Dopo aver definito il limite di una funzione e averne studiato le principali proprietà, possiamo affrontare il problema del calcolo dei limiti di somme, differenze, prodotti, quozienti e altre espressioni ottenute combinando più funzioni.
Le regole che permettono di eseguire queste operazioni non sono semplici convenzioni di calcolo, ma conseguenze di precisi teoremi. Per esempio, se due funzioni ammettono limite finito, sotto opportune ipotesi il limite della loro somma coincide con la somma dei rispettivi limiti, mentre il limite del loro prodotto coincide con il prodotto dei limiti. Per applicare il teorema del quoziente è inoltre necessario che il limite del denominatore sia diverso da zero.
Questi risultati consentono spesso di ricondurre il calcolo di un limite alle ordinarie operazioni tra numeri reali. Tuttavia, tale procedimento non può essere applicato indiscriminatamente. Quando intervengono quantità che tendono a zero o all'infinito, alcune combinazioni conducono a espressioni come \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(\displaystyle\frac{0}{0}\) oppure \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Queste espressioni non determinano da sole il valore del limite e prendono il nome di forme indeterminate.
È inoltre essenziale ricordare che i simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non rappresentano numeri reali. Le cosiddette operazioni con l'infinito devono quindi essere interpretate come regole riguardanti il comportamento delle funzioni, e non come comuni operazioni aritmetiche eseguite su due nuovi numeri.
In questa pagina enunceremo e dimostreremo i principali teoremi sulle operazioni con i limiti, chiariremo attentamente le ipotesi necessarie per applicarli e distingueremo i casi determinati dalle forme indeterminate. Le regole ottenute saranno infine applicate al calcolo dei limiti di polinomi, funzioni razionali e semplici funzioni algebriche.
Indice
- Ipotesi e significato delle operazioni sui limiti
- Limite della somma e della differenza
- Limite del prodotto
- Limite del reciproco e del quoziente
- Limite delle potenze
- Limite delle radici
- Limite del valore assoluto
- Limite di una funzione composta
- Operazioni con limiti infiniti
- Forme determinate e forme indeterminate
- Limiti di polinomi e funzioni razionali
- Esempi riepilogativi ed errori da evitare
Ipotesi e significato delle operazioni sui limiti
Le operazioni sui limiti riguardano funzioni ottenute combinando, punto per punto, altre funzioni. Siano \(f\) e \(g\) due funzioni reali definite in un intorno forato di \(x_0\) — cioè in un intorno di \(x_0\) privato del solo punto \(x_0\) — e supponiamo che \(x_0\) sia un punto di accumulazione del loro dominio comune, condizione necessaria affinché il limite abbia significato. Possiamo allora considerare, per esempio, le funzioni
\[ (f+g)(x)=f(x)+g(x), \qquad (fg)(x)=f(x)g(x). \]
Analogamente, nei punti in cui \(g(x)\neq 0\), possiamo definire
\[ \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}. \]
Il problema consiste nello stabilire se il limite della funzione così ottenuta possa essere determinato conoscendo separatamente i limiti di \(f\) e di \(g\). Supponiamo, inizialmente, che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
dove \(L\) e \(M\) sono numeri reali. I teoremi sulle operazioni con i limiti stabiliscono le condizioni sotto le quali è possibile ricavare, a partire da \(L\) e \(M\), il limite della somma, del prodotto, del quoziente o di altre combinazioni delle due funzioni.
È importante comprendere che scritture come
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr) = \lim_{x\to x_0}f(x) + \lim_{x\to x_0}g(x) \]
non sono definizioni e non rappresentano trasformazioni puramente formali. Esse esprimono la conclusione di un teorema e sono valide soltanto quando ne risultano soddisfatte tutte le ipotesi.
Prima di applicare una regola occorre inoltre verificare che la funzione ottenuta mediante l'operazione sia effettivamente definita per valori di \(x\) arbitrariamente vicini a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). Nel caso di un quoziente, per esempio, non è sufficiente che siano definite \(f\) e \(g\): è necessario considerare soltanto i punti nei quali il denominatore non si annulla.
Il valore eventualmente assunto dalle funzioni nel punto \(x_0\) non interviene nel calcolo. Il limite dipende infatti dal comportamento delle funzioni in prossimità del punto, non dal valore che esse assumono nel punto stesso. Per questa ragione, i teoremi restano validi anche quando una o entrambe le funzioni non sono definite in \(x_0\).
Due limiti fondamentali
Prima di esaminare le operazioni tra funzioni, richiamiamo due risultati elementari che saranno utilizzati nelle sezioni successive.
Se \(c\in\mathbb{R}\), per la funzione costante \(f(x)=c\) vale
\[ \lim_{x\to x_0}c=c. \]
Infatti, per ogni \(\varepsilon>0\),
\[ |c-c|=0<\varepsilon, \]
indipendentemente dalla scelta di \(x\). La stessa funzione conserva il proprio valore anche quando la variabile tende all'infinito:
\[ \lim_{x\to+\infty}c=c, \qquad \lim_{x\to-\infty}c=c. \]
Per la funzione identità \(f(x)=x\), invece,
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0. \]
La relazione segue direttamente dalla definizione, perché
\[ |f(x)-x_0|=|x-x_0|. \]
All'infinito, la funzione identità segue il comportamento della variabile:
\[ \lim_{x\to+\infty}x=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}x=-\infty. \]
Questi limiti, combinati con i teoremi sulle operazioni, permetteranno di calcolare i limiti dei polinomi e di altre espressioni algebriche.
Le prime regole saranno formulate per limiti finiti. I casi in cui una funzione tende a \(+\infty\) o a \(-\infty\) richiedono invece un'analisi distinta, perché alcune operazioni mantengono un significato determinato, mentre altre conducono a forme indeterminate.
Limite della somma e della differenza
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni definite in un intorno forato di \(x_0\) e supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(L,M\in\mathbb{R}\). Allora anche la funzione \(f+g\) ammette limite per \(x\to x_0\) e vale
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
In altre parole, quando entrambi i limiti sono finiti, il limite della somma è uguale alla somma dei limiti.
Dimostrazione
Dobbiamo dimostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr|<\varepsilon. \]
Osserviamo anzitutto che
\[ f(x)+g(x)-(L+M) = \bigl(f(x)-L\bigr)+\bigl(g(x)-M\bigr). \]
Per la disuguaglianza triangolare,
\[ \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| \leq |f(x)-L|+|g(x)-M|. \]
Poiché \(f(x)\to L\), esiste \(\delta_1>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Analogamente, poiché \(g(x)\to M\), esiste \(\delta_2>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Poniamo
\[ \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. \]
Se \(0<|x-x_0|<\delta\), entrambe le stime precedenti risultano valide. Di conseguenza,
\[ \begin{aligned} \bigl|f(x)+g(x)-(L+M)\bigr| &\leq |f(x)-L|+|g(x)-M|\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=L+M. \]
Limite della differenza
La differenza può essere riscritta come una somma:
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
Poiché
\[ \bigl|-g(x)-(-M)\bigr|=|g(x)-M|, \]
dalla definizione di limite segue che
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(-g(x)\bigr)=-M. \]
Applicando il teorema della somma, otteniamo
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=L-M. \]
Possiamo quindi riunire i due risultati nella formula
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\pm g(x)\bigr)=L\pm M. \]
Somma di un numero finito di funzioni
Applicando ripetutamente il teorema, il risultato si estende a qualunque numero finito di funzioni. Se
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{per }k=1,\ldots,n, \]
allora
\[ \lim_{x\to x_0}\sum_{k=1}^{n}f_k(x) = \sum_{k=1}^{n}L_k. \]
Il teorema riguarda limiti finiti. Quando una o entrambe le funzioni tendono a \(+\infty\) o a \(-\infty\), il comportamento della somma o della differenza deve essere esaminato separatamente.
Limite del prodotto
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni definite in un intorno forato di \(x_0\) e supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(L,M\in\mathbb{R}\). Allora anche il prodotto \(fg\) ammette limite per \(x\to x_0\) e vale
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Prima di dimostrare il teorema, richiamiamo una conseguenza fondamentale dell'esistenza di un limite finito.
Limitatezza locale
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L\in\mathbb{R}, \]
allora \(f\) è limitata in un opportuno intorno forato di \(x_0\). In particolare, scegliendo \(\varepsilon=1\), esiste \(\delta_0>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<1. \]
Dalla disuguaglianza triangolare segue
\[ |f(x)| \leq |f(x)-L|+|L| < |L|+1. \]
Pertanto, sufficientemente vicino a \(x_0\), i valori di \(f(x)\) non possono diventare arbitrariamente grandi in valore assoluto.
Dimostrazione del teorema
Consideriamo la differenza tra il prodotto \(f(x)g(x)\) e il valore atteso \(LM\). Aggiungendo e sottraendo \(f(x)M\), otteniamo
\[ \begin{aligned} f(x)g(x)-LM &=f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM\\ &=f(x)\bigl(g(x)-M\bigr)+M\bigl(f(x)-L\bigr). \end{aligned} \]
Applicando la disuguaglianza triangolare,
\[ |f(x)g(x)-LM| \leq |f(x)|\,|g(x)-M| + |M|\,|f(x)-L|. \]
Poiché \(f(x)\to L\), dalla limitatezza locale esistono un numero \(K>0\) e un numero \(\delta_0>0\) tali che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<K. \]
Per esempio, possiamo scegliere \(K=|L|+1\).
Fissato \(\varepsilon>0\), poiché \(g(x)\to M\), esiste \(\delta_1>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon}{2K}. \]
Inoltre, poiché \(f(x)\to L\), esiste \(\delta_2>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}. \]
Poniamo
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1,\delta_2\}. \]
Se \(0<|x-x_0|<\delta\), allora
\[ \begin{aligned} |f(x)g(x)-LM| &\leq |f(x)|\,|g(x)-M|+|M|\,|f(x)-L|\\ &<K\frac{\varepsilon}{2K} +|M|\frac{\varepsilon}{2(|M|+1)}\\ &<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}\\ &=\varepsilon. \end{aligned} \]
Abbiamo quindi dimostrato che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=LM. \]
Prodotto per una costante
Se \(c\in\mathbb{R}\) è una costante e
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \]
considerando la funzione costante \(g(x)=c\), il teorema del prodotto fornisce
\[ \lim_{x\to x_0}c\,f(x)=cL. \]
Questo risultato consente di portare fuori dal simbolo di limite qualunque fattore costante.
Prodotto di un numero finito di funzioni
Applicando ripetutamente il teorema, se
\[ \lim_{x\to x_0}f_k(x)=L_k \qquad \text{per }k=1,\ldots,n, \]
allora
\[ \lim_{x\to x_0}\prod_{k=1}^{n}f_k(x) = \prod_{k=1}^{n}L_k. \]
Limite del reciproco e del quoziente
Il passaggio al reciproco richiede una condizione aggiuntiva: il limite della funzione al denominatore deve essere diverso da zero. Questa ipotesi garantisce che la funzione non si annulli in un opportuno intorno forato del punto considerato.
Limite del reciproco
Sia \(g\) una funzione definita in un intorno forato di \(x_0\) e supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \qquad M\neq 0. \]
Allora esiste un intorno forato di \(x_0\) nel quale \(g(x)\neq 0\), e vale
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
Il denominatore resta lontano da zero
Poiché \(M\neq 0\), possiamo scegliere
\[ \varepsilon_0=\frac{|M|}{2}. \]
Dalla convergenza di \(g(x)\) a \(M\), esiste \(\delta_0>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_0 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{|M|}{2}. \]
Per la disuguaglianza triangolare inversa,
\[ |g(x)| \geq |M|-|g(x)-M| > |M|-\frac{|M|}{2} = \frac{|M|}{2}. \]
Pertanto \(g(x)\neq 0\) per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). Inoltre, il valore assoluto del denominatore è limitato inferiormente da una costante positiva.
Dimostrazione
Consideriamo la differenza
\[ \frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}. \]
Riducendo allo stesso denominatore, otteniamo
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| = \frac{|M-g(x)|}{|M|\,|g(x)|}. \]
Per \(0<|x-x_0|<\delta_0\) abbiamo \(|g(x)|>\displaystyle\frac{|M|}{2}\), quindi
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}|g(x)-M|. \]
Fissato \(\varepsilon>0\), poiché \(g(x)\to M\), esiste \(\delta_1>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |g(x)-M|<\frac{\varepsilon |M|^2}{2}. \]
Ponendo
\[ \delta=\min\{\delta_0,\delta_1\}, \]
per \(0<|x-x_0|<\delta\) segue che
\[ \left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right| < \frac{2}{|M|^2}\cdot\frac{\varepsilon |M|^2}{2} = \varepsilon. \]
Abbiamo dunque dimostrato che
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}. \]
Limite del quoziente
Siano ora \(f\) e \(g\) due funzioni definite in un intorno forato di \(x_0\) e supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(L,M\in\mathbb{R}\) e \(M\neq 0\). Poiché
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
applicando il teorema del prodotto e quello del reciproco otteniamo
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}. \]
La condizione \(M\neq 0\) non è un dettaglio tecnico. Se il denominatore tende a zero, il teorema del quoziente non può essere applicato e i limiti di \(f\) e di \(g\) non sono, in generale, sufficienti a determinare il risultato. In particolare, quando anche il numeratore tende a zero, si presenta la forma indeterminata \(\displaystyle\frac{0}{0}\), che sarà studiata nella sezione dedicata.
Limite delle potenze
Il teorema del prodotto permette di determinare il limite delle potenze intere di una funzione. Sia \(f\) definita in un intorno forato di \(x_0\) e supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Esponente intero positivo
Se \(n\in\mathbb{N}\) e \(n\geq 1\), allora
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Infatti, la potenza \(\bigl(f(x)\bigr)^n\) è il prodotto di \(n\) fattori uguali a \(f(x)\):
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{f(x)\cdot f(x)\cdots f(x)}_{n\text{ fattori}}. \]
Applicando ripetutamente il teorema del prodotto, otteniamo
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n = \underbrace{L\cdot L\cdots L}_{n\text{ fattori}} = L^n. \]
Esponente zero
Nei punti in cui \(f(x)\neq 0\), vale
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Se \(L\neq 0\), la funzione \(f\) resta diversa da zero in un opportuno intorno forato di \(x_0\). In tale intorno la potenza di esponente zero è quindi definita e
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^0=1=L^0. \]
Se invece \(L=0\), la scrittura \(L^0\) non è definita e la formula precedente non può essere utilizzata. Tuttavia, nei punti in cui \(f(x)\neq 0\), si ha comunque
\[ \bigl(f(x)\bigr)^0=1. \]
Pertanto, se \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio della funzione \(\bigl(f(x)\bigr)^0\), il relativo limite vale \(1\).
Esponente intero negativo
Sia \(n\in\mathbb{N}\) con \(n\geq 1\). Se \(L\neq 0\), allora \(f(x)\neq 0\) per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\), e possiamo scrivere
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{\bigl(f(x)\bigr)^n}. \]
Dal limite delle potenze positive e dal teorema del reciproco segue
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{-n} = \frac{1}{L^n} = L^{-n}. \]
Possiamo quindi riassumere i risultati distinguendo i diversi casi. Per ogni intero positivo \(n\),
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Per \(n=0\), la funzione \(\bigl(f(x)\bigr)^0\) vale \(1\) nei punti in cui \(f(x)\neq 0\); pertanto, se \(x_0\) è un punto di accumulazione del suo dominio, il limite è uguale a \(1\).
Per \(n<0\), è necessario che \(L\neq 0\); in tal caso,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^n=L^n. \]
Polinomi in una funzione
Combinando il limite delle potenze con i teoremi della somma e del prodotto per una costante, otteniamo un risultato più generale. Se
\[ P(t)=a_0+a_1t+\cdots+a_nt^n \]
è un polinomio, allora
\[ \lim_{x\to x_0}P\bigl(f(x)\bigr)=P(L). \]
Esplicitamente,
\[ \lim_{x\to x_0} \left( a_0+a_1f(x)+\cdots+a_n\bigl(f(x)\bigr)^n \right) = a_0+a_1L+\cdots+a_nL^n. \]
Questo risultato mostra che, quando il limite di \(f\) è finito, un polinomio in \(f(x)\) conserva nel passaggio al limite la propria struttura algebrica.
Limite delle radici
Sia \(n\in\mathbb{N}\), con \(n\geq 2\), e supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Per determinare il limite di \(\sqrt[n]{f(x)}\), occorre distinguere il caso in cui \(n\) sia dispari da quello in cui \(n\) sia pari.
Radici di indice dispari
Se \(n\) è dispari, la radice \(n\)-esima è definita per ogni numero reale. Pertanto,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
Il risultato vale per qualunque valore reale di \(L\), positivo, nullo o negativo.
Radici di indice pari
Se \(n\) è pari, la radice reale \(\sqrt[n]{f(x)}\) è definita soltanto nei punti in cui \(f(x)\geq 0\). Di conseguenza, il limite deve essere considerato all'interno del dominio della funzione.
Se \(L>0\), dalla convergenza di \(f(x)\) a \(L\) segue che \(f(x)>0\) per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\). In questo caso,
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}. \]
La stessa formula vale quando \(L=0\), purché \(x_0\) sia un punto di accumulazione del dominio della funzione \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\):
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=0. \]
Se invece \(L<0\), per il teorema della permanenza del segno si ha \(f(x)<0\) per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). La radice di indice pari non è quindi definita nei numeri reali in alcun intorno forato sufficientemente piccolo di \(x_0\), che non può essere un punto di accumulazione del suo dominio.
Dimostrazione
Poniamo
\[ u(x)=\sqrt[n]{f(x)} \qquad\text{e}\qquad a=\sqrt[n]{L}, \]
nei casi in cui queste quantità siano reali.
Se \(L=0\), allora \(a=0\) e, nei punti appartenenti al dominio della radice,
\[ |u(x)-a| = \left|\sqrt[n]{f(x)}\right| = \sqrt[n]{|f(x)|}. \]
Fissato \(\varepsilon>0\), dalla convergenza di \(f(x)\) a \(0\) esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)|<\varepsilon^n. \]
Ne segue
\[ |u(x)| = \sqrt[n]{|f(x)|} < \varepsilon, \]
e quindi \(u(x)\to 0\).
Supponiamo ora \(L\neq 0\). Se \(n\) è pari, necessariamente \(L>0\) e quindi \(a>0\). Fissato \(\varepsilon>0\), poniamo
\[ \varepsilon_0= \begin{cases} \varepsilon, & n\text{ dispari},\\ \min\left\{\varepsilon,\displaystyle\frac{a}{2}\right\}, & n\text{ pari}. \end{cases} \]
La funzione \(t\mapsto t^n\) è strettamente crescente su \(\mathbb{R}\) quando \(n\) è dispari e su \([0,+\infty)\) quando \(n\) è pari. Pertanto, i numeri
\[ \eta_1=(a+\varepsilon_0)^n-a^n, \qquad \eta_2=a^n-(a-\varepsilon_0)^n \]
sono entrambi positivi. Poniamo
\[ \eta=\min\{\eta_1,\eta_2\}. \]
Poiché \(f(x)\to L=a^n\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-a^n|<\eta. \]
Nei punti appartenenti al dominio della radice, questa disuguaglianza implica
\[ (a-\varepsilon_0)^n < f(x) < (a+\varepsilon_0)^n. \]
Per la monotonia della radice \(n\)-esima segue
\[ a-\varepsilon_0 < u(x) < a+\varepsilon_0. \]
Di conseguenza,
\[ |u(x)-a|<\varepsilon_0\leq\varepsilon. \]
Abbiamo così dimostrato che
\[ \lim_{x\to x_0}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L} \]
purché \(x_0\) sia un punto di accumulazione del dominio reale della funzione \(x\mapsto\sqrt[n]{f(x)}\).
Potenze con esponente razionale
Siano \(m\in\mathbb{Z}\) e \(n\in\mathbb{N}\), con \(n\geq 1\), e supponiamo che la frazione \(\displaystyle\frac{m}{n}\) sia ridotta ai minimi termini. Se \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio reale della funzione
\[ x\mapsto\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}} \]
e il numero \(L^{\frac{m}{n}}\) è definito nei numeri reali, allora
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=L^{\frac{m}{n}}. \]
Il risultato si ottiene componendo il limite delle potenze intere con quello delle radici, scrivendo \(\bigl(f(x)\bigr)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{\bigl(f(x)\bigr)^{m}}\) e applicando in successione i due teoremi già dimostrati.
Se \(n\) è pari, la base deve essere non negativa nei punti considerati; quando \(m<0\), deve inoltre essere strettamente positiva e occorre che \(L>0\). Se \(n\) è dispari, sono ammesse anche basi negative; quando \(m<0\), è comunque necessario che la base sia diversa da zero nei punti considerati e che \(L\neq 0\).
Limite del valore assoluto
Sia \(f\) una funzione definita in un intorno forato di \(x_0\) e supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L, \qquad L\in\mathbb{R}. \]
Allora
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
Dimostrazione
Per la disuguaglianza triangolare inversa, per ogni \(x\) appartenente al dominio di \(f\) vale
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L|. \]
Fissato \(\varepsilon>0\), dalla convergenza di \(f(x)\) a \(L\) esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Nelle stesse condizioni si ha quindi
\[ \bigl||f(x)|-|L|\bigr| \leq |f(x)-L| < \varepsilon. \]
Ciò dimostra che
\[ \lim_{x\to x_0}|f(x)|=|L|. \]
Il viceversa non vale in generale
Dall'esistenza del limite di \(|f(x)|\) non segue necessariamente l'esistenza del limite di \(f(x)\). Per esempio, consideriamo
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\ -1, & x<0. \end{cases} \]
Per ogni \(x\neq 0\) risulta \(|f(x)|=1\), perciò
\[ \lim_{x\to 0}|f(x)|=1. \]
Tuttavia,
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}f(x)=-1. \]
Poiché il limite destro e il limite sinistro sono differenti, il limite di \(f\) per \(x\to 0\) non esiste.
Permanenza del segno
Se \(L>0\), allora \(f(x)>0\) per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\). Infatti, scegliendo \(\varepsilon=L/2\), si ottiene
\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2}, \]
da cui
\[ f(x)>L-\frac{L}{2}=\frac{L}{2}>0. \]
Analogamente, se \(L<0\), la funzione assume valori negativi in un opportuno intorno forato di \(x_0\).
Quando il limite è diverso da zero, il valore assoluto può quindi essere eliminato localmente tenendo conto del segno di \(L\):
\[ |f(x)|= \begin{cases} f(x), & L>0,\\ -f(x), & L<0, \end{cases} \]
per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\).
Limite di una funzione composta
Sia \(f\) una funzione definita in un intorno forato di \(x_0\) e sia \(\varphi\) una funzione definita in un intorno forato di un punto \(L\). Supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]
La funzione composta
\[ (\varphi\circ f)(x)=\varphi\bigl(f(x)\bigr) \]
è definita nei punti in cui il valore \(f(x)\) appartiene al dominio di \(\varphi\). Per determinarne il limite occorre quindi studiare il comportamento della funzione esterna \(\varphi\) quando il suo argomento tende a \(L\).
Teorema sul limite della funzione composta
Supponiamo che
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M, \]
con \(M\in\mathbb{R}\), e che, per ogni \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\), con \(x\neq x_0\), risultino soddisfatte le condizioni
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{e}\qquad f(x)\neq L. \]
Allora
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
La condizione \(f(x)\neq L\) è richiesta perché il limite di \(\varphi(t)\) per \(t\to L\) descrive il comportamento della funzione nei punti vicini a \(L\), ma diversi da \(L\). Il valore \(\varphi(L)\), quando esiste, non è coinvolto in questa formulazione del teorema.
Dimostrazione
Fissato \(\varepsilon>0\), dalla relazione
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=M \]
segue che esiste \(\eta>0\) tale che
\[ 0<|t-L|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |\varphi(t)-M|<\varepsilon. \]
Poiché \(f(x)\to L\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\eta. \]
Per ipotesi, restringendo eventualmente \(\delta\), possiamo inoltre supporre che
\[ f(x)\in\operatorname{Dom}(\varphi) \qquad\text{e}\qquad f(x)\neq L. \]
Pertanto,
\[ 0<|f(x)-L|<\eta, \]
e, applicando la condizione relativa al limite di \(\varphi\), otteniamo
\[ \bigl|\varphi(f(x))-M\bigr|<\varepsilon. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr)=M. \]
Caso della funzione esterna continua
Se \(\varphi\) è continua nel punto \(L\), allora
\[ \lim_{t\to L}\varphi(t)=\varphi(L). \]
In questo caso non è necessario richiedere che \(f(x)\neq L\) vicino a \(x_0\), perché la funzione esterna è definita anche nel punto \(L\) e il suo valore coincide con il limite. Si ottiene quindi la regola
\[ \lim_{x\to x_0}\varphi\bigl(f(x)\bigr) = \varphi\left(\lim_{x\to x_0}f(x)\right) = \varphi(L). \]
Questa formula esprime la possibilità di far passare il limite attraverso una funzione continua.
Per esempio, poiché la funzione coseno è continua in ogni punto reale, se \(f(x)\to L\), allora
\[ \lim_{x\to x_0}\cos\bigl(f(x)\bigr)=\cos L. \]
Il ruolo del dominio
Prima di applicare il teorema è sempre necessario verificare che la composizione sia definita nei punti considerati. Se, per esempio, la funzione esterna è
\[ \varphi(t)=\sqrt{t}, \]
occorre che \(f(x)\geq 0\) nei punti del dominio sufficientemente vicini a \(x_0\). Analogamente, se
\[ \varphi(t)=\frac{1}{t}, \]
è necessario che \(f(x)\neq 0\).
Il teorema della funzione composta non elimina dunque le condizioni di esistenza delle operazioni coinvolte: permette di determinare il limite soltanto dopo che tali condizioni sono state verificate.
Operazioni con limiti infiniti
Quando una funzione tende a \(+\infty\) o a \(-\infty\), il limite non è un numero reale. Le scritture che coinvolgono i simboli di infinito non devono quindi essere interpretate come comuni uguaglianze aritmetiche: esse riassumono teoremi sul comportamento delle funzioni.
In questa sezione considereremo soltanto le combinazioni che determinano univocamente il risultato. Le operazioni per le quali i limiti delle singole funzioni non sono sufficienti saranno esaminate separatamente.
Somma e differenza
Siano \(f\) e \(g\) definite in un intorno forato di \(x_0\). Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(M\in\mathbb{R}\), allora
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=+\infty. \]
Infatti, poiché \(g(x)\to M\), per \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\) si ha
\[ g(x)>M-1. \]
Fissato un numero reale \(A\), dalla relazione \(f(x)\to+\infty\) segue che, definitivamente,
\[ f(x)>A-M+1. \]
Pertanto,
\[ f(x)+g(x)>A-M+1+M-1=A. \]
La somma supera dunque qualunque soglia reale prefissata. In modo analogo,
\[ \begin{aligned} +\infty+M&=+\infty,\\ -\infty+M&=-\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}, \]
dove queste scritture rappresentano sinteticamente i corrispondenti risultati sui limiti.
Se entrambe le funzioni tendono allo stesso infinito, i loro effetti si sommano:
\[ \begin{aligned} +\infty+(+\infty)&=+\infty,\\ -\infty+(-\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
Per esempio, nel primo caso, fissato \(A\in\mathbb{R}\), è sufficiente avere
\[ f(x)>\frac{A}{2} \qquad\text{e}\qquad g(x)>\frac{A}{2} \]
per ottenere \(f(x)+g(x)>A\).
La differenza viene ricondotta alla somma mediante l'identità
\[ f(x)-g(x)=f(x)+\bigl(-g(x)\bigr). \]
Ne seguono, tra gli altri, i casi determinati
\[ \begin{aligned} +\infty-M&=+\infty,\\ -\infty-M&=-\infty,\\ M-(+\infty)&=-\infty,\\ M-(-\infty)&=+\infty, \end{aligned} \qquad M\in\mathbb{R}. \]
Se i due termini tendono a infiniti di segno opposto, si hanno inoltre i casi determinati
\[ +\infty-(-\infty)=+\infty, \qquad -\infty-(+\infty)=-\infty. \]
Una differenza tra due quantità che tendono entrambe allo stesso infinito non rientra invece in queste regole.
Prodotto
Supponiamo che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=M, \]
con \(M>0\). Poiché \(g(x)\to M\), definitivamente si ha
\[ g(x)>\frac{M}{2}>0. \]
Fissato \(A>0\), dalla relazione \(f(x)\to+\infty\) segue che, per \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\),
\[ f(x)>\frac{2A}{M}. \]
Di conseguenza,
\[ f(x)g(x)>\frac{2A}{M}\cdot\frac{M}{2}=A, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty. \]
Il segno del prodotto dipende dai segni assunti definitivamente dai due fattori. Se \(M\neq 0\), possiamo riassumere i diversi casi nel modo seguente:
\[ \begin{array}{c|cc} & M>0 & M<0\\ \hline f(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to+\infty & f(x)g(x)\to-\infty\\ f(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to-\infty & f(x)g(x)\to+\infty \end{array} \]
Se entrambi i fattori hanno limite infinito, valgono le consuete regole dei segni:
\[ \begin{aligned} (+\infty)(+\infty)&=+\infty,\\ (-\infty)(-\infty)&=+\infty,\\ (+\infty)(-\infty)&=-\infty,\\ (-\infty)(+\infty)&=-\infty. \end{aligned} \]
Il prodotto tra una funzione che tende a zero e una funzione che tende in valore assoluto all'infinito non è invece determinato da queste sole informazioni.
Reciproco e quoziente
Se
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=+\infty \qquad\text{oppure}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-\infty, \]
allora
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{g(x)}=0. \]
Infatti, fissato \(\varepsilon>0\), il valore assoluto di \(g(x)\) supera definitivamente \(\displaystyle\frac{1}{\varepsilon}\). Pertanto,
\[ \left|\frac{1}{g(x)}\right| = \frac{1}{|g(x)|} < \varepsilon. \]
Se \(f(x)\to L\in\mathbb{R}\), applicando il teorema del prodotto per limiti finiti a
\[ \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\frac{1}{g(x)}, \]
e ricordando che \(\displaystyle\frac{1}{g(x)}\to 0\), otteniamo
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \]
ogni volta che il numeratore ha limite finito e il denominatore tende a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Se invece il numeratore tende all'infinito e il denominatore tende a un numero reale \(M\neq 0\), il quoziente si riconduce al prodotto tra il numeratore e una funzione che tende a \(\displaystyle\frac{1}{M}\). Il segno del risultato dipende quindi dal segno dell'infinito e da quello di \(M\).
Denominatore tendente a zero
Per descrivere il comportamento del reciproco quando il denominatore tende a zero, è necessario conoscere il segno con cui esso si avvicina a zero.
Se
\[ g(x)\to 0^+, \]
cioè \(g(x)\to 0\) assumendo valori positivi in prossimità di \(x_0\), allora
\[ \frac{1}{g(x)}\to+\infty. \]
Se invece
\[ g(x)\to 0^-, \]
allora
\[ \frac{1}{g(x)}\to-\infty. \]
Di conseguenza, se \(f(x)\to L\neq 0\), il limite del quoziente dipende dal segno di \(L\) e dal segno con cui \(g(x)\) tende a zero:
\[ \begin{array}{c|cc} & g(x)\to 0^+ & g(x)\to 0^-\\ \hline L>0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty\\ L<0 & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty & \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty \end{array} \]
Se il denominatore tende a zero cambiando segno arbitrariamente vicino a \(x_0\), queste informazioni non consentono in generale di stabilire un unico limite.
Potenze e radici
Per ogni intero positivo \(n\), se \(f(x)\to+\infty\), allora
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to+\infty. \]
Se invece \(f(x)\to-\infty\), il risultato dipende dalla parità dell'esponente:
\[ \bigl(f(x)\bigr)^n\to \begin{cases} +\infty, & n\text{ pari},\\ -\infty, & n\text{ dispari}. \end{cases} \]
Per \(n\geq 1\), dalle proprietà del reciproco segue inoltre
\[ \bigl(f(x)\bigr)^{-n}\to 0 \]
quando \(f(x)\to+\infty\) oppure \(f(x)\to-\infty\).
Infine, se \(f(x)\to+\infty\), allora
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to+\infty \]
per ogni \(n\geq 2\). Se \(n\) è dispari e \(f(x)\to-\infty\), si ha invece
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to-\infty. \]
Tutte le regole presentate in questa sezione riguardano casi nei quali i limiti delle funzioni coinvolte determinano il risultato. Quando ciò non accade, l'operazione conduce a una forma indeterminata.
Forme determinate e forme indeterminate
Quando si calcola il limite di un'espressione composta da più funzioni, i limiti delle singole parti possono essere sufficienti a stabilire il risultato oppure possono lasciare aperte diverse possibilità.
Nel primo caso si parla di forma determinata: il comportamento delle funzioni coinvolte individua univocamente il limite dell'espressione. Nel secondo caso si parla di forma indeterminata: le sole informazioni sui limiti delle singole parti non consentono di ricavare il risultato.
Una forma indeterminata non indica quindi che il limite non esiste. Significa soltanto che non può essere determinato applicando direttamente le regole generali sulle operazioni.
Significato delle forme simboliche
Scritture come
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty \]
non rappresentano operazioni eseguite tra numeri. Esse descrivono sinteticamente il comportamento delle funzioni che compongono un limite.
Per esempio, la forma
\[ \frac{0}{0} \]
significa che il numeratore tende a zero e, contemporaneamente, il denominatore tende a zero. Da queste sole informazioni non segue alcun valore preciso per il quoziente.
Forma indeterminata \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Consideriamo i limiti
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2}. \]
In tutti e tre i casi, numeratore e denominatore tendono a zero. Tuttavia,
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x^2}{x}=x, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \]
per \(x\neq 0\). Pertanto, il primo limite vale \(1\) e il secondo vale \(0\). Nel terzo caso,
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Poiché il limite destro e il limite sinistro sono differenti, il limite per \(x\to 0\) non esiste.
La forma \(\displaystyle\frac{0}{0}\) può quindi condurre a un numero reale non nullo, a zero, a un limite infinito oppure alla non esistenza del limite.
Forma indeterminata \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
Consideriamo ora
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2}, \qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x}. \]
In ciascun quoziente, numeratore e denominatore tendono a \(+\infty\), ma
\[ \frac{x}{x}=1, \qquad \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}, \qquad \frac{x^2}{x}=x. \]
I rispettivi limiti sono quindi
\[ 1, \qquad 0, \qquad +\infty. \]
Il risultato dipende dalla rapidità con cui crescono il numeratore e il denominatore, non dal solo fatto che entrambi tendano all'infinito.
Forma indeterminata \(0\cdot\infty\)
In un prodotto tra una funzione che tende a zero e una funzione che tende in valore assoluto all'infinito, i due fattori esercitano effetti opposti: il primo tende a rendere piccolo il prodotto, mentre il secondo tende ad accrescerne il valore assoluto.
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \qquad \frac{1}{x^2}\cdot x=\frac{1}{x}, \qquad \frac{1}{x}\cdot x^2=x. \]
In tutti e tre i casi il primo fattore tende a zero e il secondo tende a \(+\infty\), ma i prodotti tendono rispettivamente a \(1\), a \(0\) e a \(+\infty\).
La forma \(0\cdot\infty\) viene spesso trasformata in una forma di quoziente. Poiché una funzione che tende in valore assoluto all'infinito è definitivamente diversa da zero, possiamo scrivere
\[ f(x)g(x) = \frac{f(x)}{\displaystyle\frac{1}{g(x)}}. \]
Nei punti in cui anche \(f(x)\neq 0\), è possibile usare in alternativa
\[ f(x)g(x) = \frac{g(x)}{\displaystyle\frac{1}{f(x)}}. \]
La scelta della trasformazione dipende dalla struttura dell'espressione.
Forma indeterminata \(\infty-\infty\)
Quando due funzioni tendono allo stesso infinito, la loro differenza dipende dal modo in cui esse si confrontano.
Per \(x\to+\infty\), consideriamo
\[ (x+1)-x, \qquad x-x, \qquad x-2x. \]
In ciascun caso i due termini tendono a \(+\infty\), ma le differenze sono rispettivamente
\[ 1, \qquad 0, \qquad -x. \]
I limiti risultano quindi \(1\), \(0\) e \(-\infty\).
Per eliminare questa forma si cerca generalmente di raccogliere un fattore comune, ridurre allo stesso denominatore, razionalizzare oppure riscrivere l'espressione in una forma equivalente più adatta al confronto.
Forme indeterminate esponenziali
Quando sia la base sia l'esponente dipendono da \(x\), possono presentarsi anche le forme
\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
La forma \(1^\infty\) si presenta quando la base tende a \(1\), mentre il valore assoluto dell'esponente cresce senza limite. Il fatto che la base si avvicini a \(1\) non è sufficiente a determinare il limite della potenza.
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^x\to 1, \qquad \left(1+\frac{1}{x}\right)^x\to e, \qquad \left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^x\to+\infty. \]
In tutti e tre i casi la base tende a \(1\) e l'esponente tende a \(+\infty\), ma i limiti sono differenti.
Anche la forma \(0^0\) può produrre comportamenti differenti. Per \(x\to 0^+\), consideriamo
\[ x^x\to 1, \qquad x^{\frac{1}{|\ln x|}}\to e^{-1}, \qquad x^{\frac{1}{\sqrt{|\ln x|}}}\to 0. \]
In tutti e tre i casi la base tende a \(0^+\) e l'esponente tende a zero. I limiti sono tuttavia diversi, perché il comportamento della potenza dipende dal prodotto tra l'esponente e il logaritmo naturale della base.
Per la forma \(\infty^0\), per \(x\to+\infty\), si possono considerare
\[ x^{1/x}\to 1, \qquad x^{1/\ln x}\to e, \qquad x^{1/\sqrt{\ln x}}\to+\infty. \]
In tutti e tre i casi la base tende a \(+\infty\) e l'esponente tende a zero, ma i limiti sono differenti.
Le forme esponenziali vengono normalmente studiate applicando il logaritmo naturale. Se
\[ y(x)=\bigl(f(x)\bigr)^{g(x)} \]
e \(f(x)>0\) nei punti considerati, allora
\[ \ln y(x)=g(x)\ln f(x). \]
Il problema viene così ricondotto allo studio del prodotto \(g(x)\ln f(x)\).
Quadro riepilogativo
Le principali forme indeterminate sono
\[ \frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \infty-\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
Riconoscere una forma indeterminata non conclude il calcolo del limite: individua il punto in cui le regole immediate non sono più sufficienti. Da quel momento occorre trasformare l'espressione o confrontare più accuratamente le funzioni coinvolte.
Limiti di polinomi e funzioni razionali
I teoremi sulle operazioni permettono di calcolare direttamente i limiti dei polinomi e, quando il denominatore non tende a zero, quelli delle funzioni razionali.
Limite di un polinomio in un punto finito
Sia
\[ P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \]
un polinomio a coefficienti reali. Poiché
\[ \lim_{x\to x_0}x=x_0, \]
dai teoremi sulla somma, sul prodotto per una costante e sulle potenze segue
\[ \lim_{x\to x_0}P(x) = a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n = P(x_0). \]
Il limite di un polinomio in un punto reale si calcola quindi sostituendo direttamente al posto di \(x\) il valore \(x_0\).
Questo risultato esprime la continuità dei polinomi su tutto \(\mathbb{R}\).
Limite di una funzione razionale in un punto finito
Siano \(P\) e \(Q\) due polinomi, con \(Q\) non nullo, e consideriamo la funzione razionale
\[ R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}. \]
Se
\[ Q(x_0)\neq 0, \]
allora il teorema del quoziente fornisce
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x_0)}{Q(x_0)}. \]
Anche in questo caso il limite si ottiene mediante sostituzione diretta.
Se invece \(Q(x_0)=0\), il teorema del quoziente non può essere applicato. Il comportamento dipende dal numeratore e dalla struttura algebrica della frazione.
Se
\[ P(x_0)\neq 0 \qquad\text{e}\qquad Q(x)\to 0, \]
il valore assoluto del quoziente cresce senza limite, ma per determinarne il segno occorre studiare quello del numeratore e del denominatore in prossimità di \(x_0\).
Se invece
\[ P(x_0)=Q(x_0)=0, \]
si presenta la forma indeterminata \(\displaystyle\frac{0}{0}\). In questo caso può essere possibile scomporre i polinomi e semplificare i fattori comuni.
Se \(P\) è il polinomio nullo, la funzione razionale vale \(0\) in ogni punto del proprio dominio e il limite è uguale a \(0\). Supponiamo quindi che \(P\) e \(Q\) non siano polinomi nulli e indichiamo con \(r,s\geq 1\) le rispettive molteplicità di \(x_0\) come radice. Possiamo allora scrivere
\[ P(x)=(x-x_0)^rP_1(x), \qquad Q(x)=(x-x_0)^sQ_1(x), \]
con
\[ P_1(x_0)\neq 0, \qquad Q_1(x_0)\neq 0. \]
Per \(x\neq x_0\) si ha
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} = (x-x_0)^{r-s}\frac{P_1(x)}{Q_1(x)}. \]
Se \(r>s\), allora
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Se \(r=s\), allora
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x_0)}{Q_1(x_0)}. \]
Se \(r<s\), infine,
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
In quest'ultimo caso, per stabilire se il limite sia \(+\infty\), \(-\infty\) oppure se il limite destro e il limite sinistro siano differenti, è necessario analizzare il segno dell'espressione.
Limite di un polinomio all'infinito
Consideriamo un polinomio di grado \(n\geq 1\):
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0. \]
Raccogliendo la potenza di grado massimo, otteniamo
\[ P(x) = x^n \left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_1}{x^{n-1}} +\frac{a_0}{x^n} \right). \]
Per \(x\to+\infty\) o per \(x\to-\infty\), tutti i termini contenenti una potenza positiva di \(x\) al denominatore tendono a zero. Di conseguenza,
\[ a_n+\frac{a_{n-1}}{x} +\cdots+ \frac{a_0}{x^n} \to a_n. \]
Il comportamento del polinomio è quindi determinato dal termine di grado massimo:
\[ P(x)\sim a_nx^n \qquad \text{per }x\to\pm\infty. \]
Il simbolo \(\sim\) indica che il rapporto tra le due espressioni tende a \(1\):
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{a_nx^n}=1. \]
Per \(x\to+\infty\), il segno del limite coincide con quello del coefficiente principale \(a_n\):
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & a_n>0,\\ -\infty, & a_n<0. \end{cases} \]
Per \(x\to-\infty\), interviene anche la parità del grado:
\[ \lim_{x\to-\infty}P(x) = \begin{cases} +\infty, & n\text{ pari e }a_n>0,\\ -\infty, & n\text{ pari e }a_n<0,\\ -\infty, & n\text{ dispari e }a_n>0,\\ +\infty, & n\text{ dispari e }a_n<0. \end{cases} \]
Limite di una funzione razionale all'infinito
Siano
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots+a_0, \qquad Q(x)=b_mx^m+\cdots+b_0, \]
con \(a_n\neq 0\) e \(b_m\neq 0\). Per studiare
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
raccogliamo \(x^n\) al numeratore e \(x^m\) al denominatore:
\[ \begin{aligned} \frac{P(x)}{Q(x)} &= \frac{ x^n\left( a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} \right) }{ x^m\left( b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} \right) }\\ &= x^{n-m} \frac{ a_n+\displaystyle\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{a_0}{x^n} }{ b_m+\displaystyle\frac{b_{m-1}}{x}+\cdots+ \displaystyle\frac{b_0}{x^m} }. \end{aligned} \]
La frazione racchiusa tende a
\[ \frac{a_n}{b_m}. \]
Il risultato dipende quindi dal confronto tra i gradi \(n\) e \(m\).
Se \(n<m\), allora \(x^{n-m}\to 0\) e
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Se \(n=m\), allora
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n}{b_m}. \]
Se \(n>m\), il valore assoluto del quoziente tende a \(+\infty\):
\[ \left|\frac{P(x)}{Q(x)}\right|\to+\infty. \]
Il segno del limite si determina studiando
\[ \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
In particolare, per \(x\to+\infty\) il segno coincide con quello del rapporto \(\displaystyle\frac{a_n}{b_m}\). Per \(x\to-\infty\), occorre considerare anche la parità della differenza \(n-m\).
Principio del termine dominante
I risultati precedenti possono essere sintetizzati osservando che, all'infinito, i termini di grado inferiore diventano trascurabili rispetto a quelli di grado massimo:
\[ P(x)\sim a_nx^n, \qquad Q(x)\sim b_mx^m. \]
Di conseguenza,
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \sim \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
Questa relazione non sostituisce la dimostrazione, ma ne riassume il contenuto: il comportamento asintotico di una funzione razionale è governato dai termini di grado massimo del numeratore e del denominatore.
Esempi riepilogativi ed errori da evitare
Nel calcolo di un limite, il primo passaggio consiste nell'individuare i limiti delle singole parti dell'espressione. Soltanto dopo questa verifica è possibile stabilire se i teoremi sulle operazioni conducano direttamente al risultato oppure se si presenti una forma indeterminata.
Somma, prodotto e potenze
Consideriamo
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right). \]
Poiché la funzione è un polinomio, il limite si ottiene mediante sostituzione diretta:
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right) &=3\cdot 2^2-5\cdot 2+4\\ &=12-10+4\\ &=6. \end{aligned} \]
La sostituzione è lecita perché il risultato deriva dai teoremi sulla somma, sul prodotto e sulle potenze.
Quoziente con denominatore non nullo
Consideriamo
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3}. \]
Il numeratore tende a \(3\), mentre il denominatore tende a \(4\neq 0\). Possiamo quindi applicare il teorema del quoziente:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x}{x+3} = \frac{3}{4}. \]
Forma indeterminata \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Consideriamo
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}. \]
La sostituzione diretta produce la forma indeterminata
\[ \frac{0}{0}. \]
Scomponiamo il numeratore:
\[ x^2-4=(x-2)(x+2). \]
Per \(x\neq 2\), possiamo semplificare il fattore comune:
\[ \frac{x^2-4}{x-2}=x+2. \]
Poiché il limite dipende dai valori assunti in prossimità di \(2\), e non dal valore nel punto stesso, segue
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4. \]
Forma indeterminata \(\infty-\infty\)
Consideriamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Entrambi i termini tendono a \(+\infty\), quindi si presenta la forma indeterminata \(\infty-\infty\). Moltiplichiamo e dividiamo per l'espressione coniugata:
\[ \begin{aligned} \sqrt{x^2+x}-x &= \frac{ \left(\sqrt{x^2+x}-x\right) \left(\sqrt{x^2+x}+x\right) }{ \sqrt{x^2+x}+x }\\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \end{aligned} \]
Poiché \(x>0\) per ogni \(x\) sufficientemente grande, possiamo dividere numeratore e denominatore per \(x\):
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
A questo punto il limite è determinato:
\[ \lim_{x\to+\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{2}. \]
Quoziente di polinomi all'infinito
Consideriamo
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4}. \]
Il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore. Il comportamento del quoziente è quindi governato dal rapporto tra i termini di grado massimo:
\[ \frac{2x^3}{x^2}=2x. \]
Poiché \(2x\to-\infty\) per \(x\to-\infty\), otteniamo
\[ \lim_{x\to-\infty} \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = -\infty. \]
Lo stesso risultato può essere verificato dividendo numeratore e denominatore per \(x^2\):
\[ \frac{2x^3-x+1}{x^2+4} = \frac{ 2x-\displaystyle\frac{1}{x} +\displaystyle\frac{1}{x^2} }{ 1+\displaystyle\frac{4}{x^2} }. \]
Il denominatore tende a \(1\), mentre il numeratore tende a \(-\infty\).
Denominatore tendente a zero
Consideriamo
\[ \lim_{x\to 1}\frac{1}{x-1}. \]
Il denominatore tende a zero e assume segni opposti a destra e a sinistra di \(x=1\). Per \(x\to 1^+\),
\[ x-1\to 0^+, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Per \(x\to 1^-\), invece,
\[ x-1\to 0^-, \]
da cui
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Il limite destro e il limite sinistro sono differenti; pertanto, il limite per \(x\to 1\) non esiste, neppure come limite infinito.
Errori da evitare
Il primo errore consiste nell'applicare il teorema del quoziente quando il limite del denominatore è zero. Da
\[ f(x)\to L \qquad\text{e}\qquad g(x)\to 0 \]
non segue una formula generale per il limite di \(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}\). Occorre distinguere il caso \(L\neq 0\) dal caso \(L=0\) e, quando necessario, studiare il segno del denominatore.
Un secondo errore consiste nel considerare le forme indeterminate come risultati. Scrivere
\[ \frac{0}{0}, \qquad \infty-\infty \qquad\text{oppure}\qquad 0\cdot\infty \]
non conclude il calcolo: segnala soltanto che l'espressione deve essere trasformata o analizzata più attentamente.
Non bisogna inoltre trattare \(+\infty\) e \(-\infty\) come numeri reali. Formule quali
\[ +\infty+M=+\infty \]
sono abbreviazioni di risultati sui limiti e hanno significato soltanto nel contesto delle ipotesi che li giustificano.
Un altro errore frequente consiste nel trascurare il dominio. Prima di calcolare il limite di un'espressione contenente una radice, un denominatore, un logaritmo o una potenza reale, è necessario verificare che l'espressione sia definita in punti del proprio dominio arbitrariamente vicini al punto verso cui tende la variabile.
Infine, la sostituzione diretta non è una regola universale. Essa è valida quando deriva dalla continuità delle funzioni coinvolte e quando tutte le operazioni restano definite nel passaggio al limite. Se produce una forma indeterminata, non fornisce il valore cercato.
Le operazioni sui limiti permettono quindi di conservare, sotto precise ipotesi, la struttura algebrica delle funzioni. La loro applicazione corretta richiede però di distinguere sempre tra casi determinati, forme indeterminate e situazioni nelle quali il limite non esiste.