In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulla composizione di funzioni, con difficoltà progressiva e spiegazioni passo passo. Gli esercizi riguardano il calcolo di \(f\circ g\) e \(g\circ f\), il dominio della funzione composta, l'ordine di composizione, la funzione identità, l'associatività e il rapporto tra composizione e funzione inversa.
L'idea fondamentale da ricordare è che nella composizione \(f\circ g\) si applica prima \(g\) e poi \(f\). Per ogni valore \(x\) per cui la composizione è definita, vale
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Siano
\[ f(x)=2x+1,\qquad g(x)=x^2-3. \]
Calcolare \(f\circ g\).
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Svolgimento
Per calcolare \(f\circ g\), dobbiamo applicare prima \(g\) e poi \(f\). Per definizione:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché
\[ g(x)=x^2-3, \]
dobbiamo sostituire \(x^2-3\) al posto della variabile nella formula di \(f\). Siccome \(f(x)=2x+1\), otteniamo
\[ f(g(x))=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1. \]
Semplificando:
\[ 2(x^2-3)+1=2x^2-6+1=2x^2-5. \]
Quindi
\[ (f\circ g)(x)=2x^2-5. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Siano
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+4. \]
Calcolare \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Risultato
Le due composizioni sono
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Svolgimento
Calcoliamo prima \(f\circ g\). Per definizione:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=x+4\), otteniamo
\[ f(g(x))=f(x+4). \]
Siccome \(f(x)=x^2\), sostituendo \(x+4\) al posto di \(x\) si ha
\[ f(x+4)=(x+4)^2. \]
Dunque
\[ (f\circ g)(x)=(x+4)^2. \]
Calcoliamo ora \(g\circ f\). In questo caso si applica prima \(f\) e poi \(g\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Poiché \(f(x)=x^2\), otteniamo
\[ g(f(x))=g(x^2). \]
Siccome \(g(x)=x+4\), si ha
\[ g(x^2)=x^2+4. \]
Pertanto
\[ (g\circ f)(x)=x^2+4. \]
Le due composizioni non coincidono: questo mostra che, in generale, l'ordine della composizione è importante.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Siano
\[ f(x)=3x-2,\qquad g(x)=5x+1. \]
Calcolare \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Risultato
Le due composizioni sono
\[ (f\circ g)(x)=15x+1 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Svolgimento
Calcoliamo \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=5x+1\), otteniamo
\[ f(g(x))=f(5x+1). \]
Siccome \(f(x)=3x-2\), sostituendo \(5x+1\) al posto di \(x\) si ha
\[ f(5x+1)=3(5x+1)-2. \]
Quindi
\[ (f\circ g)(x)=15x+3-2=15x+1. \]
Calcoliamo ora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Poiché \(f(x)=3x-2\), otteniamo
\[ g(f(x))=g(3x-2). \]
Siccome \(g(x)=5x+1\), si ha
\[ g(3x-2)=5(3x-2)+1. \]
Semplificando:
\[ 5(3x-2)+1=15x-10+1=15x-9. \]
Dunque
\[ (g\circ f)(x)=15x-9. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Siano
\[ f(x)=x^2+1,\qquad g(x)=2x-3. \]
Calcolare \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Risultato
Le due composizioni sono
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10 \]
e
\[ (g\circ f)(x)=2x^2-1. \]
Svolgimento
Calcoliamo prima \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x-3). \]
Poiché \(f(x)=x^2+1\), otteniamo
\[ f(2x-3)=(2x-3)^2+1. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (2x-3)^2+1=4x^2-12x+9+1=4x^2-12x+10. \]
Dunque
\[ (f\circ g)(x)=4x^2-12x+10. \]
Calcoliamo ora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x^2+1). \]
Poiché \(g(x)=2x-3\), sostituendo \(x^2+1\) al posto di \(x\) si ottiene
\[ g(x^2+1)=2(x^2+1)-3. \]
Quindi
\[ (g\circ f)(x)=2x^2+2-3=2x^2-1. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Siano
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x-4. \]
Determinare \(f\circ g\) e il suo dominio reale.
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4} \]
e il suo dominio reale è
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Svolgimento
Per definizione:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=x-4\), otteniamo
\[ f(g(x))=f(x-4). \]
Siccome \(f(x)=\sqrt{x}\), si ha
\[ f(x-4)=\sqrt{x-4}. \]
Quindi
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x-4}. \]
Per determinare il dominio reale, dobbiamo imporre che il radicando sia non negativo:
\[ x-4\ge 0. \]
Risolvendo:
\[ x\ge 4. \]
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[4,+\infty). \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Siano
\[ f(x)=\frac{1}{x},\qquad g(x)=x^2-9. \]
Determinare \(f\circ g\) e il suo dominio.
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9} \]
e il suo dominio è
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Svolgimento
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=x^2-9\), otteniamo
\[ f(g(x))=f(x^2-9). \]
Siccome \(f(x)=1/x\), si ha
\[ f(x^2-9)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Dunque
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{x^2-9}. \]
Per determinare il dominio, dobbiamo imporre che il denominatore sia diverso da zero:
\[ x^2-9\ne 0. \]
Risolviamo:
\[ x^2-9=0 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2=9. \]
Quindi
\[ x=-3 \qquad \text{oppure} \qquad x=3. \]
Questi due valori devono essere esclusi dal dominio.
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-3,3\}. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Siano
\[ f(x)=\sqrt{x+1},\qquad g(x)=\frac{1}{x}. \]
Determinare \(f\circ g\) e il suo dominio reale.
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1} \]
e il suo dominio reale è
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Svolgimento
Calcoliamo la composta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=1/x\), otteniamo
\[ f(g(x))=f\left(\frac{1}{x}\right). \]
Siccome \(f(x)=\sqrt{x+1}\), sostituendo \(1/x\) al posto di \(x\) si ha
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x}+1}. \]
Per il dominio dobbiamo imporre due condizioni. Prima di tutto, la funzione interna \(g(x)=1/x\) deve essere definita:
\[ x\ne 0. \]
Inoltre l'argomento della radice quadrata deve essere non negativo:
\[ \frac{1}{x}+1\ge 0. \]
Portiamo a denominatore comune:
\[ \frac{1+x}{x}\ge 0. \]
I punti critici sono
\[ x=-1,\qquad x=0. \]
Studiando il segno della frazione, otteniamo
\[ x\le -1 \qquad \text{oppure} \qquad x>0. \]
Il valore \(x=0\) è escluso perché annulla il denominatore.
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup(0,+\infty). \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Siano
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x}. \]
Determinare \(f\circ g\) e il suo dominio reale.
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1} \]
e il suo dominio reale è
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Svolgimento
Calcoliamo:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x}). \]
Poiché \(f(x)=1/(x-1)\), otteniamo
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}. \]
Per il dominio dobbiamo imporre innanzitutto che la funzione interna \(g(x)=\sqrt{x}\) sia definita:
\[ x\ge 0. \]
Inoltre il denominatore della funzione composta deve essere diverso da zero:
\[ \sqrt{x}-1\ne 0. \]
Risolvendo:
\[ \sqrt{x}\ne 1. \]
Poiché \(\sqrt{x}=1\) se e solo se \(x=1\), dobbiamo escludere \(x=1\).
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[0,+\infty)\setminus\{1\}. \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Siano
\[ f(x)=\sqrt{2-x},\qquad g(x)=x^2. \]
Determinare \(f\circ g\) e il suo dominio reale.
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2} \]
e il suo dominio reale è
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Svolgimento
Per definizione:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=x^2\), otteniamo
\[ f(g(x))=f(x^2). \]
Siccome \(f(x)=\sqrt{2-x}\), si ha
\[ f(x^2)=\sqrt{2-x^2}. \]
Dunque
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{2-x^2}. \]
Per il dominio reale imponiamo che il radicando sia non negativo:
\[ 2-x^2\ge 0. \]
Questa disequazione equivale a
\[ x^2\le 2. \]
Quindi
\[ -\sqrt{2}\le x\le \sqrt{2}. \]
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-\sqrt{2},\sqrt{2}]. \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Siano
\[ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1},\qquad g(x)=x+2. \]
Determinare \(f\circ g\) e il suo dominio.
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=x+3 \qquad \text{per } x\ne -1. \]
Il suo dominio è
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
Svolgimento
Calcoliamo la funzione composta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+2). \]
Sostituiamo \(x+2\) nella formula di \(f\):
\[ f(x+2)=\frac{(x+2)^2-1}{(x+2)-1}. \]
Semplifichiamo numeratore e denominatore:
\[ f(x+2)=\frac{x^2+4x+4-1}{x+1} =\frac{x^2+4x+3}{x+1}. \]
Fattorizziamo il numeratore:
\[ x^2+4x+3=(x+1)(x+3). \]
Quindi, per \(x\ne -1\),
\[ \frac{x^2+4x+3}{x+1}=\frac{(x+1)(x+3)}{x+1}=x+3. \]
Dunque la formula semplificata della composta è
\[ (f\circ g)(x)=x+3. \]
Tuttavia il valore \(x=-1\) deve essere escluso, perché nella formula non semplificata compare il denominatore \(x+1\). In modo equivalente, la funzione \(f\) non è definita quando il suo argomento vale \(1\). Poiché l'argomento è \(x+2\), dobbiamo imporre
\[ x+2\ne 1. \]
Quindi
\[ x\ne -1. \]
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]
La semplificazione algebrica non elimina la restrizione sul dominio.
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Siano
\[ f(x)=|x|,\qquad g(x)=x-2. \]
Calcolare \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
Risultato
Le due composizioni sono
\[ (f\circ g)(x)=|x-2| \]
e
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Svolgimento
Calcoliamo \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
Poiché \(f(x)=|x|\), sostituendo \(x-2\) al posto di \(x\) otteniamo
\[ f(x-2)=|x-2|. \]
Quindi
\[ (f\circ g)(x)=|x-2|. \]
Calcoliamo ora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(|x|). \]
Poiché \(g(x)=x-2\), otteniamo
\[ g(|x|)=|x|-2. \]
Dunque
\[ (g\circ f)(x)=|x|-2. \]
Le due funzioni sono diverse. Ad esempio, per \(x=-1\),
\[ (f\circ g)(-1)=|-1-2|=3, \]
mentre
\[ (g\circ f)(-1)=|-1|-2=1-2=-1. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Siano
\[ f(x)=\sqrt{x},\qquad g(x)=x^2-1. \]
Determinare \(f\circ g\), \(g\circ f\) e i rispettivi domini reali.
Risultato
Si ha
\[ (f\circ g)(x)=\sqrt{x^2-1},\qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty), \]
mentre
\[ (g\circ f)(x)=x-1 \qquad \text{per } x\ge 0, \]
cioè
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Svolgimento
Calcoliamo prima \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^2-1)=\sqrt{x^2-1}. \]
Per il dominio reale dobbiamo imporre
\[ x^2-1\ge 0. \]
Poiché
\[ x^2-1=(x-1)(x+1), \]
la disequazione è verificata per
\[ x\le -1 \qquad \text{oppure} \qquad x\ge 1. \]
Quindi
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-1]\cup[1,+\infty). \]
Calcoliamo ora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(\sqrt{x}). \]
Siccome \(g(x)=x^2-1\), otteniamo
\[ g(\sqrt{x})=(\sqrt{x})^2-1=x-1. \]
Tuttavia il dominio non è tutto \(\mathbb R\), perché la funzione interna \(f(x)=\sqrt{x}\) è definita solo per
\[ x\ge 0. \]
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=[0,+\infty). \]
Questo esercizio mostra che \(f\circ g\) e \(g\circ f\) possono avere formule diverse e domini diversi.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3-2x+1. \]
Calcolare \(f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}\) e \(\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f\).
Risultato
Si ha
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f \]
e
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
Svolgimento
La funzione identità su \(\mathbb R\) è definita da
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x. \]
Calcoliamo la prima composizione:
\[ (f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R})(x)=f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)). \]
Poiché \(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x)=x\), otteniamo
\[ f(\operatorname{id}_{\mathbb R}(x))=f(x). \]
Quindi
\[ f\circ\operatorname{id}_{\mathbb R}=f. \]
Calcoliamo ora la seconda composizione:
\[ (\operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f)(x)=\operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x)). \]
La funzione identità restituisce il proprio argomento, quindi
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}(f(x))=f(x). \]
Pertanto
\[ \operatorname{id}_{\mathbb R}\circ f=f. \]
La funzione identità è dunque l'elemento neutro rispetto alla composizione.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Siano
\[ f(x)=x^2,\qquad g(x)=x+1,\qquad h(x)=2x. \]
Verificare che
\[ (f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h). \]
Risultato
Le due composizioni coincidono e sono entrambe date da
\[ (2x+1)^2. \]
Svolgimento
Calcoliamo prima \((f\circ g)\circ h\). Determiniamo \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x+1). \]
Poiché \(f(x)=x^2\), otteniamo
\[ (f\circ g)(x)=(x+1)^2. \]
Ora componiamo con \(h\):
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(f\circ g)(h(x)). \]
Poiché \(h(x)=2x\), si ha
\[ (f\circ g)(h(x))=(f\circ g)(2x)=(2x+1)^2. \]
Quindi
\[ ((f\circ g)\circ h)(x)=(2x+1)^2. \]
Calcoliamo ora \(f\circ(g\circ h)\). Determiniamo \(g\circ h\):
\[ (g\circ h)(x)=g(h(x))=g(2x)=2x+1. \]
Ora componiamo con \(f\):
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=f((g\circ h)(x))=f(2x+1). \]
Poiché \(f(x)=x^2\), otteniamo
\[ (f\circ(g\circ h))(x)=(2x+1)^2. \]
Le due funzioni coincidono. Questo conferma, in questo caso concreto, l'associatività della composizione.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Siano
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=4x-7, \]
e
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=\frac{x+7}{4}. \]
Verificare mediante composizione che \(g=f^{-1}\).
Risultato
La funzione \(g\) è l'inversa di \(f\), perché
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \]
e
\[ f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Svolgimento
Per verificare che \(g=f^{-1}\), dobbiamo controllare entrambe le composizioni.
Calcoliamo prima \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x)). \]
Poiché \(f(x)=4x-7\), otteniamo
\[ g(f(x))=g(4x-7). \]
Sostituendo nella formula di \(g\):
\[ g(4x-7)=\frac{(4x-7)+7}{4}=\frac{4x}{4}=x. \]
Quindi
\[ (g\circ f)(x)=x. \]
Calcoliamo ora \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=\frac{x+7}{4}\), otteniamo
\[ f(g(x))=f\left(\frac{x+7}{4}\right). \]
Sostituendo nella formula di \(f\):
\[ f\left(\frac{x+7}{4}\right)=4\cdot\frac{x+7}{4}-7=x+7-7=x. \]
Quindi
\[ (f\circ g)(x)=x. \]
Abbiamo dimostrato che
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{e}\qquad f\circ g=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Pertanto \(g=f^{-1}\).
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Siano
\[ g(x)=x+2,\qquad f(x)=3x. \]
Calcolare \(f\circ g\) e determinare l'inversa della funzione composta.
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)=3x+6 \]
e la sua inversa è
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Svolgimento
Calcoliamo la composta:
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=x+2\), otteniamo
\[ f(g(x))=f(x+2). \]
Siccome \(f(x)=3x\), si ha
\[ f(x+2)=3(x+2)=3x+6. \]
Dunque
\[ (f\circ g)(x)=3x+6. \]
Indichiamo la funzione composta con
\[ h(x)=3x+6. \]
Per determinare l'inversa, poniamo
\[ y=3x+6. \]
Risolviamo rispetto a \(x\). Sottraendo \(6\) da entrambi i membri:
\[ y-6=3x. \]
Dividendo per \(3\):
\[ x=\frac{y-6}{3}. \]
Quindi
\[ h^{-1}(y)=\frac{y-6}{3}. \]
Rinominando la variabile indipendente:
\[ h^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Poiché \(h=f\circ g\), otteniamo
\[ (f\circ g)^{-1}(x)=\frac{x-6}{3}. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Sia
\[ f(x)= \begin{cases} x+1 & \text{se } x\ge 0,\\ x^2 & \text{se } x<0, \end{cases} \qquad g(x)=x-2. \]
Determinare \(f\circ g\).
Risultato
La funzione composta è
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{se } x<2,\\ x-1 & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
Svolgimento
Dobbiamo calcolare
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x-2). \]
La funzione \(f\) è definita a tratti. Il ramo da usare dipende dal segno dell'argomento di \(f\). In questo caso l'argomento non è \(x\), ma \(x-2\).
Dobbiamo quindi distinguere due casi.
Se
\[ x-2\ge 0, \]
allora
\[ x\ge 2. \]
In questo caso usiamo il primo ramo di \(f\), cioè \(f(t)=t+1\). Quindi
\[ f(x-2)=(x-2)+1=x-1. \]
Se invece
\[ x-2<0, \]
allora
\[ x<2. \]
In questo caso usiamo il secondo ramo di \(f\), cioè \(f(t)=t^2\). Quindi
\[ f(x-2)=(x-2)^2. \]
Pertanto
\[ (f\circ g)(x)= \begin{cases} (x-2)^2 & \text{se } x<2,\\ x-1 & \text{se } x\ge 2. \end{cases} \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Siano
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Dimostrare che, se \(g\) e \(f\) sono iniettive, allora \(f\circ g:A\to C\) è iniettiva.
Risultato
Se \(g\) e \(f\) sono iniettive, allora anche \(f\circ g\) è iniettiva.
Svolgimento
Per dimostrare che \(f\circ g\) è iniettiva, prendiamo due elementi arbitrari \(x_1,x_2\in A\) e supponiamo che abbiano la stessa immagine mediante \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2). \]
Per definizione di composizione, questa uguaglianza diventa
\[ f(g(x_1))=f(g(x_2)). \]
Poiché \(f\) è iniettiva, dall'uguaglianza delle immagini segue l'uguaglianza degli argomenti:
\[ g(x_1)=g(x_2). \]
Poiché anche \(g\) è iniettiva, da \(g(x_1)=g(x_2)\) segue
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo dimostrato che
\[ (f\circ g)(x_1)=(f\circ g)(x_2)\quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]
Dunque \(f\circ g\) è iniettiva.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Siano
\[ g:A\to B,\qquad f:B\to C. \]
Dimostrare che, se \(g\) e \(f\) sono suriettive, allora \(f\circ g:A\to C\) è suriettiva.
Risultato
Se \(g\) e \(f\) sono suriettive, allora anche \(f\circ g\) è suriettiva.
Svolgimento
Per dimostrare che \(f\circ g\) è suriettiva, dobbiamo mostrare che ogni elemento di \(C\) è immagine di almeno un elemento di \(A\) tramite \(f\circ g\).
Sia quindi \(z\in C\).
Poiché \(f:B\to C\) è suriettiva, esiste almeno un elemento \(y\in B\) tale che
\[ f(y)=z. \]
Poiché \(g:A\to B\) è suriettiva, esiste almeno un elemento \(x\in A\) tale che
\[ g(x)=y. \]
Allora
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Poiché \(g(x)=y\), otteniamo
\[ (f\circ g)(x)=f(y). \]
Ma \(f(y)=z\), quindi
\[ (f\circ g)(x)=z. \]
Abbiamo trovato un elemento \(x\in A\) tale che \((f\circ g)(x)=z\).
Poiché \(z\in C\) era arbitrario, ogni elemento di \(C\) è immagine di almeno un elemento di \(A\). Dunque \(f\circ g\) è suriettiva.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Siano
\[ f(x)=\frac{1}{x-1},\qquad g(x)=\sqrt{x+2}. \]
Determinare \(f\circ g\), \(g\circ f\) e i rispettivi domini reali.
Risultato
Si ha
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}, \qquad \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Inoltre
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}, \qquad \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Svolgimento
Calcoliamo prima \(f\circ g\):
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(\sqrt{x+2}). \]
Poiché \(f(x)=1/(x-1)\), otteniamo
\[ (f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}-1}. \]
Per determinare il dominio, imponiamo innanzitutto che la funzione interna \(g(x)=\sqrt{x+2}\) sia definita:
\[ x+2\ge 0. \]
Quindi
\[ x\ge -2. \]
Inoltre il denominatore della composta deve essere diverso da zero:
\[ \sqrt{x+2}-1\ne 0. \]
Questa condizione equivale a
\[ \sqrt{x+2}\ne 1. \]
Poiché \(\sqrt{x+2}=1\) se e solo se \(x+2=1\), otteniamo \(x=-1\). Dunque
\[ \operatorname{Dom}(f\circ g)=[-2,+\infty)\setminus\{-1\}. \]
Calcoliamo ora \(g\circ f\):
\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g\left(\frac{1}{x-1}\right). \]
Poiché \(g(x)=\sqrt{x+2}\), sostituendo \(1/(x-1)\) al posto di \(x\) si ha
\[ (g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}+2}. \]
Per il dominio dobbiamo imporre prima di tutto che \(f(x)=1/(x-1)\) sia definita:
\[ x-1\ne 0. \]
Quindi
\[ x\ne 1. \]
Inoltre l'argomento della radice deve essere non negativo:
\[ \frac{1}{x-1}+2\ge 0. \]
Portiamo a denominatore comune:
\[ \frac{1+2(x-1)}{x-1}\ge 0. \]
Semplificando il numeratore:
\[ \frac{2x-1}{x-1}\ge 0. \]
I punti critici sono
\[ x=\frac{1}{2},\qquad x=1. \]
Studiando il segno della frazione, otteniamo
\[ x\le \frac{1}{2} \qquad \text{oppure} \qquad x>1. \]
Il valore \(x=1\) rimane escluso, perché annulla il denominatore.
Pertanto
\[ \operatorname{Dom}(g\circ f)=\left(-\infty,\frac{1}{2}\right]\cup(1,+\infty). \]
Questo esercizio riassume i due aspetti fondamentali della composizione: l'ordine di applicazione e il controllo del dominio.