In questa raccolta vengono proposti 20 esercizi svolti sulle funzioni pari e sulle funzioni dispari. Ogni esercizio è risolto passo passo, con particolare attenzione alla simmetria del dominio, al calcolo di \(f(-x)\) e al confronto con \(f(x)\) oppure con \(-f(x)\).
Per stabilire se una funzione è pari o dispari, infatti, non basta osservare la sola espressione analitica: bisogna prima controllare che il dominio sia simmetrico rispetto all'origine. Solo dopo questo controllo ha senso verificare se, per ogni \(x\) del dominio, vale una delle due condizioni
\[ f(-x)=f(x) \]
oppure
\[ f(-x)=-f(x). \]
Gli esercizi seguenti mostrano i casi principali: funzioni pari, funzioni dispari, funzioni né pari né dispari, domini non simmetrici, operazioni tra funzioni pari e dispari, integrali su intervalli simmetrici e decomposizione in parte pari e parte dispari.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire quali dei seguenti insiemi sono simmetrici rispetto all'origine:
\[ A=\mathbb R,\qquad B=[-3,3],\qquad C=[0,+\infty),\qquad D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Risultato
Gli insiemi \(A\), \(B\) e \(D\) sono simmetrici rispetto all'origine. L'insieme \(C\) non è simmetrico rispetto all'origine.
Svolgimento
Un insieme \(X\subseteq\mathbb R\) è simmetrico rispetto all'origine se, per ogni \(x\in X\), anche il suo opposto \(-x\) appartiene a \(X\). In simboli:
\[ x\in X\implies -x\in X. \]
Consideriamo il primo insieme:
\[ A=\mathbb R. \]
Ogni numero reale appartiene a \(\mathbb R\), e anche il suo opposto appartiene a \(\mathbb R\). Dunque \(A\) è simmetrico rispetto all'origine.
Consideriamo ora
\[ B=[-3,3]. \]
Se \(x\in[-3,3]\), allora anche \(-x\in[-3,3]\), perché l'intervallo contiene sempre, insieme a un numero, anche il suo opposto. Dunque \(B\) è simmetrico rispetto all'origine.
Consideriamo
\[ C=[0,+\infty). \]
Questo insieme non è simmetrico rispetto all'origine. Infatti
\[ 1\in[0,+\infty), \]
ma
\[ -1\notin[0,+\infty). \]
Quindi \(C\) non contiene sempre, insieme a un suo elemento, anche il suo opposto.
Infine consideriamo
\[ D=\mathbb R\setminus\{0\}. \]
Se \(x\in D\), allora \(x\ne 0\). Di conseguenza anche \(-x\ne 0\), quindi \(-x\in D\). Pertanto anche \(D\) è simmetrico rispetto all'origine.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+5 \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è pari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Possiamo quindi confrontare \(f(x)\) e \(f(-x)\). Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+5. \]
Poiché
\[ (-x)^2=x^2, \]
otteniamo
\[ f(-x)=x^2+5. \]
Ma
\[ f(x)=x^2+5. \]
Dunque, per ogni \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Per definizione, la funzione \(f\) è pari.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-4x \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è dispari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3-4(-x). \]
Semplificando i due termini, otteniamo
\[ f(-x)=-x^3+4x. \]
Ora calcoliamo \(-f(x)\). Poiché
\[ f(x)=x^3-4x, \]
si ha
\[ -f(x)=-(x^3-4x). \]
Distribuendo il segno meno:
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Abbiamo quindi ottenuto
\[ f(-x)=-x^3+4x \]
e
\[ -f(x)=-x^3+4x. \]
Perciò, per ogni \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=-f(x). \]
Per definizione, la funzione \(f\) è dispari.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+x \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione non è né pari né dispari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+(-x). \]
Poiché \((-x)^2=x^2\), otteniamo
\[ f(-x)=x^2-x. \]
Confrontiamo ora \(f(-x)\) con \(f(x)\). Si ha
\[ f(x)=x^2+x. \]
In generale
\[ x^2-x\ne x^2+x. \]
Ad esempio, per \(x=1\), si ottiene
\[ f(-1)=(-1)^2+(-1)=1-1=0, \]
mentre
\[ f(1)=1^2+1=2. \]
Quindi \(f(-1)\ne f(1)\), e la funzione non è pari.
Verifichiamo ora se la funzione è dispari. Dovrebbe valere
\[ f(-x)=-f(x) \]
per ogni \(x\in\mathbb R\). Calcoliamo:
\[ -f(x)=-(x^2+x)=-x^2-x. \]
Ma in generale
\[ x^2-x\ne -x^2-x. \]
Ad esempio, per \(x=1\), abbiamo già trovato \(f(-1)=0\), mentre
\[ -f(1)=-2. \]
Quindi \(f(-1)\ne -f(1)\), e la funzione non è dispari.
Pertanto \(f\) non è né pari né dispari.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
è pari.
Risultato
La funzione non viene considerata pari, perché il suo dominio non è simmetrico rispetto all'origine.
Svolgimento
La legge della funzione è
\[ f(x)=x^2. \]
Questa espressione, considerata su tutto \(\mathbb R\), descrive una funzione pari. Tuttavia, in questo esercizio la funzione non è definita su \(\mathbb R\), ma su
\[ [0,+\infty). \]
Prima di verificare la parità, dobbiamo quindi controllare il dominio.
Il dominio
\[ X=[0,+\infty) \]
non è simmetrico rispetto all'origine. Infatti
\[ 1\in X, \]
ma
\[ -1\notin X. \]
Questo significa che, per \(x=1\), il valore \(f(1)\) è definito, mentre il valore \(f(-1)\) non è definito.
Di conseguenza, non è possibile verificare la condizione
\[ f(-x)=f(x) \]
per ogni \(x\) del dominio.
Per questo motivo la funzione
\[ f:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
non viene classificata come funzione pari.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x^4-5x^2+7 \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è pari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Possiamo dunque calcolare \(f(-x)\) e confrontarlo con \(f(x)\). Si ha
\[ f(-x)=3(-x)^4-5(-x)^2+7. \]
Ricordiamo che una potenza con esponente pari non cambia segno quando si sostituisce \(x\) con \(-x\). Infatti
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2. \]
Quindi
\[ f(-x)=3x^4-5x^2+7. \]
Ma questa è proprio l'espressione di \(f(x)\):
\[ f(x)=3x^4-5x^2+7. \]
Pertanto, per ogni \(x\in\mathbb R\), vale
\[ f(-x)=f(x). \]
Per definizione, la funzione è pari.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x^5-3x^3+x \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è dispari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=2(-x)^5-3(-x)^3+(-x). \]
Le potenze con esponente dispari cambiano segno quando si sostituisce \(x\) con \(-x\). Infatti
\[ (-x)^5=-x^5,\qquad (-x)^3=-x^3. \]
Quindi
\[ f(-x)=2(-x^5)-3(-x^3)-x. \]
Semplificando:
\[ f(-x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Ora calcoliamo \(-f(x)\). Poiché
\[ f(x)=2x^5-3x^3+x, \]
abbiamo
\[ -f(x)=-(2x^5-3x^3+x). \]
Distribuendo il segno meno:
\[ -f(x)=-2x^5+3x^3-x. \]
Dunque \(f(-x)\) e \(-f(x)\) coincidono:
\[ f(-x)=-f(x). \]
Poiché questa uguaglianza vale per ogni \(x\in\mathbb R\), la funzione è dispari.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+\cos x \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è pari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^2+\cos(-x). \]
Ora usiamo due proprietà note:
\[ (-x)^2=x^2 \]
e
\[ \cos(-x)=\cos x. \]
La prima uguaglianza dipende dal fatto che la potenza ha esponente pari; la seconda esprime il fatto che il coseno è una funzione pari.
Sostituendo queste uguaglianze, otteniamo
\[ f(-x)=x^2+\cos x. \]
Ma
\[ f(x)=x^2+\cos x. \]
Quindi, per ogni \(x\in\mathbb R\),
\[ f(-x)=f(x). \]
Per definizione, la funzione \(f\) è pari.
Questo risultato è coerente anche con la regola generale: la somma di due funzioni pari è ancora una funzione pari.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2 \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione non è né pari né dispari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2. \]
Poiché
\[ (-x)^3=-x^3,\qquad (-x)^2=x^2, \]
otteniamo
\[ f(-x)=-x^3+x^2. \]
Confrontiamo prima \(f(-x)\) con \(f(x)\). Poiché
\[ f(x)=x^3+x^2, \]
la condizione di parità richiederebbe
\[ -x^3+x^2=x^3+x^2 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\). Questa uguaglianza non è vera in generale. Ad esempio, per \(x=1\), si ha
\[ f(-1)=(-1)^3+(-1)^2=-1+1=0, \]
mentre
\[ f(1)=1^3+1^2=2. \]
Dunque la funzione non è pari.
Controlliamo ora se è dispari. Calcoliamo \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^3+x^2)=-x^3-x^2. \]
La condizione di disparità richiederebbe
\[ f(-x)=-f(x). \]
Ma abbiamo
\[ f(-x)=-x^3+x^2 \]
e
\[ -f(x)=-x^3-x^2. \]
Queste due espressioni non coincidono in generale. Ad esempio, per \(x=1\), si ha \(f(-1)=0\), mentre \(-f(1)=-2\).
Quindi la funzione non è dispari.
Pertanto \(f\) non è né pari né dispari.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=0 \]
è pari, dispari oppure entrambe le cose.
Risultato
La funzione è sia pari sia dispari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
La funzione è identicamente nulla, cioè
\[ f(x)=0 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\).
Calcoliamo \(f(-x)\). Poiché anche \(-x\) è un numero reale, si ha
\[ f(-x)=0. \]
Confrontiamo ora \(f(-x)\) con \(f(x)\). Siccome \(f(x)=0\), otteniamo
\[ f(-x)=0=f(x). \]
Quindi la funzione è pari.
Confrontiamo ora \(f(-x)\) con \(-f(x)\). Poiché \(f(x)=0\), si ha
\[ -f(x)=-0=0. \]
Dunque
\[ f(-x)=0=-f(x). \]
Quindi la funzione è anche dispari.
Pertanto la funzione nulla è sia pari sia dispari. Questo è l'unico caso, su un dominio simmetrico rispetto all'origine, in cui una funzione reale può essere contemporaneamente pari e dispari.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=(x^2+1)\sin x \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è dispari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=((-x)^2+1)\sin(-x). \]
Ora osserviamo separatamente i due fattori.
Per il primo fattore abbiamo
\[ (-x)^2+1=x^2+1. \]
Per il secondo fattore, usando la disparità del seno, abbiamo
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Sostituendo queste due uguaglianze, otteniamo
\[ f(-x)=(x^2+1)(-\sin x). \]
Quindi
\[ f(-x)=-(x^2+1)\sin x. \]
Ma
\[ f(x)=(x^2+1)\sin x. \]
Pertanto
\[ f(-x)=-f(x). \]
Per definizione, la funzione è dispari.
Il risultato è coerente con la regola generale: il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x\sin x \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è pari.
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)\sin(-x). \]
Usiamo la relazione
\[ \sin(-x)=-\sin x. \]
Sostituendo, otteniamo
\[ f(-x)=(-x)(-\sin x). \]
Il prodotto di due fattori negativi è positivo, quindi
\[ f(-x)=x\sin x. \]
Ma
\[ f(x)=x\sin x. \]
Dunque
\[ f(-x)=f(x). \]
Per definizione, la funzione è pari.
Anche questo risultato è coerente con la regola generale: il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari. Infatti \(x\mapsto x\) è dispari e \(x\mapsto\sin x\) è dispari.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1} \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è pari.
Svolgimento
Prima di tutto controlliamo il dominio. Il denominatore è
\[ x^4+1. \]
Poiché \(x^4\ge 0\) per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ x^4+1>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\). Quindi il denominatore non si annulla mai e il dominio è \(\mathbb R\).
Il dominio è dunque simmetrico rispetto all'origine.
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{(-x)^2+1}{(-x)^4+1}. \]
Poiché
\[ (-x)^2=x^2,\qquad (-x)^4=x^4, \]
otteniamo
\[ f(-x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Ma
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x^4+1}. \]
Quindi
\[ f(-x)=f(x). \]
Per definizione, la funzione è pari.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:X\to\mathbb R,\qquad f(x)=\tan x, \]
dove
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}, \]
è pari, dispari oppure né pari né dispari.
Risultato
La funzione è dispari.
Svolgimento
Prima di verificare la condizione \(f(-x)=f(x)\) oppure \(f(-x)=-f(x)\), dobbiamo controllare che il dominio sia simmetrico rispetto all'origine.
La funzione tangente non è definita nei punti
\[ \frac{\pi}{2}+k\pi,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Perciò il dominio è
\[ X=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb Z\right\}. \]
Verifichiamo che \(X\) è simmetrico rispetto all'origine. L'opposto di un punto escluso è
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right). \]
Semplificando:
\[ -\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)=-\frac{\pi}{2}-k\pi. \]
Riscriviamo questa quantità nella forma \(\frac{\pi}{2}+m\pi\), con \(m\in\mathbb Z\):
\[ -\frac{\pi}{2}-k\pi=\frac{\pi}{2}+(-k-1)\pi. \]
Poiché \(-k-1\in\mathbb Z\), anche l'opposto di un punto escluso è un punto escluso.
Di conseguenza, se \(x\in X\), allora anche \(-x\in X\). Il dominio è quindi simmetrico rispetto all'origine.
Ora calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\tan(-x). \]
Poiché la tangente è una funzione dispari, vale
\[ \tan(-x)=-\tan x. \]
Quindi
\[ f(-x)=-\tan x. \]
Ma \(f(x)=\tan x\), dunque
\[ f(-x)=-f(x). \]
Per definizione, \(f\) è dispari.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Calcolare l'integrale
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx \]
usando la parità della funzione integranda.
Risultato
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Svolgimento
Consideriamo la funzione integranda
\[ f(x)=x^4+3x^2. \]
Verifichiamo la parità:
\[ f(-x)=(-x)^4+3(-x)^2. \]
Poiché
\[ (-x)^4=x^4,\qquad (-x)^2=x^2, \]
otteniamo
\[ f(-x)=x^4+3x^2=f(x). \]
Quindi \(f\) è pari.
L'intervallo di integrazione è
\[ [-2,2], \]
che è simmetrico rispetto all'origine. Per una funzione pari integrabile su \([-a,a]\), vale
\[ \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_0^a f(x)\,dx. \]
Nel nostro caso \(a=2\). Dunque
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx = 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx. \]
Calcoliamo l'integrale:
\[ 2\int_0^2(x^4+3x^2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2. \]
Ora sostituiamo gli estremi:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+x^3\right]_0^2 = 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3-\frac{0^5}{5}-0^3\right). \]
Quindi
\[ 2\left(\frac{2^5}{5}+2^3\right) = 2\left(\frac{32}{5}+8\right). \]
Portiamo tutto a denominatore comune:
\[ 8=\frac{40}{5}. \]
Pertanto
\[ 2\left(\frac{32}{5}+\frac{40}{5}\right) = 2\cdot\frac{72}{5} = \frac{144}{5}. \]
Concludiamo che
\[ \int_{-2}^{2}(x^4+3x^2)\,dx=\frac{144}{5}. \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Calcolare l'integrale
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx \]
usando la disparità della funzione integranda.
Risultato
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Svolgimento
Consideriamo la funzione integranda
\[ f(x)=x^5-4x. \]
Verifichiamo se \(f\) è dispari. Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=(-x)^5-4(-x). \]
Poiché
\[ (-x)^5=-x^5 \]
e
\[ -4(-x)=4x, \]
otteniamo
\[ f(-x)=-x^5+4x. \]
Ora calcoliamo \(-f(x)\):
\[ -f(x)=-(x^5-4x). \]
Distribuendo il segno meno:
\[ -f(x)=-x^5+4x. \]
Abbiamo quindi
\[ f(-x)=-f(x). \]
La funzione \(f\) è dispari.
L'intervallo di integrazione è
\[ [-3,3], \]
che è simmetrico rispetto all'origine.
Poiché l'integrale di una funzione dispari su un intervallo simmetrico rispetto all'origine è nullo, otteniamo direttamente
\[ \int_{-3}^{3}(x^5-4x)\,dx=0. \]
Dal punto di vista geometrico, le aree orientate nelle due metà dell'intervallo si compensano: il contributo su \([-3,0]\) è opposto al contributo su \([0,3]\).
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Calcolare l'integrale
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx \]
sfruttando la parità e la disparità dei termini della funzione integranda.
Risultato
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Svolgimento
Consideriamo la funzione integranda
\[ f(x)=x^4+x^3+2. \]
Questa funzione non è né pari né dispari nel suo complesso, perché contiene sia termini pari sia termini dispari. Tuttavia possiamo separarla in due parti:
\[ f(x)=(x^4+2)+x^3. \]
La funzione
\[ x\mapsto x^4+2 \]
è pari, perché contiene solo potenze pari di \(x\) e un termine costante.
La funzione
\[ x\mapsto x^3 \]
è dispari, perché
\[ (-x)^3=-x^3. \]
Possiamo quindi scrivere
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx+\int_{-1}^{1}x^3\,dx. \]
L'intervallo \([-1,1]\) è simmetrico rispetto all'origine. Poiché \(x^3\) è dispari, il suo integrale su \([-1,1]\) è nullo:
\[ \int_{-1}^{1}x^3\,dx=0. \]
Rimane quindi
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx = \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx. \]
Poiché \(x^4+2\) è pari, possiamo dimezzare l'intervallo e raddoppiare l'integrale:
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+2)\,dx = 2\int_0^1(x^4+2)\,dx. \]
Calcoliamo:
\[ 2\int_0^1(x^4+2)\,dx = 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1. \]
Sostituendo gli estremi:
\[ 2\left[\frac{x^5}{5}+2x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1^5}{5}+2\cdot 1-\frac{0^5}{5}-2\cdot 0\right). \]
Quindi
\[ 2\left(\frac{1}{5}+2\right) = 2\left(\frac{1}{5}+\frac{10}{5}\right) = 2\cdot\frac{11}{5} = \frac{22}{5}. \]
Pertanto
\[ \int_{-1}^{1}(x^4+x^3+2)\,dx=\frac{22}{5}. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Decomporre la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+x^2+x+1 \]
nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari.
Risultato
La parte pari è
\[ f_p(x)=x^2+1. \]
La parte dispari è
\[ f_d(x)=x^3+x. \]
Quindi
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine. Possiamo dunque usare le formule della decomposizione in parte pari e parte dispari.
La parte pari di \(f\) è definita da
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
La parte dispari di \(f\) è definita da
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calcoliamo prima \(f(-x)\). Poiché
\[ f(x)=x^3+x^2+x+1, \]
otteniamo
\[ f(-x)=(-x)^3+(-x)^2+(-x)+1. \]
Semplificando:
\[ f(-x)=-x^3+x^2-x+1. \]
Calcoliamo ora la parte pari:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Sostituiamo le espressioni trovate:
\[ f_p(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)+(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Sommiamo i termini simili:
\[ x^3-x^3=0,\qquad x-x=0, \]
mentre
\[ x^2+x^2=2x^2,\qquad 1+1=2. \]
Quindi
\[ f_p(x)=\frac{2x^2+2}{2}=x^2+1. \]
Calcoliamo ora la parte dispari:
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Sostituiamo:
\[ f_d(x)=\frac{(x^3+x^2+x+1)-(-x^3+x^2-x+1)}{2}. \]
Cambiamo i segni nella seconda parentesi:
\[ f_d(x)=\frac{x^3+x^2+x+1+x^3-x^2+x-1}{2}. \]
Sommiamo i termini simili:
\[ x^3+x^3=2x^3,\qquad x+x=2x, \]
mentre
\[ x^2-x^2=0,\qquad 1-1=0. \]
Quindi
\[ f_d(x)=\frac{2x^3+2x}{2}=x^3+x. \]
Abbiamo così ottenuto la decomposizione
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x)=(x^2+1)+(x^3+x). \]
La prima parentesi è una funzione pari, mentre la seconda è una funzione dispari.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Decomporre la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari.
Risultato
La parte pari è
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x. \]
La parte dispari è
\[ f_d(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x. \]
Quindi
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Svolgimento
Il dominio della funzione \(f(x)=e^x\) è \(\mathbb R\), quindi è simmetrico rispetto all'origine.
Possiamo usare le formule
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
e
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Poiché
\[ f(x)=e^x, \]
si ha
\[ f(-x)=e^{-x}. \]
Calcoliamo la parte pari:
\[ f_p(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Questa è, per definizione, la funzione coseno iperbolico:
\[ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}. \]
Quindi
\[ f_p(x)=\cosh x. \]
Calcoliamo ora la parte dispari:
\[ f_d(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Questa è, per definizione, la funzione seno iperbolico:
\[ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}. \]
Quindi
\[ f_d(x)=\sinh x. \]
Pertanto la decomposizione di \(e^x\) nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari è
\[ e^x=\cosh x+\sinh x. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Decomporre la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x+1}{x^2+1} \]
nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari.
Risultato
La parte pari è
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
La parte dispari è
\[ f_d(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Quindi
\[ \frac{x+1}{x^2+1} = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
Svolgimento
Il dominio della funzione è \(\mathbb R\), perché il denominatore
\[ x^2+1 \]
è sempre positivo e quindi non si annulla mai.
Il dominio è dunque simmetrico rispetto all'origine.
Per decomporre \(f\) nella somma della sua parte pari e della sua parte dispari, usiamo le formule
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} \]
e
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Calcoliamo \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac{-x+1}{(-x)^2+1}. \]
Poiché
\[ (-x)^2=x^2, \]
otteniamo
\[ f(-x)=\frac{1-x}{x^2+1}. \]
Calcoliamo ora la parte pari:
\[ f_p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}. \]
Sostituendo le due espressioni:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}+\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Le due frazioni hanno lo stesso denominatore, quindi possiamo sommare i numeratori:
\[ f_p(x)=\frac{\frac{x+1+1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Semplificando il numeratore:
\[ x+1+1-x=2. \]
Dunque
\[ f_p(x)=\frac{\frac{2}{x^2+1}}{2}. \]
Dividere per \(2\) significa moltiplicare per \(\frac12\), quindi
\[ f_p(x)=\frac{1}{x^2+1}. \]
Calcoliamo ora la parte dispari:
\[ f_d(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}. \]
Sostituendo:
\[ f_d(x)=\frac{\frac{x+1}{x^2+1}-\frac{1-x}{x^2+1}}{2}. \]
Anche in questo caso le due frazioni hanno lo stesso denominatore:
\[ f_d(x)=\frac{\frac{x+1-(1-x)}{x^2+1}}{2}. \]
Semplifichiamo il numeratore:
\[ x+1-(1-x)=x+1-1+x=2x. \]
Quindi
\[ f_d(x)=\frac{\frac{2x}{x^2+1}}{2}. \]
Dividendo per \(2\), otteniamo
\[ f_d(x)=\frac{x}{x^2+1}. \]
Pertanto la funzione si decompone come
\[ f(x)=f_p(x)+f_d(x) = \frac{1}{x^2+1} + \frac{x}{x^2+1}. \]
La funzione
\[ x\mapsto \frac{1}{x^2+1} \]
è pari, mentre la funzione
\[ x\mapsto \frac{x}{x^2+1} \]
è dispari. La decomposizione ottenuta è quindi coerente con le formule generali.