In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sui limiti di successioni numeriche, con particolare attenzione alla distinzione tra successioni convergenti, successioni divergenti e successioni irregolari.
Ogni esercizio è risolto passo passo, richiamando le definizioni fondamentali e mostrando come riconoscere il comportamento della successione quando l'indice \(n\) tende a \(+\infty\).
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
I primi termini sono
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots \]
Al crescere di \(n\), il denominatore diventa sempre più grande, mentre il numeratore resta uguale a \(1\). Perciò i termini diventano sempre più piccoli e si avvicinano a \(0\).
Per dimostrarlo con la definizione, fissiamo un numero arbitrario
\[ \varepsilon>0. \]
Vogliamo trovare un indice \(n_\varepsilon\) tale che, per ogni \(n\geq n_\varepsilon\), risulti
\[ \left|\frac1n-0\right|<\varepsilon. \]
Poiché
\[ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n, \]
dobbiamo imporre
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Questa disuguaglianza equivale a
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Scegliamo dunque \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tale che
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Allora, per ogni \(n\geq n_\varepsilon\), si ha
\[ n\geq n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
e quindi
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Abbiamo dimostrato che, per ogni \(\varepsilon>0\), da un certo indice in poi tutti i termini della successione distano da \(0\) meno di \(\varepsilon\).
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
La successione è dunque convergente.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Riscriviamo il termine generale nel modo seguente:
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
per \(n\to+\infty\), ci aspettiamo che
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Verifichiamolo con la definizione. Dobbiamo studiare la distanza tra \(a_n\) e \(1\):
\[ |a_n-1|=\left|\frac{n}{n+1}-1\right|. \]
Calcoliamo:
\[ \frac{n}{n+1}-1=\frac{n-(n+1)}{n+1}=-\frac{1}{n+1}. \]
Pertanto
\[ |a_n-1|=\left|-\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Fissato \(\varepsilon>0\), vogliamo che
\[ \frac{1}{n+1}<\varepsilon. \]
Questa disuguaglianza è verificata quando
\[ n+1>\frac1\varepsilon, \]
cioè quando
\[ n>\frac1\varepsilon-1. \]
Scegliendo \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tale che
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon-1, \]
per ogni \(n\geq n_\varepsilon\) otteniamo
\[ |a_n-1|<\varepsilon. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
La successione è convergente.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=3. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}3=3. \]
Svolgimento
La successione è costante:
\[ a_n=3 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Tutti i termini della successione sono uguali a \(3\). Quindi la successione non si avvicina semplicemente a \(3\): è sempre esattamente uguale a \(3\).
Verifichiamolo con la definizione. Dobbiamo mostrare che, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste un indice \(n_\varepsilon\) tale che, per ogni \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-3|<\varepsilon. \]
Poiché \(a_n=3\), abbiamo
\[ |a_n-3|=|3-3|=0. \]
Ma
\[ 0<\varepsilon \]
per ogni \(\varepsilon>0\).
Quindi la disuguaglianza è verificata per ogni \(n\). Possiamo scegliere, per esempio,
\[ n_\varepsilon=1. \]
Ne segue che
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=3. \]
La successione è dunque convergente.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale separando le frazioni:
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac1n=2+\frac1n. \]
Poiché
\[ \frac1n\to0, \]
ci aspettiamo che
\[ 2+\frac1n\to2. \]
Verifichiamo la distanza da \(2\):
\[ |a_n-2|=\left|2+\frac1n-2\right|=\frac1n. \]
Fissato \(\varepsilon>0\), vogliamo che
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Poiché
\[ |a_n-2|=\frac1n, \]
basta imporre
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Questa disuguaglianza è verificata se
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Scegliamo dunque \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tale che
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Allora, per ogni \(n\geq n_\varepsilon\), risulta
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
La successione è convergente.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Il numeratore e il denominatore sono polinomi di primo grado in \(n\). Quando \(n\to+\infty\), il comportamento principale è determinato dai termini di grado massimo:
\[ 3n \quad \text{e} \quad 2n. \]
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n\):
\[ \frac{3n-2}{2n+5}=\frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}. \]
Poiché
\[ \frac2n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac5n\to0, \]
otteniamo
\[ \frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}\to\frac{3-0}{2+0}=\frac32. \]
Dunque
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Poiché il limite è un numero reale finito, la successione è convergente.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=n. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è divergente a \(+\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=n. \]
I suoi termini sono
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \]
e diventano arbitrariamente grandi.
Per dimostrare che
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty, \]
usiamo la definizione di divergenza a \(+\infty\). Dobbiamo mostrare che, per ogni \(M>0\), esiste \(n_M\in\mathbb N\) tale che, per ogni \(n\geq n_M\),
\[ a_n>M. \]
Poiché \(a_n=n\), dobbiamo ottenere
\[ n>M. \]
Scegliamo \(n_M\in\mathbb N\) tale che
\[ n_M>M. \]
Allora, se \(n\geq n_M\), si ha
\[ n\geq n_M>M. \]
Quindi
\[ a_n=n>M. \]
Questo dimostra che la successione diverge a \(+\infty\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=n^2. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è divergente a \(+\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=n^2. \]
I primi termini sono
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
e crescono senza limite.
Dimostriamo che la successione diverge a \(+\infty\). Fissiamo un numero arbitrario \(M>0\). Vogliamo trovare un indice \(n_M\) tale che, per ogni \(n\geq n_M\),
\[ n^2>M. \]
Poiché \(n\) è positivo, la disuguaglianza
\[ n^2>M \]
è verificata quando
\[ n>\sqrt{M}. \]
Scegliamo dunque \(n_M\in\mathbb N\) tale che
\[ n_M>\sqrt{M}. \]
Allora, per ogni \(n\geq n_M\), abbiamo
\[ n\geq n_M>\sqrt{M}. \]
Elevando al quadrato, otteniamo
\[ n^2>M. \]
Quindi, per ogni soglia positiva \(M\), da un certo indice in poi i termini della successione superano \(M\).
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
La successione è divergente a \(+\infty\).
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=-n. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è divergente a \(-\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=-n. \]
I suoi termini sono
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
e diventano sempre più piccoli.
Per dimostrare che
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty, \]
usiamo la definizione di divergenza a \(-\infty\). Fissiamo \(M>0\). Dobbiamo trovare \(n_M\in\mathbb N\) tale che, per ogni \(n\geq n_M\),
\[ -n<-M. \]
Moltiplicando entrambi i membri per \(-1\), il verso della disuguaglianza cambia:
\[ n>M. \]
Scegliamo allora \(n_M\in\mathbb N\) tale che
\[ n_M>M. \]
Se \(n\geq n_M\), allora
\[ n\geq n_M>M. \]
Quindi
\[ -n<-M. \]
Questo mostra che i termini della successione diventano minori di qualunque soglia negativa.
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
La successione è divergente a \(-\infty\).
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=-2n+5. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è divergente a \(-\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=-2n+5. \]
Il termine dominante è \(-2n\), che tende a \(-\infty\). Il termine costante \(5\) non cambia il comportamento all'infinito.
Dimostriamolo con la definizione. Fissiamo \(M>0\). Vogliamo trovare \(n_M\) tale che, per ogni \(n\geq n_M\),
\[ -2n+5<-M. \]
Risolviamo la disuguaglianza:
\[ -2n+5<-M. \]
Sottraendo \(5\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ -2n<-M-5. \]
Dividendo per \(-2\), il verso della disuguaglianza cambia:
\[ n>\frac{M+5}{2}. \]
Scegliamo \(n_M\in\mathbb N\) tale che
\[ n_M>\frac{M+5}{2}. \]
Allora, per ogni \(n\geq n_M\), si ha
\[ -2n+5<-M. \]
Quindi la successione diverge a \(-\infty\).
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è irregolare.
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=(-1)^n. \]
I suoi termini sono
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
La successione oscilla tra i valori \(-1\) e \(1\), quindi non sembra avvicinarsi a un unico numero reale.
Consideriamo gli indici pari. Se \(n=2k\), allora
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Quindi la sottosuccessione dei termini di indice pari è costante uguale a \(1\), e perciò
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Consideriamo ora gli indici dispari. Se \(n=2k-1\), allora
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Quindi
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Abbiamo trovato due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi:
\[ 1 \qquad\text{e}\qquad -1. \]
Perciò la successione non può essere convergente.
Inoltre è limitata, perché per ogni \(n\in\mathbb N\) si ha
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Essendo limitata, non può divergere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Dunque la successione non è convergente e non è divergente. Quindi è irregolare.
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è irregolare.
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Studiamo separatamente gli indici pari e gli indici dispari.
Se \(n=2k\), allora
\[ a_{2k}=1+(-1)^{2k}=1+1=2. \]
Quindi
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=2. \]
Se invece \(n=2k-1\), allora
\[ a_{2k-1}=1+(-1)^{2k-1}=1-1=0. \]
Quindi
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=0. \]
La successione possiede due sottosuccessioni con limiti diversi:
\[ 2 \qquad\text{e}\qquad 0. \]
Pertanto la successione non è convergente.
Inoltre i suoi termini sono soltanto \(0\) e \(2\). Quindi la successione è limitata:
\[ 0\leq a_n\leq 2 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Poiché è limitata, non può divergere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Quindi la successione è irregolare.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Il fattore \((-1)^n\) fa oscillare il segno dei termini, ma il denominatore \(n\) diventa sempre più grande.
Studiamo il valore assoluto:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{|(-1)^n|}{n}. \]
Poiché
\[ |(-1)^n|=1, \]
si ha
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Poiché
\[ \frac1n\to0, \]
anche \(a_n\) tende a \(0\).
Verifichiamolo direttamente. Fissato \(\varepsilon>0\), vogliamo che
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Ma
\[ |a_n-0|=|a_n|=\frac1n. \]
È sufficiente dunque imporre
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Come già visto, questa condizione è verificata per
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Scegliendo \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tale che
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
per ogni \(n\geq n_\varepsilon\) abbiamo
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
La successione è convergente. Questo esempio mostra che una successione può oscillare nei segni e tuttavia convergere, se l'ampiezza dell'oscillazione tende a zero.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è divergente a \(+\infty\) e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n}=+\infty. \]
Svolgimento
Riscriviamo il termine generale:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac1n. \]
Il termine \(n\) tende a \(+\infty\), mentre il termine \(\frac1n\) tende a \(0\). Il comportamento dominante è quindi quello di \(n\).
Dimostriamo che \(a_n\to+\infty\). Fissato \(M>0\), vogliamo che
\[ n+\frac1n>M. \]
Poiché
\[ \frac1n>0 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\), si ha
\[ n+\frac1n>n. \]
Dunque, se imponiamo
\[ n>M, \]
otteniamo automaticamente
\[ n+\frac1n>M. \]
Scegliamo \(n_M\in\mathbb N\) tale che
\[ n_M>M. \]
Allora, per ogni \(n\geq n_M\), risulta
\[ a_n=n+\frac1n>n\geq n_M>M. \]
Quindi la successione diverge a \(+\infty\).
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Il denominatore ha grado \(2\), mentre il numeratore ha grado \(1\). Per \(n\to+\infty\), il denominatore cresce più rapidamente del numeratore.
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ \frac{n}{n^2+1} = \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}. \]
Poiché
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1{n^2}\to0, \]
otteniamo
\[ \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}\to\frac0{1+0}=0. \]
Quindi
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
Il limite è finito, quindi la successione è convergente.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è irregolare.
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Calcoliamo alcuni termini:
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Quindi i termini si ripetono secondo lo schema
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
La successione non si avvicina a un unico numero reale.
Infatti, considerando gli indici della forma \(4k+1\), otteniamo
\[ a_{4k+1}=1. \]
Quindi
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1. \]
Considerando invece gli indici della forma \(4k+2\), otteniamo
\[ a_{4k+2}=0. \]
Quindi
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
La successione possiede due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi. Di conseguenza non è convergente.
Inoltre, per ogni \(n\in\mathbb N\), si ha
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
La successione è quindi limitata e non può divergere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Pertanto è irregolare.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è irregolare.
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Studiamo separatamente gli indici pari e gli indici dispari.
Se \(n=2k\), allora
\[ a_{2k}=2k(-1)^{2k}=2k. \]
Quindi
\[ a_{2k}\to+\infty \]
per \(k\to+\infty\).
Se invece \(n=2k-1\), allora
\[ a_{2k-1}=(2k-1)(-1)^{2k-1}=-(2k-1). \]
Quindi
\[ a_{2k-1}\to-\infty \]
per \(k\to+\infty\).
La successione non può convergere a un numero reale, perché una parte dei suoi termini cresce senza limite positivo e un'altra parte decresce senza limite negativo.
Non diverge a \(+\infty\), perché i termini di indice dispari diventano sempre più negativi e quindi non possono essere, da un certo punto in poi, maggiori di ogni soglia positiva.
Non diverge nemmeno a \(-\infty\), perché i termini di indice pari diventano sempre più positivi e quindi non possono essere, da un certo punto in poi, minori di ogni soglia negativa.
Dunque la successione non è convergente e non diverge né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Pertanto è irregolare.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è irregolare.
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Il fattore
\[ \frac{n}{n+1} \]
tende a \(1\), mentre il fattore \((-1)^n\) alterna il segno.
Studiamo le sottosuccessioni pari e dispari.
Se \(n=2k\), allora
\[ a_{2k}=\frac{(-1)^{2k}\,2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}. \]
Poiché
\[ \frac{2k}{2k+1}\to1, \]
abbiamo
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Se invece \(n=2k-1\), allora
\[ a_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k-1}(2k-1)}{2k}=-\frac{2k-1}{2k}. \]
Poiché
\[ \frac{2k-1}{2k}\to1, \]
otteniamo
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
La successione possiede quindi due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi:
\[ 1 \qquad\text{e}\qquad -1. \]
Perciò la successione non è convergente.
Inoltre è limitata, perché
\[ \left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}<1. \]
Essendo limitata, non diverge né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Dunque la successione è irregolare.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è convergente e
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Numeratore e denominatore sono polinomi dello stesso grado, cioè di grado \(2\).
In questi casi il limite è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo. Verifichiamolo dividendo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-1} = \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}. \]
Ora
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{e}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Quindi
\[ \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}\to\frac{1+0}{2-0}=\frac12. \]
Pertanto
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Poiché il limite è reale e finito, la successione è convergente.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è divergente a \(+\infty\).
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Il numeratore ha grado \(3\), mentre il denominatore ha grado \(2\). Quindi il numeratore cresce più rapidamente del denominatore.
Dividiamo numeratore e denominatore per \(n^2\):
\[ \frac{n^3+1}{n^2+1} = \frac{n+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}. \]
Per \(n\to+\infty\), abbiamo
\[ n+\frac1{n^2}\to+\infty \]
e
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Quindi la successione tende a \(+\infty\).
Dimostriamo anche una stima semplice. Per ogni \(n\geq1\), si ha
\[ n^2+1\leq 2n^2. \]
Inoltre
\[ n^3+1\geq n^3. \]
Pertanto
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}\geq\frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Poiché
\[ \frac n2\to+\infty, \]
anche \(a_n\to+\infty\).
Dunque
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+1}{n^2+1}=+\infty. \]
La successione è divergente a \(+\infty\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Studiare il comportamento della successione
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ è pari},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ è dispari}. \end{cases} \]
Stabilire se è convergente, divergente o irregolare.
Risultato
La successione è irregolare.
Svolgimento
La successione è definita in modo diverso a seconda che l'indice \(n\) sia pari oppure dispari:
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ è pari},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{se } n \text{ è dispari}. \end{cases} \]
Studiamo la sottosuccessione degli indici pari. Se \(n=2k\), allora
\[ a_{2k}=\frac{1}{2k}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{2k}\to0 \]
per \(k\to+\infty\), otteniamo
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=0. \]
Studiamo ora la sottosuccessione degli indici dispari. Se \(n=2k-1\), allora
\[ a_{2k-1}=2+\frac{1}{2k-1}. \]
Poiché
\[ \frac{1}{2k-1}\to0, \]
segue che
\[ 2+\frac{1}{2k-1}\to2. \]
Quindi
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=2. \]
La successione possiede dunque due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi:
\[ 0 \qquad\text{e}\qquad 2. \]
Per questo motivo la successione non può essere convergente.
Inoltre la successione è limitata. Infatti, per \(n\) pari si ha
\[ a_n=\frac1n, \]
quindi \(0<a_n\leq \frac12\), mentre per \(n\) dispari si ha
\[ a_n=2+\frac1n, \]
quindi \(2<a_n\leq3\).
In ogni caso i termini rimangono compresi in un intervallo limitato. Per esempio,
\[ 0<a_n\leq3 \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Essendo limitata, la successione non può divergere né a \(+\infty\) né a \(-\infty\).
Dunque la successione non è convergente e non è divergente.
Pertanto è irregolare.