\sin x,\qquad \cos(x+2\pi)=\cos x. \]
Per estendere i grafici a tutta la retta reale, ripetiamo verso destra e verso sinistra il tratto compreso tra \(0\) e \(2\pi\). Le identità precedenti mostrano che \(2\pi\) è un periodo di entrambe le funzioni. Per verificare che sia il periodo fondamentale, ossia il più piccolo periodo positivo, consideriamo dove ciascuna funzione assume il valore \(1\).
Se \(T>0\) è un periodo del seno, allora \(\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}+T\right)=\sin\left(\displaystyle\frac{\pi}{2}\right)=1\). Il seno assume il valore \(1\) soltanto per \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\). Si ha quindi \(T=2k\pi\) per qualche intero \(k\geq 1\).
Analogamente, se \(T>0\) è un periodo del coseno, allora \(\cos T=\cos 0=1\). Il coseno assume il valore \(1\) soltanto per \(x=2k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\). Anche in questo caso \(T=2k\pi\) per qualche intero \(k\geq 1\). Il periodo fondamentale di entrambe le funzioni è dunque \(2\pi\).
Simmetrie rispetto all’origine e all’asse delle ordinate
Sulla circonferenza goniometrica, i punti associati a \(x\) e \(-x\) sono simmetrici rispetto all’asse delle ascisse. Hanno la stessa ascissa e ordinate opposte. Di conseguenza,
\[ \sin(-x)=-\sin x,\qquad \cos(-x)=\cos x. \]
Sul grafico del seno, al punto \((x,\sin x)\) corrisponde il punto \((-x,-\sin x)\). Le due coordinate cambiano segno, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’origine. Il seno è una funzione dispari.
Sul grafico del coseno, al punto \((x,\cos x)\) corrisponde il punto \((-x,\cos x)\). Le ascisse sono opposte e le ordinate sono uguali, quindi il grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate. Il coseno è una funzione pari.
Immagine
Come passare dal grafico del seno a quello del coseno
Aggiungere \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) alla misura di un angolo corrisponde a ruotare di un quarto di giro in senso antiorario il punto \(P=(\cos x,\sin x)\). Dopo la rotazione, il punto ha coordinate \((-\sin x,\cos x)\). La sua ordinata è quindi uguale al coseno dell’angolo di partenza. Si ottiene così
\[ \cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right). \]
Il grafico del coseno si ottiene dunque traslando quello del seno verso sinistra di \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\). Per esempio, il massimo del seno in \(x=\displaystyle\frac{\pi}{2}\) si sposta nel massimo del coseno in \(x=0\).
Immagine
Esempi svolti
1. Individuare il segno del seno dal grafico
Determiniamo il segno di \(\sin\left(-\displaystyle\frac{5\pi}{6}\right)\). Nell’intervallo \((0,\pi)\), il grafico del seno si trova sopra l’asse delle ascisse. Per simmetria rispetto all’origine, nell’intervallo \((-\pi,0)\) si trova sotto l’asse. Poiché \(-\displaystyle\frac{5\pi}{6}\in(-\pi,0)\), segue che
\[ \sin\left(-\frac{5\pi}{6}\right)<0. \]
2. Leggere un valore del coseno oltre il primo giro
Per calcolare \(\cos\left(\displaystyle\frac{7\pi}{2}\right)\), sottraiamo il periodo \(2\pi\) all’argomento. Otteniamo \(\displaystyle\frac{7\pi}{2}-2\pi=\displaystyle\frac{3\pi}{2}\), che è l’ascissa di uno zero del coseno. Pertanto
\[ \cos\left(\frac{7\pi}{2}\right) =\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0. \]
3. Trovare gli intervalli di monotonia del coseno
Da \(0\) a \(\pi\), il coseno decresce da \(1\) a \(-1\). Da \(\pi\) a \(2\pi\), cresce da \(-1\) a \(1\). Per periodicità, i due tratti si ripetono traslati di \(2k\pi\), con \(k\in\mathbb{Z}\).
Il coseno è strettamente decrescente su ciascun intervallo
\[ [2k\pi,\,\pi+2k\pi],\qquad k\in\mathbb{Z}, \]
ed è strettamente crescente su ciascun intervallo
\[ [\pi+2k\pi,\,2\pi+2k\pi],\qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Riepilogo
| Proprietà | Seno | Coseno |
|---|---|---|
| Dominio | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Immagine | \([-1,1]\) | \([-1,1]\) |
| Periodo fondamentale | \(2\pi\) | \(2\pi\) |
| Simmetria | Rispetto all’origine | Rispetto all’asse delle ordinate |
| Zeri | \(k\pi\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\) |
| Ascisse dei massimi | \(\displaystyle\frac{\pi}{2}+2k\pi\) | \(2k\pi\) |
| Ascisse dei minimi | \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}+2k\pi\) | \(\pi+2k\pi\) |
Nella tabella \(k\in\mathbb{Z}\). Entrambi i grafici sono contenuti nella striscia \(-1\leq y\leq 1\). L’ampiezza di ciascuna oscillazione è \(1\), pari alla metà della differenza tra il valore massimo \(1\) e il valore minimo \(-1\).
Per individuare sui grafici i punti di ascissa \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\), \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) e \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\), si può usare la tabella dei valori notevoli di seno e coseno.