I valori notevoli di seno, coseno, tangente e cotangente sono i valori esatti che queste funzioni assumono in corrispondenza di alcuni angoli particolarmente importanti. Conoscerli permette di calcolare espressioni e risolvere problemi senza ricorrere ad approssimazioni decimali.
I valori relativi agli angoli di \(30^\circ\), \(45^\circ\) e \(60^\circ\) si ricavano da due semplici figure: un triangolo rettangolo isoscele e un triangolo equilatero diviso a metà. Le coordinate sulla circonferenza goniometrica permettono poi di determinare i valori degli angoli sugli assi e di estendere i risultati agli altri quadranti.
Indice
- Definizioni e condizioni di esistenza
- Valori per gli angoli sugli assi
- Valori per l’angolo di 45°
- Valori per gli angoli di 30° e 60°
- Tabella dei valori notevoli
- Valori notevoli negli altri quadranti
- Esempi svolti ed errori comuni
- Riepilogo
Definizioni e condizioni di esistenza
Sulla circonferenza goniometrica, il punto associato a un angolo \(\alpha\) ha coordinate
\[P=(\cos\alpha,\sin\alpha).\]
Il coseno è dunque l’ascissa di \(P\), mentre il seno è la sua ordinata. Entrambi sono definiti per ogni angolo reale. Tangente e cotangente sono invece definite mediante i rapporti
\[\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\quad\text{se }\cos\alpha\ne0,\qquad \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\quad\text{se }\sin\alpha\ne0.\]
Prima di calcolare uno di questi rapporti occorre quindi verificare che il denominatore sia diverso da zero. In particolare, la tangente non è definita per \(\alpha=\displaystyle\frac{\pi}{2}+k\pi\), mentre la cotangente non è definita per \(\alpha=k\pi\), con \(k\in\mathbb Z\).
Per un angolo acuto di un triangolo rettangolo, seno e coseno si calcolano anche come rapporti tra i lati:
\[\sin\alpha=\frac{\text{cateto opposto}}{\text{ipotenusa}},\qquad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adiacente}}{\text{ipotenusa}}.\]
Per gli angoli acuti, questi rapporti coincidono con i valori definiti sulla circonferenza goniometrica. Infatti, mediante una similitudine possiamo ottenere un triangolo con ipotenusa di lunghezza \(1\), senza modificare gli angoli né i rapporti tra i lati. Disponendo l’angolo \(\alpha\) nell’origine, con il cateto adiacente sul semiasse positivo delle ascisse e quello opposto nel primo quadrante, l’estremo dell’ipotenusa appartiene alla circonferenza goniometrica: la sua ascissa è la lunghezza del cateto adiacente e la sua ordinata è la lunghezza del cateto opposto.
Da queste relazioni ricaveremo i valori notevoli.
Valori per gli angoli sugli assi
Gli angoli il cui lato finale coincide con uno dei semiassi cartesiani si chiamano angoli quadrantali: le loro misure sono multipli interi di \(90^\circ\), cioè di \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) radianti. Per questi angoli, le coordinate del punto sulla circonferenza si leggono direttamente. All’angolo nullo corrisponde il punto \((1,0)\); dopo una rotazione antioraria di \(90^\circ\), il punto è \((0,1)\). Proseguendo di un quarto di giro alla volta si ottengono \((-1,0)\), \((0,-1)\) e nuovamente \((1,0)\).
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| Gradi | Radianti | Seno | Coseno | Tangente | Cotangente |
|---|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | Non definita |
| \(90^\circ\) | \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) | \(1\) | \(0\) | Non definita | \(0\) |
| \(180^\circ\) | \(\pi\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) | Non definita |
| \(270^\circ\) | \(\displaystyle\frac{3\pi}{2}\) | \(-1\) | \(0\) | Non definita | \(0\) |
| \(360^\circ\) | \(2\pi\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | Non definita |
Per esempio, \(\tan180^\circ=\displaystyle\frac{0}{-1}=0\), mentre \(\cot180^\circ\) non è definita perché il suo denominatore sarebbe zero. Analogamente, \(\cot90^\circ=\displaystyle\frac{0}{1}=0\), mentre \(\tan90^\circ\) non è definita.
Valori per l’angolo di 45°
Consideriamo il triangolo rettangolo isoscele \(ABC\), retto in \(B\), con \(AB=BC=1\). Prendiamo come angolo di riferimento l’angolo in \(A\): il cateto opposto è \(BC\), il cateto adiacente è \(AB\) e l’ipotenusa è \(AC\). I due angoli acuti, in \(A\) e in \(C\), sono uguali e la loro somma è \(90^\circ\): ciascuno misura quindi \(45^\circ\), cioè \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\) radianti.
Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell’ipotenusa è
\[AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2.\]
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Poiché il cateto opposto e quello adiacente hanno la stessa lunghezza, otteniamo
\[\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}.\]
L’ultima uguaglianza si ottiene moltiplicando numeratore e denominatore per \(\sqrt2\). Inoltre,
\[\tan45^\circ=\frac{1}{1}=1,\qquad \cot45^\circ=\frac{1}{1}=1.\]
Pertanto:
\[\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2},\qquad \tan\frac\pi4=\cot\frac\pi4=1.\]
Valori per gli angoli di 30° e 60°
Consideriamo un triangolo equilatero \(ABC\) di lato \(2\) e tracciamo l’altezza \(CH\) relativa al lato \(AB\). In un triangolo equilatero l’altezza è anche mediana e bisettrice: pertanto \(AH=HB=1\), l’angolo \(CAH\) misura \(60^\circ\) e l’angolo \(ACH\) misura \(30^\circ\).
Nel triangolo rettangolo \(AHC\), il teorema di Pitagora dà
\[CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3.\]
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Angolo di 30°
Rispetto all’angolo di \(30^\circ\), il cateto opposto misura \(1\) e quello adiacente misura \(\sqrt3\); l’ipotenusa misura \(2\). Di conseguenza,
\[\sin30^\circ=\frac12,\qquad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.\]
Dividendo il seno per il coseno, e poi il coseno per il seno, ricaviamo
\[\tan30^\circ=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3},\qquad \cot30^\circ=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3.\]
Angolo di 60°
Rispetto all’angolo di \(60^\circ\), i ruoli dei due cateti si scambiano: il cateto opposto misura \(\sqrt3\), quello adiacente misura \(1\). Pertanto,
\[\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \cos60^\circ=\frac12,\] \[\tan60^\circ=\frac{\sqrt3/2}{1/2}=\sqrt3,\qquad \cot60^\circ=\frac{1/2}{\sqrt3/2}=\frac{\sqrt3}{3}.\]
Le corrispondenti misure in radianti sono \(30^\circ=\displaystyle\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\) e \(60^\circ=\displaystyle\frac{\pi}{3}\,\mathrm{rad}\). La geometria spiega anche perché \(\sin30^\circ=\cos60^\circ\) e \(\cos30^\circ=\sin60^\circ\): nel medesimo triangolo, il cateto opposto a un angolo acuto è adiacente all’altro.
Tabella dei valori notevoli
Raccogliamo i risultati relativi agli angoli compresi tra \(0^\circ\) e \(90^\circ\).
| Gradi | Radianti | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | \(\tan\alpha\) | \(\cot\alpha\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(0\) | \(1\) | \(0\) | Non definita |
| \(30^\circ\) | \(\displaystyle\frac\pi6\) | \(\displaystyle\frac12\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\) | \(\sqrt3\) |
| \(45^\circ\) | \(\displaystyle\frac\pi4\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt2}{2}\) | \(1\) | \(1\) |
| \(60^\circ\) | \(\displaystyle\frac\pi3\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\) | \(\displaystyle\frac12\) | \(\sqrt3\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt3}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(\displaystyle\frac\pi2\) | \(1\) | \(0\) | Non definita | \(0\) |
Un aiuto per ricordare seno e coseno
Nell’ordine \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\), i valori del seno si possono scrivere come
\[\frac{\sqrt0}{2},\quad \frac{\sqrt1}{2},\quad \frac{\sqrt2}{2},\quad \frac{\sqrt3}{2},\quad \frac{\sqrt4}{2}.\]
Per il coseno si legge la stessa sequenza al contrario. Questo schema serve a ricordare i risultati dimostrati; non indica che gli angoli della sequenza siano equidistanti. I valori della tangente e della cotangente si ricostruiscono mediante i rapporti, quando definiti.
Valori notevoli negli altri quadranti
Le simmetrie della circonferenza permettono di ricavare molti altri valori esatti. Se \(\beta\) è un angolo acuto, i punti associati a \(180^\circ-\beta\), \(180^\circ+\beta\) e \(360^\circ-\beta\) hanno coordinate con gli stessi valori assoluti di quelle del punto associato a \(\beta\). Cambiano i segni, secondo il quadrante.
| Angolo | Seno | Coseno | Tangente e cotangente |
|---|---|---|---|
| \(\beta\) | \(\sin\beta\) | \(\cos\beta\) | Positive |
| \(180^\circ-\beta\) | \(\sin\beta\) | \(-\cos\beta\) | Negative |
| \(180^\circ+\beta\) | \(-\sin\beta\) | \(-\cos\beta\) | Positive |
| \(360^\circ-\beta\) | \(-\sin\beta\) | \(\cos\beta\) | Negative |
Per esempio, \(150^\circ=180^\circ-30^\circ\). Il punto corrispondente si trova nel secondo quadrante e ha coordinate \(\left(-\displaystyle\frac{\sqrt3}{2},\displaystyle\frac12\right)\). Quindi
\[\sin150^\circ=\frac12,\quad \cos150^\circ=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \tan150^\circ=-\frac{\sqrt3}{3},\quad \cot150^\circ=-\sqrt3.\]
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Tabella degli angoli notevoli da 0° a 360°
| Gradi | Radianti | Seno | Coseno | Tangente | Cotangente |
|---|---|---|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 0\) | Non definita |
| \(30^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\displaystyle \sqrt{3}\) |
| \(45^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(60^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \sqrt{3}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(90^\circ\) | \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 0\) | Non definita | \(\displaystyle 0\) |
| \(120^\circ\) | \(\displaystyle \frac{2 \pi}{3}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle - \sqrt{3}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(135^\circ\) | \(\displaystyle \frac{3 \pi}{4}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) |
| \(150^\circ\) | \(\displaystyle \frac{5 \pi}{6}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\displaystyle - \sqrt{3}\) |
| \(180^\circ\) | \(\displaystyle \pi\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 0\) | Non definita |
| \(210^\circ\) | \(\displaystyle \frac{7 \pi}{6}\) | \(\displaystyle - \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\displaystyle \sqrt{3}\) |
| \(225^\circ\) | \(\displaystyle \frac{5 \pi}{4}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 1\) |
| \(240^\circ\) | \(\displaystyle \frac{4 \pi}{3}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \sqrt{3}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(270^\circ\) | \(\displaystyle \frac{3 \pi}{2}\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle 0\) | Non definita | \(\displaystyle 0\) |
| \(300^\circ\) | \(\displaystyle \frac{5 \pi}{3}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle - \sqrt{3}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}\) |
| \(315^\circ\) | \(\displaystyle \frac{7 \pi}{4}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) |
| \(330^\circ\) | \(\displaystyle \frac{11 \pi}{6}\) | \(\displaystyle - \frac{1}{2}\) | \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\displaystyle - \frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(\displaystyle - \sqrt{3}\) |
| \(360^\circ\) | \(\displaystyle 2 \pi\) | \(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 0\) | Non definita |
La tabella raccoglie gli angoli più usati in questa fase dello studio. Non esaurisce tutti gli angoli per i quali è possibile esprimere le funzioni goniometriche in forma esatta.
Angoli negativi e angoli maggiori di un giro
Per un angolo negativo, la riflessione rispetto all’asse delle ascisse conserva il coseno e cambia il segno del seno. Per esempio,
\[\sin(-30^\circ)=-\frac12,\qquad \cos(-30^\circ)=\frac{\sqrt3}{2},\] \[\tan(-30^\circ)=-\frac{\sqrt3}{3},\qquad \cot(-30^\circ)=-\sqrt3.\]
Aggiungere o sottrarre un numero intero di giri completi lascia invariato il punto sulla circonferenza, e quindi tutti e quattro i valori, quando definiti. Per esempio, \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\), perciò
\[\sin390^\circ=\frac12,\quad \cos390^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \tan390^\circ=\frac{\sqrt3}{3},\quad \cot390^\circ=\sqrt3.\]
Esempi svolti ed errori comuni
Esempio 1: un’espressione con valori notevoli.
Calcoliamo il valore esatto di \(2\sin30^\circ+\cos60^\circ-\tan45^\circ\). Sostituendo i valori noti, otteniamo
\[2\cdot\frac12+\frac12-1=1+\frac12-1=\frac12.\]
Esempio 2: un angolo nel terzo quadrante.
Calcoliamo seno, coseno e tangente di \(225^\circ\). Poiché \(225^\circ=180^\circ+45^\circ\), i valori assoluti di seno e coseno sono quelli di \(45^\circ\). Nel terzo quadrante entrambe le coordinate sono negative:
\[\sin225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \cos225^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}.\]
La tangente è pertanto positiva:
\[\tan225^\circ=\frac{-\sqrt2/2}{-\sqrt2/2}=1.\]
Esempio 3: un angolo espresso in radianti.
Calcoliamo \(\cos\displaystyle\frac{5\pi}{3}\) e \(\cot\displaystyle\frac{5\pi}{3}\). Si ha
\[\frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac\pi3.\]
L’angolo si trova nel quarto quadrante: il coseno è positivo e il seno è negativo. Quindi
\[\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12,\qquad \sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2},\] \[\cot\frac{5\pi}{3}=\frac{1/2}{-\sqrt3/2}=-\frac{\sqrt3}{3}.\]
Esempio 4: controllare se un’espressione è definita.
L’espressione \(\sin90^\circ+\tan90^\circ\) non è definita: il primo termine vale \(1\), ma il secondo non è definito, perché \(\cos90^\circ=0\). L’espressione \(\sin90^\circ+\cot90^\circ\), invece, è definita e vale \(1+0=1\).
Errori da evitare
- Scambiare i valori di 30° e 60°. Si ha \(\sin30^\circ=\displaystyle\frac12\) e \(\sin60^\circ=\displaystyle\frac{\sqrt3}{2}\); per il coseno i due valori si scambiano.
- Ignorare il quadrante. L’angolo acuto corrispondente determina i valori assoluti; il quadrante determina i segni.
- Attribuire un valore infinito alla tangente di 90°. Il rapporto avrebbe denominatore zero: \(\tan90^\circ\) non è definita. L’infinito non è un valore reale da inserire nella tabella.
- Confondere gradi e radianti. \(\sin30^\circ=\displaystyle\frac12\), mentre \(\sin30\), senza simbolo di grado e secondo la convenzione usuale, indica il seno di un angolo di \(30\) radianti.
- Usare la reciprocità senza verificarne le condizioni. L’uguaglianza \(\cot\alpha=\displaystyle\frac1{\tan\alpha}\) vale quando seno e coseno sono entrambi diversi da zero. Per esempio, \(\cot90^\circ=0\) si calcola dal rapporto coseno/seno, mentre \(\tan90^\circ\) non è definita.
Riepilogo
I valori notevoli di seno e coseno presentati nelle tabelle si ricavano dalle coordinate dei punti sugli assi, dai triangoli rettangoli con angoli acuti di \(45^\circ\) oppure di \(30^\circ\) e \(60^\circ\), e dalle simmetrie della circonferenza goniometrica.
Per calcolare un valore notevole, si individua l’angolo acuto corrispondente, si assegnano i segni in base al quadrante e si usano i rapporti seno/coseno e coseno/seno per tangente e cotangente. Se l’angolo cade su un asse, si leggono direttamente le coordinate e si controllano i denominatori. Gli angoli che differiscono di un numero intero di giri completi hanno gli stessi valori delle funzioni, quando definite.