La circonferenza goniometrica permette di rappresentare gli angoli orientati mediante punti del piano cartesiano. A partire da questa costruzione si definiscono seno e coseno e si comprendono geometricamente molte delle loro proprietà: i segni, i valori possibili e il ripetersi degli stessi valori dopo un giro completo.
L’idea consiste nel seguire un punto che si muove su una circonferenza a partire da una posizione fissata. A ogni rotazione corrisponde una posizione finale; introducendo un sistema di riferimento cartesiano, possiamo descrivere quella posizione attraverso due coordinate.
È essenziale distinguere fin dall’inizio la misura della rotazione dal punto raggiunto. Una rotazione può comprendere più giri o avvenire in senso orario, mentre il punto finale ne registra soltanto la posizione conclusiva. La circonferenza goniometrica consente di studiare entrambe le informazioni, purché non vengano confuse.
Indice
- Che cos’è la circonferenza goniometrica
- Come si rappresenta un angolo sulla circonferenza
- Quadranti e angoli sugli assi cartesiani
- Angoli negativi e angoli maggiori di un giro
- Angoli associati allo stesso punto
- Le coordinate dei punti della circonferenza
- Esempi svolti
- Dalla circonferenza goniometrica a seno e coseno
Che cos’è la circonferenza goniometrica
Consideriamo un piano cartesiano con origine \(O\), asse delle ascisse \(x\) e asse delle ordinate \(y\). Gli assi sono perpendicolari e su entrambi viene utilizzata la stessa unità di misura. Tracciamo una circonferenza con centro nell’origine e raggio uguale a \(1\).
Per utilizzare questa figura come riferimento per gli angoli, fissiamo il punto \(A=(1,0)\), sul semiasse positivo delle ascisse, e scegliamo il senso antiorario come verso positivo di percorrenza.
Definizione. Si chiama circonferenza goniometrica la circonferenza di centro nell’origine e raggio unitario, sulla quale si assume il punto \(A=(1,0)\) come origine degli archi e il senso antiorario come verso positivo.
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Il termine unitario significa che il raggio misura un’unità nella scala scelta. Non impone che il raggio del disegno sia lungo un centimetro: la figura può essere ingrandita o ridotta, purché le scale dei due assi restino uguali e coerenti con le coordinate indicate.
Il centro \(O=(0,0)\) e l’origine degli archi \(A=(1,0)\) svolgono ruoli diversi. Il primo è il punto attorno al quale avvengono le rotazioni; il secondo appartiene alla circonferenza e rappresenta la posizione dalla quale si comincia a percorrerla. In particolare, il centro non appartiene alla circonferenza.
L’equazione della circonferenza goniometrica
Un punto \(P=(x,y)\) appartiene alla circonferenza se e solo se la sua distanza dall’origine è uguale al raggio, cioè a \(1\). Applicando la formula della distanza tra due punti, questa condizione diventa:
\[ \sqrt{x^2+y^2}=1. \]
Poiché entrambi i membri sono non negativi, elevando al quadrato si ottiene una condizione equivalente:
\[ x^2+y^2=1. \]
Questa è l’equazione della circonferenza goniometrica. Ogni suo punto la soddisfa e, viceversa, ogni punto le cui coordinate soddisfano questa uguaglianza appartiene alla circonferenza.
Per esempio, il punto \(\displaystyle P=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)\) appartiene alla circonferenza perché:
\[ \left(\frac{3}{5}\right)^2+ \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}+\frac{16}{25} = 1. \]
Il punto \(Q=(1,1)\), invece, non le appartiene: la somma dei quadrati delle sue coordinate è \(2\). La sua distanza dall’origine è \(\sqrt{2}\), maggiore del raggio unitario, quindi \(Q\) si trova all’esterno della circonferenza.
Come si rappresenta un angolo sulla circonferenza
Per associare un punto a un angolo orientato fissiamo la posizione dell’angolo nel piano: disponiamo il vertice nell’origine \(O\) e facciamo coincidere il lato iniziale con il semiasse positivo delle ascisse, cioè con la semiretta \(OA\). Tutti gli angoli vengono così rappresentati a partire dallo stesso riferimento.
Facciamo quindi ruotare una semiretta attorno a \(O\), rispettando il verso e l’ampiezza indicati dalla misura dell’angolo. Al termine della rotazione, la semiretta occupa la posizione del lato finale e incontra la circonferenza in un punto \(P\).
Il punto \(P\) si chiama punto associato all’angolo. È unico, perché ogni semiretta con origine nel centro incontra la circonferenza in un solo punto.
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La stessa costruzione può essere descritta seguendo il punto mobile sulla circonferenza. Prima della rotazione esso si trova in \(A\); mentre la semiretta ruota, la sua intersezione con la circonferenza si sposta lungo di essa; quando la rotazione termina, il punto raggiunto è \(P\).
Se l’angolo misura \(60^\circ\), il punto percorre un sesto di giro in senso antiorario. Se misura \(-60^\circ\), percorre un sesto di giro in senso orario. Il valore assoluto della misura indica l’ampiezza complessiva della rotazione, mentre il segno ne specifica il verso.
È importante distinguere il lato finale dal punto associato. Il lato finale è una semiretta: parte da \(O\), attraversa \(P\) e prosegue oltre la circonferenza. Il punto associato è soltanto la sua intersezione con la circonferenza.
La costruzione geometrica non dipende dall’unità di misura dell’angolo. Una stessa rotazione può essere espressa in gradi oppure in radianti e individua comunque lo stesso punto. In questa pagina utilizziamo i gradi, così da rendere immediato il confronto con le frazioni di giro.
Quadranti e angoli sugli assi cartesiani
Gli assi cartesiani dividono il piano in quattro regioni chiamate quadranti. La numerazione comincia dalla regione in alto a destra e procede in senso antiorario: primo, secondo, terzo e quarto quadrante.
Questa suddivisione consente di descrivere la posizione del punto associato senza conoscerne subito le coordinate esatte. Per comprenderne l’uso, seguiamo un punto che parte da \(A=(1,0)\) e percorre la circonferenza in senso positivo.
Dopo un quarto di giro, corrispondente a \(90^\circ\), raggiunge \(B=(0,1)\), sul semiasse positivo delle ordinate. Dopo mezzo giro, a \(180^\circ\), arriva in \(C=(-1,0)\); dopo tre quarti di giro, a \(270^\circ\), raggiunge \(D=(0,-1)\). Completando il giro, a \(360^\circ\), ritorna in \(A\).
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I quattro punti sugli assi costituiscono i riferimenti principali per orientarsi sulla circonferenza:
| Angolo | Punto associato | Posizione |
|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(A=(1,0)\) | Semiasse positivo delle ascisse |
| \(90^\circ\) | \(B=(0,1)\) | Semiasse positivo delle ordinate |
| \(180^\circ\) | \(C=(-1,0)\) | Semiasse negativo delle ascisse |
| \(270^\circ\) | \(D=(0,-1)\) | Semiasse negativo delle ordinate |
| \(360^\circ\) | \(A=(1,0)\) | Ritorno alla posizione iniziale |
Come riconoscere il quadrante
Tra due posizioni consecutive sugli assi, il punto percorre l’arco contenuto in un quadrante. Per esempio, quando la misura dell’angolo cresce da \(90^\circ\) a \(180^\circ\), esclusi gli estremi, il punto rimane nel secondo quadrante.
Per gli angoli con misura compresa nel primo giro si ottiene la seguente corrispondenza:
| Misura dell’angolo | Quadrante | Ascissa | Ordinata |
|---|---|---|---|
| \(0^\circ<\alpha<90^\circ\) | Primo | Positiva | Positiva |
| \(90^\circ<\alpha<180^\circ\) | Secondo | Negativa | Positiva |
| \(180^\circ<\alpha<270^\circ\) | Terzo | Negativa | Negativa |
| \(270^\circ<\alpha<360^\circ\) | Quarto | Positiva | Negativa |
I segni si ricavano dalla posizione nel piano cartesiano. Nei primi due quadranti il punto si trova sopra l’asse delle ascisse, quindi l’ordinata è positiva; negli ultimi due si trova sotto, quindi l’ordinata è negativa. L’ascissa è invece positiva a destra dell’asse delle ordinate e negativa a sinistra.
Attenzione. I punti sugli assi non appartengono ad alcun quadrante. Il punto associato a \(90^\circ\), per esempio, si trova sull’asse delle ordinate: non appartiene né al primo né al secondo quadrante. Per questo motivo gli intervalli della tabella hanno estremi esclusi.
Angoli negativi e angoli maggiori di un giro
La rappresentazione sulla circonferenza goniometrica vale per qualsiasi misura reale. Un angolo negativo richiede una rotazione in senso orario; un angolo maggiore di un giro richiede di proseguire dopo essere tornati al punto di partenza. In entrambi i casi, il procedimento determina un unico punto finale.
Rappresentare un angolo negativo
Consideriamo \(-90^\circ\). Partiamo da \(A\) e percorriamo un quarto di giro in senso orario: raggiungiamo il punto \(D=(0,-1)\).
Lo stesso punto si raggiunge procedendo in senso antiorario per tre quarti di giro, cioè considerando \(270^\circ\). I due percorsi hanno verso e ampiezza diversi, ma terminano nella stessa posizione.
Analogamente, \(-180^\circ\) conduce in \(C=(-1,0)\), mentre \(-270^\circ\) conduce in \(B=(0,1)\). Un giro completo in senso orario, di misura \(-360^\circ\), riporta invece il punto in \(A\).
Per un angolo come \(-60^\circ\), il punto finale si trova nel quarto quadrante. Possiamo raggiungerlo anche con una rotazione positiva di \(300^\circ\), poiché:
\[ -60^\circ+360^\circ=300^\circ. \]
Il segno della misura angolare non va confuso con il segno delle coordinate del punto associato. Nel caso di \(-60^\circ\), per esempio, l’ascissa è positiva e l’ordinata è negativa. In generale, un angolo negativo può individuare un punto in qualunque quadrante: la posizione dipende dall’ampiezza della rotazione.
Rappresentare un angolo maggiore di un giro
Consideriamo \(450^\circ\). Separiamo un giro completo dalla parte restante:
\[ 450^\circ=360^\circ+90^\circ. \]
Dopo i primi \(360^\circ\) il punto è tornato in \(A\). Proseguendo per altri \(90^\circ\), raggiunge \(B=(0,1)\). Il punto associato a \(450^\circ\) coincide quindi con quello associato a \(90^\circ\).
Anche \(810^\circ\) conduce in \(B\), perché comprende due giri completi e un ulteriore quarto di giro:
\[ 810^\circ=2\cdot360^\circ+90^\circ. \]
Il solo punto \(B\) non permette di distinguere queste rotazioni. Per sapere se siano stati compiuti \(90^\circ\), \(450^\circ\) oppure \(810^\circ\), bisogna conoscere la misura dell’angolo: la posizione finale non conserva il numero dei giri.
Angoli associati allo stesso punto
Gli esempi precedenti mostrano che aggiungere o sottrarre giri completi lascia invariato il punto associato. Possiamo ora formulare una condizione che permette di riconoscere tutte e sole le misure corrispondenti alla stessa posizione.
Proposizione. Due angoli \(\alpha\) e \(\beta\) individuano lo stesso punto della circonferenza goniometrica se e solo se le loro misure differiscono per un multiplo intero di \(360^\circ\):
\[ \alpha-\beta=k\cdot360^\circ, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Dimostrazione. Aggiungere o sottrarre un giro completo riporta la semiretta nella stessa posizione. Se le misure differiscono per un numero intero di giri, coincidono quindi il lato finale e il punto associato.
Per dimostrare il viceversa, separiamo da ciascuna misura i giri completi, scrivendo:
\[ \alpha=m\cdot360^\circ+\alpha_0, \qquad \beta=n\cdot360^\circ+\beta_0, \]
dove \(m,n\in\mathbb{Z}\) e:
\[ 0^\circ\leq\alpha_0<360^\circ, \qquad 0^\circ\leq\beta_0<360^\circ. \]
Durante un giro antiorario ogni punto viene raggiunto una sola volta, se si esclude la ripetizione di \(A\) al termine del giro. Due misure in questo intervallo che individuano lo stesso punto devono quindi coincidere: \(\alpha_0=\beta_0\). Sottraendo le due scomposizioni otteniamo:
\[ \alpha-\beta=(m-n)\cdot360^\circ. \]
Poiché \(m-n\) è un intero, la differenza è un multiplo intero di \(360^\circ\), come volevamo dimostrare.
Per esempio, tutte le misure della forma:
\[ 60^\circ+k\cdot360^\circ, \qquad k\in\mathbb{Z}, \]
individuano il punto associato a \(60^\circ\). Per \(k=1\) si ottiene \(420^\circ\); per \(k=-1\) si ottiene \(-300^\circ\); per \(k=0\) si ritrova \(60^\circ\). L’intero può essere positivo, negativo oppure nullo.
Ogni punto della circonferenza può dunque essere raggiunto mediante una rotazione a partire da \(A\), ma corrisponde a infinite misure angolari, ottenute aggiungendo o sottraendo giri completi.
La riduzione al primo giro
Se interessa soltanto individuare il punto finale, è sufficiente scegliere una misura nell’intervallo:
\[ 0^\circ\leq\beta<360^\circ. \]
Ogni angolo ha un unico rappresentante in questo intervallo con lo stesso punto associato. Per trovarlo si aggiungono o si sottraggono multipli di \(360^\circ\): questa operazione prende il nome di riduzione al primo giro.
Per esempio, riduciamo \(930^\circ\). Sottraendo due giri completi otteniamo:
\[ 930^\circ-2\cdot360^\circ=210^\circ. \]
Poiché \(210^\circ\) appartiene all’intervallo richiesto, la riduzione è conclusa. Il punto associato a \(930^\circ\) coincide con quello associato a \(210^\circ\) e si trova nel terzo quadrante.
L’estremo \(360^\circ\) è escluso per non rappresentare due volte il punto \(A\), già individuato da \(0^\circ\). La riduzione di \(720^\circ\), per esempio, è \(0^\circ\), non \(360^\circ\).
Errore comune. Avere lo stesso punto associato non significa avere la stessa misura. L’uguaglianza \(420^\circ=60^\circ\) è falsa: le due misure differiscono di un giro. È invece corretto affermare che i due angoli individuano lo stesso punto della circonferenza.
Una differenza di \(180^\circ\), invece, porta al punto diametralmente opposto. Per ritornare allo stesso punto serve un multiplo intero di \(360^\circ\), non un qualsiasi multiplo di \(180^\circ\).
Le coordinate dei punti della circonferenza
Una volta individuato il punto associato a un angolo, possiamo descriverne la posizione mediante le coordinate cartesiane. Scriviamo \(P=(x_P,y_P)\), dove \(x_P\) è l’ascissa e \(y_P\) è l’ordinata.
Tracciamo da \(P\) le perpendicolari agli assi e indichiamo con \(H\) la proiezione sull’asse delle ascisse e con \(K\) la proiezione sull’asse delle ordinate. Le loro coordinate sono:
\[ H=(x_P,0), \qquad K=(0,y_P). \]
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Le proiezioni permettono di leggere le coordinate sugli assi. L’ascissa indica la posizione orizzontale del punto rispetto all’origine; l’ordinata ne indica la posizione verticale. Entrambe sono numeri con segno e vanno distinte dalle lunghezze dei segmenti rappresentati.
In generale, le lunghezze di \(OH\) e \(OK\) sono:
\[ OH=|x_P|, \qquad OK=|y_P|. \]
Nel primo quadrante le coordinate sono positive, quindi coincidono numericamente con queste lunghezze. Nel secondo quadrante, invece, \(x_P<0\) e \(y_P>0\): il segmento \(OH\) ha lunghezza \(-x_P\), mentre \(OK\) ha lunghezza \(y_P\).
Per esempio, se l’ascissa è \(\displaystyle x_P=-\frac{4}{5}\), la lunghezza del segmento \(OH\) è \(\displaystyle \frac{4}{5}\). Il segno meno indica che \(H\) si trova sul semiasse negativo delle ascisse; non attribuisce una lunghezza negativa al segmento.
La relazione tra le coordinate
Le coordinate di \(P\) soddisfano l’equazione della circonferenza già ricavata nella prima sezione:
\[ x_P^2+y_P^2=1. \]
Possiamo ora leggere questa relazione anche attraverso il teorema di Pitagora. Se \(P\) non si trova sugli assi, il triangolo \(OHP\) è rettangolo in \(H\): l’ipotenusa è il raggio \(OP=1\), mentre i cateti hanno lunghezze \(OH=|x_P|\) e \(HP=|y_P|\).
Applicando il teorema otteniamo:
\[ |x_P|^2+|y_P|^2=1. \]
Il quadrato di un numero coincide con il quadrato del suo valore assoluto, quindi ritroviamo \(x_P^2+y_P^2=1\). Se \(P\) si trova su un asse, il triangolo degenera, ma l’equazione resta valida: una coordinata è nulla e l’altra vale \(1\) oppure \(-1\).
Perché le coordinate sono comprese tra −1 e 1
La posizione della circonferenza fornisce un’ulteriore informazione. Nessun suo punto si trova più a destra di \(A=(1,0)\) o più a sinistra di \(C=(-1,0)\); analogamente, nessuno si trova più in alto di \(B=(0,1)\) o più in basso di \(D=(0,-1)\).
Questa osservazione geometrica si può verificare algebricamente. Poiché \(y_P^2\geq0\), dall’equazione segue:
\[ x_P^2=1-y_P^2\leq1. \]
Pertanto \(|x_P|\leq1\). Scambiando il ruolo delle coordinate otteniamo anche \(|y_P|\leq1\), cioè:
\[ -1\leq x_P\leq1, \qquad -1\leq y_P\leq1. \]
Gli estremi vengono effettivamente raggiunti nei punti sugli assi. Queste limitazioni dipendono dal raggio unitario e determineranno l’insieme dei valori possibili di seno e coseno.
Esempi svolti
Negli esempi seguenti utilizziamo la riduzione al primo giro per individuare la posizione del punto associato a un angolo. Quando le informazioni disponibili lo consentono, determiniamo anche le coordinate esatte, combinando le proprietà geometriche della figura con l’equazione della circonferenza.
Esempio 1. Individuare il punto associato a \(765^\circ\).
La misura supera due giri completi. Per individuare la posizione finale sottraiamo \(720^\circ\):
\[ 765^\circ-2\cdot360^\circ=45^\circ. \]
Il punto cercato coincide con quello associato a \(45^\circ\), quindi appartiene al primo quadrante. Il lato finale è la semiretta che biseca questo quadrante ed è contenuta nella retta di equazione \(y=x\).
Le coordinate di \(P\) devono quindi soddisfare:
\[ \begin{cases} x_P^2+y_P^2=1,\\ y_P=x_P. \end{cases} \]
Sostituendo \(y_P=x_P\) nella prima equazione otteniamo:
\[ 2x_P^2=1, \qquad x_P^2=\frac{1}{2}. \]
L’equazione ammette due soluzioni: \(\displaystyle x_P=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\). Poiché il punto cercato appartiene al primo quadrante, scegliamo la soluzione positiva:
\[ x_P=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \]
Anche l’ordinata ha lo stesso valore. Pertanto:
\[ P=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right). \]
Esempio 2. Individuare il quadrante di \(-150^\circ\).
La misura negativa indica una rotazione oraria. Per utilizzare i riferimenti del primo giro aggiungiamo \(360^\circ\):
\[ -150^\circ+360^\circ=210^\circ. \]
Il punto associato coincide con quello di \(210^\circ\). Poiché:
\[ 180^\circ<210^\circ<270^\circ, \]
esso appartiene al terzo quadrante e ha entrambe le coordinate negative:
\[ x_P<0, \qquad y_P<0. \]
Abbiamo determinato il quadrante e i segni delle coordinate senza calcolarne i valori esatti.
Esempio 3. Riconoscere un punto sugli assi.
Consideriamo \(-630^\circ\). Aggiungendo un giro completo otteniamo \(-270^\circ\), ancora esterno all’intervallo scelto per la riduzione. Aggiungendo un secondo giro troviamo:
\[ -630^\circ+2\cdot360^\circ=90^\circ. \]
Il punto associato è quindi:
\[ P=B=(0,1). \]
Si trova sul semiasse positivo delle ordinate e non appartiene ad alcun quadrante.
Esempio 4. Trovare l’ascissa conoscendo ordinata e quadrante.
Un punto \(P\) appartiene alla circonferenza goniometrica, si trova nel secondo quadrante e ha ordinata \(\displaystyle \frac{3}{5}\). Per determinarne l’ascissa sostituiamo il valore noto nell’equazione della circonferenza:
\[ x_P^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1. \]
Isolando il quadrato dell’ascissa otteniamo:
\[ x_P^2 = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}. \]
L’equazione ammette due soluzioni:
\[ x_P=\frac{4}{5} \qquad\text{oppure}\qquad x_P=-\frac{4}{5}. \]
Nel secondo quadrante l’ascissa è negativa, quindi il punto richiesto è:
\[ P=\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right). \]
La lunghezza del segmento che unisce l’origine alla proiezione di \(P\) sull’asse delle ascisse è invece:
\[ OH=|x_P|=\frac{4}{5}. \]
Senza l’informazione sul quadrante avremmo individuato due punti, uno nel primo e uno nel secondo quadrante, simmetrici rispetto all’asse delle ordinate. Una sola coordinata, in generale, non basta quindi a determinare un unico punto della circonferenza.
Dalla circonferenza goniometrica a seno e coseno
La costruzione sviluppata fin qui associa a ogni angolo un punto della circonferenza e, attraverso le sue coordinate, una coppia di numeri. Questo passaggio fornisce la definizione delle due funzioni goniometriche fondamentali.
Se \(P=(x_P,y_P)\) è il punto associato all’angolo \(\alpha\), si chiama coseno di \(\alpha\) la sua ascissa e seno di \(\alpha\) la sua ordinata:
\[ \cos\alpha=x_P, \qquad \sin\alpha=y_P. \]
Il punto associato si può quindi scrivere nella forma:
\[ P=(\cos\alpha,\sin\alpha). \]
L’ordine delle coordinate va rispettato: il coseno compare per primo perché corrisponde all’ascissa; il seno compare per secondo perché corrisponde all’ordinata.
Questa definizione vale per qualsiasi misura angolare reale. Non richiede che l’angolo sia acuto e non dipende dalla presenza di un triangolo rettangolo non degenere: consente di considerare angoli ottusi, negativi o maggiori di un giro mediante un’unica costruzione.
Le proprietà geometriche studiate acquistano così un significato immediato. Seno e coseno assumono valori compresi tra \(-1\) e \(1\), perché tali sono le coordinate dei punti della circonferenza; i loro segni dipendono dal quadrante; aggiungere un giro completo lascia invariati entrambi i valori, perché non cambia il punto associato.
Inoltre, sostituendo le definizioni nell’equazione \(x_P^2+y_P^2=1\), otteniamo:
\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. \]
Questa è la relazione fondamentale della goniometria ed esprime il fatto che il punto associato appartiene alla circonferenza di raggio unitario. Le scritture \(\cos^2\alpha\) e \(\sin^2\alpha\) indicano rispettivamente \((\cos\alpha)^2\) e \((\sin\alpha)^2\).
La circonferenza goniometrica costituisce dunque il riferimento geometrico per lo studio di seno e coseno: permette di collegare le formule alla posizione di un punto e di riconoscere nelle proprietà delle funzioni le conseguenze della stessa costruzione.