Le funzioni continue occupano un ruolo fondamentale nell'Analisi Matematica. Intuitivamente, una funzione è continua in un punto quando a variazioni arbitrariamente piccole della variabile indipendente corrispondono variazioni arbitrariamente piccole della variabile dipendente. In altre parole, facendo variare \(x\) sufficientemente poco rispetto a un punto \(x_0\), è possibile rendere \(f(x)\) arbitrariamente vicino a \(f(x_0)\).
Questa idea viene formalizzata richiedendo che, fissata una variazione arbitrariamente piccola dei valori della funzione, sia possibile determinare una variazione sufficientemente piccola della variabile indipendente che la garantisca. Quando \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio, questa proprietà equivale alla condizione
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
A partire da questa definizione studieremo la continuità in un punto e su un intervallo, le operazioni che preservano la continuità, le principali funzioni continue e i diversi tipi di discontinuità. Vedremo inoltre alcuni dei risultati fondamentali dell'Analisi Matematica, tra cui il teorema di Bolzano, il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass.
Indice
- Continuità di una funzione in un punto
- Continuità da destra e da sinistra
- Continuità su un intervallo
- Operazioni con funzioni continue
- Continuità delle funzioni elementari
- Punti di discontinuità
- Teorema della permanenza del segno per funzioni continue
- Teorema di Bolzano e teorema dei valori intermedi
- Teorema di Weierstrass
- Continuità della funzione inversa
Continuità di una funzione in un punto
Sia \(f:A\to\mathbb{R}\) una funzione e sia \(x_0\in A\). La definizione rigorosa di continuità traduce l'idea intuitiva precedente precisando il rapporto tra la variazione della variabile indipendente e quella della variabile dipendente.
La funzione \(f\) si dice continua in \(x_0\) se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\),
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]
Il numero \(\varepsilon\) rappresenta una distanza arbitrariamente piccola che vogliamo imporre tra \(f(x)\) e \(f(x_0)\). La definizione afferma che, qualunque sia questa distanza, è possibile scegliere \(\delta>0\) in modo che, prendendo \(x\) a distanza minore di \(\delta\) da \(x_0\), la distanza tra \(f(x)\) e \(f(x_0)\) risulti minore di \(\varepsilon\).
In questo senso, variazioni arbitrariamente piccole della variabile indipendente permettono di ottenere variazioni arbitrariamente piccole della variabile dipendente.
Se \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio \(A\), la continuità in \(x_0\) è equivalente alla condizione
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Questa uguaglianza mette in evidenza il legame fondamentale tra limite e continuità: il limite descrive il comportamento di \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\), mentre la continuità richiede che tale comportamento sia coerente con il valore effettivamente assunto dalla funzione nel punto.
Di conseguenza, quando \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio, per verificare la continuità di \(f\) in \(x_0\) mediante i limiti occorre che siano soddisfatte tre condizioni:
- \(f(x_0)\) deve essere definito;
- deve esistere il limite \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)\);
- il limite deve coincidere con il valore della funzione: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Se anche una sola di queste condizioni non è soddisfatta, la funzione non è continua in \(x_0\).
Per esempio, consideriamo la funzione
\[ f(x)=x^2. \]
Nel punto \(x_0=2\) si ha
\[ f(2)=4 \]
e
\[ \lim_{x\to2}x^2=4. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to2}f(x)=f(2), \]
la funzione \(f(x)=x^2\) è continua in \(x_0=2\).
Dal punto di vista geometrico, la continuità in \(x_0\) significa che il grafico della funzione non presenta, in corrispondenza di \(x_0\), una separazione tra il comportamento dei valori \(f(x)\) nelle vicinanze del punto e il punto del grafico \((x_0,f(x_0))\). La classificazione precisa dei diversi modi in cui la continuità può venir meno sarà studiata nella sezione dedicata ai punti di discontinuità.
Continuità da destra e da sinistra
In alcuni casi è necessario studiare separatamente il comportamento di una funzione quando la variabile si avvicina a un punto soltanto da destra oppure soltanto da sinistra. Si introducono quindi i concetti di continuità da destra e continuità da sinistra.
Sia \(f:A\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\in A\).
Se \(x_0\) è un punto di accumulazione di \(A\) da destra, la funzione \(f\) si dice continua da destra in \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]
Analogamente, se \(x_0\) è un punto di accumulazione di \(A\) da sinistra, \(f\) si dice continua da sinistra in \(x_0\) se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]
Quando \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio sia da destra sia da sinistra, una funzione è continua in \(x_0\) se e solo se è continua sia da destra sia da sinistra nello stesso punto.
Infatti, il limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]
esiste ed è uguale a \(f(x_0)\) se e solo se esistono il limite sinistro e il limite destro e si ha
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x) = f(x_0). \]
Questa caratterizzazione è particolarmente utile nello studio delle funzioni definite a tratti, per le quali l'espressione della funzione può cambiare passando da un lato all'altro di un determinato punto.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 2, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]
Nel punto \(x_0=1\) si ha
\[ f(1)=2. \]
Calcolando il limite da sinistra,
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^-}(x+1) = 2, \]
mentre da destra si ottiene
\[ \lim_{x\to1^+}f(x) = \lim_{x\to1^+}(3-x) = 2. \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to1^-}f(x) = \lim_{x\to1^+}f(x) = f(1)=2, \]
e quindi \(f\) è continua in \(x_0=1\).
La continuità da destra e da sinistra è fondamentale anche agli estremi degli intervalli. Per esempio, se una funzione è definita sull'intervallo \([a,b]\), nel punto \(a\) si considera la continuità da destra,
\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a), \]
mentre nel punto \(b\) si considera la continuità da sinistra,
\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
Queste condizioni saranno utilizzate nella definizione di continuità su un intervallo.
Continuità su un intervallo
Dopo aver definito la continuità in un singolo punto, possiamo estendere il concetto a un intero intervallo.
Una funzione \(f\) si dice continua in un intervallo aperto \(I\) se è continua in ogni punto \(x_0\in I\).
Per esempio, dire che \(f\) è continua nell'intervallo \((a,b)\) significa che, per ogni \(x_0\in(a,b)\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0). \]
Nel caso di un intervallo chiuso \([a,b]\), agli estremi non è possibile considerare l'avvicinamento da entrambi i lati restando all'interno dell'intervallo. In \(a\) si considera quindi il limite da destra, mentre in \(b\) si considera il limite da sinistra.
Una funzione \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) si dice continua in \([a,b]\) se:
- è continua in ogni punto \(x_0\in(a,b)\);
- è continua da destra in \(a\), cioè \[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a); \]
- è continua da sinistra in \(b\), cioè \[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]
In modo analogo, se il dominio è un intervallo semiaperto, la continuità nell'estremo appartenente al dominio viene definita mediante il limite da destra o il limite da sinistra, a seconda dell'estremo considerato.
Per esempio, una funzione \(f:[a,b)\to\mathbb{R}\) è continua in \([a,b)\) se è continua in ogni punto di \((a,b)\) ed è continua da destra in \(a\).
Analogamente, una funzione \(f:(a,b]\to\mathbb{R}\) è continua in \((a,b]\) se è continua in ogni punto di \((a,b)\) ed è continua da sinistra in \(b\).
Più in generale, si dice che una funzione \(f:A\to\mathbb{R}\) è continua su \(A\) se è continua in ogni punto del proprio dominio \(A\), intendendo la continuità rispetto ai punti di \(A\).
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=x^2 \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\), poiché per ogni \(x_0\in\mathbb{R}\) si ha
\[ \lim_{x\to x_0}x^2=x_0^2=f(x_0). \]
La funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
è invece continua nel proprio dominio
\[ \mathbb{R}\setminus\{0\}. \]
Il fatto che non sia definita in \(x=0\) non impedisce quindi di affermare che essa è continua nel proprio dominio. La continuità è infatti una proprietà che viene studiata nei punti in cui la funzione è definita.
La continuità su un intervallo assumerà un ruolo particolarmente importante nelle sezioni successive: molte proprietà globali, come l'esistenza di zeri, l'assunzione dei valori intermedi e l'esistenza di massimi e minimi assoluti, dipendono proprio dalla continuità della funzione su opportuni intervalli.
Operazioni con funzioni continue
La continuità si conserva attraverso le principali operazioni algebriche. Questo permette di costruire nuove funzioni continue a partire da funzioni di cui è già nota la continuità.
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni continue in un punto \(x_0\). Allora sono continue in \(x_0\) anche le funzioni
\[ f+g,\qquad f-g,\qquad f\cdot g. \]
Inoltre, per ogni costante \(c\in\mathbb{R}\), è continua in \(x_0\) anche la funzione
\[ c f. \]
Se inoltre \(g(x_0)\neq0\), è continua in \(x_0\) anche la funzione quoziente
\[ \frac{f}{g}. \]
Queste proprietà seguono direttamente dalle corrispondenti proprietà dei limiti. Infatti, poiché \(f\) e \(g\) sono continue in \(x_0\),
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0), \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Per esempio, per la somma si ha
\[ \lim_{x\to x_0}[f(x)+g(x)] = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) = f(x_0)+g(x_0). \]
Poiché
\[ (f+g)(x_0)=f(x_0)+g(x_0), \]
segue che \(f+g\) è continua in \(x_0\). In modo analogo si dimostrano le proprietà relative alla differenza, al prodotto e al prodotto per una costante.
Per il quoziente, se \(g(x_0)\neq0\), si ottiene
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x_0)}{g(x_0)} = \left(\frac{f}{g}\right)(x_0), \]
e quindi \(\displaystyle\frac{f}{g}\) è continua in \(x_0\).
Le stesse proprietà valgono su un intervallo: se \(f\) e \(g\) sono continue in un intervallo \(I\), allora \(f+g\), \(f-g\), \(f\cdot g\) e \(cf\) sono continue in \(I\). Il quoziente
\[ \frac{f}{g} \]
è invece continuo in tutti i punti di \(I\) nei quali \(g\) non si annulla.
Un'altra proprietà fondamentale riguarda la composizione di funzioni continue.
Sia \(g\) continua in \(x_0\) e sia \(f\) continua nel punto \(g(x_0)\). Allora la funzione composta
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)) \]
è continua in \(x_0\).
Infatti, dalla continuità di \(g\) segue
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0). \]
Poiché \(f\) è continua in \(g(x_0)\), è possibile passare al limite attraverso \(f\), ottenendo
\[ \lim_{x\to x_0}f(g(x)) = f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) = f(g(x_0)). \]
Pertanto
\[ \lim_{x\to x_0}(f\circ g)(x) = (f\circ g)(x_0), \]
e quindi \(f\circ g\) è continua in \(x_0\).
Per esempio, le funzioni
\[ g(x)=x^2+1 \]
e
\[ f(t)=\sqrt{t} \]
sono continue nei rispettivi domini. Di conseguenza, la funzione composta
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2+1} \]
è continua per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Questi risultati permettono di dedurre rapidamente la continuità di numerose funzioni senza dover applicare ogni volta direttamente la definizione con \(\varepsilon\) e \(\delta\).
Continuità delle funzioni elementari
Le principali funzioni elementari sono continue in ogni punto del proprio dominio. Questo fatto, insieme alle proprietà delle operazioni e della composizione, consente di stabilire rapidamente la continuità di un'ampia classe di funzioni.
In particolare, ogni funzione polinomiale
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Una funzione razionale
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
dove \(P\) e \(Q\) sono polinomi, è invece continua in tutti i punti nei quali il denominatore non si annulla, cioè nel proprio dominio
\[ \{x\in\mathbb{R}:Q(x)\neq0\}. \]
Anche le funzioni potenza e le funzioni radicali sono continue nei rispettivi domini. Per esempio,
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
è continua in \([0,+\infty)\), mentre
\[ f(x)=\sqrt[3]{x} \]
è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
La funzione esponenziale
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0,\quad a\neq1, \]
è continua per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
La funzione logaritmica
\[ f(x)=\log_a(x), \qquad a>0,\quad a\neq1, \]
è continua nel proprio dominio
\[ (0,+\infty). \]
In particolare, il logaritmo naturale
\[ f(x)=\ln(x) \]
è continuo per ogni \(x>0\).
Le funzioni trigonometriche seno e coseno,
\[ \sin(x), \qquad \cos(x), \]
sono continue su tutto \(\mathbb{R}\).
La funzione tangente
\[ \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
è continua in tutti i punti nei quali \(\cos(x)\neq0\), cioè per
\[ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]
Analogamente, le altre funzioni trigonometriche definite mediante quozienti sono continue in ogni punto del proprio dominio.
Anche il valore assoluto
\[ f(x)=|x| \]
è continuo su tutto \(\mathbb{R}\).
Poiché somme, differenze, prodotti, quozienti e composizioni di funzioni continue sono ancora continue nei punti in cui risultano definite, da questi risultati si ottiene immediatamente la continuità di molte funzioni più complesse.
Per esempio, consideriamo
\[ f(x)=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x^2+4}. \]
Il polinomio \(x^2+1\) è continuo e assume valori strettamente positivi per ogni \(x\in\mathbb{R}\); pertanto anche
\[ \sqrt{x^2+1} \]
è continua su \(\mathbb{R}\). Inoltre,
\[ x^2+4>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Di conseguenza, il quoziente è continuo su tutto \(\mathbb{R}\).
In generale, quindi, per studiare la continuità di una funzione elementare è spesso sufficiente individuarne correttamente il dominio e riconoscere le operazioni e le composizioni attraverso le quali essa è costruita.
Punti di discontinuità
Quando una funzione non è continua in un punto del proprio dominio, si parla di discontinuità. Nello studio delle discontinuità si usa comunemente la stessa terminologia anche per i punti di accumulazione del dominio nei quali la funzione non è definita, come avviene nel caso delle discontinuità eliminabili o di seconda specie.
Sia dunque \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio di \(f\) sia da sinistra sia da destra. Per stabilire il comportamento della funzione in corrispondenza di \(x_0\), si considerano i limiti
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x). \]
In base al comportamento di questi limiti si possono individuare diversi tipi di discontinuità.
Discontinuità eliminabile
Si ha una discontinuità eliminabile in \(x_0\) quando esiste finito il limite
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
ma la funzione non è definita in \(x_0\), oppure è definita ma
\[ f(x_0)\neq L. \]
La discontinuità può essere eliminata definendo, o ridefinendo, il valore della funzione nel punto mediante
\[ f(x_0)=L. \]
Per esempio, consideriamo
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Per \(x\neq1\) si ha
\[ f(x)=x+1, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
La funzione non è definita in \(x=1\), ma ponendo
\[ f(1)=2 \]
si ottiene una funzione continua anche in quel punto.
Discontinuità di prima specie (o a salto)
Si ha una discontinuità di prima specie, detta anche discontinuità a salto, in \(x_0\) quando esistono finiti sia il limite sinistro sia il limite destro, ma i due valori sono diversi:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \qquad L_1\neq L_2. \]
In questo caso il limite per \(x\to x_0\) non esiste. La differenza
\[ |L_2-L_1| \]
viene chiamata ampiezza del salto.
Per esempio, per la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 1, & x\geq0, \end{cases} \]
si ha
\[ \lim_{x\to0^-}f(x)=0, \qquad \lim_{x\to0^+}f(x)=1. \]
Poiché il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi, \(x=0\) è un punto di discontinuità di prima specie, o a salto.
Discontinuità di seconda specie
Si ha una discontinuità di seconda specie in \(x_0\) quando almeno uno tra il limite sinistro e il limite destro non esiste finito. Ciò può accadere perché almeno uno dei due limiti è infinito oppure perché almeno uno dei due limiti non esiste neppure come limite infinito.
Un primo esempio è
\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Per \(x\to0\) si ha
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Poiché i limiti laterali sono infiniti, \(x=0\) è un punto di discontinuità di seconda specie. Inoltre, la retta
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale del grafico della funzione.
Un comportamento diverso si verifica quando almeno uno dei limiti laterali non esiste neppure come limite infinito. Ciò avviene, per esempio, quando la funzione oscilla indefinitamente avvicinandosi al punto.
Consideriamo
\[ f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right), \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\to0\), l'argomento \(\displaystyle\frac{1}{x}\) diventa arbitrariamente grande in valore assoluto e la funzione continua a oscillare tra \(-1\) e \(1\). Di conseguenza, né il limite sinistro né il limite destro esistono, neppure come limiti infiniti.
Anche \(x=0\) è quindi un punto di discontinuità di seconda specie.
Questi casi mostrano che una funzione può perdere la continuità in modi profondamente diversi. La distinzione tra discontinuità eliminabili, discontinuità di prima specie e discontinuità di seconda specie permette di descrivere con precisione il comportamento locale della funzione nei punti problematici.
Teorema della permanenza del segno per funzioni continue
Una conseguenza fondamentale della continuità è il teorema della permanenza del segno: se una funzione continua assume in un punto un valore strettamente positivo o strettamente negativo, allora conserva lo stesso segno in un opportuno intorno di quel punto.
Più precisamente, sia \(f:A\to\mathbb{R}\) continua in \(x_0\in A\).
Se
\[ f(x_0)>0, \]
allora esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in A\) con
\[ |x-x_0|<\delta, \]
si ha
\[ f(x)>0. \]
Analogamente, se
\[ f(x_0)<0, \]
esiste \(\delta>0\) tale che
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<0. \]
La dimostrazione segue direttamente dalla definizione di continuità. Supponiamo, per esempio, che
\[ f(x_0)>0. \]
Poiché \(f\) è continua in \(x_0\), per
\[ \varepsilon=\frac{f(x_0)}{2}>0 \]
esiste \(\delta>0\) tale che
\[ |x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(x_0)|<\frac{f(x_0)}{2}. \]
Dalla proprietà del valore assoluto segue
\[ -\frac{f(x_0)}{2} < f(x)-f(x_0) < \frac{f(x_0)}{2}, \]
e quindi, considerando la disuguaglianza di sinistra,
\[ f(x)>\frac{f(x_0)}{2}>0. \]
Pertanto \(f\) mantiene segno positivo in un opportuno intorno di \(x_0\). Il caso \(f(x_0)<0\) si dimostra in modo analogo.
È importante osservare che l'ipotesi
\[ f(x_0)\neq0 \]
è essenziale. Se \(f(x_0)=0\), la continuità da sola non permette di stabilire il segno della funzione nelle vicinanze di \(x_0\). Per esempio,
\[ f(x)=x \]
è continua in \(x_0=0\), ma assume valori negativi a sinistra di \(0\) e positivi a destra.
Il teorema della permanenza del segno sarà particolarmente utile nel teorema di Bolzano, dove la continuità consentirà di dedurre l'esistenza di almeno uno zero quando una funzione assume valori di segno opposto agli estremi di un intervallo.
Teorema di Bolzano e teorema dei valori intermedi
La continuità su un intervallo impone un'importante proprietà globale: una funzione continua non può passare da un valore a un altro senza assumere tutti i valori intermedi.
Teorema di Bolzano
Sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) una funzione continua in \([a,b]\). Se
\[ f(a)f(b)<0, \]
cioè se \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto \(c\in(a,b)\) tale che
\[ f(c)=0. \]
Il teorema garantisce quindi l'esistenza di almeno uno zero della funzione all'interno dell'intervallo. Non afferma invece che tale zero sia unico.
Geometricamente, se il grafico di una funzione continua si trova da un lato dell'asse \(x\) in corrispondenza di un estremo dell'intervallo e dall'altro lato in corrispondenza dell'altro estremo, allora deve necessariamente intersecare l'asse \(x\) almeno una volta.
Per esempio, consideriamo
\[ f(x)=x^3+x-1 \]
nell'intervallo \([0,1]\). Essendo un polinomio, \(f\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\), e in particolare su \([0,1]\). Inoltre,
\[ f(0)=-1, \qquad f(1)=1. \]
Poiché
\[ f(0)f(1)=-1<0, \]
il teorema di Bolzano assicura l'esistenza di almeno un punto \(c\in(0,1)\) per il quale
\[ f(c)=0. \]
Il teorema permette dunque di dimostrare l'esistenza di una soluzione senza doverne necessariamente determinare il valore esatto.
Teorema dei valori intermedi
Il teorema di Bolzano è un caso particolare di un risultato più generale, il teorema dei valori intermedi.
Sia \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) continua in \([a,b]\). Per ogni numero reale \(k\) compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\), esiste almeno un punto \(c\in[a,b]\) tale che
\[ f(c)=k. \]
In particolare, se
\[ f(a)<k<f(b) \]
oppure
\[ f(b)<k<f(a), \]
allora esiste almeno un punto \(c\in(a,b)\) tale che
\[ f(c)=k. \]
Questo significa che l'immagine di un intervallo mediante una funzione continua non presenta lacune: tra due valori assunti dalla funzione vengono assunti anche tutti i valori intermedi.
Per esempio, se \(f\) è continua in \([a,b]\) e
\[ f(a)=2, \qquad f(b)=7, \]
allora, per ogni \(k\) con
\[ 2<k<7, \]
esiste almeno un \(c\in(a,b)\) tale che
\[ f(c)=k. \]
Il teorema non garantisce che ciascun valore intermedio venga assunto una sola volta: una funzione può assumere lo stesso valore in più punti dell'intervallo.
Il teorema di Bolzano come caso particolare
Se \(f(a)\) e \(f(b)\) hanno segno opposto, il numero \(0\) è compreso tra \(f(a)\) e \(f(b)\). Applicando il teorema dei valori intermedi con
\[ k=0, \]
si ottiene immediatamente l'esistenza di almeno un punto \(c\in(a,b)\) tale che
\[ f(c)=0. \]
Il teorema di Bolzano può quindi essere visto come l'applicazione del teorema dei valori intermedi al particolare valore \(k=0\).
L'ipotesi di continuità è essenziale. Una funzione discontinua può infatti assumere valori di segno opposto agli estremi di un intervallo senza assumere il valore \(0\) al suo interno. È proprio la continuità a impedire che la funzione possa passare da valori negativi a valori positivi mediante un salto.
Teorema di Weierstrass
Un'altra proprietà fondamentale delle funzioni continue riguarda l'esistenza di massimi e minimi assoluti.
Sia
\[ f:[a,b]\to\mathbb{R} \]
una funzione continua nell'intervallo chiuso e limitato \([a,b]\). Il teorema di Weierstrass afferma che \(f\) assume in \([a,b]\) sia un valore massimo sia un valore minimo.
In altre parole, esistono punti \(x_m,x_M\in[a,b]\) tali che
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
per ogni \(x\in[a,b]\).
Il valore
\[ f(x_m) \]
è il minimo assoluto di \(f\) in \([a,b]\), mentre
\[ f(x_M) \]
è il massimo assoluto.
È importante distinguere i punti nei quali gli estremi vengono assunti dai valori estremi stessi: \(x_m\) e \(x_M\) sono punti del dominio, mentre \(f(x_m)\) e \(f(x_M)\) sono rispettivamente il minimo e il massimo della funzione.
Il teorema garantisce quindi, in particolare, che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è limitata. Ponendo
\[ m=\inf f([a,b]), \qquad M=\sup f([a,b]), \]
si ha
\[ m\leq f(x)\leq M \]
per ogni \(x\in[a,b]\). Inoltre, tali estremi vengono effettivamente assunti dalla funzione: esistono infatti \(x_m,x_M\in[a,b]\) tali che
\[ m=f(x_m), \qquad M=f(x_M). \]
Per esempio, consideriamo
\[ f(x)=x^2-2x+3 \]
nell'intervallo \([0,3]\). Essendo un polinomio, \(f\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\) e quindi anche su \([0,3]\). Il teorema di Weierstrass assicura dunque che la funzione possiede in questo intervallo sia un massimo assoluto sia un minimo assoluto.
In questo caso si può scrivere
\[ f(x)=(x-1)^2+2. \]
Poiché
\[ (x-1)^2\geq0, \]
il minimo assoluto è
\[ f(1)=2. \]
Inoltre, per \(x\in[0,3]\) si ha
\[ |x-1|\leq2, \]
e quindi
\[ (x-1)^2\leq4. \]
Ne segue che
\[ f(x)=(x-1)^2+2\leq6, \]
con uguaglianza per \(x=3\). Pertanto il massimo assoluto nell'intervallo è
\[ f(3)=6. \]
Le ipotesi del teorema sono essenziali. La sola continuità non è sufficiente se l'intervallo non è chiuso e limitato.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=x \]
è continua nell'intervallo aperto \((0,1)\), ma non assume né il valore \(0\) né il valore \(1\). Di conseguenza, in \((0,1)\) non possiede né un minimo assoluto né un massimo assoluto.
Analogamente, la funzione
\[ f(x)=x \]
è continua su \(\mathbb{R}\), ma non è limitata e quindi non possiede né massimo né minimo assoluti.
Il ruolo dell'intervallo chiuso e limitato è quindi fondamentale: in \(\mathbb{R}\), un insieme chiuso e limitato è compatto, e la continuità preserva la compattezza dell'immagine. Di conseguenza, \(f([a,b])\) è un insieme compatto di \(\mathbb{R}\), quindi chiuso e limitato, e contiene il proprio estremo inferiore e il proprio estremo superiore.
Il teorema di Weierstrass costituisce uno dei risultati centrali dell'Analisi Matematica e sarà fondamentale nello studio successivo dei problemi di massimo e minimo.
Continuità della funzione inversa
La continuità si conserva, sotto opportune ipotesi, anche nel passaggio alla funzione inversa.
Sia \(I\subseteq\mathbb{R}\) un intervallo e sia
\[ f:I\to\mathbb{R} \]
una funzione continua e strettamente monotona in \(I\). Poiché \(f\) è strettamente monotona, essa è iniettiva e ammette quindi una funzione inversa definita sull'immagine
\[ J=f(I). \]
Il teorema di continuità della funzione inversa afferma che
\[ f^{-1}:J\to I \]
è continua in \(J\).
Inoltre, \(J=f(I)\) è un intervallo. Questo fatto segue dal teorema dei valori intermedi: essendo \(f\) continua su un intervallo, essa assume tutti i valori compresi tra due qualsiasi valori della propria immagine.
La funzione inversa conserva anche il tipo di monotonia: se \(f\) è strettamente crescente, allora \(f^{-1}\) è strettamente crescente; se \(f\) è strettamente decrescente, allora \(f^{-1}\) è strettamente decrescente.
Geometricamente, il grafico di \(f^{-1}\) si ottiene riflettendo il grafico di \(f\) rispetto alla retta
\[ y=x. \]
Il teorema garantisce che, se il grafico di \(f\) è quello di una funzione continua e strettamente monotona su un intervallo, anche il grafico della funzione inversa è continuo.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)=x^3, \qquad x\in\mathbb{R}. \]
La funzione \(f\) è continua e strettamente crescente su \(\mathbb{R}\). Inoltre,
\[ f(\mathbb{R})=\mathbb{R}, \]
quindi ammette la funzione inversa
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Per il teorema precedente, \(f^{-1}\) è continua su tutto \(\mathbb{R}\).
Un altro esempio fondamentale è fornito dalla funzione esponenziale
\[ f(x)=a^x, \qquad a>0,\quad a\neq1. \]
Essa è continua e strettamente monotona su \(\mathbb{R}\), con immagine
\[ (0,+\infty). \]
La sua funzione inversa è il logaritmo
\[ f^{-1}(x)=\log_a(x), \]
che è quindi continuo in \((0,+\infty)\).
La continuità della funzione inversa completa il quadro delle principali proprietà delle funzioni continue: continuità locale, continuità su intervalli, conservazione rispetto alle operazioni e alla composizione, comportamento nei punti di discontinuità e principali teoremi globali.
Conclusione
La continuità descrive una delle proprietà fondamentali delle funzioni reali e stabilisce un legame diretto tra il valore assunto da una funzione in un punto e il comportamento dei suoi valori nelle vicinanze di quel punto.
Abbiamo visto che la continuità si conserva attraverso le principali operazioni algebriche e la composizione, che le funzioni elementari sono continue nei rispettivi domini e che le discontinuità possono presentarsi in forme differenti, riconoscibili mediante lo studio dei limiti destro e sinistro.
Su un intervallo, la continuità produce inoltre conseguenze molto più profonde. Il teorema di Bolzano garantisce l'esistenza di zeri in presenza di un cambiamento di segno, il teorema dei valori intermedi assicura che una funzione continua assuma tutti i valori compresi tra due suoi valori e il teorema di Weierstrass garantisce l'esistenza di massimo e minimo assoluti su un intervallo chiuso e limitato.
Questi risultati costituiscono una base essenziale per lo studio successivo dell'Analisi Matematica, in particolare per la derivabilità, lo studio qualitativo delle funzioni e i problemi di massimo e minimo.