Nello studio dei limiti si incontrano situazioni in cui la variabile \(x\) si avvicina a un punto reale, ma i valori della funzione crescono o diminuiscono senza limite. In altri casi, invece, è la variabile indipendente ad assumere valori arbitrariamente grandi in valore assoluto, mentre la funzione può avvicinarsi a un numero reale oppure divergere verso \(+\infty\) o \(-\infty\).
Queste situazioni conducono a due nozioni fondamentali dell’analisi matematica: i limiti infiniti e i limiti all’infinito. Le due espressioni descrivono fenomeni differenti. In un limite infinito è il valore della funzione a tendere verso \(+\infty\) o \(-\infty\); in un limite all’infinito è invece la variabile \(x\) a tendere verso \(+\infty\) o \(-\infty\).
Per esempio, la scrittura
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
indica che i valori di \(f(x)\) diventano arbitrariamente grandi quando \(x\) si avvicina a \(x_0\). La scrittura
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
indica invece che \(f(x)\) si avvicina al numero reale \(L\) quando \(x\) assume valori positivi sufficientemente grandi.
È inoltre possibile combinare le due nozioni. Un’espressione come
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
descrive una funzione i cui valori diminuiscono senza limite quando \(x\) assume valori negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto.
In questa pagina introdurremo le definizioni formali dei limiti infiniti e dei limiti all’infinito, ne chiariremo il significato geometrico e studieremo le principali proprietà utilizzate nel calcolo dei limiti. Vedremo inoltre il legame tra questi limiti e gli asintoti verticali e orizzontali del grafico di una funzione.
Indice
- Limiti infiniti e limiti all’infinito: differenza fondamentale
- Limite uguale a più infinito in un punto
- Limite uguale a meno infinito in un punto
- Limiti infiniti destro e sinistro
- Interpretazione geometrica dei limiti infiniti
- Asintoti verticali
- Limite finito per \(x\to+\infty\)
- Limite finito per \(x\to-\infty\)
- Interpretazione geometrica dei limiti finiti all’infinito
- Asintoti orizzontali
- Limiti infiniti per \(x\to+\infty\)
- Limiti infiniti per \(x\to-\infty\)
- Proprietà dei limiti infiniti e dei limiti all’infinito
- Confronto tra funzioni e comportamento all’infinito
- Esempi di limiti infiniti e limiti all’infinito
Limiti infiniti e limiti all’infinito: differenza fondamentale
Le espressioni limite infinito e limite all’infinito indicano due situazioni concettualmente diverse. Per distinguerle è necessario osservare separatamente:
- il valore verso cui tende la variabile indipendente \(x\);
- il comportamento assunto dai valori della funzione \(f(x)\).
Si parla di limite infinito quando è la funzione \(f(x)\) a tendere verso \(+\infty\) oppure verso \(-\infty\). Per esempio,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
significa che, quando \(x\) si avvicina a \(x_0\), i valori di \(f(x)\) diventano arbitrariamente grandi.
Si parla invece di limite all’infinito quando è la variabile \(x\) a tendere verso \(+\infty\) oppure verso \(-\infty\). Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
significa che i valori di \(f(x)\) si avvicinano al numero reale \(L\) quando \(x\) assume valori positivi sufficientemente grandi.
Le due nozioni possono anche presentarsi contemporaneamente. La scrittura
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
rappresenta infatti sia un limite all’infinito, perché \(x\to+\infty\), sia un limite infinito, perché \(f(x)\to+\infty\).
Le quattro forme fondamentali
In base al comportamento della variabile e della funzione, si distinguono quattro forme fondamentali:
- limite finito in un punto: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L; \]
- limite infinito in un punto: \[ \lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty; \]
- limite finito all’infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L; \]
- limite infinito all’infinito: \[ \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty. \]
In queste scritture, \(x_0\) e \(L\) sono numeri reali, mentre i simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non rappresentano numeri reali. Essi descrivono un particolare comportamento della variabile o della funzione e hanno un significato preciso attraverso le definizioni formali.
Limite finito in un punto: definizione \(\varepsilon\)-\(\delta\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), sia \(x_0\) un punto di accumulazione di \(D\) e sia \(L\in\mathbb{R}\). Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
In forma simbolica:
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
La quantità \(\varepsilon\) stabilisce quanto i valori di \(f(x)\) devono essere vicini a \(L\), mentre \(\delta\) determina quanto \(x\) deve essere vicino a \(x_0\).
Limite infinito in un punto: definizione \(M\)-\(\delta\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\) un punto di accumulazione di \(D\). Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]
Analogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
La soglia \(M\) può essere scelta arbitrariamente grande. La definizione afferma quindi che, avvicinando sufficientemente \(x\) a \(x_0\), i valori di \(f(x)\) superano qualunque soglia positiva prefissata oppure diventano minori di qualunque soglia negativa prefissata.
Limite finito all’infinito: definizione \(\varepsilon\)-\(A\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato superiormente, e sia \(L\in\mathbb{R}\). Si dice che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
In forma simbolica:
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Se invece \(D\) non è limitato inferiormente, si dice che
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
In queste definizioni, \(\varepsilon\) controlla la distanza tra \(f(x)\) e \(L\), mentre \(A\) stabilisce quanto \(x\) debba essere grande positivamente o negativamente.
Limite infinito all’infinito: definizione \(M\)-\(A\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato superiormente. Si dice che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
Analogamente,
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
Per \(x\to-\infty\), la condizione \(x>A\) viene sostituita da \(x<A\). Si ottengono quindi le definizioni:
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
se
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)>M, \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
se
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)<-M. \]
Le definizioni mostrano che i simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non indicano valori effettivamente raggiunti. Affermare che una funzione tende a \(+\infty\) significa che essa supera ogni soglia reale positiva prefissata; affermare che tende a \(-\infty\) significa che scende al di sotto di ogni soglia reale negativa prefissata.
Limite uguale a più infinito in un punto
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Scrivere
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
significa che i valori di \(f(x)\) possono essere resi arbitrariamente grandi scegliendo \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\), ma diverso da \(x_0\).
In altri termini, qualunque sia la soglia positiva prefissata, esiste un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\) nel quale tutti i valori assunti dalla funzione, escluso eventualmente il valore corrispondente a \(x_0\), superano tale soglia.
Definizione formale
Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]
La soglia \(M\) viene scelta arbitrariamente e può essere grande quanto si desidera. Il numero \(\delta\), che in generale dipende da \(M\), determina quanto \(x\) debba essere vicino a \(x_0\) affinché la disuguaglianza \(f(x)>M\) sia verificata.
L’ordine dei quantificatori è essenziale: prima viene fissato un qualunque \(M>0\), poi si deve trovare un valore \(\delta>0\) adatto a quella soglia. Non è richiesto che esista un unico \(\delta\) valido contemporaneamente per ogni valore di \(M\).
Interpretazione mediante gli intorni
La condizione
\[ 0<|x-x_0|<\delta \]
equivale a richiedere che \(x\) appartenga all’intorno bucato
\[ (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}. \]
La definizione afferma dunque che, per ogni \(M>0\), esiste un intorno bucato di \(x_0\) nel quale il grafico della funzione si trova interamente al di sopra della retta orizzontale
\[ y=M. \]
Poiché \(M\) può essere scelto arbitrariamente grande, il grafico sale senza limite quando \(x\) si avvicina a \(x_0\).
Il valore della funzione nel punto \(x_0\)
Il valore \(f(x_0)\) non interviene nella definizione del limite. La funzione può non essere definita in \(x_0\), oppure può essere definita e assumere in quel punto un valore qualsiasi.
Ciò dipende dalla presenza della condizione
\[ 0<|x-x_0|, \]
che esclude il punto \(x=x_0\). Il limite descrive infatti il comportamento della funzione in prossimità del punto, non il valore assunto esattamente nel punto.
Esempio: il limite di \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) per \(x\to0\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(0\), il numero \(x^2\) diventa positivo e sempre più piccolo; di conseguenza, il suo reciproco diventa arbitrariamente grande. Ci aspettiamo pertanto che
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Verifica formale
Dobbiamo dimostrare che, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<|x|<\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x^2}>M. \]
Partiamo dalla disuguaglianza che vogliamo ottenere:
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Poiché \(x^2>0\) e \(M>0\), essa equivale a
\[ x^2<\frac{1}{M}, \]
cioè
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Infatti, se
\[ 0<|x|<\delta, \]
allora
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}, \]
da cui
\[ x^2<\frac{1}{M} \]
e quindi
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Poiché ciò vale per ogni \(M>0\), concludiamo che
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Un errore da evitare
La scrittura
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
non significa che \(f(x)\) assuma il valore \(+\infty\), né che \(+\infty\) sia un numero reale. Significa invece che \(f(x)\) supera ogni numero reale positivo prefissato quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(x_0\).
Inoltre, non è sufficiente che la funzione assuma valori molto grandi in alcuni punti vicini a \(x_0\). La definizione richiede che, fissata una soglia \(M\), tutti i punti del dominio sufficientemente vicini a \(x_0\), escluso \(x_0\), soddisfino la disuguaglianza \(f(x)>M\).
Limite uguale a meno infinito in un punto
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\) un punto di accumulazione del dominio \(D\). Scrivere
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
significa che i valori di \(f(x)\) possono essere resi arbitrariamente piccoli, cioè negativi e grandi in valore assoluto, scegliendo \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\), ma diverso da \(x_0\).
In altri termini, qualunque sia la soglia negativa prefissata, esiste un intorno sufficientemente piccolo di \(x_0\) nel quale tutti i valori assunti dalla funzione, escluso eventualmente il valore corrispondente a \(x_0\), si trovano al di sotto di tale soglia.
Definizione formale
Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<|x-x_0|<\delta \Longrightarrow f(x)<-M. \]
La soglia \(M\) è positiva, mentre il valore di confronto è \(-M\). Al crescere di \(M\), il numero \(-M\) diventa sempre più piccolo. La definizione richiede quindi che, avvicinando sufficientemente \(x\) a \(x_0\), la funzione scenda al di sotto di qualunque soglia negativa prefissata.
Anche in questo caso, il numero \(\delta\) può dipendere da \(M\). Una soglia più bassa può richiedere che \(x\) sia scelto ancora più vicino a \(x_0\).
Formulazione equivalente con una soglia reale
La definizione può essere espressa anche senza introdurre una soglia positiva \(M\). Dire che
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
equivale ad affermare che, per ogni numero reale \(K<0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<|x-x_0|<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<K. \]
Le due formulazioni sono equivalenti, perché ogni numero reale negativo \(K\) può essere scritto nella forma \(K=-M\), con \(M>0\).
Interpretazione mediante gli intorni
La condizione
\[ 0<|x-x_0|<\delta \]
richiede che \(x\) appartenga all’intorno bucato
\[ (x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}. \]
La definizione afferma dunque che, per ogni \(M>0\), esiste un intorno bucato di \(x_0\) nel quale il grafico della funzione si trova interamente al di sotto della retta orizzontale
\[ y=-M. \]
Poiché \(M\) può essere scelto arbitrariamente grande, la retta \(y=-M\) può essere collocata arbitrariamente in basso. Il grafico della funzione scende quindi senza limite quando \(x\) si avvicina a \(x_0\).
Il valore della funzione nel punto \(x_0\)
Come per ogni limite in un punto, il valore \(f(x_0)\) non interviene nella definizione. La funzione può non essere definita in \(x_0\), oppure può essere definita e assumere in quel punto un valore qualsiasi.
La condizione
\[ 0<|x-x_0| \]
esclude infatti il punto \(x=x_0\). Il limite dipende esclusivamente dal comportamento della funzione nei punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\).
Esempio: il limite di \(\displaystyle-\frac{1}{x^2}\) per \(x\to0\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=-\frac{1}{x^2}, \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(0\), il numero \(x^2\) rimane positivo e diventa sempre più piccolo. Di conseguenza, il reciproco \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) diventa arbitrariamente grande e il suo opposto diventa arbitrariamente piccolo. Ci aspettiamo pertanto che
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Verifica formale
Dobbiamo dimostrare che, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che
\[ 0<|x|<\delta \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{x^2}<-M. \]
Partiamo dalla disuguaglianza che vogliamo ottenere:
\[ -\frac{1}{x^2}<-M. \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(-1\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ \frac{1}{x^2}>M. \]
Poiché \(x^2>0\) e \(M>0\), questa condizione equivale a
\[ x^2<\frac{1}{M}, \]
cioè
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ \delta=\frac{1}{\sqrt{M}}. \]
Infatti, se
\[ 0<|x|<\delta, \]
allora
\[ |x|<\frac{1}{\sqrt{M}}, \]
da cui
\[ x^2<\frac{1}{M}. \]
Ne segue che
\[ \frac{1}{x^2}>M \]
e quindi
\[ -\frac{1}{x^2}<-M. \]
Poiché ciò vale per ogni \(M>0\), concludiamo che
\[ \lim_{x\to0}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
Un errore da evitare
La scrittura
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
non significa che la funzione assuma il valore \(-\infty\). Il simbolo \(-\infty\) non rappresenta un numero reale, ma descrive il fatto che \(f(x)\) diventa minore di qualunque soglia reale negativa prefissata.
Non è inoltre sufficiente che la funzione assuma valori molto negativi soltanto lungo alcuni punti che si avvicinano a \(x_0\). La definizione richiede che, fissata una soglia \(M>0\), tutti i punti del dominio sufficientemente vicini a \(x_0\), escluso \(x_0\), soddisfino la disuguaglianza \(f(x)<-M\).
Limiti infiniti destro e sinistro
Quando il comportamento di una funzione in prossimità di un punto \(x_0\) dipende dal lato da cui la variabile \(x\) si avvicina, è necessario considerare separatamente il limite destro e il limite sinistro.
Nel limite destro, \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori maggiori di \(x_0\); nel limite sinistro, \(x\) si avvicina a \(x_0\) assumendo valori minori di \(x_0\).
Anche i limiti destro e sinistro possono essere infiniti. Si possono quindi presentare le quattro situazioni:
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty. \]
Limite destro uguale a \(+\infty\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\) un punto di accumulazione da destra del dominio \(D\). Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<x-x_0<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]
La condizione
\[ 0<x-x_0<\delta \]
equivale a
\[ x_0<x<x_0+\delta. \]
La definizione riguarda quindi esclusivamente i punti del dominio situati a destra di \(x_0\).
Limite destro uguale a \(-\infty\)
Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<x-x_0<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<x-x_0<\delta \Longrightarrow f(x)<-M. \]
In questo caso, avvicinandosi a \(x_0\) da destra, i valori della funzione scendono al di sotto di qualunque soglia negativa prefissata.
Limite sinistro uguale a \(+\infty\)
Sia ora \(x_0\) un punto di accumulazione da sinistra del dominio \(D\). Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<x_0-x<\delta \Longrightarrow f(x)>M. \]
La condizione
\[ 0<x_0-x<\delta \]
equivale a
\[ x_0-\delta<x<x_0. \]
La definizione riguarda quindi esclusivamente i punti del dominio situati a sinistra di \(x_0\).
Limite sinistro uguale a \(-\infty\)
Si dice che
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ 0<x_0-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: \quad 0<x_0-x<\delta \Longrightarrow f(x)<-M. \]
In questo caso, avvicinandosi a \(x_0\) da sinistra, i valori della funzione diventano negativi e arbitrariamente grandi in valore assoluto.
Relazione tra limite destro, limite sinistro e limite in un punto
Supponiamo che \(x_0\) sia un punto di accumulazione del dominio sia da sinistra sia da destra. In questo caso, il limite infinito esiste se e soltanto se il limite sinistro e il limite destro esistono e coincidono.
In particolare,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
se e soltanto se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty. \]
Analogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty \]
se e soltanto se
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
Se i due limiti sono infiniti ma hanno segno opposto, il limite non esiste.
Se invece \(x_0\) è un punto di accumulazione del dominio soltanto da uno dei due lati, il limite per \(x\to x_0\), inteso relativamente al dominio, coincide con il limite calcolato dal lato in cui sono presenti punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\).
Esempio: la funzione \(\displaystyle\frac{1}{x}\) in \(x_0=0\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x\neq0. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(0\) da destra, \(x\) è positivo e sempre più piccolo. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Quando invece \(x\) si avvicina a \(0\) da sinistra, \(x\) è negativo e sempre più piccolo in valore assoluto. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Poiché i limiti destro e sinistro non coincidono, il limite
\[ \lim_{x\to0}\frac{1}{x} \]
non esiste.
Verifica formale del limite destro
Dimostriamo che
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(\delta>0\) tale che
\[ 0<x<\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}>M. \]
La disuguaglianza
\[ \frac{1}{x}>M \]
è verificata, per \(x>0\), quando
\[ x<\frac{1}{M}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Infatti, se \(0<x<\delta\), allora
\[ x<\frac{1}{M}, \]
e dunque
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Verifica formale del limite sinistro
Dimostriamo ora che
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]
Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(\delta>0\) tale che
\[ 0<-x<\delta \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{x}<-M. \]
Poiché \(x<0\), la disuguaglianza
\[ \frac{1}{x}<-M \]
equivale a
\[ x>-\frac{1}{M}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Infatti, dalla condizione
\[ 0<-x<\delta \]
segue
\[ -\delta<x<0. \]
Poiché \(\delta=\displaystyle\frac{1}{M}\), si ha
\[ -\frac{1}{M}<x<0, \]
da cui
\[ \frac{1}{x}<-M. \]
Interpretazione geometrica dei limiti infiniti
I limiti infiniti descrivono il comportamento del grafico di una funzione quando la variabile \(x\) si avvicina a un punto reale \(x_0\), mentre i valori di \(f(x)\) crescono o diminuiscono senza limite.
Dal punto di vista geometrico, il grafico presenta uno o più rami che, avvicinandosi alla retta verticale di equazione
\[ x=x_0, \]
salgono indefinitamente oppure scendono indefinitamente.
È importante osservare che il grafico non deve necessariamente raggiungere la retta \(x=x_0\), né la funzione deve essere definita nel punto \(x_0\). Il limite descrive esclusivamente il comportamento dei punti del grafico corrispondenti a valori di \(x\) arbitrariamente vicini a \(x_0\).
Limite uguale a \(+\infty\)
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]
allora, avvicinandosi a \(x_0\) attraverso i punti del dominio, il grafico della funzione sale al di sopra di qualunque retta orizzontale prefissata.
Infatti, fissata una qualunque altezza \(M>0\), esiste un intorno bucato di \(x_0\) nel quale tutti i punti del grafico soddisfano
\[ f(x)>M. \]
Geometricamente, ciò significa che tutti i rami del grafico presenti in prossimità di \(x_0\) si trovano interamente al di sopra della retta
\[ y=M, \]
purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\).
Se il dominio contiene punti arbitrariamente vicini a \(x_0\) da entrambi i lati, sono presenti un ramo sinistro e un ramo destro; se invece \(x_0\) è punto di accumulazione soltanto da un lato, il comportamento riguarda esclusivamente il ramo presente da quel lato.
Limite uguale a \(-\infty\)
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty, \]
allora, avvicinandosi a \(x_0\) attraverso i punti del dominio, il grafico della funzione scende al di sotto di qualunque retta orizzontale negativa prefissata.
Fissato infatti un qualunque \(M>0\), esiste un intorno bucato di \(x_0\) nel quale
\[ f(x)<-M. \]
Tutti i rami del grafico presenti in prossimità di \(x_0\) si trovano quindi interamente al di sotto della retta
\[ y=-M, \]
quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(x_0\).
Comportamenti differenti da destra e da sinistra
Il comportamento del grafico può essere diverso nei due lati del punto \(x_0\). Per questo motivo, l’interpretazione geometrica deve spesso essere formulata mediante i limiti destro e sinistro.
Se
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \]
il ramo del grafico situato a destra di \(x_0\) sale senza limite quando \(x\) si avvicina a \(x_0\).
Se invece
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty, \]
il ramo del grafico situato a sinistra di \(x_0\) scende senza limite quando \(x\) si avvicina a \(x_0\).
I due rami possono quindi:
- salire entrambi verso \(+\infty\);
- scendere entrambi verso \(-\infty\);
- avere comportamenti opposti, con uno che sale verso \(+\infty\) e l’altro che scende verso \(-\infty\).
Nel terzo caso il limite non esiste, perché i due limiti destro e sinistro non coincidono.
Esempi geometrici fondamentali
Per la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x^2}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Entrambi i rami del grafico salgono quindi senza limite quando \(x\) si avvicina a \(0\).
Per la funzione
\[ f(x)=-\frac{1}{x^2}, \]
si ha invece
\[ \lim_{x\to0^-}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^+}\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\infty. \]
In questo caso, entrambi i rami del grafico scendono senza limite.
Infine, per la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Il ramo sinistro scende senza limite, mentre il ramo destro sale senza limite.
Il grafico non raggiunge l’infinito
Dire che il grafico tende verso \(+\infty\) o verso \(-\infty\) non significa che esso raggiunga un punto posto “all’infinito”. I simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non rappresentano ordinate reali.
L’affermazione ha un significato esclusivamente quantitativo: il valore \(f(x)\) può superare ogni soglia positiva oppure scendere al di sotto di ogni soglia negativa, purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\).
Limite infinito e andamento della funzione
Un limite infinito non implica che la funzione sia monotona in un intero intorno di \(x_0\). La funzione può oscillare, purché tali oscillazioni avvengano al di sopra di soglie sempre più elevate oppure al di sotto di soglie sempre più basse.
Per esempio, una funzione può soddisfare
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
senza essere crescente in prossimità di \(x_0\). La definizione richiede soltanto che, fissato \(M>0\), tutti i valori della funzione siano maggiori di \(M\) quando \(x\) è sufficientemente vicino a \(x_0\).
L’andamento crescente o decrescente non fa quindi parte della definizione di limite infinito: ciò che conta è il superamento definitivo di ogni soglia prefissata.
Asintoti verticali
Il concetto di asintoto verticale è strettamente legato ai limiti infiniti in un punto. Quando il grafico di una funzione sale o scende senza limite avvicinandosi a una retta verticale, tale retta costituisce un asintoto verticale del grafico.
Definizione
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) e sia \(x_0\in\mathbb{R}\) un punto di accumulazione del dominio \(D\), almeno da uno dei due lati. La retta
\[ x=x_0 \]
si dice asintoto verticale del grafico di \(f\) se almeno uno dei limiti destro o sinistro di \(f(x)\), per \(x\to x_0\), è uguale a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\).
In altri termini, \(x=x_0\) è un asintoto verticale se si verifica almeno una delle condizioni:
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty, \]
\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty. \]
Non è quindi necessario che il comportamento infinito si presenti da entrambi i lati del punto \(x_0\). È sufficiente che si presenti almeno da un lato.
Asintoto verticale e limite destro e sinistro
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
oppure
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty, \]
allora la retta \(x=x_0\) è certamente un asintoto verticale.
Il viceversa, tuttavia, non richiede l’esistenza del limite. Per esempio, può accadere che
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty. \]
In questo caso il limite non esiste, ma la retta \(x=x_0\) è comunque un asintoto verticale.
Il punto \(x_0\) può appartenere al dominio
La presenza di un asintoto verticale non implica necessariamente che la funzione non sia definita nel punto \(x_0\).
Poiché il limite dipende dal comportamento della funzione nei punti vicini a \(x_0\), il valore \(f(x_0)\), quando esiste, può essere assegnato arbitrariamente senza modificare l’esistenza dell’asintoto verticale.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{x^2}, & x\neq0,\\ 0, & x=0, \end{cases} \]
è definita anche in \(x=0\), ma soddisfa comunque
\[ \lim_{x\to0}f(x)=+\infty. \]
Pertanto, la retta \(x=0\) resta un asintoto verticale del suo grafico.
Un solo asintoto, due possibili rami
Una stessa retta verticale può essere avvicinata dal grafico da sinistra, da destra oppure da entrambi i lati.
Se il dominio della funzione contiene punti arbitrariamente vicini a \(x_0\) soltanto da destra, può esistere un solo ramo del grafico in prossimità della retta \(x=x_0\). Analogamente, può esistere soltanto il ramo sinistro.
Per questo motivo, nella definizione di asintoto verticale è essenziale considerare i limiti destro e sinistro.
Esempio: la funzione \(\displaystyle\frac{1}{x}\)
Per la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
I due limiti destro e sinistro hanno segno opposto, perciò il limite per \(x\to0\) non esiste. Tuttavia, la retta
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale del grafico.
Esempio: la funzione \(\displaystyle\ln x\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\ln x, \qquad x>0. \]
Quando \(x\) si avvicina a \(0\) da destra, si ha
\[ \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty. \]
La funzione non è definita per \(x\leq0\), quindi non esiste un ramo sinistro del grafico in prossimità di \(0\). Ciononostante, la retta
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale.
Esempio: la funzione \(\displaystyle\frac{1}{(x-2)^2}\)
Per la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{(x-2)^2}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty \]
e la retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale.
Discontinuità e asintoti verticali
Se \(x=x_0\) è un asintoto verticale e \(x_0\) appartiene al dominio della funzione, allora la funzione non è continua in \(x_0\). Infatti, la continuità richiederebbe l’esistenza di un limite finito uguale a \(f(x_0)\), mentre in presenza di un asintoto verticale almeno uno dei limiti destro o sinistro è infinito.
Se invece \(x_0\) non appartiene al dominio, la continuità della funzione in \(x_0\) non è definita.
Non vale però il contrario: una funzione può essere discontinua in un punto senza possedere un asintoto verticale. Una discontinuità eliminabile o una discontinuità a salto, per esempio, non produce necessariamente alcun comportamento infinito.
Come individuare un asintoto verticale
Per verificare se la retta \(x=x_0\) è un asintoto verticale, si calcolano separatamente i limiti
\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x), \]
purché \(x_0\) sia un punto di accumulazione del dominio dal lato considerato.
Se almeno uno dei due limiti è uguale a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), allora \(x=x_0\) è un asintoto verticale.
L’annullamento di un denominatore può suggerire la presenza di un asintoto verticale, ma non è sufficiente. È sempre necessario studiare il limite, perché numeratore e denominatore possono avere fattori comuni che si semplificano.
Un caso in cui non esiste un asintoto verticale
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}, \qquad x\neq1. \]
Poiché
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
per \(x\neq1\) si ha
\[ f(x)=x+1. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to1}f(x)=2. \]
Sebbene il denominatore dell’espressione originaria si annulli in \(x=1\), il limite è finito. La retta \(x=1\) non è quindi un asintoto verticale; in quel punto è presente una discontinuità eliminabile.
Limite finito per \(x\to+\infty\)
Un limite finito per \(x\to+\infty\) descrive il comportamento di una funzione quando la variabile \(x\) assume valori positivi arbitrariamente grandi, mentre i valori di \(f(x)\) si avvicinano a un numero reale \(L\).
Scrivere
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
significa che la distanza tra \(f(x)\) e \(L\) può essere resa arbitrariamente piccola scegliendo \(x\) sufficientemente grande.
In questo caso non è la variabile \(x\) ad avvicinarsi a un punto reale. Al contrario, \(x\) supera qualunque soglia reale prefissata. La funzione, invece, si avvicina al valore finito \(L\).
Condizione sul dominio
Per poter studiare il limite di \(f(x)\) per \(x\to+\infty\), il dominio \(D\) della funzione deve essere non limitato superiormente.
Ciò significa che, per ogni numero reale \(A\), deve esistere almeno un punto \(x\in D\) tale che
\[ x>A. \]
In altri termini, il dominio deve contenere elementi arbitrariamente grandi. Non è necessario, tuttavia, che esso contenga un intero intervallo della forma \((A,+\infty)\).
Per esempio, anche l’insieme dei numeri naturali è non limitato superiormente, pur non contenendo tutti i numeri reali maggiori di una certa soglia.
Definizione formale
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato superiormente, e sia \(L\in\mathbb{R}\). Si dice che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
In forma simbolica:
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Il numero \(\varepsilon\) stabilisce quanto i valori di \(f(x)\) debbano essere vicini a \(L\), mentre la soglia \(A\) determina quanto debba essere grande \(x\) affinché tale vicinanza sia garantita.
In generale, \(A\) dipende da \(\varepsilon\). Quanto più piccolo è il valore di \(\varepsilon\), tanto più grande può essere la soglia oltre la quale la funzione rimane nell’intervallo desiderato.
Interpretazione della disuguaglianza
La condizione
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
equivale alla doppia disuguaglianza
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
La definizione afferma quindi che, per ogni fascia orizzontale centrata sulla retta \(y=L\), esiste una soglia \(A\) oltre la quale il grafico della funzione rimane interamente all’interno di tale fascia.
In altre parole, fissato un qualunque \(\varepsilon>0\), per tutti i punti del dominio con \(x>A\) si ha
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
Significato geometrico
Dal punto di vista geometrico, la scrittura
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
significa che il ramo destro del grafico si avvicina alla retta orizzontale
\[ y=L \]
quando \(x\) cresce senza limite.
Il grafico può avvicinarsi alla retta \(y=L\) dall’alto, dal basso oppure attraversarla infinite volte. Non è richiesto che la funzione sia monotona, né che rimanga sempre da uno stesso lato della retta.
La definizione richiede soltanto che, superata una soglia sufficientemente grande, il grafico rimanga definitivamente vicino alla retta \(y=L\).
Esempio: il limite di \(\displaystyle\frac{1}{x}\) per \(x\to+\infty\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x>0. \]
Quando \(x\) assume valori positivi sempre più grandi, il reciproco \(\displaystyle\frac{1}{x}\) diventa positivo e sempre più piccolo. Ci aspettiamo quindi che
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]
Verifica formale
Dobbiamo dimostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{1}{x}-0\right|<\varepsilon. \]
Poiché \(x>0\), si ha
\[ \left|\frac{1}{x}\right|=\frac{1}{x}. \]
La disuguaglianza richiesta è quindi
\[ \frac{1}{x}<\varepsilon. \]
Poiché \(x>0\) ed \(\varepsilon>0\), essa equivale a
\[ x>\frac{1}{\varepsilon}. \]
È dunque sufficiente scegliere
\[ A=\frac{1}{\varepsilon}. \]
Infatti, se \(x>A\), allora
\[ x>\frac{1}{\varepsilon}, \]
da cui
\[ \frac{1}{x}<\varepsilon. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]
Esempio: il limite di \(\displaystyle 3+\frac{2}{x}\)
Consideriamo ora la funzione
\[ f(x)=3+\frac{2}{x}. \]
Poiché
\[ \frac{2}{x}\to0 \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty, \]
ci aspettiamo che
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]
Per verificarlo formalmente, fissiamo \(\varepsilon>0\) e imponiamo
\[ \left|3+\frac{2}{x}-3\right|<\varepsilon. \]
Per \(x>0\), questa disuguaglianza diventa
\[ \frac{2}{x}<\varepsilon, \]
che equivale a
\[ x>\frac{2}{\varepsilon}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ A=\frac{2}{\varepsilon}. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]
Il limite non dipende dal comportamento iniziale
Il limite per \(x\to+\infty\) dipende esclusivamente dal comportamento della funzione per valori sufficientemente grandi di \(x\).
Modificare la funzione in un intervallo limitato non cambia il suo limite per \(x\to+\infty\). Per esempio, una funzione può assumere valori arbitrari per \(x\leq100\) e coincidere con \(\displaystyle\frac{1}{x}\) per \(x>100\); il suo limite per \(x\to+\infty\) rimane uguale a \(0\).
Questo fatto deriva direttamente dalla definizione, che considera soltanto i punti del dominio situati oltre una soglia \(A\).
Il limite finito non implica monotonia
L’esistenza di un limite finito per \(x\to+\infty\) non implica che la funzione sia crescente o decrescente.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=\frac{\sin x}{x}, \qquad x>0, \]
oscilla assumendo valori positivi e negativi, ma l’ampiezza delle oscillazioni tende a zero. Infatti,
\[ -\frac{1}{x}\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac{1}{x}, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0. \]
La funzione può dunque oscillare infinite volte e avere comunque un limite finito.
Un errore da evitare
La scrittura
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
non significa che \(x\) raggiunga il valore \(+\infty\), né che la funzione assuma definitivamente il valore esatto \(L\).
Significa che, fissato un qualunque \(\varepsilon>0\), i valori della funzione rimangono a distanza minore di \(\varepsilon\) da \(L\) per tutti gli \(x\) del dominio sufficientemente grandi.
Limite finito per \(x\to-\infty\)
Un limite finito per \(x\to-\infty\) descrive il comportamento di una funzione quando la variabile \(x\) assume valori negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto, mentre i valori di \(f(x)\) si avvicinano a un numero reale \(L\).
Scrivere
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
significa che la distanza tra \(f(x)\) e \(L\) può essere resa arbitrariamente piccola scegliendo \(x\) sufficientemente piccolo e negativo.
Anche in questo caso la variabile \(x\) non si avvicina a un punto reale. Essa scende al di sotto di qualunque soglia reale prefissata, mentre la funzione si avvicina al valore finito \(L\).
Condizione sul dominio
Per poter studiare il limite di \(f(x)\) per \(x\to-\infty\), il dominio \(D\) della funzione deve essere non limitato inferiormente.
Ciò significa che, per ogni numero reale \(A\), deve esistere almeno un punto \(x\in D\) tale che
\[ x<A. \]
In altri termini, il dominio deve contenere elementi arbitrariamente piccoli.
Definizione formale
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato inferiormente, e sia \(L\in\mathbb{R}\). Si dice che
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-L|<\varepsilon. \]
In forma simbolica:
\[ \forall\varepsilon>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon. \]
Il numero \(\varepsilon\) stabilisce quanto i valori di \(f(x)\) debbano essere vicini a \(L\), mentre la soglia \(A\) determina quanto \(x\) debba essere negativo affinché tale vicinanza sia garantita.
In generale, \(A\) dipende da \(\varepsilon\). Quanto più piccolo è \(\varepsilon\), cioè quanto maggiore è la precisione richiesta, tanto più a sinistra può essere necessario scegliere la soglia \(A\).
Interpretazione della disuguaglianza
La condizione
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
equivale alla doppia disuguaglianza
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
La definizione afferma quindi che, fissata una qualunque fascia orizzontale centrata sulla retta \(y=L\), esiste una soglia \(A\) tale che il grafico della funzione rimane interamente all’interno di quella fascia per tutti i punti del dominio con \(x<A\).
Significato geometrico
Dal punto di vista geometrico, la scrittura
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
significa che il ramo sinistro del grafico si avvicina alla retta orizzontale
\[ y=L \]
quando \(x\) diminuisce senza limite.
Il grafico può avvicinarsi alla retta dall’alto, dal basso oppure attraversarla infinite volte. Non è richiesto che la funzione sia monotona.
Esempio: il limite di \(\displaystyle\frac{1}{x}\) per \(x\to-\infty\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x}, \qquad x<0. \]
Quando \(x\) assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, il reciproco \(\displaystyle\frac{1}{x}\) rimane negativo e si avvicina a \(0\). Ci aspettiamo quindi che
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]
Verifica formale
Dobbiamo dimostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad \left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon. \]
Poiché \(x<0\), si ha
\[ \left|\frac{1}{x}\right|=-\frac{1}{x}. \]
La disuguaglianza richiesta è quindi
\[ -\frac{1}{x}<\varepsilon. \]
Per \(x<0\), questa condizione equivale a
\[ x<-\frac{1}{\varepsilon}. \]
È dunque sufficiente scegliere
\[ A=-\frac{1}{\varepsilon}. \]
Infatti, se \(x<A\), allora
\[ x<-\frac{1}{\varepsilon}, \]
da cui
\[ \left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]
Esempio: il limite di \(\displaystyle 3+\frac{2}{x}\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=3+\frac{2}{x}. \]
Poiché
\[ \frac{2}{x}\to0 \qquad\text{per}\qquad x\to-\infty, \]
si ha
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]
Per verificarlo formalmente, fissiamo \(\varepsilon>0\) e imponiamo
\[ \left|3+\frac{2}{x}-3\right|<\varepsilon. \]
La condizione diventa
\[ \left|\frac{2}{x}\right|<\varepsilon, \]
cioè
\[ \frac{2}{|x|}<\varepsilon. \]
È sufficiente richiedere
\[ |x|>\frac{2}{\varepsilon}. \]
Poiché \(x\) è negativo, questa condizione equivale a
\[ x<-\frac{2}{\varepsilon}. \]
Possiamo quindi scegliere
\[ A=-\frac{2}{\varepsilon}. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(3+\frac{2}{x}\right)=3. \]
Confronto tra \(x\to+\infty\) e \(x\to-\infty\)
Una funzione può avere lo stesso limite per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\), ma ciò non è necessario.
Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0. \]
La funzione si avvicina quindi allo stesso valore nei due estremi del dominio.
Al contrario, per la funzione
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1 \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
I due comportamenti all’infinito devono dunque essere studiati separatamente.
Il limite non dipende dal comportamento iniziale
Il limite per \(x\to-\infty\) dipende esclusivamente dal comportamento della funzione per valori sufficientemente negativi di \(x\).
Modificare la funzione in un insieme limitato inferiormente non cambia il suo limite per \(x\to-\infty\). Ciò segue direttamente dalla definizione, che considera soltanto i punti del dominio posti a sinistra di una certa soglia \(A\).
Il limite finito non implica monotonia
Anche per \(x\to-\infty\), l’esistenza di un limite finito non implica che la funzione sia monotona.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=\frac{\sin x}{x} \]
oscilla infinite volte, ma soddisfa
\[ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\leq\frac{1}{|x|}. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{|x|}=0, \]
si ha
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{\sin x}{x}=0. \]
Un errore da evitare
La scrittura
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L \]
non significa che \(x\) raggiunga il valore \(-\infty\), né che la funzione assuma definitivamente il valore esatto \(L\).
Significa che, fissato un qualunque \(\varepsilon>0\), i valori della funzione rimangono a distanza minore di \(\varepsilon\) da \(L\) per tutti gli \(x\) del dominio sufficientemente negativi.
Interpretazione geometrica dei limiti finiti all’infinito
I limiti finiti per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\) descrivono il comportamento del grafico di una funzione nelle regioni poste rispettivamente molto a destra e molto a sinistra del piano cartesiano.
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, \]
il ramo destro del grafico si avvicina alla retta orizzontale
\[ y=L \]
quando \(x\) assume valori positivi arbitrariamente grandi.
Se invece
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
il ramo sinistro del grafico si avvicina alla stessa retta quando \(x\) assume valori negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto.
Interpretazione mediante fasce orizzontali
Consideriamo il limite
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L. \]
Fissato un qualunque \(\varepsilon>0\), la condizione
\[ |f(x)-L|<\varepsilon \]
equivale a
\[ L-\varepsilon<f(x)<L+\varepsilon. \]
Geometricamente, queste disuguaglianze individuano la fascia orizzontale compresa tra le rette
\[ y=L-\varepsilon \qquad\text{e}\qquad y=L+\varepsilon. \]
La definizione di limite afferma che esiste una soglia \(A\) tale che tutti i punti del grafico corrispondenti a valori \(x>A\) appartengono a questa fascia.
In modo analogo, se
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
allora, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste una soglia \(A\) tale che tutti i punti del grafico con \(x<A\) si trovano nella fascia compresa tra \(y=L-\varepsilon\) e \(y=L+\varepsilon\).
Poiché \(\varepsilon\) può essere scelto arbitrariamente piccolo, il grafico può essere confinato in fasce sempre più strette attorno alla retta \(y=L\).
Avvicinamento dall’alto o dal basso
Il grafico può avvicinarsi alla retta \(y=L\) rimanendo al di sopra di essa. In questo caso, per valori sufficientemente grandi in valore assoluto,
\[ f(x)>L. \]
Può anche avvicinarsi dal basso, soddisfacendo definitivamente
\[ f(x)<L. \]
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ 2+\frac{1}{x}>2 \]
e
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(2+\frac{1}{x}\right)=2. \]
Il grafico si avvicina quindi alla retta \(y=2\) dall’alto.
Al contrario,
\[ 2-\frac{1}{x}<2 \]
per \(x>0\), e
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2. \]
In questo caso il grafico si avvicina alla retta \(y=2\) dal basso.
Il grafico può attraversare la retta \(y=L\)
L’esistenza del limite
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \]
non implica che il grafico rimanga definitivamente da un solo lato della retta \(y=L\).
Esso può attraversarla infinite volte, purché la distanza verticale tra il grafico e la retta tenda a zero.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)=L+\frac{\sin x}{x}, \qquad x>0. \]
Poiché
\[ -\frac{1}{x}\leq\frac{\sin x}{x}\leq\frac{1}{x}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0 \]
e quindi
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(L+\frac{\sin x}{x}\right)=L. \]
Il grafico oscilla al di sopra e al di sotto della retta \(y=L\), attraversandola ogni volta che \(\sin x=0\), ma l’ampiezza delle oscillazioni tende a zero.
Il grafico può intersecare un asintoto orizzontale
Una retta orizzontale alla quale il grafico si avvicina all’infinito non costituisce necessariamente una barriera che il grafico non può attraversare.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=\frac{\sin x}{x} \]
soddisfa
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0 \]
e interseca la retta \(y=0\) infinite volte.
Anche una retta verticale \(x=x_0\) che costituisce un asintoto può contenere un punto del grafico, qualora la funzione sia definita in \(x_0\). L’esistenza di un asintoto verticale riguarda infatti il comportamento della funzione per \(x\to x_0\) e non esclude che sia assegnato un valore finito a \(f(x_0)\).
La differenza essenziale è che un asintoto orizzontale descrive il comportamento del grafico per \(x\to+\infty\) oppure per \(x\to-\infty\), mentre un asintoto verticale descrive un comportamento infinito della funzione per \(x\to x_0\).
Comportamenti diversi nei due estremi del dominio
I comportamenti del grafico per \(x\to+\infty\) e per \(x\to-\infty\) sono indipendenti.
Può accadere che la funzione tenda allo stesso valore reale nei due estremi:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. \]
In questo caso, sia il ramo destro sia il ramo sinistro del grafico si avvicinano alla stessa retta orizzontale \(y=L\).
È anche possibile che i due limiti siano finiti ma differenti:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L_2, \qquad L_1\neq L_2. \]
In tal caso il grafico si avvicina a due rette orizzontali distinte, una verso destra e una verso sinistra.
Esempio con due comportamenti differenti
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]
Per \(x\to+\infty\), possiamo scrivere
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}, \]
perché \(x>0\) per valori sufficientemente grandi. Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1. \]
Per \(x\to-\infty\), invece, si ha \(|x|=-x\), perciò
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{|x|\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x^2}}}. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
Il ramo destro del grafico si avvicina quindi alla retta \(y=1\), mentre il ramo sinistro si avvicina alla retta \(y=-1\).
Limite finito e forma del grafico
Il limite finito all’infinito non determina la forma complessiva del grafico. Esso descrive soltanto ciò che accade definitivamente per valori di \(x\) arbitrariamente grandi positivamente o negativamente.
Prima di entrare nella fascia attorno a \(y=L\), il grafico può presentare massimi, minimi, oscillazioni, discontinuità o altri comportamenti.
Anche dopo aver superato una determinata soglia, la funzione può continuare a oscillare, purché le oscillazioni rimangano confinate in qualunque fascia orizzontale prefissata attorno a \(y=L\).
Asintoti orizzontali
Gli asintoti orizzontali descrivono il comportamento del grafico di una funzione per valori della variabile arbitrariamente grandi positivamente o negativamente.
Quando una funzione tende a un numero reale \(L\) per \(x\to+\infty\) oppure per \(x\to-\infty\), il grafico si avvicina alla retta orizzontale
\[ y=L. \]
Definizione
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\).
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, \]
allora la retta
\[ y=L \]
si dice asintoto orizzontale destro del grafico di \(f\).
Se invece
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
allora la retta
\[ y=L \]
si dice asintoto orizzontale sinistro del grafico di \(f\).
In entrambi i casi si parla semplicemente di asintoto orizzontale quando non è necessario specificare il verso considerato.
Significato geometrico
Se \(y=L\) è un asintoto orizzontale destro, il ramo destro del grafico si avvicina alla retta \(y=L\) quando \(x\) cresce senza limite.
Se \(y=L\) è un asintoto orizzontale sinistro, il ramo sinistro del grafico si avvicina alla retta \(y=L\) quando \(x\) diminuisce senza limite.
In termini formali, fissato un qualunque \(\varepsilon>0\), il grafico rimane definitivamente nella fascia
\[ L-\varepsilon<y<L+\varepsilon. \]
Per un asintoto destro ciò accade per \(x\) sufficientemente grande; per un asintoto sinistro, per \(x\) sufficientemente negativo.
La stessa retta può essere asintoto nei due versi
Può accadere che una stessa retta sia asintoto orizzontale sia per \(x\to+\infty\) sia per \(x\to-\infty\).
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L, \]
allora entrambi i rami estremi del grafico si avvicinano alla retta
\[ y=L. \]
Per esempio, per la funzione
\[ f(x)=\frac{1}{x^2}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^2}=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x^2}=0. \]
La retta \(y=0\) è quindi asintoto orizzontale sia a destra sia a sinistra.
Asintoti orizzontali differenti
Una funzione può avere due asintoti orizzontali distinti: uno per \(x\to+\infty\) e uno per \(x\to-\infty\).
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L_2, \qquad L_1\neq L_2, \]
allora \(y=L_1\) è asintoto orizzontale destro e \(y=L_2\) è asintoto orizzontale sinistro.
Per esempio, per
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}, \]
si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=-1. \]
Le rette \(y=1\) e \(y=-1\) sono quindi, rispettivamente, asintoto orizzontale destro e asintoto orizzontale sinistro.
Il grafico può intersecare un asintoto orizzontale
Un asintoto orizzontale non è una retta che il grafico non può attraversare.
La definizione richiede soltanto che la distanza tra il grafico e la retta tenda a zero all’infinito. Il grafico può quindi intersecare l’asintoto un numero finito oppure infinito di volte.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=\frac{\sin x}{x} \]
soddisfa
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0 \]
e interseca la retta \(y=0\) ogni volta che
\[ x=k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. \]
L’asintoto non deve essere raggiunto
L’esistenza dell’asintoto orizzontale \(y=L\) non implica che la funzione assuma effettivamente il valore \(L\).
Per esempio, per
\[ f(x)=L+\frac{1}{x^2}, \]
si ha \(f(x)>L\) per ogni \(x\neq0\), ma
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\left(L+\frac{1}{x^2}\right)=L. \]
Il grafico si avvicina quindi alla retta \(y=L\) senza intersecarla.
Unicità dell’asintoto orizzontale in ciascun verso
Una funzione non può avere due asintoti orizzontali distinti per \(x\to+\infty\).
Infatti, il limite di una funzione, quando esiste, è unico. Se si avesse contemporaneamente
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=L_2, \]
allora necessariamente \(L_1=L_2\).
Lo stesso vale per \(x\to-\infty\). Una funzione può quindi avere al massimo un asintoto orizzontale destro e al massimo un asintoto orizzontale sinistro.
Asintoto orizzontale e funzione limitata
Se una funzione ammette un limite finito per \(x\to+\infty\), allora è limitata per valori sufficientemente grandi di \(x\).
Infatti, se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L, \]
scegliendo \(\varepsilon=1\), esiste una soglia \(A\) tale che
\[ |f(x)-L|<1 \]
per ogni \(x\in D\) con \(x>A\). Ne segue che
\[ L-1<f(x)<L+1. \]
Analogamente, se esiste un limite finito per \(x\to-\infty\), la funzione è limitata per valori sufficientemente negativi di \(x\).
Ciò non implica, tuttavia, che la funzione sia limitata nell’intero dominio.
Come individuare un asintoto orizzontale
Per determinare gli eventuali asintoti orizzontali di una funzione si calcolano separatamente i limiti
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x), \]
purché il dominio sia non limitato rispettivamente superiormente e inferiormente.
Se uno di questi limiti esiste ed è uguale a un numero reale \(L\), allora la retta \(y=L\) è un asintoto orizzontale nel verso corrispondente.
Se invece il limite è uguale a \(+\infty\), a \(-\infty\) oppure non esiste, non vi è alcun asintoto orizzontale in quel verso.
Esempio con una funzione razionale
Consideriamo
\[ f(x)=\frac{2x+1}{x-3}. \]
Dividendo numeratore e denominatore per \(x\), otteniamo
\[ \frac{2x+1}{x-3} = \frac{2+\displaystyle\frac{1}{x}} {1-\displaystyle\frac{3}{x}}. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0, \]
segue che
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x-3}=2 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{2x+1}{x-3}=2. \]
La retta \(y=2\) è quindi asintoto orizzontale sia a destra sia a sinistra.
Limiti infiniti per \(x\to+\infty\)
Un limite infinito per \(x\to+\infty\) descrive il comportamento di una funzione quando la variabile \(x\) assume valori positivi arbitrariamente grandi e, nello stesso tempo, i valori di \(f(x)\) crescono oppure diminuiscono senza limite.
Si possono presentare due casi:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
oppure
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]
Nel primo caso, la funzione supera qualunque soglia positiva prefissata per tutti gli \(x\) sufficientemente grandi. Nel secondo caso, la funzione scende al di sotto di qualunque soglia negativa prefissata.
Limite uguale a \(+\infty\) per \(x\to+\infty\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato superiormente. Si dice che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow f(x)>M. \]
La soglia \(M\) può essere scelta arbitrariamente grande. La definizione richiede che, oltre un’opportuna soglia \(A\), tutti i valori della funzione siano maggiori di \(M\).
In generale, \(A\) dipende da \(M\): quanto più elevata è la soglia che la funzione deve superare, tanto più grande può essere il valore di \(x\) necessario.
Interpretazione geometrica
Dal punto di vista geometrico, la scrittura
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
significa che il ramo destro del grafico sale senza limite.
Fissata una qualunque retta orizzontale
\[ y=M, \]
con \(M>0\), esiste una soglia \(A\) tale che tutti i punti del grafico corrispondenti a valori \(x>A\) si trovano al di sopra di tale retta.
Il grafico non deve essere necessariamente crescente. Può oscillare, purché superi definitivamente ogni soglia positiva prefissata.
Esempio: il limite di \(x^2\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x^2. \]
Quando \(x\) assume valori positivi sempre più grandi, anche \(x^2\) cresce senza limite. Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]
Verifica formale
Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad x^2>M. \]
Per \(x>0\), la disuguaglianza
\[ x^2>M \]
è verificata quando
\[ x>\sqrt{M}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ A=\sqrt{M}. \]
Infatti, se \(x>A\), allora
\[ x>\sqrt{M}, \]
e quindi
\[ x^2>M. \]
Poiché ciò vale per ogni \(M>0\), concludiamo che
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty. \]
Esempio: il limite di \(e^x\)
La funzione esponenziale
\[ f(x)=e^x \]
assume valori positivi e cresce senza limite per \(x\to+\infty\). Si ha quindi
\[ \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty. \]
Per una verifica formale, fissato \(M>0\), è sufficiente scegliere
\[ A=\ln M \]
quando \(M>0\). Infatti, se \(x>A\), allora
\[ x>\ln M \]
e, poiché la funzione esponenziale è strettamente crescente,
\[ e^x>M. \]
Limite uguale a \(-\infty\) per \(x\to+\infty\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato superiormente. Si dice che
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x>A \Longrightarrow f(x)<-M. \]
La definizione afferma che, oltre una soglia sufficientemente grande, i valori della funzione diventano minori di qualunque numero negativo prefissato.
Interpretazione geometrica
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty, \]
il ramo destro del grafico scende senza limite.
Fissata una qualunque retta orizzontale
\[ y=-M, \]
con \(M>0\), esiste una soglia \(A\) tale che tutti i punti del grafico con \(x>A\) si trovano al di sotto di tale retta.
Esempio: il limite di \(-x^2\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=-x^2. \]
Poiché \(x^2\) cresce senza limite per \(x\to+\infty\), il suo opposto diminuisce senza limite. Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty. \]
Verifica formale
Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x>A \quad\Longrightarrow\quad -x^2<-M. \]
Moltiplicando la disuguaglianza per \(-1\), il verso si inverte:
\[ x^2>M. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ A=\sqrt{M}. \]
Infatti, se \(x>A\), allora \(x^2>M\), e dunque
\[ -x^2<-M. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to+\infty}(-x^2)=-\infty. \]
Un limite infinito non implica monotonia
L’esistenza di un limite infinito per \(x\to+\infty\) non implica che la funzione sia definitivamente crescente o definitivamente decrescente.
Per esempio, consideriamo
\[ f(x)=x+2\sin x. \]
Poiché
\[ -1\leq\sin x\leq1, \]
si ha
\[ x-2\leq x+2\sin x\leq x+2. \]
In particolare,
\[ x+2\sin x\geq x-2. \]
Poiché \(x-2\to+\infty\) per \(x\to+\infty\), segue che
\[ \lim_{x\to+\infty}(x+2\sin x)=+\infty. \]
La funzione non è tuttavia definitivamente monotona, perché
\[ f'(x)=1+2\cos x \]
assume sia valori positivi sia valori negativi per valori di \(x\) arbitrariamente grandi.
La presenza di oscillazioni non impedisce quindi alla funzione di tendere a \(+\infty\).
Crescita senza limite e valori arbitrariamente grandi
Affermare che una funzione è non limitata superiormente non è sufficiente per concludere che essa tenda a \(+\infty\).
Una funzione può assumere valori arbitrariamente grandi senza rimanere definitivamente al di sopra di ogni soglia.
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=x\sin x \]
assume valori positivi arbitrariamente grandi e valori negativi arbitrariamente piccoli, ma non soddisfa
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \]
né
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]
Infatti, la definizione di limite infinito richiede che, oltre una certa soglia, tutti i valori della funzione superino \(M\) oppure siano minori di \(-M\), non soltanto che ciò accada lungo alcune successioni di punti.
Un errore da evitare
Le scritture
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty \]
non indicano che la funzione raggiunga i valori \(+\infty\) o \(-\infty\).
Significano rispettivamente che \(f(x)\) supera definitivamente ogni soglia positiva oppure scende definitivamente al di sotto di ogni soglia negativa, quando \(x\) assume valori sufficientemente grandi.
Limiti infiniti per \(x\to-\infty\)
Un limite infinito per \(x\to-\infty\) descrive il comportamento di una funzione quando la variabile \(x\) assume valori negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto e, contemporaneamente, i valori di \(f(x)\) crescono oppure diminuiscono senza limite.
Si possono presentare due casi:
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
oppure
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]
Nel primo caso, la funzione supera qualunque soglia positiva prefissata per tutti gli \(x\) sufficientemente negativi. Nel secondo caso, la funzione scende al di sotto di qualunque soglia negativa prefissata.
Limite uguale a \(+\infty\) per \(x\to-\infty\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato inferiormente. Si dice che
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)>M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)>M. \]
La definizione afferma che, fissata una qualunque soglia positiva \(M\), esiste un valore \(A\) tale che la funzione supera \(M\) in tutti i punti del dominio posti a sinistra di \(A\).
In generale, la soglia \(A\) dipende da \(M\). Quanto più grande è il valore che la funzione deve superare, tanto più negativo può essere necessario scegliere \(A\).
Interpretazione geometrica
Dal punto di vista geometrico, la scrittura
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
significa che il ramo sinistro del grafico sale senza limite quando ci si sposta verso sinistra nel piano cartesiano.
Fissata una qualunque retta orizzontale
\[ y=M, \]
con \(M>0\), esiste una soglia \(A\) tale che tutti i punti del grafico corrispondenti a valori \(x<A\) si trovano al di sopra di tale retta.
Esempio: il limite di \(x^2\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x^2. \]
Quando \(x\) assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, il quadrato \(x^2\) cresce senza limite. Pertanto,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]
Verifica formale
Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad x^2>M. \]
Se \(x<-\sqrt{M}\), allora
\[ |x|>\sqrt{M} \]
e quindi
\[ x^2>M. \]
È dunque sufficiente scegliere
\[ A=-\sqrt{M}. \]
Infatti, se \(x<A\), allora
\[ x<-\sqrt{M}, \]
da cui segue
\[ x^2>M. \]
Poiché ciò vale per ogni \(M>0\), si conclude che
\[ \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]
Limite uguale a \(-\infty\) per \(x\to-\infty\)
Sia \(f:D\to\mathbb{R}\), con \(D\) non limitato inferiormente. Si dice che
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
se, per ogni \(M>0\), esiste \(A\in\mathbb{R}\) tale che, per ogni \(x\in D\),
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad f(x)<-M. \]
In forma simbolica:
\[ \forall M>0\ \exists A\in\mathbb{R}\ \forall x\in D: \quad x<A \Longrightarrow f(x)<-M. \]
La definizione richiede che, fissata una qualunque soglia negativa \(-M\), tutti i valori della funzione siano minori di \(-M\) per gli \(x\) del dominio sufficientemente negativi.
Interpretazione geometrica
Se
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty, \]
il ramo sinistro del grafico scende senza limite quando ci si sposta verso sinistra.
Fissata una qualunque retta orizzontale
\[ y=-M, \]
con \(M>0\), esiste una soglia \(A\) tale che tutti i punti del grafico con \(x<A\) si trovano al di sotto di tale retta.
Esempio: il limite di \(x^3\)
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=x^3. \]
Quando \(x\) assume valori negativi sempre più grandi in valore assoluto, anche \(x^3\) è negativo e diventa arbitrariamente grande in valore assoluto. Pertanto,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Verifica formale
Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(A\in\mathbb{R}\) tale che
\[ x<A \quad\Longrightarrow\quad x^3<-M. \]
Poiché la funzione cubica è strettamente crescente, la disuguaglianza
\[ x^3<-M \]
equivale a
\[ x<-\sqrt[3]{M}. \]
È quindi sufficiente scegliere
\[ A=-\sqrt[3]{M}. \]
Infatti, se \(x<A\), allora
\[ x<-\sqrt[3]{M}, \]
e, elevando al cubo,
\[ x^3<-M. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Esempio: il limite di \(-x^3\)
Per la funzione
\[ f(x)=-x^3, \]
si ha
\[ \lim_{x\to-\infty}(-x^3)=+\infty. \]
Infatti, quando \(x\to-\infty\), si ha \(x^3\to-\infty\); cambiando segno, i valori di \(-x^3\) crescono senza limite.
Formalmente, fissato \(M>0\), la condizione
\[ -x^3>M \]
equivale a
\[ x^3<-M, \]
e quindi a
\[ x<-\sqrt[3]{M}. \]
Possiamo dunque scegliere
\[ A=-\sqrt[3]{M}. \]
Il ruolo della parità delle potenze
Il comportamento delle potenze \(x^n\) per \(x\to-\infty\) dipende dalla parità dell’esponente \(n\).
Se \(n\) è pari, allora \(x^n\) è positivo sia per \(x>0\) sia per \(x<0\), e si ha
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=+\infty. \]
Se \(n\) è dispari, il segno di \(x^n\) coincide con quello di \(x\), e quindi
\[ \lim_{x\to-\infty}x^n=-\infty. \]
In particolare,
\[ \lim_{x\to-\infty}x^{2k}=+\infty, \qquad k\in\mathbb{N},\ k\geq1, \]
mentre
\[ \lim_{x\to-\infty}x^{2k+1}=-\infty, \qquad k\in\mathbb{N}. \]
Confronto con il comportamento per \(x\to+\infty\)
Una funzione può avere lo stesso comportamento infinito nei due estremi del dominio oppure comportamenti differenti.
Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty. \]
La funzione \(x^2\) cresce quindi senza limite sia verso destra sia verso sinistra.
Per la funzione cubica, invece,
\[ \lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty. \]
Il ramo destro sale senza limite, mentre il ramo sinistro scende senza limite.
Un limite infinito non implica monotonia
Anche per \(x\to-\infty\), l’esistenza di un limite infinito non implica che la funzione sia definitivamente monotona.
Consideriamo, per esempio,
\[ f(x)=x+2\sin x. \]
Poiché
\[ -1\leq\sin x\leq1, \]
si ha
\[ x-2\leq x+2\sin x\leq x+2. \]
In particolare,
\[ x+2\sin x\leq x+2. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty, \]
segue che
\[ \lim_{x\to-\infty}(x+2\sin x)=-\infty. \]
La funzione non è tuttavia definitivamente monotona, perché
\[ f'(x)=1+2\cos x \]
assume sia valori positivi sia valori negativi per valori di \(x\) negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto.
Le oscillazioni non impediscono quindi alla funzione di tendere a \(-\infty\).
Funzione non limitata e limite infinito
Il fatto che una funzione sia non limitata superiormente o inferiormente per valori negativi arbitrariamente grandi in valore assoluto non è sufficiente per concludere che essa abbia un limite infinito per \(x\to-\infty\).
Per esempio, la funzione
\[ f(x)=x\sin x \]
assume valori positivi arbitrariamente grandi e valori negativi arbitrariamente piccoli anche per \(x\to-\infty\), ma non tende né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
La definizione richiede infatti un comportamento definitivo: oltre una certa soglia verso sinistra, tutti i valori della funzione devono superare \(M\) oppure essere minori di \(-M\).
Un errore da evitare
La scrittura
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \]
non significa che valori negativi di \(x\) producano necessariamente valori negativi della funzione. Il segno della variabile e il segno dei valori di \(f(x)\) sono due aspetti distinti.
Analogamente,
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty \]
non significa che la funzione raggiunga il valore \(-\infty\). Significa che essa scende definitivamente al di sotto di ogni soglia negativa prefissata quando \(x\) è sufficientemente negativo.
Proprietà dei limiti infiniti e dei limiti all’infinito
Le proprietà dei limiti permettono di dedurre il comportamento di somme, prodotti, quozienti, potenze e altre espressioni a partire dai limiti delle funzioni coinvolte.
In tutta questa sezione, le scritture abbreviate \(\lim f(x)\) e \(\lim g(x)\) si riferiscono al medesimo processo di limite, che può essere un limite in un punto, un limite destro o sinistro oppure un limite all’infinito.
Nei casi in cui compaiono \(+\infty\) o \(-\infty\), è però necessario procedere con particolare attenzione. I simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non sono numeri reali e non possono essere trattati come numeri ordinari.
Alcune combinazioni determinano immediatamente il risultato del limite; altre producono invece una forma indeterminata, cioè una forma simbolica che non consente di stabilire il limite senza ulteriori trasformazioni o confronti.
Unicità del limite
Il limite di una funzione, quando esiste, è unico.
Ciò vale sia per i limiti finiti sia per i limiti infiniti, in un punto oppure all’infinito.
Per esempio, non è possibile che si abbia contemporaneamente
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty. \]
Analogamente, non è possibile che una stessa funzione abbia due limiti finiti distinti per \(x\to+\infty\).
Permanenza del segno
Se
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
con \(L>0\), allora esiste un intorno bucato di \(x_0\) nel quale
\[ f(x)>0. \]
Se invece \(L<0\), allora \(f(x)<0\) in un opportuno intorno bucato di \(x_0\).
Lo stesso principio vale per i limiti all’infinito. Se
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=L>0, \]
allora \(f(x)>0\) per tutti gli \(x\) del dominio sufficientemente grandi.
Se inoltre
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty, \]
allora \(f(x)\) è positiva in un opportuno intorno bucato di \(x_0\). Infatti, scegliendo \(M=1\), si ottiene
\[ f(x)>1>0 \]
per \(x\) sufficientemente vicino a \(x_0\).
Analogamente, se il limite è \(-\infty\), la funzione è definitivamente negativa.
Somma di un limite infinito e di un limite finito
Sia \(L\in\mathbb{R}\). Se
\[ \lim f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim g(x)=L, \]
allora
\[ \lim\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=+\infty. \]
Analogamente, se
\[ \lim f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim g(x)=L, \]
allora
\[ \lim\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=-\infty. \]
In forma sintetica:
\[ +\infty+L=+\infty, \qquad -\infty+L=-\infty, \]
dove queste scritture rappresentano regole sui limiti e non operazioni tra numeri reali.
Somma di due limiti infiniti dello stesso segno
Se
\[ \lim f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim g(x)=+\infty, \]
allora
\[ \lim\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=+\infty. \]
Analogamente, se
\[ \lim f(x)=-\infty \qquad\text{e}\qquad \lim g(x)=-\infty, \]
allora
\[ \lim\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=-\infty. \]
Si scrive sinteticamente:
\[ +\infty+(+\infty)=+\infty, \qquad -\infty+(-\infty)=-\infty. \]
Differenza tra limiti infiniti
La differenza tra due quantità che tendono entrambe a \(+\infty\) oppure entrambe a \(-\infty\) non è determinata in modo univoco.
Le forme
\[ +\infty-\infty \]
e
\[ -\infty+\infty \]
sono forme indeterminate.
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ x^2-x\to+\infty, \]
mentre
\[ x-x^2\to-\infty. \]
Inoltre,
\[ (x+1)-x\to1 \]
e
\[ x-x=0. \]
La stessa forma simbolica \(+\infty-\infty\) può quindi condurre a un limite infinito positivo, a un limite infinito negativo, a un limite finito oppure ad altri comportamenti.
Prodotto tra un limite infinito e un numero finito non nullo
Sia \(L\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\). Se
\[ \lim f(x)=+\infty \qquad\text{e}\qquad \lim g(x)=L, \]
allora il segno del prodotto dipende dal segno di \(L\).
Se \(L>0\), si ha
\[ \lim\bigl(f(x)g(x)\bigr)=+\infty. \]
Se \(L<0\), si ha invece
\[ \lim\bigl(f(x)g(x)\bigr)=-\infty. \]
Analogamente, se \(f(x)\to-\infty\), il prodotto tende a \(-\infty\) quando \(L>0\) e a \(+\infty\) quando \(L<0\).
In sintesi, il segno del limite del prodotto si determina con la consueta regola dei segni.
Prodotto di due limiti infiniti
Se entrambi i fattori tendono a infinito, il prodotto tende ancora a infinito e il segno si determina con la regola dei segni:
\[ (+\infty)(+\infty)=+\infty, \]
\[ (+\infty)(-\infty)=-\infty, \]
\[ (-\infty)(+\infty)=-\infty, \]
\[ (-\infty)(-\infty)=+\infty. \]
Anche queste scritture esprimono proprietà dei limiti e non prodotti tra numeri reali estesi trattati come numeri ordinari.
La forma indeterminata \(0\cdot\infty\)
Se una funzione tende a \(0\) e un’altra tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), il prodotto non è determinato dalla sola conoscenza dei due limiti.
La forma
\[ 0\cdot\infty \]
è quindi indeterminata.
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ \frac{1}{x}\cdot x=1, \]
mentre
\[ \frac{1}{x^2}\cdot x=\frac{1}{x}\to0 \]
e
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot x=\sqrt{x}\to+\infty. \]
La stessa forma può quindi produrre risultati differenti.
Quoziente con numeratore finito e denominatore infinito
Se
\[ \lim f(x)=L\in\mathbb{R} \]
e
\[ \lim g(x)=+\infty \]
oppure
\[ \lim g(x)=-\infty, \]
allora
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]
purché il quoziente sia definito per i valori considerati.
In particolare, per ogni costante reale \(L\),
\[ \frac{L}{\pm\infty}=0 \]
in senso simbolico.
Il segno con cui il quoziente si avvicina a \(0\) dipende dai segni del numeratore e del denominatore, ma il limite resta uguale a \(0\).
Quoziente con numeratore infinito e denominatore finito non nullo
Se
\[ \lim f(x)=\pm\infty \]
e
\[ \lim g(x)=L\neq0, \]
allora il quoziente tende a \(+\infty\) oppure a \(-\infty\), secondo i segni di \(f(x)\) e di \(L\).
Per esempio, se
\[ f(x)\to+\infty \qquad\text{e}\qquad g(x)\to L>0, \]
allora
\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty. \]
Se invece \(L<0\), il limite del quoziente è \(-\infty\).
La forma indeterminata \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
Quando numeratore e denominatore tendono entrambi a infinito, il limite del quoziente dipende dalla loro velocità di crescita.
La forma
\[ \frac{\infty}{\infty} \]
è pertanto indeterminata.
Per esempio, per \(x\to+\infty\),
\[ \frac{x}{x}=1, \]
mentre
\[ \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}\to0 \]
e
\[ \frac{x^2}{x}=x\to+\infty. \]
Anche in questo caso la sola forma simbolica non determina il risultato.
Quoziente con denominatore tendente a zero
Il comportamento del quoziente
\[ \frac{f(x)}{g(x)} \]
quando \(g(x)\to0\) dipende dal segno con cui il denominatore si avvicina a zero e dal limite del numeratore.
Se
\[ f(x)\to L>0 \]
e
\[ g(x)\to0^+, \]
allora
\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to+\infty. \]
Se invece
\[ g(x)\to0^-, \]
allora
\[ \frac{f(x)}{g(x)}\to-\infty. \]
Se \(L<0\), i segni si invertono.
La notazione \(g(x)\to0^+\) significa che \(g(x)\to0\) assumendo valori positivi; la notazione \(g(x)\to0^-\) significa invece che \(g(x)\to0\) assumendo valori negativi.
La forma indeterminata \(\displaystyle\frac{0}{0}\)
Se numeratore e denominatore tendono entrambi a zero, il quoziente presenta la forma indeterminata
\[ \frac{0}{0}. \]
Per esempio, per \(x\to0\),
\[ \frac{x}{x}=1, \]
mentre
\[ \frac{x^2}{x}=x\to0 \]
e
\[ \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x} \]
non ammette limite, poiché il limite sinistro e il limite destro sono infiniti di segno opposto.
Reciproco di una funzione che tende a infinito
Se
\[ \lim f(x)=+\infty \]
oppure
\[ \lim f(x)=-\infty, \]
allora
\[ \lim\frac{1}{f(x)}=0. \]
Se \(f(x)\to+\infty\), il reciproco tende a \(0\) assumendo valori positivi; se \(f(x)\to-\infty\), tende a \(0\) assumendo valori negativi.
Reciproco di una funzione che tende a zero
Se
\[ f(x)\to0^+, \]
allora
\[ \frac{1}{f(x)}\to+\infty. \]
Se invece
\[ f(x)\to0^-, \]
allora
\[ \frac{1}{f(x)}\to-\infty. \]
Se il segno di \(f(x)\) cambia arbitrariamente vicino al punto considerato, il reciproco può non avere limite.
Valore assoluto
Se
\[ \lim f(x)=+\infty \]
oppure
\[ \lim f(x)=-\infty, \]
allora
\[ \lim |f(x)|=+\infty. \]
Il contrario richiede invece attenzione. Se
\[ |f(x)|\to+\infty, \]
non segue necessariamente che \(f(x)\to+\infty\) oppure \(f(x)\to-\infty\).
Per esempio, consideriamo, per \(x\geq0\), la funzione
\[ f(x)= \begin{cases} x, & \lfloor x\rfloor \text{ pari},\\ -x, & \lfloor x\rfloor \text{ dispari}, \end{cases} \]
dove \(\lfloor x\rfloor\) indica la parte intera di \(x\). Poiché
\[ |f(x)|=x, \]
si ha
\[ |f(x)|\to+\infty \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty. \]
Tuttavia, \(f(x)\) assume alternativamente valori positivi e negativi e non tende né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Potenze
Se
\[ f(x)\to+\infty, \]
allora, per ogni intero \(n\geq1\),
\[ f(x)^n\to+\infty. \]
Se invece
\[ f(x)\to-\infty, \]
allora, per ogni intero \(n\geq1\),
\[ f(x)^{2n}\to+\infty, \]
mentre, per ogni intero \(n\geq0\),
\[ f(x)^{2n+1}\to-\infty. \]
Ogni potenza di esponente pari positivo tende quindi a \(+\infty\), mentre ogni potenza di esponente dispari positivo tende a \(-\infty\).
Radici
Se
\[ f(x)\to+\infty, \]
allora, per ogni intero \(n\geq2\),
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to+\infty, \]
purché la radice sia definita.
Se \(n\) è dispari e
\[ f(x)\to-\infty, \]
allora
\[ \sqrt[n]{f(x)}\to-\infty. \]
Funzione esponenziale e logaritmo
Per la funzione esponenziale di base \(a>1\), si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}a^x=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}a^x=0. \]
Se invece \(0<a<1\), i due comportamenti si scambiano:
\[ \lim_{x\to+\infty}a^x=0 \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}a^x=+\infty. \]
Per il logaritmo in base \(a>1\), si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}\log_a x=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to0^+}\log_a x=-\infty. \]
Se \(0<a<1\), i segni dei due limiti si invertono.
Principio del confronto per limiti infiniti
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni definite in prossimità del punto o nella regione all’infinito considerata.
Se
\[ f(x)\geq g(x) \]
definitivamente e
\[ g(x)\to+\infty, \]
allora
\[ f(x)\to+\infty. \]
Analogamente, se
\[ f(x)\leq g(x) \]
definitivamente e
\[ g(x)\to-\infty, \]
allora
\[ f(x)\to-\infty. \]
Queste proprietà permettono di dimostrare limiti infiniti confrontando la funzione con una funzione più semplice di comportamento noto.
Forme indeterminate principali
Tra le principali forme indeterminate incontrate nello studio dei limiti finiti e infiniti figurano:
\[ \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad \frac{0}{0}. \]
Nello studio delle potenze compaiono inoltre le forme
\[ 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0. \]
Una forma indeterminata non è il risultato del limite. Essa indica soltanto che le regole elementari non sono sufficienti e che è necessario trasformare l’espressione, raccogliere termini, razionalizzare, confrontare gli ordini di grandezza oppure applicare teoremi specifici.
Regole simboliche e rigore matematico
Scritture come
\[ +\infty+L=+\infty \]
oppure
\[ \frac{L}{+\infty}=0 \]
sono abbreviazioni utili per ricordare alcune proprietà dei limiti.
Esse non devono però essere interpretate come normali uguaglianze numeriche. Il loro significato corretto deriva sempre dalle ipotesi sui limiti delle funzioni coinvolte e dalle relative definizioni formali.
Confronto tra funzioni e comportamento all’infinito
Nello studio dei limiti all’infinito è spesso necessario confrontare funzioni diverse per stabilire quale cresca più rapidamente oppure quale sia trascurabile rispetto all’altra.
Questo confronto è particolarmente utile nelle forme indeterminate
\[ \frac{\infty}{\infty}, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty. \]
L’idea fondamentale consiste nell’individuare il termine dominante, cioè quello che determina il comportamento complessivo dell’espressione nel limite considerato.
Confronto mediante il rapporto
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni definite per valori sufficientemente grandi di \(x\), con \(g(x)\neq0\). Il rapporto
\[ \frac{f(x)}{g(x)} \]
permette di confrontare il comportamento asintotico e l’ordine di grandezza delle due funzioni.
Se
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0, \]
si dice che \(f\) è trascurabile rispetto a \(g\), oppure che \(f\) ha ordine di grandezza inferiore a \(g\), per \(x\to+\infty\).
Questa relazione si indica con
\[ f(x)=o\bigl(g(x)\bigr) \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty. \]
Se \(f\) e \(g\) divergono entrambe in valore assoluto, la stessa relazione permette anche di affermare che \(g\) cresce in valore assoluto più rapidamente di \(f\).
Se invece
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L, \qquad 0<|L|<+\infty, \]
le due funzioni hanno lo stesso ordine di grandezza.
Infine, se
\[ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\to+\infty, \]
allora \(g\) è trascurabile rispetto a \(f\) in valore assoluto, cioè \(f\) domina \(g\) in valore assoluto.
Se entrambe le funzioni divergono in valore assoluto, si può anche dire che \(f\) cresce in valore assoluto più rapidamente di \(g\).
Funzioni equivalenti
Siano \(f\) e \(g\) due funzioni non nulle per valori sufficientemente vicini al punto o nella regione all’infinito considerata. Si dice che \(f\) e \(g\) sono asintoticamente equivalenti se
\[ \lim\frac{f(x)}{g(x)}=1. \]
In tal caso si scrive
\[ f(x)\sim g(x). \]
L’equivalenza asintotica significa che, nel limite considerato, il rapporto tra le due funzioni si avvicina a \(1\). Le funzioni hanno quindi lo stesso comportamento principale.
Per esempio,
\[ x^2+3x+1\sim x^2 \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty, \]
perché
\[ \frac{x^2+3x+1}{x^2} = 1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2} \to1. \]
Il termine \(x^2\) determina quindi il comportamento dominante del polinomio.
Termine dominante di un polinomio
Consideriamo un polinomio di grado \(n\):
\[ P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq0. \]
Per \(x\to\pm\infty\), il comportamento di \(P(x)\) è determinato dal termine di grado massimo \(a_nx^n\).
Infatti,
\[ P(x) = x^n\left( a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\cdots+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_0}{x^n} \right). \]
Poiché tutti i termini contenenti potenze negative di \(x\) tendono a \(0\), si ha
\[ \frac{P(x)}{a_nx^n}\to1. \]
Pertanto,
\[ P(x)\sim a_nx^n \qquad\text{per}\qquad x\to\pm\infty. \]
Il segno del limite dipende quindi dal coefficiente principale \(a_n\), dalla parità del grado \(n\) e dal verso in cui \(x\) tende all’infinito.
Esempio con un polinomio
Consideriamo
\[ P(x)=-2x^5+3x^2-1. \]
Il termine dominante è
\[ -2x^5. \]
Poiché il grado è dispari, si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}P(x)=-\infty \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}P(x)=+\infty. \]
Funzioni razionali
Consideriamo una funzione razionale
\[ f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, \]
dove \(P\) e \(Q\) sono polinomi e \(Q\) non è identicamente nullo.
Per determinare il comportamento di \(f(x)\) per \(x\to\pm\infty\), si confrontano i gradi del numeratore e del denominatore.
Indichiamo con \(n\) il grado di \(P\) e con \(m\) il grado di \(Q\).
Grado del numeratore minore del grado del denominatore
Se
\[ n<m, \]
allora il denominatore cresce in valore assoluto più rapidamente del numeratore e si ha
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)}=0. \]
Per esempio,
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+1}{x^2+3}=0. \]
Grado del numeratore uguale al grado del denominatore
Se
\[ n=m, \]
il limite è uguale al rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo.
Se
\[ P(x)=a_nx^n+\cdots \qquad\text{e}\qquad Q(x)=b_nx^n+\cdots, \]
allora
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n}{b_n}. \]
Per esempio,
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2-x+1}{2x^2+5} = \frac{3}{2}. \]
Grado del numeratore maggiore del grado del denominatore
Se
\[ n>m, \]
allora il valore assoluto del rapporto tende a \(+\infty\). Il segno del limite deve essere determinato considerando i coefficienti principali, la parità della differenza \(n-m\) e il verso del limite.
Infatti,
\[ \frac{P(x)}{Q(x)} \sim \frac{a_n}{b_m}x^{n-m}. \]
Per esempio,
\[ \frac{2x^3+1}{x^2-4} \sim 2x. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+1}{x^2-4}=-\infty. \]
Gerarchia fondamentale delle crescite
Per \(x\to+\infty\), le principali funzioni elementari soddisfano la seguente gerarchia di crescita:
\[ \log_a x \ll x^\alpha \ll b^x, \]
dove
\[ a>1, \qquad \alpha>0, \qquad b>1. \]
Il simbolo \(\ll\) indica che la funzione posta a sinistra è trascurabile rispetto a quella posta a destra.
In termini di limiti:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\log_a x}{x^\alpha}=0 \]
e
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{b^x}=0. \]
Quindi ogni potenza positiva di \(x\) cresce più rapidamente di ogni logaritmo, mentre ogni funzione esponenziale di base maggiore di \(1\) cresce più rapidamente di ogni potenza positiva.
Confronto tra potenze
Siano \(\alpha\) e \(\beta\) numeri reali positivi con
\[ \alpha<\beta. \]
Allora
\[ \frac{x^\alpha}{x^\beta} = \frac{1}{x^{\beta-\alpha}} \to0 \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty. \]
Pertanto \(x^\beta\) cresce più rapidamente di \(x^\alpha\).
Per esempio,
\[ x^2=o(x^3) \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty. \]
Confronto tra funzioni esponenziali
Siano
\[ 1<a<b. \]
Allora
\[ \frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x. \]
Poiché
\[ 0<\frac{a}{b}<1, \]
si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{a^x}{b^x}=0. \]
La funzione \(b^x\) cresce quindi più rapidamente di \(a^x\).
Il principio del confronto
Il confronto diretto tra funzioni permette spesso di stabilire un limite senza calcolarlo mediante trasformazioni algebriche.
Se, per valori sufficientemente grandi di \(x\),
\[ f(x)\geq g(x) \]
e
\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty, \]
allora
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]
Analogamente, se
\[ f(x)\leq g(x) \]
definitivamente e
\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=-\infty, \]
allora
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]
Teorema del confronto per limiti finiti
Se, per valori sufficientemente grandi di \(x\),
\[ f(x)\leq g(x)\leq h(x) \]
e
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x) = \lim_{x\to+\infty}h(x) = L, \]
allora
\[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=L. \]
Lo stesso risultato vale per \(x\to-\infty\) e per i limiti in un punto.
Esempio di applicazione del confronto
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\frac{\sin x}{x}, \qquad x>0. \]
Poiché
\[ -1\leq\sin x\leq1, \]
dividendo per \(x>0\) otteniamo
\[ -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}. \]
Poiché
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0, \]
per il teorema del confronto si conclude che
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x}=0. \]
Confronto in valore assoluto
Per dimostrare che una funzione tende a \(0\), è spesso utile maggiorarne il valore assoluto.
Se
\[ |f(x)|\leq g(x) \]
definitivamente, con
\[ g(x)\geq0 \]
e
\[ \lim g(x)=0, \]
allora
\[ \lim f(x)=0. \]
Infatti,
\[ -g(x)\leq f(x)\leq g(x), \]
e il risultato segue dal teorema del confronto.
Confronto e forme indeterminate
Una forma indeterminata non deve essere risolta applicando meccanicamente regole simboliche. È necessario confrontare i termini e individuare quello dominante.
Per esempio,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+2x}{5x^2-1} \]
presenta la forma \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\). Dividendo numeratore e denominatore per \(x^2\), si ottiene
\[ \frac{3+\displaystyle\frac{2}{x}} {5-\displaystyle\frac{1}{x^2}}, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+2x}{5x^2-1} = \frac{3}{5}. \]
Il risultato dipende dal fatto che numeratore e denominatore hanno lo stesso termine dominante, rispettivamente \(3x^2\) e \(5x^2\).
Un errore da evitare
Dire che una funzione cresce più rapidamente di un’altra non significa necessariamente che essa sia maggiore per ogni valore della variabile.
Il confronto asintotico riguarda il comportamento definitivo nel limite considerato.
Per esempio, la funzione \(2^x\) cresce più rapidamente di \(x^{100}\), perché
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^{100}}{2^x}=0. \]
Ciò non esclude che, per alcuni valori finiti di \(x\), si possa avere
\[ x^{100}>2^x. \]
La relazione di crescita descrive ciò che accade definitivamente per \(x\to+\infty\), non un confronto valido necessariamente su tutto il dominio.
Esempi di limiti infiniti e limiti all’infinito
Concludiamo lo studio dei limiti infiniti e dei limiti all’infinito con alcuni esempi rappresentativi. L’obiettivo non è soltanto ottenere il risultato, ma riconoscere correttamente il tipo di limite, individuare il comportamento dominante e interpretare geometricamente quanto ottenuto.
Esempio 1: limite infinito in un punto
Consideriamo
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Quando \(x\to2\), si ha
\[ (x-2)^2\to0^+. \]
Il denominatore tende quindi a zero assumendo valori positivi. Di conseguenza,
\[ \lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
La retta
\[ x=2 \]
è un asintoto verticale del grafico.
Esempio 2: limiti destro e sinistro di segno opposto
Calcoliamo
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1}. \]
Per \(x\to1^+\), si ha
\[ x-1\to0^+, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty. \]
Per \(x\to1^-\), invece,
\[ x-1\to0^-, \]
perciò
\[ \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty. \]
Poiché il limite destro e il limite sinistro non coincidono, il limite
\[ \lim_{x\to1}\frac{1}{x-1} \]
non esiste. La retta \(x=1\) è comunque un asintoto verticale.
Esempio 3: falso asintoto verticale
Consideriamo
\[ \lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]
Scomponendo il numeratore,
\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]
Per \(x\neq3\), si ha quindi
\[ \frac{x^2-9}{x-3}=x+3. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-3}=6. \]
L’annullamento del denominatore non produce dunque un limite infinito. La retta \(x=3\) non è un asintoto verticale: in \(x=3\) è presente una discontinuità eliminabile.
Esempio 4: limite finito per \(x\to+\infty\)
Calcoliamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}. \]
Dividiamo numeratore e denominatore per \(x\):
\[ \frac{3x+1}{x+2} = \frac{3+\displaystyle\frac{1}{x}} {1+\displaystyle\frac{2}{x}}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{x}\to0 \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty, \]
si ottiene
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x+2}=3. \]
La retta
\[ y=3 \]
è un asintoto orizzontale destro.
Esempio 5: due asintoti orizzontali distinti
Consideriamo
\[ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}. \]
Per \(x\to+\infty\), poiché \(x>0\) definitivamente,
\[ \sqrt{x^2+4} = x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}. \]
Pertanto,
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x^2}}}, \]
e quindi
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}=1. \]
Per \(x\to-\infty\), invece, si ha \(|x|=-x\), perciò
\[ \sqrt{x^2+4} = -x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}. \]
Ne segue che
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} = -\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x^2}}}, \]
e dunque
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}=-1. \]
Le rette
\[ y=1 \qquad\text{e}\qquad y=-1 \]
sono rispettivamente asintoto orizzontale destro e asintoto orizzontale sinistro.
Esempio 6: limite infinito di un polinomio
Calcoliamo
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right). \]
Il termine dominante è
\[ 2x^4. \]
Poiché l’esponente è pari e il coefficiente è positivo,
\[ 2x^4\to+\infty \qquad\text{per}\qquad x\to-\infty. \]
I termini di grado inferiore non modificano il comportamento dominante. Pertanto,
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(2x^4-3x^2+x-1\right)=+\infty. \]
Esempio 7: funzione razionale con limite infinito
Consideriamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+1}. \]
Il grado del numeratore è maggiore di uno rispetto al grado del denominatore. Il rapporto ha quindi lo stesso comportamento del quoziente tra i termini dominanti:
\[ \frac{2x^3}{x^2}=2x. \]
Poiché
\[ 2x\to+\infty \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty, \]
si conclude che
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{2x^3-x}{x^2+1}=+\infty. \]
Esempio 8: forma indeterminata \(\infty-\infty\)
Calcoliamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right). \]
Entrambi i termini tendono a \(+\infty\), quindi si presenta la forma indeterminata
\[ \infty-\infty. \]
Razionalizziamo:
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)\left(\sqrt{x^2+x}+x\right)} {\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Al numeratore si ottiene
\[ x^2+x-x^2=x. \]
Pertanto,
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]
Dividendo numeratore e denominatore per \(x>0\),
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1} {\sqrt{1+\displaystyle\frac{1}{x}}+1}. \]
Ne segue che
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) = \frac{1}{2}. \]
Questo esempio mostra che la forma \(\infty-\infty\) non determina il risultato del limite.
Esempio 9: forma indeterminata \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\)
Consideriamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2-2x+1}{2x^2+3x-4}. \]
Numeratore e denominatore tendono entrambi a \(+\infty\), quindi si presenta la forma
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Dividendo per \(x^2\), otteniamo
\[ \frac{5-\displaystyle\frac{2}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {2+\displaystyle\frac{3}{x}-\displaystyle\frac{4}{x^2}}. \]
Passando al limite,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{5x^2-2x+1}{2x^2+3x-4} = \frac{5}{2}. \]
Esempio 10: limite ottenuto mediante confronto
Calcoliamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x}. \]
Poiché
\[ -1\leq\cos x\leq1, \]
dividendo per \(x>0\) si ottiene
\[ -\frac{1}{x} \leq \frac{\cos x}{x} \leq \frac{1}{x}. \]
Inoltre,
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0. \]
Per il teorema del confronto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\cos x}{x}=0. \]
Esempio 11: funzione oscillante senza limite
Consideriamo
\[ \lim_{x\to+\infty}\sin x. \]
La funzione \(\sin x\) continua a oscillare tra \(-1\) e \(1\) e non si avvicina a un unico numero reale.
Non tende neppure a \(+\infty\) o a \(-\infty\), perché rimane limitata. Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}\sin x \]
non esiste.
Esempio 12: funzione non limitata senza limite infinito
Consideriamo
\[ f(x)=x\sin x. \]
La funzione assume valori positivi arbitrariamente grandi e valori negativi arbitrariamente piccoli.
Infatti, lungo la successione
\[ x_n=\frac{\pi}{2}+2n\pi, \]
si ha
\[ \sin x_n=1 \]
e quindi
\[ x_n\sin x_n=x_n\to+\infty. \]
Lungo la successione
\[ y_n=\frac{3\pi}{2}+2n\pi, \]
si ha invece
\[ \sin y_n=-1 \]
e dunque
\[ y_n\sin y_n=-y_n\to-\infty. \]
Pertanto,
\[ \lim_{x\to+\infty}x\sin x \]
non esiste.
Questo esempio mostra che una funzione non limitata non deve necessariamente tendere a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Esempio 13: limite infinito con oscillazioni
Consideriamo
\[ f(x)=x+2\sin x. \]
Poiché
\[ -1\leq\sin x\leq1, \]
si ha
\[ x-2\leq x+2\sin x\leq x+2. \]
In particolare,
\[ x+2\sin x\geq x-2. \]
Poiché
\[ x-2\to+\infty \qquad\text{per}\qquad x\to+\infty, \]
per il principio del confronto si conclude che
\[ \lim_{x\to+\infty}(x+2\sin x)=+\infty. \]
La funzione presenta oscillazioni di ampiezza limitata e non è definitivamente monotona, ma ciò non le impedisce di tendere a \(+\infty\).
Esempio 14: limite logaritmico in un estremo del dominio
Consideriamo
\[ \lim_{x\to0^+}\ln x. \]
Quando \(x\) assume valori positivi sempre più vicini a \(0\), il logaritmo naturale scende al di sotto di qualunque soglia negativa.
Pertanto,
\[ \lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty. \]
La retta
\[ x=0 \]
è un asintoto verticale del grafico di \(y=\ln x\).
Esempio 15: funzione esponenziale nei due estremi
Per la funzione
\[ f(x)=e^x, \]
si ha
\[ \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty \]
e
\[ \lim_{x\to-\infty}e^x=0. \]
Il ramo destro del grafico cresce senza limite, mentre il ramo sinistro si avvicina alla retta
\[ y=0. \]
La retta \(y=0\) è quindi un asintoto orizzontale sinistro.
Schema conclusivo
Per affrontare correttamente un limite infinito o un limite all’infinito è utile procedere nel seguente ordine:
- individuare verso quale valore tende la variabile;
- stabilire se il comportamento deve essere studiato da destra, da sinistra oppure da entrambi i lati;
- controllare il segno delle quantità che tendono a zero;
- riconoscere eventuali forme indeterminate;
- individuare il termine dominante o applicare un opportuno confronto;
- interpretare il risultato dal punto di vista geometrico, verificando l’eventuale presenza di asintoti verticali o orizzontali.
Le definizioni formali restano il fondamento dell’intera teoria. Le regole di calcolo, i confronti e le trasformazioni algebriche sono strumenti che permettono di verificare in modo più rapido quale comportamento descritto dalle definizioni si realizzi nel caso considerato.