In questa pagina studieremo le successioni limitate, cioè successioni i cui termini non possono crescere o diminuire arbitrariamente, ma restano soggetti a opportuni vincoli numerici. Vedremo la differenza tra successioni limitate superiormente, limitate inferiormente e limitate, chiarendo il significato matematico di ciascuna definizione.
Il concetto di limitatezza è fondamentale nello studio delle successioni numeriche, perché permette di descrivere il comportamento globale dei termini di una successione, indipendentemente dal fatto che essa sia convergente o divergente.
In tutto l'articolo considereremo successioni reali, cioè successioni del tipo
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
e indicheremo i loro termini con \(a_n\), al variare di \(n\in\mathbb{N}\).
In tutto il testo assumiamo che \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Indice
- Successioni limitate superiormente
- Successioni limitate inferiormente
- Successioni limitate
- Interpretazione grafica della limitatezza
- Esempi di successioni limitate e non limitate
- Prime proprietà delle successioni limitate
- Successioni convergenti e successioni limitate
Successioni limitate superiormente
Una successione reale \((a_n)\) si dice limitata superiormente se esiste un numero reale \(M\) tale che tutti i termini della successione siano minori o uguali a \(M\).
In simboli:
\[ \exists M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\le M. \]
Il numero \(M\) prende il nome di maggiorante della successione. Dire che \((a_n)\) è limitata superiormente significa quindi dire che l'insieme dei suoi termini
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) limitato superiormente.
È importante osservare che il maggiorante non deve necessariamente essere un termine della successione. Deve soltanto essere un numero reale che sta al di sopra di tutti i termini della successione.
Esempio. Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Poiché \(n\in\mathbb{N}\), si ha \(n+1\ge 1\). Di conseguenza:
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Quindi, per ogni \(n\in\mathbb{N}\), risulta
\[ a_n\le 1. \]
La successione è dunque limitata superiormente. Ad esempio, \(M=1\) è un maggiorante.
Tuttavia \(1\) non è l'unico maggiorante. Anche \(2\), \(10\) e, più in generale, ogni numero reale \(M\ge 1\) è un maggiorante della successione.
Attenzione. Per dimostrare che una successione è limitata superiormente non è necessario trovare il più piccolo maggiorante. È sufficiente trovare almeno un numero reale \(M\) tale che
\[ a_n\le M \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Al contrario, per dimostrare che una successione non è limitata superiormente, bisogna mostrare che nessun numero reale può essere un maggiorante. In simboli:
\[ \forall M\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n>M. \]
Questa condizione significa che, qualunque numero reale \(M\) venga scelto, esiste almeno un termine della successione che lo supera.
Esempio di successione non limitata superiormente
Consideriamo la successione
\[ a_n=n. \]
Essa non è limitata superiormente. Infatti, fissato un qualsiasi \(M\in\mathbb{R}\), possiamo scegliere un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n>M. \]
Per tale indice si ha
\[ a_n=n>M. \]
Dunque nessun numero reale \(M\) può essere un maggiorante della successione \((n)\).
Successioni limitate inferiormente
Una successione reale \((a_n)\) si dice limitata inferiormente se esiste un numero reale \(m\) tale che tutti i termini della successione siano maggiori o uguali a \(m\).
In simboli:
\[ \exists m\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad a_n\ge m. \]
Il numero \(m\) prende il nome di minorante della successione. Dire che \((a_n)\) è limitata inferiormente significa quindi dire che l'insieme dei suoi termini
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
è un sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) limitato inferiormente.
Anche in questo caso, il minorante non deve necessariamente essere un termine della successione. Deve soltanto essere un numero reale che sta al di sotto di tutti i termini della successione.
Esempio. Consideriamo la successione
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Poiché \(n^2\ge 0\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ n^2+1\ge 1. \]
Quindi, per ogni \(n\in\mathbb{N}\), risulta
\[ a_n\ge 1. \]
La successione è dunque limitata inferiormente. Ad esempio, \(m=1\) è un minorante.
Naturalmente, anche ogni numero reale \(m\le 1\) è un minorante della successione. Infatti, se tutti i termini sono maggiori o uguali a \(1\), allora sono certamente maggiori o uguali a qualunque numero minore di \(1\).
Osservazione. Per dimostrare che una successione è limitata inferiormente non è necessario trovare il più grande minorante. È sufficiente trovare almeno un numero reale \(m\) tale che
\[ a_n\ge m \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Invece, per dimostrare che una successione non è limitata inferiormente, bisogna mostrare che nessun numero reale può essere un minorante. In simboli:
\[ \forall m\in\mathbb{R},\exists n\in\mathbb{N}: a_n<m. \]
Questa condizione significa che, qualunque numero reale \(m\) venga scelto, esiste almeno un termine della successione che scende al di sotto di \(m\).
Esempio di successione non limitata inferiormente
Consideriamo la successione
\[ a_n=-n. \]
Essa non è limitata inferiormente. Infatti, fissato un qualsiasi \(m\in\mathbb{R}\), possiamo scegliere un indice \(n\in\mathbb{N}\) tale che
\[ n>|m|+1. \]
Allora \(n>-m\), e quindi, moltiplicando per \(-1\), otteniamo
\[ -n<m. \]
Poiché \(a_n=-n\), segue che
\[ a_n<m. \]
Dunque nessun numero reale \(m\) può essere un minorante della successione \((-n)\).
Successioni limitate
Una successione reale \((a_n)\) si dice limitata se è limitata sia superiormente sia inferiormente.
In altri termini, \((a_n)\) è limitata se esistono due numeri reali \(m\) e \(M\) tali che
\[ m\le a_n\le M \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
In simboli:
\[ \exists m,M\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N},\quad m\le a_n\le M. \]
Il numero \(m\) è un minorante, mentre il numero \(M\) è un maggiorante. La successione è quindi contenuta, termine per termine, all'interno dell'intervallo chiuso \([m,M]\).
Esempio. Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ |(-1)^n|=1 \]
e quindi
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Poiché \(n+1\ge 1\), segue che
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Pertanto
\[ |a_n|\le 1. \]
Dalla disuguaglianza \(|a_n|\le 1\) segue
\[ -1\le a_n\le 1. \]
La successione è quindi limitata.
Caratterizzazione mediante il valore assoluto
Una successione reale \((a_n)\) è limitata se e solo se esiste un numero reale \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dimostrazione. Supponiamo innanzitutto che la successione \((a_n)\) sia limitata. Allora esistono \(m,M\in\mathbb{R}\) tali che
\[ m\le a_n\le M \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Consideriamo
\[ K=\max\{1,|m|,|M|\}. \]
Poiché \(m\le a_n\le M\), ogni termine \(a_n\) appartiene all'intervallo \([m,M]\). Di conseguenza il suo valore assoluto è minore o uguale al massimo tra \(|m|\) e \(|M|\), e quindi anche minore o uguale a \(K\). Dunque
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Viceversa, supponiamo che esista \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Per la definizione di valore assoluto, questa disuguaglianza equivale a
\[ -K\le a_n\le K. \]
Quindi \(-K\) è un minorante e \(K\) è un maggiorante della successione. La successione è pertanto limitata.
Attenzione. Una successione può essere limitata superiormente senza essere limitata inferiormente, oppure limitata inferiormente senza essere limitata superiormente.
Ad esempio, la successione
\[ a_n=-n \]
è limitata superiormente, perché
\[ -n\le 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), ma non è limitata inferiormente.
Analogamente, la successione
\[ b_n=n \]
è limitata inferiormente, perché
\[ n\ge 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), ma non è limitata superiormente.
Dunque, per essere limitata, una successione deve essere controllata sia dall'alto sia dal basso.
Interpretazione grafica della limitatezza
Dal punto di vista grafico, una successione reale \((a_n)\) può essere rappresentata mediante i punti
\[ (n,a_n), \qquad n\in\mathbb{N}. \]
In questa rappresentazione, l'indice \(n\) viene posto sull'asse delle ascisse, mentre il termine \(a_n\) viene posto sull'asse delle ordinate.
Dire che una successione è limitata superiormente significa che tutti i suoi punti si trovano al di sotto, o al più sulla stessa altezza, di una certa retta orizzontale.
Infatti, se esiste \(M\in\mathbb{R}\) tale che
\[ a_n\le M \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), allora tutti i punti \((n,a_n)\) stanno al di sotto della retta orizzontale di equazione
\[ y=M. \]
Analogamente, dire che una successione è limitata inferiormente significa che tutti i suoi punti si trovano al di sopra, o al più sulla stessa altezza, di una certa retta orizzontale.
Infatti, se esiste \(m\in\mathbb{R}\) tale che
\[ a_n\ge m \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), allora tutti i punti \((n,a_n)\) stanno al di sopra della retta orizzontale di equazione
\[ y=m. \]
Infine, dire che una successione è limitata significa che tutti i suoi punti sono compresi tra due rette orizzontali.
Più precisamente, se esistono \(m,M\in\mathbb{R}\) tali che
\[ m\le a_n\le M \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), allora tutti i punti \((n,a_n)\) sono contenuti nella striscia orizzontale compresa tra le rette
\[ y=m \qquad \text{e} \qquad y=M. \]
Questa interpretazione è utile perché permette di visualizzare immediatamente il significato della limitatezza: una successione limitata non può salire indefinitamente verso \(+\infty\) né scendere indefinitamente verso \(-\infty\).
Esempi di successioni limitate e non limitate
Vediamo ora alcuni esempi fondamentali, utili per distinguere correttamente le diverse forme di limitatezza.
Successione limitata
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
I suoi termini assumono soltanto i valori \(1\) e \(-1\). Infatti, per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ (-1)^n\in\{-1,1\}. \]
Di conseguenza
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Quindi la successione \(((-1)^n)\) è limitata.
Successione limitata superiormente ma non inferiormente
Consideriamo la successione
\[ a_n=-n^2. \]
Poiché \(n^2\ge 0\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ -n^2\le 0. \]
Dunque \(0\) è un maggiorante della successione, e quindi \((a_n)\) è limitata superiormente.
Tuttavia la successione non è limitata inferiormente. Infatti, fissato un qualsiasi \(m\in\mathbb{R}\), possiamo scegliere \(n\in\mathbb{N}\) sufficientemente grande in modo che
\[ n^2>|m|+1. \]
Allora \(n^2>-m\), e quindi, moltiplicando per \(-1\), otteniamo
\[ -n^2<m. \]
Quindi esiste un termine della successione minore di \(m\). Poiché questo vale per ogni \(m\in\mathbb{R}\), la successione non è limitata inferiormente.
Successione limitata inferiormente ma non superiormente
Consideriamo la successione
\[ a_n=n^2. \]
Poiché
\[ n^2\ge 0 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\), la successione è limitata inferiormente. Ad esempio, \(0\) è un minorante.
La successione però non è limitata superiormente. Infatti, fissato un qualsiasi \(M\in\mathbb{R}\), possiamo scegliere \(n\in\mathbb{N}\) sufficientemente grande in modo che
\[ n^2>M. \]
Quindi nessun numero reale \(M\) può essere un maggiorante della successione.
Successione non limitata né superiormente né inferiormente
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n n. \]
I termini della successione cambiano segno al variare della parità di \(n\). Per gli indici pari si ottengono valori positivi sempre più grandi, mentre per gli indici dispari si ottengono valori negativi sempre più piccoli.
La successione non è limitata superiormente. Infatti, scelto un qualsiasi \(M\in\mathbb{R}\), possiamo prendere un indice pari \(n\) sufficientemente grande in modo che
\[ n>M. \]
Per tale indice, essendo \(n\) pari, si ha \((-1)^n=1\), dunque
\[ a_n=(-1)^n n=n>M. \]
Quindi nessun numero reale \(M\) può essere un maggiorante.
Inoltre la successione non è limitata inferiormente. Infatti, scelto un qualsiasi \(m\in\mathbb{R}\), possiamo prendere un indice dispari \(n\) sufficientemente grande in modo che
\[ -n<m. \]
Per tale indice, essendo \(n\) dispari, si ha \((-1)^n=-1\), dunque
\[ a_n=(-1)^n n=-n<m. \]
Quindi nessun numero reale \(m\) può essere un minorante.
La successione \(((-1)^n n)\) non è dunque limitata né superiormente né inferiormente.
Prime proprietà delle successioni limitate
Le successioni limitate godono di alcune proprietà fondamentali, utili nello studio delle operazioni tra successioni e nel calcolo dei limiti.
In questa sezione consideriamo successioni reali definite su \(\mathbb{N}\).
Somma di successioni limitate
Se \((a_n)\) e \((b_n)\) sono due successioni limitate, allora anche la successione somma
\[ (a_n+b_n) \]
è limitata.
Infatti, poiché \((a_n)\) è limitata, esiste \(A>0\) tale che
\[ |a_n|\le A \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Analogamente, poiché \((b_n)\) è limitata, esiste \(B>0\) tale che
\[ |b_n|\le B \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Usando la disuguaglianza triangolare, otteniamo
\[ |a_n+b_n|\le |a_n|+|b_n|. \]
Poiché \(|a_n|\le A\) e \(|b_n|\le B\), segue che
\[ |a_n+b_n|\le A+B. \]
Dunque la successione \((a_n+b_n)\) è limitata.
Prodotto di successioni limitate
Se \((a_n)\) e \((b_n)\) sono due successioni limitate, allora anche la successione prodotto
\[ (a_n b_n) \]
è limitata.
Infatti, poiché \((a_n)\) è limitata, esiste \(A>0\) tale che
\[ |a_n|\le A \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\). Poiché \((b_n)\) è limitata, esiste \(B>0\) tale che
\[ |b_n|\le B \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Allora, per ogni \(n\in\mathbb{N}\), si ha
\[ |a_n b_n|=|a_n||b_n|\le AB. \]
Quindi la successione \((a_n b_n)\) è limitata.
Prodotto di una successione limitata per una costante
Se \((a_n)\) è una successione limitata e \(c\in\mathbb{R}\), allora anche la successione
\[ (c a_n) \]
è limitata.
Infatti, poiché \((a_n)\) è limitata, esiste \(A>0\) tale che
\[ |a_n|\le A \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Se \(c=0\), allora \(c a_n=0\) per ogni \(n\in\mathbb{N}\), e quindi la successione \((c a_n)\) è limitata.
Se invece \(c\ne 0\), si ha
\[ |c a_n|=|c||a_n|\le |c|A. \]
Anche in questo caso la successione \((c a_n)\) è limitata.
Una successione limitata può non essere convergente
La limitatezza non implica, da sola, la convergenza.
Ad esempio, la successione
\[ a_n=(-1)^n \]
è limitata, perché
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Tuttavia non è convergente. Infatti, i suoi termini oscillano continuamente tra \(1\) e \(-1\), senza avvicinarsi definitivamente a un unico numero reale.
Dunque una successione può essere limitata senza ammettere limite finito.
Una successione non limitata non può essere convergente
Se una successione reale non è limitata, allora non può convergere a un numero reale.
Questa affermazione è la contronominale del teorema secondo cui ogni successione convergente è limitata, che dimostreremo nella sezione successiva.
In altri termini, la limitatezza è una condizione necessaria per la convergenza, ma non è una condizione sufficiente.
Successioni convergenti e successioni limitate
Il legame più importante tra limitatezza e convergenza è il seguente: ogni successione reale convergente è limitata.
Teorema. Se una successione reale \((a_n)\) converge a un numero reale \(\ell\), allora \((a_n)\) è limitata.
Dimostrazione. Supponiamo che
\[ a_n\to \ell. \]
Per definizione di limite finito, per ogni \(\varepsilon>0\) esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Scegliamo, in particolare,
\[ \varepsilon=1. \]
Allora esiste \(N\in\mathbb{N}\) tale che, per ogni \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<1. \]
Da questa disuguaglianza segue che, per ogni \(n\ge N\),
\[ \ell-1<a_n<\ell+1. \]
Quindi tutti i termini della successione a partire dall'indice \(N\) sono compresi tra \(\ell-1\) e \(\ell+1\).
Rimangono da considerare soltanto i termini precedenti:
\[ a_0,a_1,\dots,a_{N-1}. \]
Essi sono in numero finito. Poiché un insieme finito di numeri reali è sempre limitato, possiamo definire
\[ K=\max\{1,|a_0|,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|,|\ell|+1\}. \]
Allora \(K>0\) e, per costruzione, si ha
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Dunque la successione \((a_n)\) è limitata.
Osservazione. Il teorema appena dimostrato afferma che la convergenza implica la limitatezza:
\[ a_n\to \ell \quad \Longrightarrow \quad (a_n)\ \text{è limitata}. \]
Il viceversa, però, non è vero in generale.
Infatti, come già osservato, la successione
\[ a_n=(-1)^n \]
è limitata, ma non è convergente.
Quindi possiamo dire che la limitatezza è una condizione necessaria per la convergenza, ma non è una condizione sufficiente.
Caso particolare: successioni monotone
Per le successioni monotone, invece, la limitatezza assume un ruolo ancora più forte.
Se una successione è crescente e limitata superiormente, allora converge. Analogamente, se una successione è decrescente e limitata inferiormente, allora converge.
Questo risultato è noto come teorema del limite di una successione monotona.
Dunque, in generale, una successione limitata non deve necessariamente convergere; tuttavia, se alla limitatezza si aggiunge anche la monotonia, allora si ottiene un criterio molto importante di convergenza.
Le successioni limitate permettono di descrivere il comportamento globale dei termini di una successione. Una successione può essere limitata superiormente, limitata inferiormente oppure limitata da entrambi i lati.
In particolare, una successione reale \((a_n)\) è limitata se esiste \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K \]
per ogni \(n\in\mathbb{N}\).
Questo significa che tutti i termini della successione rimangono contenuti in un intervallo finito. La limitatezza è una proprietà fondamentale perché ogni successione convergente è limitata, anche se una successione limitata non è necessariamente convergente.