Una funzione è discontinua in un punto quando, in quel punto, viene meno una delle condizioni richieste per la continuità. Dal punto di vista intuitivo, il grafico può presentare un'interruzione, un salto, una crescita illimitata oppure un comportamento oscillatorio che impedisce alla funzione di avvicinarsi a un unico valore.
La nozione di discontinuità non deve però essere interpretata soltanto graficamente. La sua classificazione dipende in modo preciso dal comportamento del limite della funzione e, quando il dominio consente di avvicinarsi al punto da entrambi i lati, dal confronto tra il limite sinistro e il limite destro.
In questa pagina studieremo in modo rigoroso i principali tipi di discontinuità, chiarendo il ruolo del valore \(f(x_0)\), del dominio e dei limiti destro e sinistro. Vedremo inoltre perché alcune discontinuità possono essere eliminate modificando il valore della funzione in un solo punto, mentre altre dipendono dal comportamento della funzione in ogni intorno del punto considerato.
Indice
- Continuità e discontinuità in un punto
- Il ruolo fondamentale del limite
- Limite destro e limite sinistro
- Discontinuità eliminabile
- Discontinuità a salto
- Discontinuità infinita
- Discontinuità essenziale e comportamento oscillatorio
- Classificazione tradizionale delle discontinuità
- Il ruolo del dominio della funzione
- Discontinuità ed estremi del dominio
- Interpretazione grafica
- Esempi di classificazione
- Procedura per studiare una discontinuità
- Errori frequenti
- Schema riassuntivo
Continuità e discontinuità in un punto
Sia \( f:A\to\mathbb{R} \) una funzione reale e sia \(x_0\in A\). Se \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio \(A\), la funzione \(f\) è continua in \(x_0\) quando
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Questa uguaglianza racchiude due condizioni fondamentali: il limite deve esistere ed essere finito, e il suo valore deve coincidere con il valore assunto dalla funzione nel punto.
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
la continuità richiede quindi che
\[ L=f(x_0). \]
Se una di queste condizioni viene meno, la funzione non è continua in \(x_0\).
Se \(x_0\) è invece un punto isolato del dominio, la funzione è automaticamente continua in \(x_0\). Per questo motivo, nello studio delle discontinuità l'attenzione si concentra soprattutto sui punti di accumulazione del dominio e sui punti esclusi dal dominio nei quali è comunque possibile studiare il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina al punto.
Possono allora verificarsi situazioni molto diverse: il limite può esistere ma non coincidere con \(f(x_0)\); il limite destro e il limite sinistro possono essere differenti; la funzione può crescere senza limite; oppure può oscillare indefinitamente senza avvicinarsi ad alcun valore.
La classificazione delle discontinuità nasce precisamente dall'analisi di questi diversi comportamenti.
Il ruolo fondamentale del limite
Per comprendere correttamente le discontinuità è essenziale distinguere il valore della funzione nel punto dal comportamento della funzione in prossimità del punto.
Il valore
\[ f(x_0) \]
descrive ciò che accade esattamente in \(x_0\).
Il limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
descrive invece il comportamento di \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\). Il valore assunto dalla funzione esattamente nel punto non interviene nel calcolo del limite.
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Per \(x\neq1\) possiamo fattorizzare il numeratore:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Di conseguenza,
\[ f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1, \qquad x\neq1. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1}f(x) = \lim_{x\to1}(x+1) = 2. \]
La funzione originaria non è però definita per \(x=1\).
Il fatto che \(f(1)\) non esista non impedisce quindi al limite di esistere. Il limite dipende da ciò che accade quando \(x\) è arbitrariamente vicino a \(1\), non da ciò che accade esattamente nel punto.
Questa distinzione è fondamentale per comprendere le discontinuità eliminabili.
Limite destro e limite sinistro
Quando il dominio consente di avvicinarsi a \(x_0\) sia da valori minori sia da valori maggiori di \(x_0\), è spesso necessario studiare separatamente i due comportamenti.
Il limite sinistro è
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x), \]
mentre il limite destro è
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Quando entrambi hanno significato rispetto al dominio, il limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
esiste ed è uguale a \(L\) se e solo se il limite sinistro e il limite destro esistono e coincidono:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L. \]
Questa proprietà permette di classificare molte discontinuità.
Se, per esempio,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
con
\[ L_1,L_2\in\mathbb{R}, \qquad L_1\neq L_2, \]
il limite per \(x\to x_0\) non esiste e si verifica una discontinuità a salto.
Discontinuità eliminabile
Si parla di discontinuità eliminabile quando esiste un limite finito
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}, \]
ma la funzione non assume in \(x_0\) il valore \(L\).
Possono verificarsi due situazioni.
Se \(x_0\) appartiene al dominio, \(f(x_0)\) è definito ma
\[ f(x_0)\neq L. \]
Se invece \(x_0\) non appartiene al dominio ma è un punto di accumulazione del dominio, \(f(x_0)\) non è definito. In senso strettamente formale, la funzione originaria non può essere detta discontinua in un punto che non appartiene al suo dominio. Nello studio delle funzioni è tuttavia consuetudine parlare anche in questo caso di discontinuità eliminabile, o di singolarità eliminabile, perché la funzione può essere prolungata per continuità assegnando in \(x_0\) il valore \(L\).
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}, \qquad x\neq2. \]
Per \(x\neq2\),
\[ f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4. \]
Poiché \(f(2)\) non è definito, la funzione presenta un punto mancante in corrispondenza di \(x=2\).
Possiamo eliminare questa situazione definendo
\[ g(x)= \begin{cases} f(x), & x\neq2,\\ 4, & x=2. \end{cases} \]
Si ottiene così
\[ \lim_{x\to2}g(x)=g(2)=4, \]
per cui \(g\) è continua in \(x=2\).
La discontinuità viene detta eliminabile proprio perché è sufficiente assegnare nel punto il valore del limite.
Discontinuità a salto
Si ha una discontinuità a salto in \(x_0\) quando il limite sinistro e il limite destro esistono, sono finiti, ma sono diversi:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]
con
\[ L_1\neq L_2. \]
In questo caso
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
non esiste, perché la funzione si avvicina a due valori diversi a seconda che \(x\) tenda a \(x_0\) da sinistra oppure da destra.
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 3, & x\geq0. \end{cases} \]
Il limite sinistro è
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=1, \]
mentre il limite destro è
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=3. \]
Poiché
\[ 1\neq3, \]
il limite per \(x\to0\) non esiste e la funzione presenta una discontinuità a salto.
L'ampiezza del salto è
\[ |L_2-L_1|. \]
In questo esempio:
\[ |3-1|=2. \]
Il valore assunto dalla funzione esattamente in \(x=0\) non modifica la natura della discontinuità: cambiando \(f(0)\), il limite sinistro rimarrebbe \(1\) e il limite destro rimarrebbe \(3\).
Una discontinuità a salto non può quindi essere eliminata modificando il valore della funzione in un solo punto.
Discontinuità infinita
Si parla di discontinuità infinita quando, considerando i lati dai quali il dominio permette di avvicinarsi a \(x_0\), almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro è uguale a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\).
Per esempio, può verificarsi
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
oppure
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
In questi casi la funzione non si avvicina a un valore reale finito e non può essere continua nel punto.
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(2\), il denominatore rimane positivo e tende a zero. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=2\).
Inoltre, la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
In generale, affinché \(x=x_0\) sia un asintoto verticale è sufficiente che almeno uno tra il limite destro e il limite sinistro sia infinito.
Per esempio, se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
allora \(x=x_0\) è un asintoto verticale indipendentemente da ciò che accade a sinistra del punto.
Discontinuità essenziale e comportamento oscillatorio
Si ha una discontinuità essenziale quando almeno uno tra il limite destro e il limite sinistro che ha significato rispetto al dominio non esiste neppure come limite finito o infinito.
Un caso particolarmente importante è quello in cui la mancata esistenza del limite è provocata da oscillazioni persistenti della funzione. Si parla allora di comportamento oscillatorio o di discontinuità oscillatoria.
Esempio. Consideriamo
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\to0\), la quantità
\[ \frac{1}{x} \]
assume valori arbitrariamente grandi in valore assoluto. Di conseguenza, la funzione seno continua a oscillare tra \(-1\) e \(1\) senza stabilizzarsi.
Anche restringendo quanto si vuole l'intorno di \(0\), la funzione continua ad assumere valori arbitrariamente vicini a \(1\), a \(-1\) e ai valori intermedi.
Pertanto
\[ \lim_{x\to0}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste.
La mancata esistenza del limite non dipende da un salto tra due valori finiti e neppure da una crescita verso \(+\infty\) o \(-\infty\): è l'oscillazione stessa della funzione a impedire l'esistenza del limite.
Nessuna modifica del solo valore \(f(0)\) potrebbe rendere continua la funzione, perché il problema riguarda il comportamento di \(f(x)\) in ogni intorno di \(0\).
Classificazione tradizionale delle discontinuità
Nei testi scolastici e nei manuali di Analisi Matematica si incontrano diverse convenzioni per classificare le discontinuità. In particolare, vengono talvolta utilizzate le espressioni discontinuità di prima specie, di seconda specie e di terza specie.
Questa terminologia non è completamente uniforme tra gli autori. Per questo motivo, nello studio rigoroso di una funzione è preferibile descrivere direttamente il comportamento matematico osservato.
In questa pagina utilizziamo quindi le denominazioni:
- discontinuità eliminabile, quando esiste un limite finito ma la funzione non assume nel punto il valore del limite;
- discontinuità a salto, quando il limite sinistro e il limite destro esistono, sono finiti e sono differenti;
- discontinuità infinita, quando almeno uno tra il limite destro e il limite sinistro che ha significato rispetto al dominio è infinito;
- discontinuità essenziale, quando almeno uno tra il limite destro e il limite sinistro che ha significato rispetto al dominio non esiste neppure come limite infinito.
Questa classificazione ha il vantaggio di descrivere direttamente ciò che accade alla funzione e non dipende dalla particolare convenzione utilizzata per numerare le diverse specie di discontinuità.
Il ruolo del dominio della funzione
Prima di classificare una possibile discontinuità è indispensabile determinare il dominio della funzione.
Un punto escluso dal dominio non determina automaticamente una crescita infinita della funzione. È sempre necessario studiare il comportamento di \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a quel punto.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Il dominio è
\[ \mathbb{R}\setminus\{1\}, \]
ma
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
La funzione ammette quindi un prolungamento continuo in \(x=1\) definendo \(f(1)=2\).
In senso strettamente formale, la continuità di una funzione in un punto è definita quando il punto appartiene al dominio. Nello studio delle funzioni si parla tuttavia comunemente di discontinuità eliminabile in \(x=1\), intendendo che la funzione presenta un punto mancante che può essere completato mediante un prolungamento continuo.
La situazione è completamente diversa per
\[ g(x)=\frac{1}{x-1}. \]
In questo caso
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty \]
e
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=1\).
Due funzioni possono dunque essere entrambe non definite nello stesso tipo di punto, per esempio perché il denominatore si annulla, ma presentare comportamenti completamente differenti.
Discontinuità ed estremi del dominio
Il confronto tra limite sinistro e limite destro è necessario soltanto quando il dominio permette di avvicinarsi a \(x_0\) da entrambi i lati.
Se \(x_0\) è invece un estremo del dominio, la continuità viene studiata considerando il limite dal solo lato appartenente al dominio.
Per esempio, sia
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R}. \]
La funzione è continua nell'estremo sinistro \(a\) quando
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
mentre è continua nell'estremo destro \(b\) quando
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Non avrebbe senso richiedere il limite sinistro in \(a\) se la funzione è definita soltanto per \(x\geq a\), così come non avrebbe senso richiedere il limite destro in \(b\) se la funzione è definita soltanto per \(x\leq b\).
Lo studio della continuità deve quindi essere sempre coerente con la struttura del dominio della funzione.
Interpretazione grafica
I diversi tipi di discontinuità possiedono caratteristiche geometriche differenti.
Discontinuità eliminabile
Il grafico presenta tipicamente un punto mancante. Quando il punto può essere raggiunto sia da sinistra sia da destra, il grafico si avvicina alla stessa ordinata da entrambi i lati, ma il valore della funzione manca oppure è collocato a un'ordinata differente.
Discontinuità a salto
I due rami del grafico si avvicinano a due ordinate finite differenti. La distanza verticale tra queste ordinate rappresenta l'ampiezza del salto.
Discontinuità infinita
Almeno un ramo del grafico cresce o decresce senza limite mentre \(x\) si avvicina a \(x_0\). In questo caso la retta \(x=x_0\) è un asintoto verticale.
Discontinuità oscillatoria
Il grafico continua a oscillare senza stabilizzarsi intorno a un unico valore.
L'interpretazione grafica è utile per comprendere intuitivamente ciò che accade, ma la classificazione matematica deve essere determinata attraverso lo studio dei limiti.
Esempi di classificazione
Esempio 1 (discontinuità eliminabile). Consideriamo
\[ f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}. \]
La funzione non è definita in \(x=3\). Per \(x\neq3\),
\[ f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to3}f(x)=6. \]
Il limite esiste ed è finito, mentre \(f(3)\) non è definito. La discontinuità è eliminabile.
Esempio 2 (valore della funzione diverso dal limite). Consideriamo
\[ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\neq2,\\ 7, & x=2. \end{cases} \]
Si ha
\[ \lim_{x\to2}f(x)=4, \]
mentre
\[ f(2)=7. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to2}f(x)\neq f(2), \]
la funzione è discontinua in \(x=2\).
La discontinuità è eliminabile, perché sarebbe sufficiente ridefinire
\[ f(2)=4. \]
Esempio 3 (discontinuità a salto). Consideriamo
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ x+3, & x\geq1. \end{cases} \]
Il limite sinistro è
\[ \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \]
mentre il limite destro è
\[ \lim_{x\to1^+}f(x)=4. \]
Poiché
\[ 2\neq4, \]
il limite per \(x\to1\) non esiste e la funzione presenta una discontinuità a salto.
Esempio 4 (discontinuità infinita). Consideriamo
\[ f(x)=\frac{1}{x-1}. \]
Quando \(x\to1^-\), il denominatore tende a zero attraverso valori negativi:
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Quando \(x\to1^+\), il denominatore tende a zero attraverso valori positivi:
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
La funzione presenta quindi una discontinuità infinita in \(x=1\), e la retta
\[ x=1 \]
è un asintoto verticale.
Esempio 5 (discontinuità oscillatoria). Consideriamo
\[ f(x)=\cos\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\to0\), l'argomento \(1/x\) assume valori arbitrariamente grandi in valore assoluto e il coseno continua a oscillare tra \(-1\) e \(1\).
Pertanto
\[ \lim_{x\to0}\cos\left(\frac{1}{x}\right) \]
non esiste.
La funzione presenta quindi una discontinuità essenziale di tipo oscillatorio in \(x=0\).
Procedura per studiare una discontinuità
Per determinare correttamente la natura di una possibile discontinuità in \(x_0\), conviene procedere in modo ordinato.
Determinare il dominio
Bisogna innanzitutto stabilire se \(x_0\) appartiene al dominio e verificare da quali lati sia possibile avvicinarsi al punto.
Studiare il limite sinistro e il limite destro
Quando entrambi hanno significato rispetto al dominio, si calcolano
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Se il dominio permette di avvicinarsi al punto da un solo lato, si considera soltanto il limite corrispondente.
Verificare se esiste un limite finito
Se il limite sinistro e il limite destro sono entrambi finiti e coincidono,
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L, \]
allora
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
Se \(x_0\) appartiene al dominio, bisogna confrontare \(L\) con \(f(x_0)\).
Se
\[ f(x_0)=L, \]
la funzione è continua in \(x_0\).
Se invece
\[ f(x_0)\neq L, \]
la discontinuità è eliminabile.
Se \(x_0\) non appartiene al dominio ma il limite finito \(L\) esiste, la funzione può essere prolungata per continuità assegnando nel punto il valore \(L\).
Verificare se è presente un salto
Se il limite sinistro e il limite destro esistono, sono finiti, ma sono differenti, la discontinuità è a salto.
Verificare la presenza di un comportamento infinito
Se almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro che ha significato rispetto al dominio vale \(+\infty\) oppure \(-\infty\), la discontinuità è infinita.
Verificare la mancata esistenza del limite
Se almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro che deve essere considerato non esiste neppure come limite infinito, la discontinuità è essenziale.
Se la mancata esistenza dipende da oscillazioni persistenti, si parla più specificamente di discontinuità oscillatoria.
Questa procedura evita di classificare una discontinuità osservando soltanto la formula della funzione o il fatto che un determinato punto sia escluso dal dominio.
Errori frequenti
Confondere il limite con il valore della funzione
Il fatto che \(f(x_0)\) non sia definito non implica che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
non esista.
Il limite descrive il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(x_0\), non ciò che accade esattamente nel punto.
Considerare automaticamente infinita una discontinuità dovuta a un denominatore nullo
Se il denominatore di una funzione razionale si annulla in \(x_0\), occorre verificare se numeratore e denominatore possiedono fattori comuni.
Per esempio,
\[ \frac{x^2-1}{x-1} \]
presenta una discontinuità eliminabile in \(x=1\), mentre
\[ \frac{1}{x-1} \]
presenta una discontinuità infinita.
Guardare soltanto \(f(x_0)\)
Conoscere il valore della funzione nel punto non è sufficiente per stabilire la continuità.
Può accadere, per esempio, che \(f(x_0)\) sia perfettamente definito ma che il limite sinistro e il limite destro siano differenti. In tal caso la funzione rimane discontinua indipendentemente dal valore assegnato a \(f(x_0)\).
Non distinguere il limite destro dal limite sinistro
Nei punti in cui cambia la formula della funzione, il denominatore si annulla oppure il comportamento può essere differente sui due lati, è spesso indispensabile studiare separatamente
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
Concludere che il limite non esiste quando entrambi i valori sono \(+\infty\)
Se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
si scrive correttamente
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty. \]
Non esiste un limite reale finito, ma esiste un limite infinito.
Classificare come salto due comportamenti infiniti differenti
Se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
non si ha una discontinuità a salto.
Una discontinuità a salto richiede infatti che il limite sinistro e il limite destro siano entrambi finiti.
In questo caso la discontinuità è infinita.
Schema riassuntivo
La classificazione di una discontinuità dipende dal comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina al punto considerato e, successivamente, dal confronto con il valore eventualmente assunto dalla funzione nel punto.
| Comportamento in \(x_0\) | Conclusione |
|---|---|
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=L\) | Funzione continua |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}\), ma \(f(x_0)\) non è definito oppure \(f(x_0)\neq L\) | Discontinuità eliminabile |
| \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1\), \(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2\), con \(L_1,L_2\in\mathbb{R}\) e \(L_1\neq L_2\) | Discontinuità a salto |
| Almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro che ha significato rispetto al dominio vale \(+\infty\) oppure \(-\infty\) | Discontinuità infinita |
| Almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro che ha significato rispetto al dominio non esiste neppure come limite infinito | Discontinuità essenziale; oscillatoria quando la mancata esistenza è dovuta a oscillazioni persistenti |
Lo studio delle discontinuità è quindi, prima di tutto, uno studio del comportamento locale della funzione.
Se esiste un limite finito, il confronto con \(f(x_0)\) permette di stabilire se la funzione sia continua oppure presenti una discontinuità eliminabile. Se il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma differenti, si ha una discontinuità a salto. Se almeno uno dei due comportamenti è infinito, si ha una discontinuità infinita. Se invece il limite non esiste neppure come limite infinito, si entra nel caso delle discontinuità essenziali.
Il confronto sistematico tra dominio, limite sinistro, limite destro e valore della funzione consente quindi di individuare e classificare con rigore il comportamento della funzione in ogni punto significativo del dominio o in prossimità di esso.