Limite Destro e Limite Sinistro: Definizione, Esempi e Proprietà

Idea intuitiva di limite destro e limite sinistro

Quando studiamo il limite di una funzione per \(x\to x_0\), osserviamo il comportamento dei valori \(f(x)\) mentre \(x\) si avvicina al punto \(x_0\). Tuttavia, l'avvicinamento a \(x_0\) può avvenire in due modi distinti: da valori maggiori di \(x_0\), oppure da valori minori di \(x_0\).

Se \(x\) si avvicina a \(x_0\) rimanendo maggiore di \(x_0\), diciamo che \(x\) tende a \(x_0\) da destra e scriviamo

\[ x\to x_0^+. \]

Se invece \(x\) si avvicina a \(x_0\) rimanendo minore di \(x_0\), diciamo che \(x\) tende a \(x_0\) da sinistra e scriviamo

\[ x\to x_0^-. \]

Il limite destro descrive dunque il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(x_0\) per valori \(x>x_0\). Il limite sinistro descrive invece il comportamento della funzione quando \(x\) si avvicina a \(x_0\) per valori \(x<x_0\).

Questa distinzione è importante perché una funzione può comportarsi in modo diverso a destra e a sinistra dello stesso punto. In particolare, può accadere che i valori di \(f(x)\) si avvicinino a un certo numero da una parte e a un numero diverso dall'altra.

Il valore assunto dalla funzione nel punto \(x_0\), quando esiste, non è ciò che determina il limite. Anche nel caso dei limiti destro e sinistro, ciò che conta è il comportamento di \(f(x)\) per valori di \(x\) vicini a \(x_0\), ma distinti da \(x_0\).

Avvicinarsi a un punto da destra e da sinistra

Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) una funzione reale di variabile reale, con dominio \(D\subseteq\mathbb{R}\). Per parlare del comportamento di \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a un punto \(x_0\), non è necessario che \(x_0\) appartenga al dominio della funzione.

Ciò che conta è che esistano valori del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\). Nel caso del limite destro, questi valori devono trovarsi a destra di \(x_0\); nel caso del limite sinistro, devono trovarsi a sinistra di \(x_0\).

Dire che \(x\) si avvicina a \(x_0\) da destra significa considerare valori di \(x\) appartenenti al dominio della funzione e tali che

\[ x_0<x<x_0+\delta \]

per valori positivi di \(\delta\) sempre più piccoli. In simboli, si scrive

\[ x\to x_0^+. \]

Dire che \(x\) si avvicina a \(x_0\) da sinistra significa invece considerare valori di \(x\) appartenenti al dominio della funzione e tali che

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

In questo caso si scrive

\[ x\to x_0^-. \]

Dunque, quando si studia un limite destro o sinistro, non si osservano necessariamente tutti i valori di \(x\) vicini a \(x_0\), ma soltanto quelli che appartengono al dominio della funzione e che si trovano dalla parte considerata.

Per esempio, se una funzione è definita su un intervallo del tipo \([a,b]\), nel punto \(a\) si può studiare il limite destro, perché esistono punti del dominio a destra di \(a\), ma non si può studiare un limite sinistro all'interno di quel dominio. Analogamente, nel punto \(b\) si può studiare il limite sinistro, ma non il limite destro.

Più precisamente, il limite destro in \(x_0\) ha senso quando esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\) e maggiori di \(x_0\). Il limite sinistro in \(x_0\) ha senso quando esistono punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\) e minori di \(x_0\).

Definizione di limite destro

Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) una funzione reale di variabile reale, con \(D\subseteq\mathbb{R}\), e sia \(x_0\) un punto tale che esistano punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\) e maggiori di \(x_0\).

Dire che \(x_0\) ha punti del dominio arbitrariamente vicini da destra significa che, per ogni \(\delta>0\), esiste almeno un punto \(x\in D\) tale che

\[ x_0<x<x_0+\delta. \]

In queste condizioni, diciamo che la funzione \(f\) ha limite destro uguale a \(L\) per \(x\to x_0\), e scriviamo

\[ \lim_{x\to x_0^+} f(x)=L, \]

se per ogni \(\varepsilon>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

In altre parole, i valori \(f(x)\) possono essere resi arbitrariamente vicini a \(L\), purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\), appartenga al dominio della funzione e si trovi a destra di \(x_0\).

La condizione \(x_0<x\) è essenziale: nel limite destro non si osserva il comportamento della funzione per valori di \(x\) minori di \(x_0\). Inoltre, come accade per il limite per \(x\to x_0\), non è importante il valore della funzione in \(x_0\), anche nel caso in cui \(x_0\in D\).

Il limite destro dipende soltanto dal comportamento della funzione in punti del dominio che si trovano a destra di \(x_0\) e che si avvicinano indefinitamente a \(x_0\).

Definizione di limite sinistro

Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) una funzione reale di variabile reale, con \(D\subseteq\mathbb{R}\), e sia \(x_0\) un punto tale che esistano punti del dominio arbitrariamente vicini a \(x_0\) e minori di \(x_0\).

Dire che \(x_0\) ha punti del dominio arbitrariamente vicini da sinistra significa che, per ogni \(\delta>0\), esiste almeno un punto \(x\in D\) tale che

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

In queste condizioni, diciamo che la funzione \(f\) ha limite sinistro uguale a \(L\) per \(x\to x_0\), e scriviamo

\[ \lim_{x\to x_0^-} f(x)=L, \]

se per ogni \(\varepsilon>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies |f(x)-L|<\varepsilon. \]

In altre parole, i valori \(f(x)\) possono essere resi arbitrariamente vicini a \(L\), purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\), appartenga al dominio della funzione e si trovi a sinistra di \(x_0\).

La condizione \(x<x_0\) è essenziale: nel limite sinistro non si considera il comportamento della funzione per valori di \(x\) maggiori di \(x_0\). Anche in questo caso, il valore eventualmente assunto dalla funzione nel punto \(x_0\) non influisce sul limite.

Il limite sinistro dipende soltanto dal comportamento della funzione in punti del dominio che si trovano a sinistra di \(x_0\) e che si avvicinano indefinitamente a \(x_0\).

Relazione con il limite senza restrizioni laterali

Il limite per \(x\to x_0\), considerato senza restrizioni laterali, richiede che la funzione si avvicini allo stesso valore qualunque sia il modo in cui \(x\) tende a \(x_0\) all'interno del dominio.

In particolare, se il dominio della funzione ha punti arbitrariamente vicini a \(x_0\) sia da sinistra sia da destra, allora il limite

\[ \lim_{x\to x_0}f(x) \]

esiste ed è uguale a \(L\) se e solo se esistono entrambi i limiti

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x) \]

e sono entrambi uguali a \(L\). In simboli:

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \ \text{e}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]

Questa equivalenza mostra che il limite per \(x\to x_0\), senza restrizioni laterali, è più restrittivo dei due limiti destro e sinistro presi separatamente. Non basta infatti che la funzione abbia un comportamento regolare da una sola parte: occorre che il comportamento sia lo stesso da entrambe le parti.

Se invece i due limiti esistono ma sono diversi, allora il limite per \(x\to x_0\), senza restrizioni laterali, non esiste. La funzione si avvicina infatti a due valori differenti a seconda della direzione da cui \(x\) tende a \(x_0\).

Nei punti estremi di un intervallo, la situazione è diversa. Per esempio, se una funzione è definita su \([a,b]\), nel punto \(a\) si studia naturalmente il limite destro, mentre nel punto \(b\) si studia naturalmente il limite sinistro. In questi casi non si richiede un controllo da entrambe le parti, perché il dominio stesso è presente solo da un lato.

Limite destro e limite sinistro diversi

Può accadere che una funzione abbia un comportamento ben determinato sia a sinistra sia a destra di un punto \(x_0\), ma che i due comportamenti conducano a valori diversi.

Supponiamo, per esempio, che

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L_1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L_2, \]

con \(L_1\neq L_2\). In questo caso il limite per \(x\to x_0\), considerato senza restrizioni laterali, non esiste.

Infatti, avvicinandosi a \(x_0\) da sinistra, i valori della funzione si avvicinano a \(L_1\); avvicinandosi invece da destra, si avvicinano a \(L_2\). Se \(L_1\) e \(L_2\) sono diversi, non esiste un unico valore al quale la funzione tende quando \(x\) si avvicina a \(x_0\).

Questo fatto si presenta spesso nelle funzioni definite a tratti. Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x>0. \end{cases} \]

Quando \(x\to 0^-\), i valori della funzione sono uguali a \(1\), quindi

\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]

Quando invece \(x\to 0^+\), i valori della funzione sono uguali a \(2\), quindi

\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]

Poiché i due limiti sono diversi, il limite per \(x\to 0\), senza restrizioni laterali, non esiste:

\[ \lim_{x\to 0}f(x) \quad\text{non esiste.} \]

Il punto essenziale è che l'esistenza separata del limite sinistro e del limite destro non basta. Per ottenere il limite per \(x\to x_0\), è necessario che i due valori coincidano.

Limite destro e limite sinistro infiniti

Il limite destro e il limite sinistro non devono necessariamente essere numeri reali finiti. Può accadere che, avvicinandosi a un punto \(x_0\) da una sola parte, i valori della funzione crescano senza limite oppure diminuiscano senza limite.

Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) una funzione reale di variabile reale, con \(D\subseteq\mathbb{R}\), e supponiamo che il limite destro in \(x_0\) abbia senso. Scrivere

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=+\infty \]

significa che per ogni \(M>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)>M. \]

In altre parole, i valori di \(f(x)\) diventano maggiori di qualunque numero reale positivo prefissato, purché \(x\) sia sufficientemente vicino a \(x_0\) da destra.

Analogamente, scrivere

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=-\infty \]

significa che per ogni \(M>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0<x<x_0+\delta \implies f(x)<-M. \]

In questo caso, avvicinandosi a \(x_0\) da destra, i valori della funzione diventano minori di qualunque numero reale negativo prefissato, comunque grande in valore assoluto.

Le definizioni da sinistra sono del tutto analoghe. Se il limite sinistro in \(x_0\) ha senso, scrivere

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=+\infty \]

significa che per ogni \(M>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)>M. \]

Invece scrivere

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=-\infty \]

significa che per ogni \(M>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x<x_0 \implies f(x)<-M. \]

Consideriamo, per esempio, la funzione

\[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Quando \(x\to 0^+\), il denominatore è positivo e sempre più vicino a zero; di conseguenza i valori della funzione sono positivi e crescono senza limite:

\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]

Quando invece \(x\to 0^-\), il denominatore è negativo e sempre più vicino a zero; i valori della funzione sono negativi e diminuiscono senza limite:

\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty. \]

Anche in questo caso i due comportamenti non coincidono. Perciò il limite per \(x\to 0\), considerato senza restrizioni laterali, non è né \(+\infty\) né \(-\infty\).

Più in generale, se da una parte la funzione tende a \(+\infty\) e dall'altra tende a \(-\infty\), il limite per \(x\to x_0\) non esiste come limite unico. I due limiti da destra e da sinistra esistono, ma descrivono comportamenti incompatibili tra loro.

Esempi con funzioni definite a tratti

Le funzioni definite a tratti sono uno dei contesti in cui il limite destro e il limite sinistro risultano più utili. In questi casi, infatti, l'espressione della funzione può cambiare a seconda dell'intervallo in cui si trova \(x\).

Quando si calcola il limite in un punto in cui cambia la definizione della funzione, bisogna usare l'espressione valida a sinistra del punto per il limite sinistro e l'espressione valida a destra del punto per il limite destro.

Consideriamo la funzione

\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3-x, & x>1. \end{cases} \]

Per calcolare il limite sinistro in \(x_0=1\), dobbiamo usare il tratto valido per \(x<1\), cioè \(f(x)=x+1\). Quindi

\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}(x+1)=2. \]

Per il limite destro, invece, dobbiamo usare il tratto valido per \(x>1\), cioè \(f(x)=3-x\). Pertanto

\[ \lim_{x\to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}(3-x)=2. \]

I due limiti coincidono. Di conseguenza esiste il limite per \(x\to 1\), considerato senza restrizioni laterali, e vale

\[ \lim_{x\to 1}f(x)=2. \]

Tuttavia \(f(1)=5\). Questo mostra ancora una volta che il valore della funzione nel punto non determina il limite: il limite dipende dai valori assunti dalla funzione in prossimità del punto, non necessariamente dal valore assunto nel punto stesso.

Consideriamo ora un secondo esempio:

\[ g(x)= \begin{cases} x^2, & x<2,\\ x+1, & x\ge 2. \end{cases} \]

A sinistra di \(2\), la funzione è descritta da \(g(x)=x^2\). Dunque

\[ \lim_{x\to 2^-}g(x)=\lim_{x\to 2^-}x^2=4. \]

A destra di \(2\), compreso il punto \(2\), la funzione è descritta da \(g(x)=x+1\). Per il limite destro consideriamo però valori \(x>2\), quindi

\[ \lim_{x\to 2^+}g(x)=\lim_{x\to 2^+}(x+1)=3. \]

Poiché i due limiti sono diversi, il limite per \(x\to 2\), senza restrizioni laterali, non esiste.

In sintesi, nelle funzioni definite a tratti il procedimento corretto consiste nel leggere con attenzione il dominio di ciascun tratto e nel calcolare separatamente il comportamento della funzione da sinistra e da destra.

Continuità da destra e continuità da sinistra

I limiti destro e sinistro permettono anche di definire la continuità di una funzione da una sola parte. Questo è particolarmente utile nei punti estremi di un intervallo e nei punti in cui una funzione è definita a tratti.

Sia \(f:D\to\mathbb{R}\) una funzione reale di variabile reale e sia \(x_0\in D\). Supponiamo che il limite destro di \(f\) in \(x_0\) abbia senso. Diciamo che \(f\) è continua da destra in \(x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

In modo equivalente, \(f\) è continua da destra in \(x_0\) se per ogni \(\varepsilon>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0\le x<x_0+\delta \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]

Analogamente, supponiamo che il limite sinistro di \(f\) in \(x_0\) abbia senso. Diciamo che \(f\) è continua da sinistra in \(x_0\) se

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]

In forma \(\varepsilon\)-\(\delta\), ciò significa che per ogni \(\varepsilon>0\) esiste un \(\delta>0\) tale che, per ogni \(x\in D\),

\[ x_0-\delta<x\le x_0 \implies |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon. \]

La differenza rispetto al semplice limite destro o sinistro è importante. Nel limite si osserva soltanto il comportamento della funzione vicino a \(x_0\), senza che il valore \(f(x_0)\) sia determinante. Nella continuità, invece, il valore della funzione nel punto deve coincidere con il valore verso cui la funzione tende.

Per esempio, se una funzione è definita su un intervallo \([a,b]\), la continuità in \(a\), rispetto al dominio, si verifica attraverso la continuità da destra, perché il dominio non contiene punti a sinistra di \(a\). In questo caso la condizione naturale è

\[ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a). \]

Allo stesso modo, nel punto \(b\) si considera la continuità da sinistra:

\[ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b). \]

Se invece \(x_0\) è un punto interno del dominio, e la funzione è definita da entrambe le parti di \(x_0\), allora la continuità in \(x_0\) richiede la continuità sia da sinistra sia da destra. In simboli:

\[ f \text{ è continua in } x_0 \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \ \text{e}\ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

Errori comuni da evitare

Il primo errore da evitare è confondere il limite destro o sinistro con il valore della funzione nel punto. Il limite descrive il comportamento di \(f(x)\) quando \(x\) si avvicina a \(x_0\) da una certa parte; il valore \(f(x_0)\), quando esiste, riguarda invece la funzione esattamente nel punto \(x_0\).

Per esempio, se

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L, \]

non segue necessariamente che \(f(x_0)=L\). Il limite destro dipende dai valori della funzione per \(x>x_0\) e vicino a \(x_0\), non dal valore assunto nel punto.

Un secondo errore consiste nel dimenticare il dominio della funzione. Quando si calcola un limite destro, bisogna considerare soltanto i valori \(x\in D\) tali che

\[ x_0<x<x_0+\delta. \]

Quando si calcola un limite sinistro, bisogna invece considerare soltanto i valori \(x\in D\) tali che

\[ x_0-\delta<x<x_0. \]

Non basta quindi guardare la posizione di \(x\) rispetto a \(x_0\): bisogna anche verificare che quei valori appartengano effettivamente al dominio della funzione.

Un terzo errore frequente riguarda le funzioni definite a tratti. In un punto in cui cambia la definizione della funzione, il limite sinistro va calcolato usando il tratto valido a sinistra del punto, mentre il limite destro va calcolato usando il tratto valido a destra. Il valore eventualmente assegnato alla funzione in quel punto non deve essere usato per calcolare i limiti da destra e da sinistra.

Un quarto errore consiste nel concludere che il limite per \(x\to x_0\), senza restrizioni laterali, esista solo perché esiste uno dei due limiti da una parte. Questo non è sufficiente. Quando il dominio ha punti arbitrariamente vicini a \(x_0\) sia da sinistra sia da destra, il limite per \(x\to x_0\) esiste soltanto se il limite sinistro e il limite destro esistono e coincidono.

In simboli, se entrambi i lati sono presenti nel dominio, la condizione corretta è

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=L \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=L. \]

Solo in questo caso si può scrivere

\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L. \]

Infine, bisogna distinguere con precisione tra limite e continuità. L'esistenza del limite destro o sinistro non implica, da sola, la continuità da quella parte. Per avere continuità da destra in \(x_0\), per esempio, non basta che esista il limite destro: occorre anche che esso sia uguale al valore della funzione nel punto, cioè

\[ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0). \]

Analogamente, la continuità da sinistra richiede

\[ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0). \]

Tenere separati questi aspetti — lato di avvicinamento, dominio, valore della funzione nel punto e coincidenza dei due limiti — permette di trattare i limiti destro e sinistro in modo corretto e senza ambiguità.