In questa pagina proponiamo 20 esercizi svolti sulle sottosuccessioni, spiegati passo passo e pensati per consolidare sia la definizione formale sia il significato concettuale di questo strumento fondamentale nello studio delle successioni numeriche.
Gli esercizi guidano progressivamente dal riconoscimento di una sottosuccessione alla scelta corretta degli indici, fino allo studio del comportamento limite. In particolare, vedremo come verificare se una successione è sottosuccessione di un'altra, come calcolare sottosuccessioni assegnate e come usare due sottosuccessioni con limiti diversi per dimostrare la non convergenza di una successione.
Ricordiamo che una sottosuccessione di \((a_n)\) è una successione del tipo
\[ (a_{k_n}), \]
dove \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di indici naturali, cioè
\[ k_n<k_{n+1} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Assumeremo, come nella teoria, che \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
L'obiettivo non è soltanto applicare meccanicamente una definizione, ma capire perché l'ordine degli indici è essenziale, perché ogni sottosuccessione di una successione convergente ha lo stesso limite della successione originaria e perché le sottosuccessioni permettono spesso di individuare in modo rigoroso oscillazioni, divergenze e mancata convergenza.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=n^2. \]
Determinare la sottosuccessione ottenuta scegliendo gli indici pari, cioè ponendo
\[ k_n=2n. \]
Risultato
La sottosuccessione è
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Quindi
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Svolgimento
Una sottosuccessione si ottiene scegliendo una successione strettamente crescente di indici naturali \((k_n)\) e considerando i termini corrispondenti \(a_{k_n}\).
In questo caso gli indici scelti sono
\[ k_n=2n. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), gli indici sono
\[ 0,2,4,6,\dots \]
e sono strettamente crescenti. Infatti, per ogni \(n\in\mathbb{N}\),
\[ 2n<2n+2. \]
Dunque possiamo effettivamente costruire una sottosuccessione.
La successione di partenza è
\[ a_n=n^2. \]
Per ottenere la sottosuccessione corrispondente agli indici \(2n\), sostituiamo \(n\) con \(2n\):
\[ a_{2n}=(2n)^2. \]
Sviluppando il quadrato otteniamo
\[ a_{2n}=4n^2. \]
Scriviamo i primi termini per interpretare il risultato:
\[ a_0=0^2=0,\qquad a_2=2^2=4,\qquad a_4=4^2=16,\qquad a_6=6^2=36. \]
Quindi la sottosuccessione è
\[ (a_{2n})=(0,4,16,36,\dots). \]
Concettualmente, non abbiamo costruito una nuova successione arbitraria: abbiamo semplicemente osservato la successione originaria solo lungo gli indici pari.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=3n+1. \]
Determinare la sottosuccessione ottenuta scegliendo gli indici dispari, cioè ponendo
\[ k_n=2n+1. \]
Risultato
La sottosuccessione è
\[ a_{2n+1}=6n+4. \]
Quindi
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Svolgimento
Gli indici dispari sono descritti dalla formula
\[ k_n=2n+1. \]
Infatti, al variare di \(n\in\mathbb{N}\), si ottiene
\[ 1,3,5,7,\dots \]
Prima di calcolare la sottosuccessione, verifichiamo che questi indici siano strettamente crescenti. Si ha
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3. \]
Poiché
\[ 2n+1<2n+3, \]
segue che
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Quindi gli indici scelti sono adatti a definire una sottosuccessione.
La successione di partenza è
\[ a_n=3n+1. \]
La sottosuccessione corrispondente agli indici \(2n+1\) è
\[ a_{2n+1}. \]
Sostituiamo quindi \(n\) con \(2n+1\) nella formula di \(a_n\):
\[ a_{2n+1}=3(2n+1)+1. \]
Svolgendo i calcoli otteniamo
\[ a_{2n+1}=6n+3+1=6n+4. \]
Scriviamo i primi termini:
\[ a_1=4,\qquad a_3=10,\qquad a_5=16,\qquad a_7=22. \]
Dunque
\[ (a_{2n+1})=(4,10,16,22,\dots). \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Sia \((a_n)\) una successione qualunque. Stabilire se i termini
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
possono formare l'inizio di una sottosuccessione di \((a_n)\).
Risultato
No. I termini
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
non possono formare l'inizio di una sottosuccessione, perché gli indici \(5,2,8\) non sono strettamente crescenti.
Svolgimento
Per formare una sottosuccessione non basta scegliere alcuni termini della successione originaria. È necessario che gli indici scelti siano strettamente crescenti.
In questo caso i termini indicati sono
\[ a_5,\ a_2,\ a_8. \]
Gli indici corrispondenti sono
\[ 5,\ 2,\ 8. \]
Per essere l'inizio di una sottosuccessione, dovremmo avere
\[ 5<2<8. \]
Ma la prima disuguaglianza è falsa, perché \(5\) non è minore di \(2\).
Quindi gli indici non rispettano l'ordine naturale con cui i termini compaiono nella successione di partenza.
Di conseguenza,
\[ a_5,\ a_2,\ a_8 \]
non possono formare l'inizio di una sottosuccessione.
Il punto concettuale è fondamentale: una sottosuccessione può saltare alcuni termini, ma non può tornare indietro negli indici. L'ordine dei termini della successione originaria deve essere conservato.
Per esempio, invece,
\[ a_2,\ a_5,\ a_8 \]
potrebbe formare l'inizio di una sottosuccessione, perché
\[ 2<5<8. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
Determinare la sottosuccessione degli indici pari e quella degli indici dispari.
Risultato
La sottosuccessione degli indici pari è
\[ a_{2n}=1. \]
La sottosuccessione degli indici dispari è
\[ a_{2n+1}=-1. \]
Svolgimento
Studiamo separatamente gli indici pari e gli indici dispari.
Gli indici pari sono dati da
\[ k_n=2n. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Poiché \(2n\) è sempre pari, la potenza \((-1)^{2n}\) vale sempre \(1\). Quindi
\[ a_{2n}=1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dunque la sottosuccessione degli indici pari è
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Gli indici dispari sono invece dati da
\[ h_n=2n+1. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Poiché \(2n+1\) è sempre dispari, la potenza \((-1)^{2n+1}\) vale sempre \(-1\). Quindi
\[ a_{2n+1}=-1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dunque la sottosuccessione degli indici dispari è
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Questo esercizio mostra un fatto molto importante: una stessa successione può avere sottosuccessioni con comportamenti diversi. In questo caso una sottosuccessione è costantemente uguale a \(1\), mentre l'altra è costantemente uguale a \(-1\).
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=n^2. \]
Stabilire se la successione
\[ b_n=(n+2)^2 \]
è una sottosuccessione di \((a_n)\).
Risultato
Sì. La successione
\[ b_n=(n+2)^2 \]
è una sottosuccessione di
\[ a_n=n^2. \]
Infatti
\[ b_n=a_{n+2}. \]
Svolgimento
Per stabilire se \((b_n)\) è una sottosuccessione di \((a_n)\), dobbiamo verificare se esiste una successione strettamente crescente di indici naturali \((k_n)\) tale che
\[ b_n=a_{k_n} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
La successione di partenza è
\[ a_n=n^2. \]
La successione che vogliamo riconoscere come sottosuccessione è
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Osserviamo che \((n+2)^2\) si ottiene dalla formula \(a_n=n^2\) sostituendo \(n\) con \(n+2\). Perciò scegliamo
\[ k_n=n+2. \]
Allora
\[ a_{k_n}=a_{n+2}=(n+2)^2. \]
Ma
\[ b_n=(n+2)^2. \]
Quindi
\[ b_n=a_{k_n}. \]
Ora resta da controllare che \((k_n)\) sia strettamente crescente. Abbiamo
\[ k_n=n+2 \]
e
\[ k_{n+1}=n+3. \]
Poiché
\[ n+2<n+3, \]
segue che
\[ k_n<k_{n+1}. \]
Dunque \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di indici naturali.
Pertanto \((b_n)\) è una sottosuccessione di \((a_n)\).
In termini intuitivi, la successione \((b_n)\) si ottiene da \((a_n)\) eliminando i primi due termini e conservando tutti i successivi nello stesso ordine.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=n. \]
Stabilire se la successione
\[ b_n=-n \]
è una sottosuccessione di \((a_n)\).
Risultato
No. La successione
\[ b_n=-n \]
non è una sottosuccessione di
\[ a_n=n. \]
Infatti non esiste una successione strettamente crescente di indici naturali \((k_n)\) tale che
\[ b_n=a_{k_n} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Per stabilire se \((b_n)\) è una sottosuccessione di \((a_n)\), dobbiamo chiederci se esiste una successione strettamente crescente di indici naturali \((k_n)\) tale che
\[ b_n=a_{k_n} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
La successione di partenza è
\[ a_n=n. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), i termini di \((a_n)\) sono
\[ 0,1,2,3,\dots. \]
Quindi tutti i termini della successione \((a_n)\) sono numeri naturali.
La successione proposta è invece
\[ b_n=-n. \]
I suoi primi termini sono
\[ 0,-1,-2,-3,\dots. \]
Per ogni \(n\ge 1\), il termine \(b_n\) è negativo.
Ma nessun termine della successione \((a_n)\) è negativo. Infatti, per qualunque indice naturale \(k\), si ha
\[ a_k=k\ge 0. \]
Di conseguenza, per esempio, il termine \(b_1=-1\) non può essere uguale ad alcun termine della successione \((a_n)\).
Quindi non può esistere una successione di indici naturali \((k_n)\) tale che
\[ b_n=a_{k_n} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Pertanto \((b_n)\) non è una sottosuccessione di \((a_n)\).
Il punto concettuale è questo: una sottosuccessione deve essere formata scegliendo termini già presenti nella successione originaria. Qui, invece, \((b_n)\) contiene termini negativi che nella successione \((a_n)\) non compaiono mai.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Stabilire se la successione
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
è una sottosuccessione di \((a_n)\).
Risultato
Sì. La successione
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1} \]
è una sottosuccessione di
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Infatti
\[ b_n=a_{n^2}. \]
Svolgimento
Per stabilire se \((b_n)\) è una sottosuccessione di \((a_n)\), dobbiamo cercare una successione strettamente crescente di indici naturali \((k_n)\) tale che
\[ b_n=a_{k_n}. \]
La successione di partenza è
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Se sostituiamo \(n\) con un generico indice \(k_n\), otteniamo
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Vogliamo che questo termine coincida con
\[ b_n=\frac{1}{n^2+1}. \]
Dunque imponiamo
\[ \frac{1}{k_n+1}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Poiché i denominatori sono positivi, questa uguaglianza equivale a
\[ k_n+1=n^2+1. \]
Sottraendo \(1\) da entrambi i membri otteniamo
\[ k_n=n^2. \]
Quindi il candidato naturale è
\[ k_n=n^2. \]
Verifichiamo che \((k_n)\) sia strettamente crescente. Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2. \]
Sviluppando,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Poiché
\[ 2n+1>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), segue che
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Dunque \((k_n)\) è strettamente crescente.
Inoltre \(k_n=n^2\in\mathbb{N}\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\), quindi gli indici scelti sono effettivamente indici naturali.
Abbiamo allora
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}=b_n. \]
Pertanto \((b_n)\) è una sottosuccessione di \((a_n)\).
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Sia \((k_n)\) definita da
\[ k_n=n^2+n. \]
Verificare che \((k_n)\) può essere usata come successione di indici per costruire una sottosuccessione.
Risultato
Sì. La successione
\[ k_n=n^2+n \]
può essere usata come successione di indici, perché è formata da numeri naturali ed è strettamente crescente.
Svolgimento
Una successione \((k_n)\) può essere usata come successione di indici per costruire una sottosuccessione se soddisfa due condizioni.
La prima condizione è che ogni \(k_n\) sia un numero naturale.
La seconda condizione è che \((k_n)\) sia strettamente crescente, cioè
\[ k_n<k_{n+1} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Nel nostro caso
\[ k_n=n^2+n. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), anche \(n^2+n\in\mathbb{N}\). Dunque ogni \(k_n\) è un numero naturale.
Verifichiamo ora che \((k_n)\) sia strettamente crescente. Calcoliamo \(k_{n+1}\):
\[ k_{n+1}=(n+1)^2+(n+1). \]
Sviluppando,
\[ k_{n+1}=n^2+2n+1+n+1=n^2+3n+2. \]
Calcoliamo la differenza:
\[ k_{n+1}-k_n=(n^2+3n+2)-(n^2+n). \]
Semplificando,
\[ k_{n+1}-k_n=2n+2. \]
Poiché
\[ 2n+2>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), otteniamo
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Quindi \((k_n)\) è strettamente crescente.
Pertanto la successione
\[ k_n=n^2+n \]
può essere usata per costruire una sottosuccessione \((a_{k_n})\) di una qualsiasi successione \((a_n)\).
Concettualmente, gli indici \(0,2,6,12,20,\dots\) selezionano alcuni termini della successione originaria saltandone altri, ma senza mai tornare indietro.
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Sia \((a_n)\) una successione qualunque. Stabilire se i termini
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
possono formare una sottosuccessione di \((a_n)\).
Risultato
Sì. I termini
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
possono formare una sottosuccessione, perché gli indici
\[ 1,3,6,10,\dots \]
sono strettamente crescenti.
Svolgimento
Per verificare se i termini indicati possono formare una sottosuccessione, dobbiamo guardare gli indici.
I termini sono
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
quindi gli indici sono
\[ 1,\ 3,\ 6,\ 10,\dots. \]
Questi indici sono disposti in ordine strettamente crescente, perché
\[ 1<3<6<10<\dots. \]
Questo è già sufficiente per dire che i termini indicati possono formare una sottosuccessione.
Possiamo anche riconoscere una formula esplicita per gli indici. Essi sono dati da
\[ k_n=\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
Infatti:
\[ k_0=1,\qquad k_1=3,\qquad k_2=6,\qquad k_3=10. \]
Verifichiamo che questa successione di indici è strettamente crescente. Calcoliamo
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{(n+2)(n+3)}{2}-\frac{(n+1)(n+2)}{2}. \]
Raccogliendo il fattore comune \(\displaystyle\frac{n+2}{2}\), otteniamo
\[ k_{n+1}-k_n = \frac{n+2}{2}\bigl((n+3)-(n+1)\bigr). \]
Poiché
\[ (n+3)-(n+1)=2, \]
si ha
\[ k_{n+1}-k_n=\frac{n+2}{2}\cdot 2=n+2. \]
Ora
\[ n+2>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Quindi
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Dunque gli indici sono strettamente crescenti.
Pertanto i termini
\[ a_1,\ a_3,\ a_6,\ a_{10},\dots \]
possono formare una sottosuccessione di \((a_n)\).
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Determinare il limite della sottosuccessione \((a_{2n})\).
Risultato
Si ha
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1} \]
e quindi
\[ a_{2n}\to 1. \]
Svolgimento
La sottosuccessione \((a_{2n})\) si ottiene scegliendo gli indici pari, cioè ponendo
\[ k_n=2n. \]
Prima di procedere, osserviamo che gli indici \(2n\) sono strettamente crescenti, perché
\[ 2n<2n+2. \]
Quindi \((a_{2n})\) è effettivamente una sottosuccessione di \((a_n)\).
La successione di partenza è
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Sostituendo \(n\) con \(2n\), otteniamo
\[ a_{2n}=\frac{2n}{2n+1}. \]
Dobbiamo calcolare
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n}{2n+1}. \]
Per studiare questo limite, dividiamo numeratore e denominatore per \(n\):
\[ \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{2+\frac{1}{n}}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n}\to 0, \]
otteniamo
\[ \frac{2}{2+\frac{1}{n}}\to \frac{2}{2+0}=1. \]
Quindi
\[ a_{2n}\to 1. \]
Questo risultato è coerente con il teorema generale sulle sottosuccessioni: infatti la successione originaria \((a_n)\) converge a \(1\), e ogni sottosuccessione di una successione convergente converge allo stesso limite.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Dimostrare che ogni sottosuccessione di \((a_n)\) converge a \(0\).
Risultato
Ogni sottosuccessione di
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
converge a \(0\).
Svolgimento
Sia \((a_{k_n})\) una sottosuccessione qualunque di \((a_n)\). Per definizione di sottosuccessione, \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di indici naturali.
Poiché
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
sostituendo \(n\) con \(k_n\) otteniamo
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Poiché \((k_n)\) è strettamente crescente e assume valori in \(\mathbb{N}\), si ha
\[ k_n\ge n \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Infatti \(k_0\ge 0\) e, poiché gli indici sono naturali e crescono strettamente, da \(k_n<k_{n+1}\) segue \(k_{n+1}\ge k_n+1\). Per induzione si ottiene quindi \(k_n\ge n\).
Da
\[ k_n\ge n \]
segue
\[ k_n+1\ge n+1. \]
Poiché \(k_n+1\) e \(n+1\) sono numeri positivi, passando ai reciproci il verso della disuguaglianza si inverte. Quindi
\[ \frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Inoltre
\[ \frac{1}{k_n+1}>0. \]
Dunque abbiamo la stima
\[ 0<\frac{1}{k_n+1}\le \frac{1}{n+1}. \]
Ora sappiamo che
\[ \frac{1}{n+1}\to 0. \]
Per il teorema del confronto, segue che
\[ \frac{1}{k_n+1}\to 0. \]
Ma
\[ a_{k_n}=\frac{1}{k_n+1}. \]
Quindi
\[ a_{k_n}\to 0. \]
Poiché \((a_{k_n})\) era una sottosuccessione qualunque, abbiamo dimostrato che ogni sottosuccessione di \((a_n)\) converge a \(0\).
Il significato concettuale è il seguente: una sottosuccessione può saltare alcuni termini, ma non può evitare il comportamento finale della successione. Poiché i termini di \((a_n)\) diventano sempre più vicini a \(0\), anche qualunque sottosuccessione deve diventare sempre più vicina a \(0\).
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}. \]
Dimostrare che la sottosuccessione \((a_{n^2})\) converge a \(2\).
Risultato
Si ha
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1} \]
e quindi
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Svolgimento
La sottosuccessione \((a_{n^2})\) si ottiene scegliendo gli indici
\[ k_n=n^2. \]
Prima di calcolare il limite, verifichiamo che questi indici definiscano effettivamente una sottosuccessione.
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), \(n^2\in\mathbb{N}\). Inoltre
\[ k_{n+1}-k_n=(n+1)^2-n^2=2n+1. \]
Poiché
\[ 2n+1>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), segue che
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Quindi \((n^2)\) è una successione strettamente crescente di indici naturali.
Ora calcoliamo la sottosuccessione. Poiché
\[ a_n=2+\frac{1}{n+1}, \]
sostituendo \(n\) con \(n^2\) otteniamo
\[ a_{n^2}=2+\frac{1}{n^2+1}. \]
Dobbiamo dunque calcolare
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n^2+1}\right). \]
Poiché
\[ n^2+1\to+\infty, \]
si ha
\[ \frac{1}{n^2+1}\to 0. \]
Quindi
\[ 2+\frac{1}{n^2+1}\to 2+0=2. \]
Pertanto
\[ a_{n^2}\to 2. \]
Questo risultato è coerente con il teorema generale: la successione originaria converge a \(2\), dunque anche ogni sua sottosuccessione deve convergere allo stesso limite.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
Usare le sottosuccessioni per dimostrare che \((a_n)\) non converge.
Risultato
La successione \((a_n)\) non converge, perché possiede due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Svolgimento
Per dimostrare che una successione non converge, possiamo cercare due sottosuccessioni che convergono a limiti diversi.
Infatti, se una successione convergesse a un limite reale \(\ell\), allora ogni sua sottosuccessione dovrebbe convergere allo stesso limite \(\ell\).
Consideriamo prima gli indici pari:
\[ k_n=2n. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}. \]
Poiché \(2n\) è pari, si ha
\[ (-1)^{2n}=1. \]
Quindi
\[ a_{2n}=1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Pertanto
\[ a_{2n}\to 1. \]
Consideriamo ora gli indici dispari:
\[ h_n=2n+1. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}. \]
Poiché \(2n+1\) è dispari, si ha
\[ (-1)^{2n+1}=-1. \]
Quindi
\[ a_{2n+1}=-1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Pertanto
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Abbiamo trovato due sottosuccessioni della stessa successione:
\[ (a_{2n}) \qquad\text{e}\qquad (a_{2n+1}), \]
tali che
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
I due limiti sono diversi, perché
\[ 1\ne -1. \]
Dunque la successione \((a_n)\) non può convergere.
Il motivo concettuale è decisivo: una successione convergente deve avvicinarsi a un unico valore finale. Qui, invece, lungo gli indici pari la successione rimane sempre uguale a \(1\), mentre lungo gli indici dispari rimane sempre uguale a \(-1\).
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Usare le sottosuccessioni per dimostrare che \((a_n)\) non converge.
Risultato
La successione \((a_n)\) non converge, perché
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Le due sottosuccessioni convergono a limiti diversi.
Svolgimento
Studiamo separatamente la successione lungo gli indici pari e lungo gli indici dispari.
Consideriamo prima gli indici pari. Sostituendo \(n\) con \(2n\), otteniamo
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}. \]
Poiché
\[ (-1)^{2n}=1, \]
si ha
\[ a_{2n}=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1. \]
Quindi la sottosuccessione degli indici pari è costante uguale a \(1\). Pertanto
\[ a_{2n}\to 1. \]
Consideriamo ora gli indici dispari. Sostituendo \(n\) con \(2n+1\), otteniamo
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}. \]
Poiché
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
si ha
\[ a_{2n+1}=\frac{1-1}{2}=\frac{0}{2}=0. \]
Quindi la sottosuccessione degli indici dispari è costante uguale a \(0\). Pertanto
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Abbiamo trovato due sottosuccessioni convergenti:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to 0. \]
Poiché
\[ 1\ne 0, \]
le due sottosuccessioni convergono a limiti diversi.
Dunque la successione \((a_n)\) non converge.
Concettualmente, la successione alterna continuamente i valori \(1\) e \(0\). Non si stabilizza attorno a un unico numero reale, e questo impedisce la convergenza.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Studiare le sottosuccessioni degli indici pari e dispari e dedurre se \((a_n)\) converge.
Risultato
Si ha
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Poiché le due sottosuccessioni convergono a limiti diversi, la successione \((a_n)\) non converge.
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Essa contiene due parti: il termine oscillante \((-1)^n\), che alterna \(1\) e \(-1\), e il termine \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), che tende a \(0\).
Studiamo prima la sottosuccessione degli indici pari. Sostituendo \(n\) con \(2n\), otteniamo
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}+\frac{1}{2n+1}. \]
Poiché
\[ (-1)^{2n}=1, \]
segue che
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}. \]
Ora
\[ \frac{1}{2n+1}\to 0. \]
Quindi
\[ a_{2n}=1+\frac{1}{2n+1}\to 1+0=1. \]
Pertanto
\[ a_{2n}\to 1. \]
Studiamo ora la sottosuccessione degli indici dispari. Sostituendo \(n\) con \(2n+1\), otteniamo
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}+\frac{1}{2n+2}. \]
Poiché
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
segue che
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}. \]
Ora
\[ \frac{1}{2n+2}\to 0. \]
Quindi
\[ a_{2n+1}=-1+\frac{1}{2n+2}\to -1+0=-1. \]
Pertanto
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Abbiamo trovato due sottosuccessioni della stessa successione:
\[ a_{2n}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{2n+1}\to -1. \]
Poiché i limiti sono diversi, la successione \((a_n)\) non converge.
Questo esempio è importante perché mostra che un termine infinitesimo, come \(\displaystyle\frac{1}{n+1}\), non basta a eliminare l'oscillazione principale prodotta da \((-1)^n\). La successione continua ad avvicinarsi a due valori diversi lungo due sottosuccessioni diverse.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=n. \]
Dimostrare che la sottosuccessione \((a_{n^2+1})\) diverge a \(+\infty\).
Risultato
Si ha
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Quindi
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Svolgimento
La successione di partenza è
\[ a_n=n. \]
La sottosuccessione \((a_{n^2+1})\) si ottiene scegliendo gli indici
\[ k_n=n^2+1. \]
Prima di studiarne il limite, verifichiamo che questi indici definiscano effettivamente una sottosuccessione.
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha \(n^2+1\in\mathbb{N}\). Inoltre
\[ k_{n+1}-k_n=((n+1)^2+1)-(n^2+1). \]
Sviluppando,
\[ k_{n+1}-k_n=n^2+2n+1+1-n^2-1=2n+1. \]
Poiché
\[ 2n+1>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), segue che
\[ k_{n+1}>k_n. \]
Quindi \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di indici naturali.
Ora calcoliamo la sottosuccessione. Poiché \(a_n=n\), sostituendo \(n\) con \(n^2+1\) otteniamo
\[ a_{n^2+1}=n^2+1. \]
Dobbiamo dimostrare che
\[ n^2+1\to+\infty. \]
Usiamo la definizione di divergenza a \(+\infty\). Dobbiamo provare che, per ogni \(M\in\mathbb{R}\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ n^2+1>M. \]
Se \(M<0\), allora per ogni \(n\in\mathbb{N}\) si ha
\[ n^2+1\ge 1>0>M. \]
Quindi in questo caso la disuguaglianza è verificata per tutti gli indici.
Supponiamo ora \(M\ge 0\). Scegliamo \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[ N>\sqrt{M}. \]
Allora, per ogni \(n\ge N\), si ha
\[ n\ge N>\sqrt{M}. \]
Elevando al quadrato, otteniamo
\[ n^2>M. \]
Di conseguenza
\[ n^2+1>M. \]
Abbiamo quindi dimostrato che, per ogni \(M\in\mathbb{R}\), i termini della sottosuccessione diventano definitivamente maggiori di \(M\).
Pertanto
\[ a_{n^2+1}\to+\infty. \]
Concettualmente, la successione originaria \(a_n=n\) diverge a \(+\infty\). Una sottosuccessione può saltare alcuni termini, ma non può impedire agli indici di andare all'infinito; quindi anche la sottosuccessione diverge a \(+\infty\).
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=-n^2. \]
Dimostrare che la sottosuccessione \((a_{2n+1})\) diverge a \(-\infty\).
Risultato
Si ha
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Quindi
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Svolgimento
La successione di partenza è
\[ a_n=-n^2. \]
La sottosuccessione \((a_{2n+1})\) si ottiene scegliendo gli indici dispari:
\[ k_n=2n+1. \]
Gli indici \(2n+1\) sono naturali e strettamente crescenti. Infatti
\[ k_{n+1}=2(n+1)+1=2n+3, \]
e quindi
\[ k_n=2n+1<2n+3=k_{n+1}. \]
Dunque \((a_{2n+1})\) è effettivamente una sottosuccessione di \((a_n)\).
Ora calcoliamola esplicitamente. Sostituendo \(n\) con \(2n+1\) nella formula \(a_n=-n^2\), otteniamo
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2. \]
Sviluppando il quadrato,
\[ (2n+1)^2=4n^2+4n+1. \]
Quindi
\[ a_{2n+1}=-(4n^2+4n+1)=-4n^2-4n-1. \]
Questa espressione diventa arbitrariamente piccola al crescere di \(n\). Dimostriamolo usando la definizione di divergenza a \(-\infty\).
Dobbiamo provare che, per ogni \(m\in\mathbb{R}\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ a_{2n+1}<m. \]
Poiché
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)^2, \]
distinguiamo due casi.
Se \(m>0\), allora per ogni \(n\in\mathbb{N}\) si ha
\[ -(2n+1)^2<0<m. \]
Quindi la disuguaglianza è verificata per tutti gli indici.
Supponiamo ora \(m\le 0\). Scegliamo \(N\in\mathbb{N}\) tale che
\[ 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Allora, per ogni \(n\ge N\),
\[ 2n+1\ge 2N+1>\sqrt{-m}. \]
Elevando al quadrato, otteniamo
\[ (2n+1)^2>-m. \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(-1\), il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -(2n+1)^2<m. \]
Cioè
\[ a_{2n+1}<m. \]
Abbiamo quindi dimostrato che
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
Il risultato è coerente con il teorema generale: poiché \(a_n=-n^2\to-\infty\), ogni sua sottosuccessione diverge a \(-\infty\).
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Usare due sottosuccessioni per dimostrare che \((a_n)\) non converge.
Risultato
La successione \((a_n)\) non converge, perché
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Svolgimento
Studiamo alcuni termini della successione:
\[ a_0=\sin 0=0, \]
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Si vede quindi che la successione assume ciclicamente i valori
\[ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\dots. \]
Per dimostrare che la successione non converge, cerchiamo due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi.
Consideriamo gli indici
\[ k_n=4n+1. \]
Essi sono strettamente crescenti, perché
\[ k_{n+1}=4(n+1)+1=4n+5 \]
e quindi
\[ 4n+1<4n+5. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{4n+1} = \sin\left(\frac{(4n+1)\pi}{2}\right). \]
Poiché
\[ \frac{(4n+1)\pi}{2}=2n\pi+\frac{\pi}{2}, \]
otteniamo
\[ a_{4n+1} = \sin\left(2n\pi+\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Quindi
\[ a_{4n+1}\to 1. \]
Consideriamo ora gli indici
\[ h_n=4n+3. \]
Anche questi sono strettamente crescenti, perché
\[ h_{n+1}=4(n+1)+3=4n+7 \]
e quindi
\[ 4n+3<4n+7. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{4n+3} = \sin\left(\frac{(4n+3)\pi}{2}\right). \]
Poiché
\[ \frac{(4n+3)\pi}{2}=2n\pi+\frac{3\pi}{2}, \]
otteniamo
\[ a_{4n+3} = \sin\left(2n\pi+\frac{3\pi}{2}\right)=-1. \]
Quindi
\[ a_{4n+3}\to -1. \]
Abbiamo trovato due sottosuccessioni della stessa successione tali che
\[ a_{4n+1}\to 1 \qquad\text{e}\qquad a_{4n+3}\to -1. \]
Poiché
\[ 1\ne -1, \]
la successione \((a_n)\) non converge.
Concettualmente, la successione non si avvicina a un unico valore finale: continua invece a ripetere ciclicamente valori diversi.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Studiare le sottosuccessioni degli indici pari e dispari e dedurre il comportamento della successione.
Risultato
Si ha
\[ a_{2n}=2n\to+\infty \]
e
\[ a_{2n+1}=-(2n+1)\to-\infty. \]
Quindi la successione non ha limite, né finito né infinito.
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Il fattore \((-1)^n\) cambia segno a seconda della parità di \(n\), mentre il fattore \(n\) cresce indefinitamente.
Studiamo prima gli indici pari:
\[ k_n=2n. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}\cdot 2n. \]
Poiché
\[ (-1)^{2n}=1, \]
otteniamo
\[ a_{2n}=2n. \]
Quindi
\[ a_{2n}\to+\infty. \]
Studiamo ora gli indici dispari:
\[ h_n=2n+1. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}(2n+1). \]
Poiché
\[ (-1)^{2n+1}=-1, \]
otteniamo
\[ a_{2n+1}=-(2n+1). \]
Quindi
\[ a_{2n+1}\to-\infty. \]
A questo punto possiamo dedurre il comportamento della successione originaria.
La successione \((a_n)\) non converge a un limite reale, perché possiede una sottosuccessione che diverge a \(+\infty\) e una sottosuccessione che diverge a \(-\infty\).
Inoltre \((a_n)\) non diverge a \(+\infty\). Infatti, se \(a_n\to+\infty\), allora ogni sua sottosuccessione dovrebbe divergere a \(+\infty\). Ma la sottosuccessione \((a_{2n+1})\) diverge a \(-\infty\).
Analogamente, \((a_n)\) non diverge a \(-\infty\). Infatti, se \(a_n\to-\infty\), allora ogni sua sottosuccessione dovrebbe divergere a \(-\infty\). Ma la sottosuccessione \((a_{2n})\) diverge a \(+\infty\).
Pertanto la successione \((a_n)\) non ha limite, né finito né infinito.
Il punto concettuale è che i termini non solo oscillano di segno, ma si allontanano sempre di più: quelli pari crescono verso \(+\infty\), mentre quelli dispari scendono verso \(-\infty\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Sia \((a_n)\) una successione reale convergente a un numero reale \(\ell\). Sia \((a_{k_n})\) una sua sottosuccessione. Dimostrare direttamente, usando la definizione di limite, che
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Risultato
Ogni sottosuccessione di una successione convergente converge allo stesso limite della successione originaria. Quindi
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Svolgimento
Sappiamo che la successione \((a_n)\) converge a \(\ell\). Questo significa che
\[ a_n\to \ell. \]
Per definizione di limite, per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni indice \(m\ge N\), si ha
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon. \]
Usiamo la lettera \(m\) per indicare un generico indice della successione originaria, così evitiamo di confonderlo con l'indice \(n\) della sottosuccessione.
Ora consideriamo una sottosuccessione qualunque \((a_{k_n})\). Per definizione di sottosuccessione, \((k_n)\) è una successione strettamente crescente di indici naturali.
Dalla proprietà fondamentale degli indici di una sottosuccessione sappiamo che
\[ k_n\ge n \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Prendiamo ora \(n\ge N\). Allora, usando \(k_n\ge n\), otteniamo
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Quindi l'indice \(k_n\) è abbastanza grande da poter applicare la definizione di limite della successione originaria.
Infatti, poiché la definizione di limite ci dice che
\[ |a_m-\ell|<\varepsilon \]
per ogni \(m\ge N\), possiamo scegliere in particolare
\[ m=k_n. \]
Poiché \(k_n\ge N\), otteniamo
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Abbiamo quindi dimostrato che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\), vale
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Questa è precisamente la definizione di convergenza della sottosuccessione \((a_{k_n})\) al limite \(\ell\).
Pertanto
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Il punto concettuale decisivo è questo: una sottosuccessione può saltare dei termini, ma i suoi indici \(k_n\) crescono comunque all'infinito. Quindi, quando la successione originaria è definitivamente vicina a \(\ell\), anche la sottosuccessione è definitivamente vicina a \(\ell\).