In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sul teorema del limite di una successione monotona. Gli esercizi mostrano come studiare la monotonia di una successione, come riconoscere se è limitata e come dedurre l'esistenza del limite usando il teorema di convergenza monotona.
In particolare, useremo il fatto che una successione crescente tende al suo estremo superiore, eventualmente uguale a \(+\infty\), mentre una successione decrescente tende al suo estremo inferiore, eventualmente uguale a \(-\infty\).
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Studiare la monotonia della successione
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
e dedurre il suo limite usando il teorema del limite di una successione monotona.
Risultato
La successione è decrescente, inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Per studiare la monotonia confrontiamo due termini consecutivi:
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Poiché \(n+1>n\) e i denominatori sono positivi, si ha
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
Quindi
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La successione è dunque strettamente decrescente, e quindi decrescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\), si ha
\[ \frac1n>0. \]
Quindi \(0\) è un minorante della successione. La successione è decrescente e inferiormente limitata.
Per il teorema del limite di una successione monotona, essa converge al suo estremo inferiore:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
L'estremo inferiore è \(0\). Infatti i termini sono tutti positivi, ma diventano arbitrariamente piccoli.
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Studiare la monotonia della successione
\[ a_n=1-\frac{1}{n} \]
e dedurre il suo limite.
Risultato
La successione è crescente, superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=1-\frac1n. \]
Calcoliamo il termine successivo:
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
cambiando segno otteniamo
\[ -\frac{1}{n+1}>-\frac1n. \]
Sommando \(1\) a entrambi i membri:
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac1n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La successione è strettamente crescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ 1-\frac1n<1. \]
Quindi \(1\) è un maggiorante della successione.
Per il teorema del limite di una successione monotona, una successione crescente e superiormente limitata converge al suo estremo superiore.
In questo caso
\[ \sup\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Infatti i termini sono sempre minori di \(1\), ma si avvicinano a \(1\) quanto si vuole.
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac1n\right)=1. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=n. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, non superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=n. \]
Il termine successivo è
\[ a_{n+1}=n+1. \]
Per ogni \(n\geq1\), si ha
\[ n+1>n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La successione è strettamente crescente.
Non è superiormente limitata. Infatti, fissato un qualunque numero \(M>0\), possiamo scegliere un intero \(n\) tale che
\[ n>M. \]
Allora
\[ a_n=n>M. \]
Dunque la successione cresce senza limite.
Per il teorema del limite di una successione monotona, una successione crescente non superiormente limitata diverge a \(+\infty\).
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=-n. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, non inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=-n. \]
Il termine successivo è
\[ a_{n+1}=-(n+1)=-n-1. \]
Poiché
\[ -n-1<-n, \]
si ha
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La successione è strettamente decrescente.
Non è inferiormente limitata. Infatti, fissato \(M>0\), possiamo scegliere \(n\) tale che
\[ n>M. \]
Moltiplicando per \(-1\), otteniamo
\[ -n<-M. \]
Quindi i termini della successione diventano minori di qualunque soglia negativa.
Per il teorema del limite di una successione monotona, una successione decrescente non inferiormente limitata diverge a \(-\infty\).
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale:
\[ a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Poiché la successione
\[ \frac{1}{n+1} \]
è decrescente, la successione
\[ 1-\frac{1}{n+1} \]
è crescente.
Verifichiamolo direttamente. Si ha
\[ a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}. \]
Calcoliamo la differenza:
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}. \]
Portando a denominatore comune:
\[ a_{n+1}-a_n= \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+2)(n+1)}. \]
Sviluppiamo il numeratore:
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-(n^2+2n)=1. \]
Quindi
\[ a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0. \]
Dunque \(a_{n+1}>a_n\), cioè la successione è strettamente crescente.
Inoltre
\[ \frac{n}{n+1}<1 \]
per ogni \(n\geq1\), quindi \(1\) è un maggiorante.
Per il teorema del limite di una successione monotona, la successione converge al suo estremo superiore.
Poiché i termini si avvicinano a \(1\) da sinistra, si ha
\[ \sup\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{n+1}{n}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo la successione:
\[ a_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Poiché \(\frac1n\) è decrescente, anche
\[ 1+\frac1n \]
è decrescente.
Verifichiamolo con i termini consecutivi:
\[ a_{n+1}=1+\frac{1}{n+1}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n, \]
sommando \(1\) a entrambi i membri otteniamo
\[ 1+\frac{1}{n+1}<1+\frac1n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La successione è strettamente decrescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1n>1. \]
Quindi \(1\) è un minorante.
Una successione decrescente e inferiormente limitata converge al suo estremo inferiore.
In questo caso
\[ \inf\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=1. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n+1}{n}=1. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=2-\frac{3}{n}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=2-\frac3n. \]
Il termine successivo è
\[ a_{n+1}=2-\frac{3}{n+1}. \]
Poiché
\[ \frac{3}{n+1}<\frac3n, \]
cambiando segno si ottiene
\[ -\frac{3}{n+1}>-\frac3n. \]
Sommando \(2\):
\[ 2-\frac{3}{n+1}>2-\frac3n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La successione è strettamente crescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ 2-\frac3n<2. \]
Quindi \(2\) è un maggiorante.
Per il teorema di convergenza monotona, la successione converge al suo estremo superiore.
Poiché \(\frac3n\to0\), i termini si avvicinano a \(2\) da sinistra. Pertanto
\[ \sup\left\{2-\frac3n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=2. \]
Concludiamo che
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac3n\right)=2. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=5+\frac{2}{n}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=5+\frac2n. \]
Il termine successivo è
\[ a_{n+1}=5+\frac{2}{n+1}. \]
Poiché
\[ \frac{2}{n+1}<\frac2n, \]
sommando \(5\) a entrambi i membri otteniamo
\[ 5+\frac{2}{n+1}<5+\frac2n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La successione è strettamente decrescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ 5+\frac2n>5. \]
Quindi \(5\) è un minorante.
Una successione decrescente e inferiormente limitata converge al suo estremo inferiore.
Poiché \(\frac2n\to0\), i termini si avvicinano a \(5\) da destra. Dunque
\[ \inf\left\{5+\frac2n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=5. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(5+\frac2n\right)=5. \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+1}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2(n+1)-1}{n+1} = 2-\frac{1}{n+1}. \]
Dunque
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}. \]
Poiché \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\) è decrescente, il termine
\[ -\frac{1}{n+1} \]
è crescente. Quindi \(a_n\) è crescente.
Verifichiamo anche con il termine successivo:
\[ a_{n+1}=2-\frac{1}{n+2}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n+2}<\frac{1}{n+1}, \]
si ha
\[ -\frac{1}{n+2}>-\frac{1}{n+1}. \]
Sommando \(2\):
\[ 2-\frac{1}{n+2}>2-\frac{1}{n+1}. \]
Pertanto
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La successione è strettamente crescente.
Inoltre
\[ a_n=2-\frac{1}{n+1}<2, \]
quindi \(2\) è un maggiorante.
La successione è crescente e superiormente limitata, quindi converge al suo estremo superiore.
Poiché \(\displaystyle \frac1{n+1}\to0\), l'estremo superiore è \(2\). Dunque
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n+1}=2. \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Svolgimento
Riscriviamo la successione:
\[ a_n=\frac{3n+4}{n}=3+\frac4n. \]
Poiché \(\frac4n\) è decrescente, anche
\[ 3+\frac4n \]
è decrescente.
Infatti
\[ a_{n+1}=3+\frac{4}{n+1}. \]
Siccome
\[ \frac{4}{n+1}<\frac4n, \]
si ha
\[ 3+\frac{4}{n+1}<3+\frac4n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La successione è strettamente decrescente.
Inoltre
\[ 3+\frac4n>3 \]
per ogni \(n\geq1\), quindi \(3\) è un minorante.
Per il teorema del limite di una successione monotona, la successione converge al suo estremo inferiore.
Poiché \(\frac4n\to0\), i termini si avvicinano a \(3\) da destra. Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+4}{n}=3. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo la successione:
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}=1-\frac{1}{n^2+1}. \]
Poiché \(n^2+1\) cresce al crescere di \(n\), la quantità
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
diminuisce.
Di conseguenza
\[ 1-\frac{1}{n^2+1} \]
cresce.
Dunque la successione è crescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Quindi \(1\) è un maggiorante.
La successione è crescente e superiormente limitata, quindi converge.
Per il teorema del limite di una successione monotona, il suo limite è l'estremo superiore dell'insieme dei suoi valori.
Poiché
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
otteniamo
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+1}\to1. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+1}=1. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo la successione:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n^2}=1+\frac1{n^2}. \]
La successione \(\frac1{n^2}\) è decrescente, perché \(n^2\) cresce al crescere di \(n\).
Quindi anche
\[ 1+\frac1{n^2} \]
è decrescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ 1+\frac1{n^2}>1. \]
Dunque \(1\) è un minorante.
La successione è decrescente e inferiormente limitata, quindi converge al suo estremo inferiore.
Poiché
\[ \frac1{n^2}\to0, \]
si ha
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n^2}=1. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo la successione:
\[ a_n=\frac{2^n}{2^n+1}=1-\frac{1}{2^n+1}. \]
Poiché \(2^n\) cresce al crescere di \(n\), anche \(2^n+1\) cresce. Quindi
\[ \frac{1}{2^n+1} \]
decresce.
Di conseguenza
\[ 1-\frac{1}{2^n+1} \]
cresce.
La successione è dunque crescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ \frac{2^n}{2^n+1}<1. \]
Quindi \(1\) è un maggiorante.
La successione è crescente e superiormente limitata; perciò converge al suo estremo superiore.
Poiché
\[ \frac{1}{2^n+1}\to0, \]
segue che
\[ a_n=1-\frac{1}{2^n+1}\to1. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{2^n+1}=1. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale:
\[ a_n=\frac{3^n+1}{3^n}=1+\frac{1}{3^n}. \]
Poiché \(3^n\) cresce al crescere di \(n\), la successione
\[ \frac{1}{3^n} \]
è decrescente.
Quindi
\[ a_n=1+\frac{1}{3^n} \]
è decrescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ 1+\frac{1}{3^n}>1. \]
Quindi \(1\) è un minorante.
La successione è decrescente e inferiormente limitata, dunque converge al suo estremo inferiore.
Poiché
\[ \frac1{3^n}\to0, \]
segue che
\[ 1+\frac1{3^n}\to1. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3^n+1}{3^n}=1. \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo la successione:
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1-\frac{1}{n^2+n+1}. \]
Il denominatore
\[ n^2+n+1 \]
cresce al crescere di \(n\). Infatti, passando da \(n\) a \(n+1\), otteniamo
\[ (n+1)^2+(n+1)+1=n^2+3n+3, \]
che è maggiore di
\[ n^2+n+1. \]
Quindi
\[ \frac{1}{n^2+n+1} \]
è decrescente.
Di conseguenza
\[ 1-\frac{1}{n^2+n+1} \]
è crescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ a_n=\frac{n^2+n}{n^2+n+1}<1. \]
Quindi \(1\) è un maggiorante.
La successione è crescente e superiormente limitata, quindi converge.
Poiché
\[ \frac{1}{n^2+n+1}\to0, \]
si ha
\[ a_n=1-\frac{1}{n^2+n+1}\to1. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+n}{n^2+n+1}=1. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Studiare la successione
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Svolgimento
Riscriviamo:
\[ a_n=\frac{n^2+2}{n^2+1} = \frac{n^2+1+1}{n^2+1} = 1+\frac{1}{n^2+1}. \]
Poiché \(n^2+1\) cresce al crescere di \(n\), la quantità
\[ \frac{1}{n^2+1} \]
decresce.
Quindi
\[ a_n=1+\frac{1}{n^2+1} \]
è decrescente.
Inoltre, per ogni \(n\geq1\),
\[ a_n>1. \]
Quindi \(1\) è un minorante.
Per il teorema del limite di una successione monotona, la successione converge al suo estremo inferiore.
Poiché
\[ \frac{1}{n^2+1}\to0, \]
otteniamo
\[ a_n\to1. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2}{n^2+1}=1. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Studiare la successione
\[ a_n=\sqrt{n}. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è crescente, non superiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=\sqrt n. \]
Poiché \(n+1>n\) e la radice quadrata conserva l'ordine sui numeri non negativi, si ha
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}>a_n. \]
La successione è strettamente crescente.
Mostriamo ora che non è superiormente limitata. Fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(n\) tale che
\[ \sqrt n>M. \]
Questa disuguaglianza equivale a
\[ n>M^2. \]
È sempre possibile scegliere un numero naturale \(n\) maggiore di \(M^2\). Quindi la successione non è superiormente limitata.
Essendo crescente e non superiormente limitata, per il teorema del limite di una successione monotona essa diverge a \(+\infty\).
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Studiare la successione
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Stabilire se è monotona, se è limitata e determinare il limite.
Risultato
La successione è decrescente, non inferiormente limitata e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=-\sqrt n. \]
Poiché
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt n, \]
moltiplicando per \(-1\) si inverte il verso della disuguaglianza:
\[ -\sqrt{n+1}<-\sqrt n. \]
Quindi
\[ a_{n+1}<a_n. \]
La successione è strettamente decrescente.
Non è inferiormente limitata. Infatti, fissato \(M>0\), vogliamo trovare \(n\) tale che
\[ -\sqrt n<-M. \]
Moltiplicando per \(-1\), il verso cambia:
\[ \sqrt n>M. \]
Questa disuguaglianza è verificata quando
\[ n>M^2. \]
Quindi i termini diventano minori di qualunque soglia negativa.
Essendo decrescente e non inferiormente limitata, la successione diverge a \(-\infty\).
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}(-\sqrt n)=-\infty. \]
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Sia \((a_n)\) una successione crescente tale che
\[ a_n<4 \]
per ogni \(n\geq1\). Stabilire se la successione ammette limite e indicare cosa si può dire del suo valore.
Risultato
La successione è convergente. Il suo limite \(L\) esiste ed è uguale a
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Inoltre \(L\leq4\).
Svolgimento
La successione \((a_n)\) è crescente per ipotesi. Inoltre, per ogni \(n\geq1\), vale
\[ a_n<4. \]
Quindi \(4\) è un maggiorante dell'insieme dei valori della successione:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
La successione è dunque crescente e superiormente limitata.
Per il teorema del limite di una successione monotona, una successione crescente e superiormente limitata converge al suo estremo superiore.
Pertanto esiste il limite finito
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
Inoltre
\[ L=\sup\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Poiché \(4\) è un maggiorante, l'estremo superiore non può essere maggiore di \(4\). Quindi
\[ L\leq4. \]
Non possiamo però concludere necessariamente che \(L=4\). Per esempio, una successione crescente e sempre minore di \(4\) potrebbe convergere a \(4\), ma potrebbe anche convergere a un numero più piccolo.
Dunque l'informazione certa è:
\[ \text{la successione converge e il suo limite soddisfa } L\leq4. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Sia \((a_n)\) una successione decrescente tale che
\[ a_n>-2 \]
per ogni \(n\geq1\). Stabilire se la successione ammette limite e indicare cosa si può dire del suo valore.
Risultato
La successione è convergente. Il suo limite \(L\) esiste ed è uguale a
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Inoltre \(L\geq -2\).
Svolgimento
La successione \((a_n)\) è decrescente per ipotesi. Inoltre, per ogni \(n\geq1\), vale
\[ a_n>-2. \]
Quindi \(-2\) è un minorante dell'insieme dei valori della successione:
\[ \{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
La successione è dunque decrescente e inferiormente limitata.
Per il teorema del limite di una successione monotona, una successione decrescente e inferiormente limitata converge al suo estremo inferiore.
Pertanto esiste il limite finito
\[ L=\lim_{n\to+\infty}a_n. \]
Inoltre
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\}. \]
Poiché \(-2\) è un minorante, l'estremo inferiore non può essere minore di \(-2\). Quindi
\[ L\geq -2. \]
Non possiamo però concludere necessariamente che \(L=-2\). La successione potrebbe tendere a \(-2\), ma potrebbe anche tendere a un numero maggiore.
Dunque l'informazione certa è:
\[ \text{la successione converge e il suo limite soddisfa } L\geq -2. \]