In questa pagina proponiamo 20 esercizi svolti sulle successioni limitate. Gli esercizi sono pensati per imparare a riconoscere quando una successione è limitata superiormente, limitata inferiormente oppure limitata sia inferiormente che superiormente.
In ogni esercizio lavoreremo con successioni reali definite su \(\mathbb{N}\), dove
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. \]
Ricordiamo che una successione \((a_n)\) è limitata superiormente se esiste \(M\in\mathbb{R}\) tale che
\[ a_n\le M \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Analogamente, è limitata inferiormente se esiste \(m\in\mathbb{R}\) tale che
\[ a_n\ge m \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Infine, una successione è limitata se è limitata sia inferiormente che superiormente. In modo equivalente, \((a_n)\) è limitata se esiste \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ 0\le a_n\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
La successione è definita da
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Poiché in questa raccolta di esercizi, assumiamo
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, \]
si ha
\[ n\ge 0. \]
Sommando \(1\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ n+1\ge 1. \]
Quindi il denominatore \(n+1\) è sempre positivo e almeno uguale a \(1\).
Da \(n+1\ge 1\) segue che
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Poiché
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
possiamo scrivere
\[ 0<a_n\le 1. \]
In particolare, da \(a_n\le 1\) segue che \(1\) è un maggiorante della successione. Quindi la successione è limitata superiormente.
Inoltre, da \(a_n>0\) segue anche
\[ a_n\ge 0. \]
Quindi \(0\) è un minorante della successione, e la successione è limitata inferiormente.
La successione è quindi limitata.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ 0\le a_n<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). In particolare, \(0\) è un minorante e \(1\) è un maggiorante.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), abbiamo
\[ n\ge 0. \]
Inoltre
\[ n+1>0. \]
Il numeratore è quindi maggiore o uguale a \(0\), mentre il denominatore è positivo. Di conseguenza
\[ \frac{n}{n+1}\ge 0. \]
Quindi
\[ a_n\ge 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Questo mostra che la successione è limitata inferiormente.
Studiamo ora la limitatezza superiore. Poiché
\[ n<n+1 \]
e poiché \(n+1>0\), dividendo entrambi i membri per \(n+1\) otteniamo
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Pertanto
\[ a_n<1. \]
In particolare, \(1\) è un maggiorante della successione, perché ogni termine è minore di \(1\). Quindi la successione è limitata superiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ 0\le a_n<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
La successione è quindi limitata.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1} \]
è limitata.
Risultato
La successione è limitata. Infatti
\[ |a_n|\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Quindi
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}. \]
Per stabilire se è limitata, conviene stimare il valore assoluto dei suoi termini.
Calcoliamo:
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|. \]
Il valore assoluto di un quoziente è il quoziente dei valori assoluti, quindi
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n|}{|n+1|}. \]
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ |(-1)^n|=1. \]
Inoltre, poiché \(n+1>0\), vale
\[ |n+1|=n+1. \]
Dunque
\[ |a_n|=\frac{1}{n+1}. \]
Poiché \(n+1\ge 1\), abbiamo
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Quindi
\[ |a_n|\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Per la caratterizzazione mediante il valore assoluto, una successione reale è limitata se esiste \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). In questo caso possiamo scegliere \(K=1\).
La successione è quindi limitata.
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=n+3 \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata inferiormente, ma non è limitata superiormente. Quindi non è limitata.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=n+3. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ n\ge 0. \]
Sommando \(3\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ n+3\ge 3. \]
Poiché \(a_n=n+3\), segue che
\[ a_n\ge 3 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Dunque \(3\) è un minorante della successione, e quindi la successione è limitata inferiormente.
Verifichiamo ora se la successione è limitata superiormente.
Per essere limitata superiormente, dovrebbe esistere un numero reale \(M\) tale che
\[ a_n\le M \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Mostriamo che ciò non accade.
Sia \(M\in\mathbb{R}\) un numero reale qualsiasi. Poiché i numeri naturali non sono limitati superiormente, possiamo scegliere \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n>M-3. \]
Sommando \(3\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ n+3>M. \]
Ma \(a_n=n+3\), quindi
\[ a_n>M. \]
Abbiamo dimostrato che, qualunque sia \(M\in\mathbb{R}\), esiste un termine della successione maggiore di \(M\). Dunque la successione non è limitata superiormente.
Poiché è limitata inferiormente ma non superiormente, la successione non è limitata.
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=-n^2 \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata superiormente, ma non è limitata inferiormente. Quindi non è limitata.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=-n^2. \]
Poiché il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a \(0\), per ogni \(n\in\mathbb{N}\) si ha
\[ n^2\ge 0. \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(-1\), il verso della disuguaglianza cambia. Otteniamo quindi
\[ -n^2\le 0. \]
Poiché \(a_n=-n^2\), segue che
\[ a_n\le 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Dunque \(0\) è un maggiorante della successione, e quindi la successione è limitata superiormente.
Studiamo ora la limitatezza inferiore.
Per essere limitata inferiormente, dovrebbe esistere un numero reale \(m\) tale che
\[ a_n\ge m \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Mostriamo che nessun numero reale \(m\) può essere un minorante.
Sia \(m\in\mathbb{R}\). Vogliamo trovare un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n<m. \]
È sufficiente scegliere \(n\in\mathbb{N}\) abbastanza grande da avere
\[ n^2>|m|+1. \]
Questa scelta è possibile perché \(n^2\) cresce senza limite al crescere di \(n\).
Da
\[ n^2>|m|+1 \]
segue in particolare
\[ n^2>|m|. \]
Poiché per ogni \(m\in\mathbb{R}\) vale
\[ |m|\ge -m, \]
otteniamo
\[ n^2>-m. \]
Moltiplicando per \(-1\), il verso della disuguaglianza cambia:
\[ -n^2<m. \]
Poiché \(a_n=-n^2\), segue che
\[ a_n<m. \]
Abbiamo dimostrato che, per ogni \(m\in\mathbb{R}\), esiste un termine della successione minore di \(m\). Dunque la successione non è limitata inferiormente.
Poiché è limitata superiormente ma non inferiormente, la successione non è limitata.
Esercizio 6 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ 0\le a_n<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). In particolare, \(0\) è un minorante e \(1\) è un maggiorante.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ n^2\ge 0. \]
Inoltre
\[ n^2+1>0. \]
Il numeratore è quindi maggiore o uguale a \(0\), mentre il denominatore è positivo. Di conseguenza
\[ \frac{n^2}{n^2+1}\ge 0. \]
Quindi
\[ a_n\ge 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Questo mostra che la successione è limitata inferiormente.
Studiamo ora la limitatezza superiore. Poiché
\[ n^2<n^2+1 \]
e poiché \(n^2+1>0\), dividendo entrambi i membri per \(n^2+1\) otteniamo
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Dunque
\[ a_n<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). In particolare, \(1\) è un maggiorante della successione, e quindi la successione è limitata superiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ 0\le a_n<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
La successione è quindi limitata.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=(-1)^n n \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione non è limitata superiormente e non è limitata inferiormente. Quindi non è limitata.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n n. \]
Il fattore \((-1)^n\) cambia segno in base alla parità di \(n\).
Se \(n\) è pari, allora \((-1)^n=1\), e quindi
\[ a_n=n. \]
Se invece \(n\) è dispari, allora \((-1)^n=-1\), e quindi
\[ a_n=-n. \]
Studiamo prima la limitatezza superiore.
Per dimostrare che la successione non è limitata superiormente, dobbiamo mostrare che, qualunque sia \(M\in\mathbb{R}\), esiste un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n>M. \]
Sia dunque \(M\in\mathbb{R}\). Scegliamo un indice pari \(n=2q\) sufficientemente grande in modo che
\[ 2q>M. \]
Questa scelta è possibile perché i numeri naturali pari crescono senza limite.
Per tale indice \(n=2q\), essendo \(n\) pari, si ha
\[ (-1)^n=1. \]
Quindi
\[ a_n=(-1)^n n=n=2q>M. \]
Abbiamo quindi dimostrato che nessun numero reale \(M\) può essere un maggiorante. La successione non è limitata superiormente.
Studiamo ora la limitatezza inferiore.
Per dimostrare che la successione non è limitata inferiormente, dobbiamo mostrare che, qualunque sia \(m\in\mathbb{R}\), esiste un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n<m. \]
Sia dunque \(m\in\mathbb{R}\). Scegliamo un indice dispari \(n=2q+1\) sufficientemente grande in modo che
\[ -(2q+1)<m. \]
Questa scelta è possibile perché i numeri della forma \(-(2q+1)\) scendono senza limite al crescere di \(q\).
Per tale indice \(n=2q+1\), essendo \(n\) dispari, si ha
\[ (-1)^n=-1. \]
Quindi
\[ a_n=(-1)^n n=-n=-(2q+1)<m. \]
Abbiamo quindi dimostrato che nessun numero reale \(m\) può essere un minorante. La successione non è limitata inferiormente.
Poiché la successione non è limitata superiormente e non è limitata inferiormente, essa non è limitata.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1} \]
è limitata.
Risultato
La successione è limitata. Infatti
\[ |a_n|<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Quindi, in particolare,
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}. \]
Poiché la successione contiene il fattore alternante \((-1)^n\), è naturale stimare il valore assoluto dei suoi termini.
Calcoliamo:
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n}{n+1}\right|. \]
Usando le proprietà del valore assoluto, otteniamo
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n}{n+1}\right|. \]
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ |(-1)^n|=1. \]
Inoltre \(n\ge 0\) e \(n+1>0\), quindi
\[ \left|\frac{n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}. \]
Dunque
\[ |a_n|=\frac{n}{n+1}. \]
Poiché
\[ n<n+1 \]
e \(n+1>0\), dividendo per \(n+1\) otteniamo
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Quindi
\[ |a_n|<1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
In particolare, vale anche
\[ |a_n|\le 1. \]
Per la caratterizzazione mediante il valore assoluto, poiché esiste \(K>0\), ad esempio \(K=1\), tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), la successione è limitata.
Dalla disuguaglianza \(|a_n|\le 1\) segue anche
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2}. \]
Per studiarne la limitatezza, riscriviamo il numeratore in funzione del denominatore. Osserviamo che
\[ 2n+1=2(n+2)-3. \]
Infatti
\[ 2(n+2)-3=2n+4-3=2n+1. \]
Quindi
\[ a_n=\frac{2(n+2)-3}{n+2}. \]
Separando la frazione, otteniamo
\[ a_n = \frac{2(n+2)}{n+2}-\frac{3}{n+2} = 2-\frac{3}{n+2}. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ n+2\ge 2. \]
Quindi
\[ \frac{3}{n+2}>0. \]
Da
\[ a_n=2-\frac{3}{n+2} \]
e da \(\displaystyle\frac{3}{n+2}>0\), segue che
\[ a_n<2. \]
Dunque \(2\) è un maggiorante della successione, e la successione è limitata superiormente.
Cerchiamo ora un minorante. Poiché \(n+2\ge 2\), dividendo \(3\) per un numero maggiore o uguale a \(2\) otteniamo
\[ \frac{3}{n+2}\le \frac{3}{2}. \]
Cambiando segno, il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -\frac{3}{n+2}\ge -\frac{3}{2}. \]
Sommando \(2\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ 2-\frac{3}{n+2}\ge 2-\frac{3}{2}. \]
Poiché
\[ 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}, \]
segue che
\[ a_n\ge \frac{1}{2}. \]
Quindi \(\displaystyle\frac{1}{2}\) è un minorante della successione, e la successione è limitata inferiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è quindi limitata.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ 1<a_n\le 3 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1}. \]
Per studiarne la limitatezza, riscriviamo il numeratore in modo da mettere in evidenza il denominatore:
\[ n^2+3=(n^2+1)+2. \]
Quindi
\[ a_n=\frac{(n^2+1)+2}{n^2+1}. \]
Separando la frazione, otteniamo
\[ a_n = \frac{n^2+1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} = 1+\frac{2}{n^2+1}. \]
Poiché \(n^2\ge 0\), si ha
\[ n^2+1\ge 1. \]
Di conseguenza
\[ \frac{2}{n^2+1}>0. \]
Da
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1} \]
segue allora
\[ a_n>1. \]
In particolare, \(1\) è un minorante della successione, e quindi la successione è limitata inferiormente.
Cerchiamo ora un maggiorante. Da \(n^2+1\ge 1\) segue
\[ \frac{2}{n^2+1}\le 2. \]
Sommando \(1\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ 1+\frac{2}{n^2+1}\le 3. \]
Poiché
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1}, \]
segue che
\[ a_n\le 3. \]
Quindi \(3\) è un maggiorante della successione, e la successione è limitata superiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ 1<a_n\le 3 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è quindi limitata.
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ -2\le a_n<3 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1}. \]
Per studiarne la limitatezza, riscriviamo il numeratore in modo da mettere in evidenza il denominatore. Osserviamo che
\[ 3n^2-2=3(n^2+1)-5. \]
Infatti
\[ 3(n^2+1)-5=3n^2+3-5=3n^2-2. \]
Quindi
\[ a_n=\frac{3(n^2+1)-5}{n^2+1}. \]
Separando la frazione, otteniamo
\[ a_n = \frac{3(n^2+1)}{n^2+1}-\frac{5}{n^2+1} = 3-\frac{5}{n^2+1}. \]
Poiché \(n^2\ge 0\), si ha
\[ n^2+1\ge 1. \]
In particolare, il denominatore \(n^2+1\) è sempre positivo. Quindi
\[ \frac{5}{n^2+1}>0. \]
Da
\[ a_n=3-\frac{5}{n^2+1} \]
e da \(\displaystyle\frac{5}{n^2+1}>0\), segue che
\[ a_n<3. \]
Dunque \(3\) è un maggiorante della successione, e la successione è limitata superiormente.
Cerchiamo ora un minorante. Da \(n^2+1\ge 1\) segue
\[ \frac{5}{n^2+1}\le 5. \]
Cambiando segno, il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ -\frac{5}{n^2+1}\ge -5. \]
Sommando \(3\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ 3-\frac{5}{n^2+1}\ge 3-5. \]
Poiché
\[ 3-5=-2, \]
segue che
\[ a_n\ge -2. \]
Quindi \(-2\) è un minorante della successione, e la successione è limitata inferiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ -2\le a_n<3 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è quindi limitata.
Esercizio 12 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ n\ge 0. \]
Inoltre
\[ n^2+1>0. \]
Il numeratore è maggiore o uguale a \(0\), mentre il denominatore è positivo. Di conseguenza
\[ \frac{n}{n^2+1}\ge 0. \]
Quindi
\[ a_n\ge 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è dunque limitata inferiormente.
Studiamo ora la limitatezza superiore. Vogliamo mostrare che
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}. \]
Poiché \(n^2+1>0\), possiamo moltiplicare entrambi i membri per \(2(n^2+1)\), che è positivo. La disuguaglianza precedente è equivalente a
\[ 2n\le n^2+1. \]
Portando tutto al secondo membro, otteniamo
\[ 0\le n^2-2n+1. \]
Ma
\[ n^2-2n+1=(n-1)^2. \]
Dunque la disuguaglianza diventa
\[ 0\le (n-1)^2. \]
Questa è sempre vera, perché il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale a \(0\).
Quindi
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Pertanto \(\displaystyle\frac{1}{2}\) è un maggiorante della successione, e la successione è limitata superiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è quindi limitata.
Esercizio 13 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1} \]
è limitata.
Risultato
La successione è limitata. Infatti
\[ |a_n|\le 2 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Quindi
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1}. \]
Poiché è presente il fattore alternante \((-1)^n\), conviene studiare il valore assoluto dei termini.
Calcoliamo:
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
Usando le proprietà del valore assoluto, otteniamo
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), vale
\[ |(-1)^n|=1. \]
Inoltre \(n+1>0\) e \(n+2>0\), quindi
\[ \left|\frac{n+2}{n+1}\right|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Pertanto
\[ |a_n|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Ora riscriviamo la frazione:
\[ \frac{n+2}{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = 1+\frac{1}{n+1}. \]
Poiché \(n+1\ge 1\), abbiamo
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Sommando \(1\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ 1+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Poiché
\[ |a_n|=1+\frac{1}{n+1}, \]
segue che
\[ |a_n|\le 2. \]
Per la caratterizzazione mediante il valore assoluto, poiché esiste \(K>0\), ad esempio \(K=2\), tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), la successione è limitata.
In particolare, dalla disuguaglianza \(|a_n|\le 2\) segue
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Esercizio 14 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata inferiormente, ma non è limitata superiormente. Quindi non è limitata.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1}. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ n\ge 0. \]
Quindi
\[ n^3\ge 0. \]
Inoltre
\[ n^2+1>0. \]
Il numeratore è maggiore o uguale a \(0\), mentre il denominatore è positivo. Pertanto
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge 0. \]
Quindi
\[ a_n\ge 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è dunque limitata inferiormente.
Mostriamo ora che la successione non è limitata superiormente.
Per \(n\ge 1\), si ha
\[ n^2+1\le 2n^2. \]
Infatti, se \(n\ge 1\), allora \(1\le n^2\), e quindi
\[ n^2+1\le n^2+n^2=2n^2. \]
Poiché \(n^2+1\le 2n^2\) e tutte le quantità coinvolte sono positive, passando ai reciproci il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ \frac{1}{n^2+1}\ge \frac{1}{2n^2}. \]
Moltiplicando per \(n^3\ge 0\), otteniamo
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge \frac{n^3}{2n^2}. \]
Semplificando,
\[ \frac{n^3}{2n^2}=\frac{n}{2}. \]
Quindi, per ogni \(n\ge 1\),
\[ a_n\ge \frac{n}{2}. \]
Ora sia \(M\in\mathbb{R}\). Vogliamo trovare un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n>M. \]
Scegliamo \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n\ge 1 \qquad \text{e} \qquad \frac{n}{2}>M. \]
Questa scelta è possibile perché \(\displaystyle\frac{n}{2}\) cresce senza limite al crescere di \(n\).
Per tale indice, usando la stima precedente, abbiamo
\[ a_n\ge \frac{n}{2}>M. \]
Abbiamo quindi dimostrato che, qualunque sia \(M\in\mathbb{R}\), esiste un termine della successione maggiore di \(M\). Dunque la successione non è limitata superiormente.
Poiché la successione è limitata inferiormente ma non superiormente, essa non è limitata.
Esercizio 15 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=n^2-4n \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata inferiormente, ma non è limitata superiormente. Quindi non è limitata.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=n^2-4n. \]
Per studiare la limitatezza inferiore, completiamo il quadrato:
\[ n^2-4n=n^2-4n+4-4. \]
Poiché
\[ n^2-4n+4=(n-2)^2, \]
otteniamo
\[ a_n=(n-2)^2-4. \]
Ora, per ogni \(n\in\mathbb{N}\), il quadrato \((n-2)^2\) è maggiore o uguale a \(0\). Quindi
\[ (n-2)^2\ge 0. \]
Sottraendo \(4\) da entrambi i membri, otteniamo
\[ (n-2)^2-4\ge -4. \]
Poiché
\[ a_n=(n-2)^2-4, \]
segue che
\[ a_n\ge -4. \]
Dunque \(-4\) è un minorante della successione, e la successione è limitata inferiormente.
Mostriamo ora che la successione non è limitata superiormente.
Per \(n\ge 8\), si ha
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Verifichiamo questa stima. La disuguaglianza
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2} \]
è equivalente a
\[ \frac{n^2}{2}-4n\ge 0. \]
Raccogliendo \(n\), otteniamo
\[ n\left(\frac{n}{2}-4\right)\ge 0. \]
Se \(n\ge 8\), allora
\[ \frac{n}{2}-4\ge 0, \]
e poiché \(n\ge 0\), il prodotto è maggiore o uguale a \(0\). Quindi, per ogni \(n\ge 8\),
\[ a_n=n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Ora sia \(M\in\mathbb{R}\). Vogliamo trovare un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n>M. \]
Poiché \(\displaystyle\frac{n^2}{2}\) cresce senza limite al crescere di \(n\), possiamo scegliere \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n\ge 8 \qquad \text{e} \qquad \frac{n^2}{2}>M. \]
Per tale indice, dalla stima precedente segue
\[ a_n\ge \frac{n^2}{2}>M. \]
Dunque, qualunque sia \(M\in\mathbb{R}\), esiste un termine della successione maggiore di \(M\). La successione non è quindi limitata superiormente.
Poiché la successione è limitata inferiormente ma non superiormente, essa non è limitata.
Esercizio 16 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ 0<a_n\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}. \]
Poiché \(n+1>n\) e la funzione radice quadrata è crescente su \([0,+\infty)\), si ha
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. \]
Sottraendo \(\sqrt{n}\) da entrambi i membri, otteniamo
\[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}>0. \]
Quindi
\[ a_n>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). In particolare, \(0\) è un minorante della successione, e dunque la successione è limitata inferiormente.
Studiamo ora la limitatezza superiore. Per stimare \(a_n\), razionalizziamo:
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
Al numeratore usiamo il prodotto notevole
\[ (x-y)(x+y)=x^2-y^2. \]
Otteniamo quindi
\[ a_n= \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
Poiché \(n\ge 0\), abbiamo
\[ \sqrt{n+1}\ge 1 \qquad \text{e} \qquad \sqrt{n}\ge 0. \]
Dunque
\[ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge 1. \]
Di conseguenza
\[ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le 1. \]
Poiché
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}, \]
segue che
\[ a_n\le 1. \]
Quindi \(1\) è un maggiorante della successione, e la successione è limitata superiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ 0<a_n\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
La successione è quindi limitata.
Esercizio 17 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione è limitata. Più precisamente,
\[ 0<a_n\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n. \]
Poiché
\[ n^2+1>n^2, \]
e poiché la radice quadrata è crescente su \([0,+\infty)\), otteniamo
\[ \sqrt{n^2+1}>\sqrt{n^2}. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), si ha \(n\ge 0\), quindi
\[ \sqrt{n^2}=n. \]
Pertanto
\[ \sqrt{n^2+1}>n. \]
Sottraendo \(n\) da entrambi i membri, segue che
\[ \sqrt{n^2+1}-n>0. \]
Quindi
\[ a_n>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è dunque limitata inferiormente, ad esempio da \(0\).
Studiamo ora la limitatezza superiore. Razionalizziamo l'espressione:
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n = \frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
Al numeratore otteniamo
\[ (\sqrt{n^2+1})^2-n^2=n^2+1-n^2=1. \]
Quindi
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
Poiché \(n\ge 0\), abbiamo
\[ \sqrt{n^2+1}\ge 1 \qquad \text{e} \qquad n\ge 0. \]
Dunque
\[ \sqrt{n^2+1}+n\ge 1. \]
Da ciò segue
\[ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\le 1. \]
Poiché
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}, \]
otteniamo
\[ a_n\le 1. \]
Quindi \(1\) è un maggiorante della successione, e la successione è limitata superiormente.
Abbiamo dimostrato che
\[ 0<a_n\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). La successione è quindi limitata.
Esercizio 18 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1} \]
è limitata.
Risultato
La successione è limitata. Ad esempio,
\[ -1\le a_n\le 2 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), il termine \((-1)^n\) può assumere soltanto i valori \(1\) e \(-1\). Quindi
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]
Inoltre, poiché \(n+1\ge 1\), si ha
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Da questa disuguaglianza segue in particolare che
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Sommiamo ora le due stime:
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
e
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Sommando membro a membro, otteniamo
\[ -1+0\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 1+1. \]
Quindi
\[ -1\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Poiché
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}, \]
segue che
\[ -1\le a_n\le 2 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dunque \(-1\) è un minorante e \(2\) è un maggiorante della successione. La successione è quindi limitata.
Esercizio 19 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1} \]
è limitata.
Risultato
La successione è limitata. Ad esempio,
\[ |a_n|\le 2 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}. \]
Per dimostrare che la successione è limitata, stimiamo il valore assoluto:
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}\right|. \]
Poiché \(n^2+1>0\), possiamo scrivere
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n n^2+n|}{n^2+1}. \]
Usiamo ora la disuguaglianza triangolare:
\[ |x+y|\le |x|+|y|. \]
Nel nostro caso,
\[ |(-1)^n n^2+n| \le |(-1)^n n^2|+|n|. \]
Poiché
\[ |(-1)^n|=1 \]
e \(n\ge 0\), otteniamo
\[ |(-1)^n n^2|=n^2 \qquad \text{e} \qquad |n|=n. \]
Quindi
\[ |(-1)^n n^2+n|\le n^2+n. \]
Di conseguenza
\[ |a_n| \le \frac{n^2+n}{n^2+1}. \]
Vogliamo ora stimare questa frazione dall'alto. Poiché \(n\in\mathbb{N}\), per ogni \(n\) vale
\[ n\le n^2+1. \]
Infatti, questa disuguaglianza equivale a
\[ n^2-n+1\ge 0, \]
ed essa è vera per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Per esempio, se \(n=0\) è immediata, mentre se \(n\ge 1\) allora \(n^2\ge n\), quindi \(n^2+1\ge n\).
Da \(n\le n^2+1\) segue
\[ n^2+n\le n^2+(n^2+1)=2n^2+1. \]
Poiché
\[ 2n^2+1\le 2n^2+2=2(n^2+1), \]
otteniamo
\[ n^2+n\le 2(n^2+1). \]
Dividendo per \(n^2+1>0\), segue che
\[ \frac{n^2+n}{n^2+1}\le 2. \]
Pertanto
\[ |a_n|\le 2. \]
Poiché esiste \(K>0\), ad esempio \(K=2\), tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), la successione è limitata.
Esercizio 20 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1} \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente e limitata.
Risultato
La successione non è limitata superiormente e non è limitata inferiormente. Quindi non è limitata.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1}. \]
Il termine principale è \((-1)^n n\), che assume valori positivi sempre più grandi sugli indici pari e valori negativi sempre più piccoli sugli indici dispari. Il termine
\[ \frac{1}{n+1} \]
è invece sempre positivo e compreso tra \(0\) e \(1\). Mostriamo in modo rigoroso che la successione non è limitata né superiormente né inferiormente.
Studiamo prima la limitatezza superiore. Sia \(M\in\mathbb{R}\). Vogliamo trovare un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n>M. \]
Scegliamo un indice pari \(n=2q\). Allora
\[ (-1)^n=(-1)^{2q}=1. \]
Per tali indici, la successione diventa
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{2q+1}>0, \]
segue che
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}>2q. \]
Ora scegliamo \(q\in\mathbb{N}\) sufficientemente grande in modo che
\[ 2q>M. \]
Allora
\[ a_{2q}>2q>M. \]
Abbiamo dimostrato che, qualunque sia \(M\in\mathbb{R}\), esiste un termine della successione maggiore di \(M\). Quindi la successione non è limitata superiormente.
Studiamo ora la limitatezza inferiore. Sia \(m\in\mathbb{R}\). Vogliamo trovare un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ a_n<m. \]
Scegliamo un indice dispari \(n=2q+1\). Allora
\[ (-1)^n=(-1)^{2q+1}=-1. \]
Per tali indici, la successione diventa
\[ a_{2q+1}=-(2q+1)+\frac{1}{2q+2}. \]
Poiché
\[ 0<\frac{1}{2q+2}\le 1, \]
otteniamo
\[ a_{2q+1} = -(2q+1)+\frac{1}{2q+2} \le -(2q+1)+1. \]
Quindi
\[ a_{2q+1}\le -2q. \]
Ora scegliamo \(q\in\mathbb{N}\) sufficientemente grande in modo che
\[ -2q<m. \]
Questa scelta è possibile perché \(-2q\) tende a \(-\infty\) al crescere di \(q\).
Per tale scelta di \(q\), abbiamo
\[ a_{2q+1}\le -2q<m. \]
Abbiamo dimostrato che, qualunque sia \(m\in\mathbb{R}\), esiste un termine della successione minore di \(m\). Quindi la successione non è limitata inferiormente.
Poiché la successione non è limitata superiormente e non è limitata inferiormente, essa non è limitata.