In questa raccolta proponiamo 20 esercizi svolti sulla funzione inversa, con difficoltà progressiva e spiegazioni passo passo. Gli esercizi riguardano il calcolo dell'inversa, lo studio dell'invertibilità, il ruolo di dominio e codominio, e le nozioni di inversa sinistra e inversa destra.
L'idea fondamentale da ricordare è che una funzione \(f:A\to B\) ammette inversa \(f^{-1}:B\to A\) se e solo se è biiettiva, cioè se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-5. \]
Risultato
La funzione è invertibile e la sua inversa è
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Svolgimento
La funzione è affine con coefficiente angolare diverso da zero. Perciò è iniettiva e suriettiva da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\), quindi ammette inversa.
Poniamo
\[ y=3x-5. \]
Per trovare l'inversa, dobbiamo risolvere questa equazione rispetto a \(x\). Aggiungiamo \(5\) a entrambi i membri:
\[ y+5=3x. \]
Dividendo per \(3\), otteniamo
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Dunque
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}. \]
Rinominando la variabile indipendente, si ottiene
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Verifichiamo mediante composizione:
\[ f^{-1}(f(x))=\frac{(3x-5)+5}{3}=x \]
e
\[ f(f^{-1}(x))=3\cdot\frac{x+5}{3}-5=x. \]
Le due identità confermano che la funzione trovata è effettivamente l'inversa di \(f\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=\frac{x-4}{2}. \]
Determinare \(f^{-1}\) e verificare il risultato mediante composizione.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Svolgimento
Poniamo
\[ y=\frac{x-4}{2}. \]
Risolviamo rispetto a \(x\). Moltiplicando entrambi i membri per \(2\), otteniamo
\[ 2y=x-4. \]
Aggiungendo \(4\) a entrambi i membri:
\[ x=2y+4. \]
Quindi
\[ f^{-1}(y)=2y+4. \]
Rinominando la variabile indipendente:
\[ f^{-1}(x)=2x+4. \]
Verifichiamo ora le due composizioni. Per ogni \(x\in\mathbb R\),
\[ f^{-1}(f(x))=2\cdot\frac{x-4}{2}+4=x-4+4=x. \]
Inoltre, per ogni \(x\in\mathbb R\),
\[ f(f^{-1}(x))=\frac{(2x+4)-4}{2}=x. \]
Poiché
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R} \qquad\text{e}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\mathbb R}, \]
la funzione trovata è l'inversa di \(f\).
Esercizio 3 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:\mathbb R\setminus\{-3\}\to\mathbb R\setminus\{2\}, \qquad f(x)=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Svolgimento
Partiamo dall'equazione
\[ y=\frac{2x-1}{x+3}. \]
Poiché \(x\ne -3\), il denominatore è diverso da zero. Moltiplichiamo entrambi i membri per \(x+3\):
\[ y(x+3)=2x-1. \]
Sviluppiamo il membro sinistro:
\[ xy+3y=2x-1. \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) da una parte e gli altri dall'altra:
\[ xy-2x=-1-3y. \]
Raccogliamo \(x\):
\[ x(y-2)=-(1+3y). \]
Poiché il codominio è \(\mathbb R\setminus\{2\}\), abbiamo \(y\ne 2\), quindi possiamo dividere per \(y-2\):
\[ x=\frac{-(1+3y)}{y-2}. \]
Cambiando segno a numeratore e denominatore, otteniamo
\[ x=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Quindi
\[ f^{-1}(y)=\frac{3y+1}{2-y}. \]
Rinominando la variabile indipendente:
\[ f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{2-x}. \]
Osserviamo che \(x\ne 2\) nel dominio di \(f^{-1}\), quindi il denominatore \(2-x\) non si annulla. Questo è coerente con il fatto che il dominio dell'inversa è il codominio della funzione iniziale.
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Considerare la funzione
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Stabilire se è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. \]
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=x^2 \]
non è invertibile da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\), ma in questo esercizio il dominio è ristretto a \([0,+\infty)\) e il codominio è \([0,+\infty)\).
Controlliamo l'iniettività. Se \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) e
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Poiché \(x_1\ge 0\) e \(x_2\ge 0\), da \(x_1^2=x_2^2\) segue
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
Controlliamo la suriettività. Preso un qualunque \(y\in[0,+\infty)\), scegliamo
\[ x=\sqrt y. \]
Allora \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ f(x)=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Quindi \(f\) è suriettiva.
Essendo iniettiva e suriettiva, \(f\) è biiettiva e ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=x^2 \]
con \(x\ge 0\), otteniamo
\[ x=\sqrt y. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^2 \]
ammette funzione inversa.
Risultato
La funzione non è invertibile, perché non è iniettiva e non è suriettiva su \(\mathbb R\).
Svolgimento
Una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) ammette inversa se e solo se è biiettiva, cioè se è iniettiva e suriettiva.
La funzione
\[ f(x)=x^2 \]
non è iniettiva. Infatti
\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]
e
\[ f(1)=1^2=1. \]
Quindi
\[ f(-1)=f(1), \]
ma \(-1\ne 1\). Dunque due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine.
Inoltre la funzione non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché nessun numero negativo è immagine di un numero reale mediante la funzione \(x^2\). Ad esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x^2=-1. \]
Di conseguenza \(f\) non è biiettiva.
Pertanto la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2 \]
non ammette funzione inversa.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:[-2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=\sqrt{x+2}. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Svolgimento
La funzione è definita su \([-2,+\infty)\), perché deve essere
\[ x+2\ge 0. \]
Inoltre assume valori in \([0,+\infty)\), perché una radice quadrata è sempre non negativa.
Poniamo
\[ y=\sqrt{x+2}. \]
Poiché \(y\ge 0\), possiamo elevare al quadrato entrambi i membri:
\[ y^2=x+2. \]
Ricaviamo \(x\):
\[ x=y^2-2. \]
Dunque
\[ f^{-1}(y)=y^2-2. \]
Rinominando la variabile indipendente:
\[ f^{-1}(x)=x^2-2. \]
Osserviamo che il dominio di \(f^{-1}\) è \([0,+\infty)\), cioè il codominio di \(f\), mentre il codominio di \(f^{-1}\) è \([-2,+\infty)\), cioè il dominio di \(f\).
Verifichiamo:
\[ f^{-1}(f(x))=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2=x \]
per ogni \(x\in[-2,+\infty)\), e
\[ f(f^{-1}(x))=\sqrt{(x^2-2)+2}=\sqrt{x^2}=x \]
per ogni \(x\in[0,+\infty)\). Nell'ultimo passaggio abbiamo usato il fatto che \(x\ge 0\), quindi \(\sqrt{x^2}=x\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:\mathbb R\to(1,+\infty), \qquad f(x)=e^x+1. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Svolgimento
La funzione \(e^x\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\), quindi anche \(e^x+1\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Di conseguenza \(f\) è iniettiva.
Inoltre, poiché
\[ e^x>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ e^x+1>1. \]
L'immagine della funzione è quindi \((1,+\infty)\), che coincide con il codominio assegnato. La funzione è dunque suriettiva.
Essendo biiettiva, ammette inversa. Poniamo
\[ y=e^x+1. \]
Sottraendo \(1\) a entrambi i membri:
\[ y-1=e^x. \]
Poiché \(y\in(1,+\infty)\), si ha \(y-1>0\), quindi possiamo applicare il logaritmo naturale:
\[ \ln(y-1)=x. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\ln(y-1). \]
Rinominando la variabile:
\[ f^{-1}(x)=\ln(x-1). \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R, \qquad f(x)=\ln x-3. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Svolgimento
La funzione logaritmo naturale è definita per \(x>0\), è strettamente crescente ed assume tutti i valori reali. Anche la funzione \(\ln x-3\) è quindi biiettiva da \((0,+\infty)\) in \(\mathbb R\).
Poniamo
\[ y=\ln x-3. \]
Aggiungiamo \(3\) a entrambi i membri:
\[ y+3=\ln x. \]
Applichiamo l'esponenziale a entrambi i membri:
\[ e^{y+3}=x. \]
Quindi
\[ f^{-1}(y)=e^{y+3}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=e^{x+3}. \]
Verifichiamo una composizione:
\[ f(f^{-1}(x))=\ln(e^{x+3})-3=x+3-3=x. \]
Inoltre
\[ f^{-1}(f(x))=e^{(\ln x-3)+3}=e^{\ln x}=x. \]
Le due identità confermano che la funzione trovata è l'inversa.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x \]
è invertibile. In caso negativo, spiegare quale proprietà manca.
Risultato
La funzione non è invertibile da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\), perché non è suriettiva.
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=e^x \]
è iniettiva su \(\mathbb R\), perché l'esponenziale è strettamente crescente.
Tuttavia non è suriettiva da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\). Infatti, per ogni \(x\in\mathbb R\),
\[ e^x>0. \]
Quindi nessun numero reale minore o uguale a zero è immagine di un numero reale mediante \(f\). Ad esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ e^x=-1. \]
Di conseguenza, l'immagine di \(f\) è
\[ f(\mathbb R)=(0,+\infty), \]
che è un sottoinsieme proprio del codominio \(\mathbb R\).
Poiché \(f\) non è suriettiva, non è biiettiva. Pertanto non ammette funzione inversa
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
Se invece si considera la funzione
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty), \qquad f(x)=e^x, \]
allora la funzione diventa biiettiva e la sua inversa è
\[ f^{-1}(x)=\ln x. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x| \]
è invertibile. In caso negativo, spiegare quale proprietà manca.
Risultato
La funzione non è invertibile, perché è suriettiva ma non iniettiva.
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=|x| \]
assume sempre valori non negativi, quindi il codominio \([0,+\infty)\) è coerente con la sua immagine.
La funzione è suriettiva su \([0,+\infty)\). Infatti, preso un qualunque \(y\in[0,+\infty)\), basta scegliere
\[ x=y. \]
Allora \(x\in\mathbb R\) e
\[ f(x)=|y|=y, \]
perché \(y\ge 0\).
Tuttavia \(f\) non è iniettiva. Infatti
\[ f(-2)=|-2|=2 \]
e
\[ f(2)=|2|=2. \]
Quindi
\[ f(-2)=f(2), \]
ma \(-2\ne 2\).
Poiché la funzione non è iniettiva, non è biiettiva. Di conseguenza non ammette funzione inversa.
Il problema è che, partendo dal valore \(2\), non si potrebbe decidere in modo univoco se l'elemento di partenza fosse \(2\) oppure \(-2\).
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Considerare la funzione
\[ f:[1,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=(x-1)^2. \]
Stabilire se è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Svolgimento
La funzione è definita su \([1,+\infty)\). Su questo intervallo si ha
\[ x-1\ge 0. \]
Controlliamo l'iniettività. Se \(x_1,x_2\in[1,+\infty)\) e
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora
\[ (x_1-1)^2=(x_2-1)^2. \]
Poiché \(x_1-1\ge 0\) e \(x_2-1\ge 0\), segue
\[ x_1-1=x_2-1. \]
Quindi
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è dunque iniettiva.
Controlliamo la suriettività. Sia \(y\in[0,+\infty)\). Vogliamo trovare \(x\in[1,+\infty)\) tale che
\[ (x-1)^2=y. \]
Poiché \(x-1\ge 0\), otteniamo
\[ x-1=\sqrt y. \]
Dunque
\[ x=1+\sqrt y. \]
Questo numero appartiene a \([1,+\infty)\), quindi la funzione è suriettiva.
Essendo biiettiva, la funzione è invertibile. Dalla relazione
\[ y=(x-1)^2 \]
ricaviamo
\[ x=1+\sqrt y. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt x. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=x^3+2. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Svolgimento
La funzione
\[ f(x)=x^3+2 \]
è strettamente crescente su \(\mathbb R\), perché la funzione \(x^3\) è strettamente crescente e l'aggiunta di \(2\) non modifica la monotonia.
Dunque \(f\) è iniettiva.
Inoltre, per ogni \(y\in\mathbb R\), possiamo risolvere l'equazione
\[ x^3+2=y. \]
Sottraendo \(2\):
\[ x^3=y-2. \]
Poiché ogni numero reale ammette una radice cubica reale, otteniamo
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Quindi, per ogni \(y\in\mathbb R\), esiste un \(x\in\mathbb R\) tale che \(f(x)=y\). La funzione è suriettiva.
Essendo iniettiva e suriettiva, \(f\) è biiettiva e ammette inversa.
Dalla relazione
\[ y=x^3+2 \]
ricaviamo
\[ x=\sqrt[3]{y-2}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-2}. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Considerare la funzione
\[ f:[2,+\infty)\to[0,+\infty), \qquad f(x)=|x-2|. \]
Stabilire se è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Svolgimento
Poiché il dominio è \([2,+\infty)\), per ogni \(x\in[2,+\infty)\) si ha
\[ x-2\ge 0. \]
Di conseguenza
\[ |x-2|=x-2. \]
La funzione diventa quindi
\[ f(x)=x-2 \]
sul dominio \([2,+\infty)\).
Questa funzione è iniettiva, perché se
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora
\[ x_1-2=x_2-2, \]
e quindi
\[ x_1=x_2. \]
È anche suriettiva su \([0,+\infty)\). Infatti, preso \(y\in[0,+\infty)\), scegliamo
\[ x=y+2. \]
Allora \(x\in[2,+\infty)\) e
\[ f(x)=|y+2-2|=|y|=y, \]
perché \(y\ge 0\).
La funzione è dunque biiettiva.
Dalla relazione
\[ y=x-2 \]
ricaviamo
\[ x=y+2. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(x)=x+2. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:(0,+\infty)\to(0,+\infty), \qquad f(x)=\frac{1}{x}. \]
Risultato
La funzione è invertibile e coincide con la sua inversa:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
Svolgimento
La funzione è definita su \((0,+\infty)\) e assume valori in \((0,+\infty)\), perché se \(x>0\), allora
\[ \frac{1}{x}>0. \]
Poniamo
\[ y=\frac{1}{x}. \]
Poiché \(x>0\), possiamo moltiplicare per \(x\):
\[ xy=1. \]
Poiché \(y>0\), possiamo dividere per \(y\):
\[ x=\frac{1}{y}. \]
Quindi
\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{y}. \]
Rinominando la variabile indipendente:
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{x}. \]
In questo caso la funzione coincide con la propria inversa.
Verifichiamo:
\[ f(f(x))=f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x. \]
Quindi applicare due volte \(f\) restituisce l'elemento iniziale.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Considerare la funzione
\[ f:(-1,+\infty)\to(-\infty,1), \qquad f(x)=\frac{x}{x+1}. \]
Stabilire se è invertibile e, in caso affermativo, determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Svolgimento
Per \(x\in(-1,+\infty)\), si ha \(x+1>0\), quindi la funzione è ben definita.
Inoltre possiamo riscrivere la funzione come
\[ f(x)=\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}. \]
Poiché \(x+1>0\), si ha
\[ \frac{1}{x+1}>0. \]
Quindi
\[ f(x)=1-\frac{1}{x+1}<1. \]
Questo è coerente con il codominio \((-\infty,1)\).
Troviamo l'inversa. Poniamo
\[ y=\frac{x}{x+1}. \]
Moltiplichiamo per \(x+1\):
\[ y(x+1)=x. \]
Sviluppiamo:
\[ xy+y=x. \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) dallo stesso lato:
\[ xy-x=-y. \]
Raccogliamo \(x\):
\[ x(y-1)=-y. \]
Poiché \(y\in(-\infty,1)\), abbiamo \(y\ne 1\), quindi possiamo dividere per \(y-1\):
\[ x=\frac{-y}{y-1}. \]
Cambiando segno a numeratore e denominatore:
\[ x=\frac{y}{1-y}. \]
Quindi
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}. \]
Rinominando la variabile:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Osserviamo che il dominio dell'inversa è \((-\infty,1)\), quindi \(1-x>0\) e il denominatore non si annulla.
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=e^x. \]
Costruire un'inversa sinistra di \(f\).
Risultato
Una possibile inversa sinistra è la funzione \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) definita da
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Infatti
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Svolgimento
La funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]
è iniettiva, ma non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché la sua immagine è \((0,+\infty)\).
Per avere un'inversa sinistra di \(f\), dobbiamo costruire una funzione
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R \]
tale che
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
In forma esplicita, deve valere
\[ g(f(x))=x \]
per ogni \(x\in\mathbb R\).
Poiché \(f(x)=e^x>0\), sui valori positivi la funzione \(g\) deve comportarsi come il logaritmo naturale:
\[ g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Tuttavia \(g\) deve essere definita su tutto \(\mathbb R\), perché il suo dominio deve coincidere con il codominio di \(f\).
Sui valori \(y\le 0\), la funzione \(f\) non impone alcun valore a \(g\), perché nessun numero minore o uguale a zero è immagine di \(f\). Possiamo quindi scegliere arbitrariamente un valore reale.
Ad esempio, definiamo
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Allora, per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha \(e^x>0\), quindi
\[ g(f(x))=g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Dunque
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
La funzione \(g\) è quindi un'inversa sinistra di \(f\). Non è però una vera funzione inversa, perché \(f\) non è suriettiva da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\).
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty), \qquad f(x)=x^2. \]
Costruire due inverse destre distinte di \(f\).
Risultato
Due inverse destre di \(f\) sono
\[ h_1(y)=\sqrt y \]
e
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Entrambe sono funzioni da \([0,+\infty)\) in \(\mathbb R\) e soddisfano
\[ f\circ h_i=\operatorname{id}_{[0,+\infty)} \]
per \(i=1,2\).
Svolgimento
Un'inversa destra di \(f\) è una funzione
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R \]
tale che
\[ f\circ h=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
In forma esplicita, deve valere
\[ f(h(y))=y \]
per ogni \(y\in[0,+\infty)\).
Poiché \(f(x)=x^2\), dobbiamo scegliere, per ogni \(y\ge 0\), un numero reale \(h(y)\) tale che
\[ (h(y))^2=y. \]
Una prima scelta naturale è
\[ h_1(y)=\sqrt y. \]
Infatti, per ogni \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_1(y))=f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Quindi
\[ f\circ h_1=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Una seconda scelta possibile è
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Anche in questo caso, per ogni \(y\in[0,+\infty)\),
\[ f(h_2(y))=f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y. \]
Quindi
\[ f\circ h_2=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
Le funzioni \(h_1\) e \(h_2\) sono distinte, perché ad esempio
\[ h_1(1)=1, \qquad h_2(1)=-1. \]
Questo mostra che una funzione suriettiva ma non iniettiva può avere più inverse destre.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Dimostrare che se una funzione \(f:A\to B\) ammette un'inversa sinistra \(g:B\to A\), allora \(f\) è iniettiva.
Risultato
Se esiste \(g:B\to A\) tale che
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A, \]
allora \(f\) è iniettiva.
Svolgimento
Per ipotesi, \(g\) è un'inversa sinistra di \(f\). Questo significa che
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A. \]
In forma esplicita:
\[ g(f(x))=x \]
per ogni \(x\in A\).
Dobbiamo dimostrare che \(f\) è iniettiva. Prendiamo quindi \(x_1,x_2\in A\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Per provare l'iniettività, dobbiamo dedurre che
\[ x_1=x_2. \]
Applichiamo \(g\) a entrambi i membri dell'uguaglianza \(f(x_1)=f(x_2)\). Otteniamo
\[ g(f(x_1))=g(f(x_2)). \]
Poiché \(g\circ f=\operatorname{id}_A\), si ha
\[ g(f(x_1))=x_1 \]
e
\[ g(f(x_2))=x_2. \]
Pertanto
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo dimostrato che, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine, allora coincidono. Quindi \(f\) è iniettiva.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Dimostrare che se una funzione \(f:A\to B\) ammette un'inversa destra \(h:B\to A\), allora \(f\) è suriettiva.
Risultato
Se esiste \(h:B\to A\) tale che
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B, \]
allora \(f\) è suriettiva.
Svolgimento
Per ipotesi, \(h\) è un'inversa destra di \(f\). Quindi
\[ f\circ h=\operatorname{id}_B. \]
In forma esplicita, per ogni \(y\in B\), vale
\[ f(h(y))=y. \]
Dobbiamo dimostrare che \(f\) è suriettiva. Per farlo, prendiamo un elemento arbitrario \(y\in B\) e dobbiamo mostrare che esiste almeno un elemento \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Poiché \(h\) è una funzione da \(B\) in \(A\), l'elemento \(h(y)\) appartiene ad \(A\). Poniamo quindi
\[ x=h(y). \]
Allora, usando l'identità \(f\circ h=\operatorname{id}_B\), otteniamo
\[ f(x)=f(h(y))=y. \]
Abbiamo dunque trovato un elemento \(x\in A\) tale che \(f(x)=y\).
Poiché \(y\in B\) era arbitrario, ogni elemento di \(B\) è immagine di almeno un elemento di \(A\). Quindi \(f\) è suriettiva.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Sia \(f:A\to B\) una funzione. Supponiamo che esista una funzione \(u:B\to A\) tale che
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Dimostrare che \(f\) è biiettiva e che \(u=f^{-1}\).
Risultato
La funzione \(f\) è biiettiva e \(u\) è la sua funzione inversa:
\[ u=f^{-1}. \]
Svolgimento
Per ipotesi, la funzione \(u:B\to A\) soddisfa due identità:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
La prima identità dice che \(u\) è un'inversa sinistra di \(f\). Infatti, per ogni \(x\in A\),
\[ u(f(x))=x. \]
Dimostriamo prima che \(f\) è iniettiva. Siano \(x_1,x_2\in A\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Applicando \(u\) a entrambi i membri:
\[ u(f(x_1))=u(f(x_2)). \]
Poiché \(u\circ f=\operatorname{id}_A\), otteniamo
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
La seconda identità dice che \(u\) è un'inversa destra di \(f\). Infatti, per ogni \(y\in B\),
\[ f(u(y))=y. \]
Dimostriamo ora che \(f\) è suriettiva. Sia \(y\in B\). Poiché \(u(y)\in A\), ponendo
\[ x=u(y), \]
si ha
\[ f(x)=f(u(y))=y. \]
Quindi ogni elemento \(y\in B\) è immagine di almeno un elemento di \(A\). Pertanto \(f\) è suriettiva.
Abbiamo dimostrato che \(f\) è sia iniettiva sia suriettiva. Quindi \(f\) è biiettiva.
Poiché una funzione biiettiva ammette una funzione inversa \(f^{-1}:B\to A\), questa inversa è caratterizzata dalle identità
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Ma la funzione \(u\) soddisfa esattamente queste due identità:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{e}\qquad f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Quindi \(u\) è la funzione che inverte \(f\) sia a sinistra sia a destra.
Per l'unicità dell'inversa, concludiamo che
\[ u=f^{-1}. \]