Gli esercizi che seguono permettono di consolidare le nozioni fondamentali sulla funzione inversa: invertibilità, iniettività, suriettività, biiettività, calcolo esplicito dell'inversa, ruolo di dominio e codominio, inverse destre e inverse sinistre.
In ciascun esercizio useremo le definizioni in modo esplicito, così da chiarire non soltanto il risultato finale, ma anche il procedimento corretto da seguire per stabilire se una funzione è invertibile.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-5 \]
è invertibile e, in caso affermativo, determinare la sua inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Svolgimento
Una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) è invertibile se e solo se è biiettiva. Verifichiamo quindi che la funzione sia iniettiva e suriettiva.
Per l'iniettività, siano \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora
\[ 3x_1-5=3x_2-5. \]
Sommando \(5\) a entrambi i membri e dividendo per \(3\), otteniamo
\[ x_1=x_2. \]
Quindi \(f\) è iniettiva.
Per la suriettività, sia \(y\in\mathbb R\). Dobbiamo trovare \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ 3x-5=y. \]
Risolvendo rispetto a \(x\), si ottiene
\[ 3x=y+5, \]
quindi
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Poiché \(\frac{y+5}{3}\in\mathbb R\) per ogni \(y\in\mathbb R\), la funzione è suriettiva.
Dunque \(f\) è biiettiva e ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=3x-5 \]
abbiamo ricavato
\[ x=\frac{y+5}{3}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+5}{3}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}. \]
Verifichiamo infine mediante composizione:
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(3x-5)=\frac{3x-5+5}{3}=x \]
e
\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x+5}{3}\right)=3\cdot\frac{x+5}{3}-5=x. \]
Le due identità confermano che la funzione trovata è davvero l'inversa di \(f\).
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2+1 \]
è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
Una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) è invertibile se e solo se è biiettiva. È quindi sufficiente verificare se è iniettiva e suriettiva.
La funzione non è iniettiva. Infatti
\[ f(1)=1^2+1=2 \]
e
\[ f(-1)=(-1)^2+1=2. \]
Poiché \(1\ne -1\), due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine:
\[ f(1)=f(-1). \]
Dunque \(f\) non è iniettiva.
Inoltre \(f\) non è suriettiva su \(\mathbb R\). Infatti, per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha
\[ x^2\ge 0, \]
quindi
\[ x^2+1\ge 1. \]
Di conseguenza la funzione non assume valori minori di \(1\). Per esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x^2+1=0. \]
La funzione non è biiettiva. Pertanto non ammette funzione inversa da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\).
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:[0,+\infty)\to[1,+\infty),\qquad f(x)=x^2+1. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x-1},\qquad x\in[1,+\infty). \]
Svolgimento
Rispetto all'esercizio precedente, la formula è la stessa, ma sono cambiati dominio e codominio. Questo può modificare l'invertibilità della funzione.
Verifichiamo l'iniettività. Siano \(x_1,x_2\in[0,+\infty)\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora
\[ x_1^2+1=x_2^2+1, \]
da cui
\[ x_1^2=x_2^2. \]
Poiché \(x_1,x_2\ge 0\), dall'uguaglianza dei quadrati segue
\[ x_1=x_2. \]
Quindi \(f\) è iniettiva.
Per la suriettività, sia \(y\in[1,+\infty)\). Dobbiamo trovare \(x\in[0,+\infty)\) tale che
\[ x^2+1=y. \]
Risolvendo rispetto a \(x\), otteniamo
\[ x^2=y-1. \]
Poiché \(y\ge 1\), si ha \(y-1\ge 0\). Possiamo quindi porre
\[ x=\sqrt{y-1}. \]
Questo valore appartiene a \([0,+\infty)\) e soddisfa
\[ f(x)=f(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]
Dunque \(f\) è suriettiva.
Essendo iniettiva e suriettiva, \(f\) è biiettiva. Dalla relazione
\[ y=x^2+1 \]
ricaviamo
\[ x=\sqrt{y-1}, \]
perché \(x\ge 0\). Quindi
\[ f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f(x)=e^{2x} \]
è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\ln x,\qquad x>0. \]
Svolgimento
Per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha \(e^{2x}>0\), quindi la funzione assume valori nel codominio \((0,+\infty)\).
La funzione è iniettiva. Infatti, se
\[ f(x_1)=f(x_2), \]
allora
\[ e^{2x_1}=e^{2x_2}. \]
Poiché la funzione esponenziale è iniettiva, segue
\[ 2x_1=2x_2, \]
quindi
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
La funzione è anche suriettiva su \((0,+\infty)\). Sia infatti \(y\in(0,+\infty)\). Cerchiamo \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ e^{2x}=y. \]
Applicando il logaritmo naturale, otteniamo
\[ 2x=\ln y, \]
e dunque
\[ x=\frac{1}{2}\ln y. \]
Questo numero è reale per ogni \(y>0\), quindi \(f\) è suriettiva.
La funzione è biiettiva e ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=e^{2x} \]
ricaviamo
\[ x=\frac{1}{2}\ln y. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{1}{2}\ln y. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\ln x. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^{2x} \]
è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\).
Svolgimento
La funzione \(f(x)=e^{2x}\) è iniettiva, perché l'esponenziale è strettamente crescente e la funzione \(x\mapsto 2x\) è strettamente crescente.
Tuttavia \(f\) non è suriettiva su \(\mathbb R\). Infatti
\[ e^{2x}>0 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\). Quindi la funzione non assume valori reali minori o uguali a zero.
Per esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ e^{2x}=-1. \]
L'immagine della funzione è
\[ f(\mathbb R)=(0,+\infty), \]
che è un sottoinsieme proprio di \(\mathbb R\).
Poiché la funzione non è suriettiva sul codominio assegnato, non è biiettiva. Pertanto non ammette inversa
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
La stessa formula diventerebbe invertibile se il codominio fosse \((0,+\infty)\), ma con codominio \(\mathbb R\) la funzione non è invertibile.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:\mathbb R\setminus\{2\}\to\mathbb R\setminus\{1\},\qquad f(x)=\frac{x+1}{x-2}. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1},\qquad x\ne 1. \]
Svolgimento
Partiamo dall'equazione
\[ y=\frac{x+1}{x-2}. \]
Poiché \(x\ne 2\), il denominatore è diverso da zero. Moltiplichiamo entrambi i membri per \(x-2\):
\[ y(x-2)=x+1. \]
Sviluppando otteniamo
\[ xy-2y=x+1. \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) al primo membro:
\[ xy-x=2y+1. \]
Raccogliamo \(x\):
\[ x(y-1)=2y+1. \]
Poiché il codominio è \(\mathbb R\setminus\{1\}\), abbiamo \(y\ne 1\). Possiamo quindi dividere per \(y-1\):
\[ x=\frac{2y+1}{y-1}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{2y+1}{y-1}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}. \]
Verifichiamo che l'espressione trovata assuma valori in \(\mathbb R\setminus\{2\}\). Se per assurdo
\[ \frac{2y+1}{y-1}=2, \]
allora
\[ 2y+1=2y-2, \]
cioè
\[ 1=-2, \]
impossibile. Quindi \(f^{-1}(y)\ne 2\).
La funzione inversa è dunque ben definita da \(\mathbb R\setminus\{1\}\) a \(\mathbb R\setminus\{2\}\).
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:[1,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=(x-1)^2 \]
è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Svolgimento
Il dominio è \([1,+\infty)\). Per ogni \(x\ge 1\), si ha \(x-1\ge 0\). Su questo intervallo la funzione \(x\mapsto (x-1)^2\) è crescente.
Verifichiamo l'iniettività. Siano \(x_1,x_2\in[1,+\infty)\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora
\[ (x_1-1)^2=(x_2-1)^2. \]
Poiché \(x_1-1\ge 0\) e \(x_2-1\ge 0\), dall'uguaglianza dei quadrati segue
\[ x_1-1=x_2-1. \]
Quindi
\[ x_1=x_2. \]
La funzione è iniettiva.
Per la suriettività, sia \(y\in[0,+\infty)\). Dobbiamo trovare \(x\in[1,+\infty)\) tale che
\[ (x-1)^2=y. \]
Poiché \(y\ge 0\), possiamo porre
\[ x-1=\sqrt y, \]
quindi
\[ x=1+\sqrt y. \]
Questo valore appartiene a \([1,+\infty)\) e soddisfa
\[ f(1+\sqrt y)=((1+\sqrt y)-1)^2=(\sqrt y)^2=y. \]
Dunque la funzione è suriettiva.
Essendo biiettiva, ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=(x-1)^2 \]
con \(x\ge 1\), otteniamo
\[ x=1+\sqrt y. \]
Perciò
\[ f^{-1}(y)=1+\sqrt y. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=1+\sqrt{x}. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2 \]
è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
Il codominio è \([0,+\infty)\). La funzione è suriettiva su questo codominio, perché per ogni \(y\in[0,+\infty)\) esiste \(x=\sqrt y\in\mathbb R\) tale che
\[ f(x)=(\sqrt y)^2=y. \]
Tuttavia la funzione non è iniettiva. Infatti
\[ f(2)=4 \]
e
\[ f(-2)=4. \]
Poiché \(2\ne -2\), due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine.
Una funzione invertibile deve essere sia iniettiva sia suriettiva. In questo caso la suriettività è soddisfatta, ma l'iniettività no.
Quindi
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2 \]
non ammette funzione inversa.
Esistono però inverse destre, perché la funzione è suriettiva. Ad esempio
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(y)=\sqrt y \]
soddisfa
\[ f(h(y))=f(\sqrt y)=y \]
per ogni \(y\in[0,+\infty)\). Dunque \(h\) è un'inversa destra, ma non è una funzione inversa ordinaria.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Determinare se la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3 \]
è invertibile e trovare l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Svolgimento
La funzione \(f(x)=x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Di conseguenza è iniettiva.
Verifichiamolo direttamente. Supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Allora
\[ x_1^3=x_2^3. \]
Poiché la funzione \(t\mapsto t^3\) è iniettiva su \(\mathbb R\), segue
\[ x_1=x_2. \]
Dunque \(f\) è iniettiva.
Per la suriettività, sia \(y\in\mathbb R\). Cerchiamo \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x^3=y. \]
Scegliamo
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
Allora
\[ f(x)=\left(\sqrt[3]{y}\right)^3=y. \]
Quindi \(f\) è suriettiva.
Essendo biiettiva, \(f\) ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=x^3 \]
otteniamo
\[ x=\sqrt[3]{y}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\ln x+2. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=e^{x-2}. \]
Svolgimento
La funzione logaritmo naturale è definita per \(x>0\), quindi la funzione è ben definita sul dominio \((0,+\infty)\).
Poiché \(\ln x\) è strettamente crescente su \((0,+\infty)\), anche \(\ln x+2\) è strettamente crescente. Quindi \(f\) è iniettiva.
Per mostrare la suriettività, sia \(y\in\mathbb R\). Dobbiamo trovare \(x>0\) tale che
\[ \ln x+2=y. \]
Sottraendo \(2\), otteniamo
\[ \ln x=y-2. \]
Applicando l'esponenziale, ricaviamo
\[ x=e^{y-2}. \]
Poiché \(e^{y-2}>0\) per ogni \(y\in\mathbb R\), il valore trovato appartiene al dominio.
Inoltre
\[ f(e^{y-2})=\ln(e^{y-2})+2=y-2+2=y. \]
Quindi \(f\) è suriettiva.
La funzione è biiettiva. Dalla relazione
\[ y=\ln x+2 \]
abbiamo ottenuto
\[ x=e^{y-2}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=e^{y-2}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=e^{x-2}. \]
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
La funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=|x| \]
è invertibile? Motivare rigorosamente la risposta.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
Una funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) è invertibile se e solo se è biiettiva.
La funzione valore assoluto non è iniettiva. Infatti
\[ f(1)=|1|=1 \]
e
\[ f(-1)=|-1|=1. \]
Poiché \(1\ne -1\), abbiamo trovato due elementi distinti del dominio con la stessa immagine.
Dunque \(f\) non è iniettiva.
Inoltre \(f\) non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché
\[ |x|\ge 0 \]
per ogni \(x\in\mathbb R\). Quindi nessun numero reale negativo appartiene all'immagine della funzione.
Per esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ |x|=-1. \]
La funzione non è quindi biiettiva. Pertanto non ammette funzione inversa.
Esercizio 12 — livello ★★☆☆☆
Determinare l'inversa della funzione
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=|x|. \]
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=x. \]
Svolgimento
Sul dominio \([0,+\infty)\), per ogni \(x\ge 0\) si ha
\[ |x|=x. \]
Quindi la funzione data coincide con la funzione identità su \([0,+\infty)\):
\[ f(x)=x. \]
Verifichiamo la biiettività.
Se \(f(x_1)=f(x_2)\), allora
\[ x_1=x_2, \]
quindi \(f\) è iniettiva.
Inoltre, per ogni \(y\in[0,+\infty)\), scegliendo \(x=y\) si ha \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ f(x)=f(y)=y. \]
Dunque \(f\) è suriettiva.
La funzione è biiettiva e ammette inversa. Poiché \(f\) è l'identità su \([0,+\infty)\), anche la sua inversa è l'identità:
\[ f^{-1}(x)=x. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1],\qquad f(x)=\sin x \]
è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\arcsin x. \]
Svolgimento
Sul dominio
\[ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \]
la funzione seno è strettamente crescente. Di conseguenza è iniettiva.
Inoltre, quando \(x\) varia nell'intervallo
\[ \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \]
i valori di \(\sin x\) riempiono esattamente l'intervallo \([-1,1]\). Infatti
\[ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1 \]
e
\[ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1. \]
Poiché il seno è continuo e strettamente crescente su questo intervallo, ogni valore \(y\in[-1,1]\) viene assunto una e una sola volta.
Dunque \(f\) è biiettiva e ammette inversa.
L'inversa è la funzione arcoseno:
\[ f^{-1}:[-1,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],\qquad f^{-1}(x)=\arcsin x. \]
Infatti, per ogni
\[ x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right], \]
si ha
\[ \arcsin(\sin x)=x, \]
mentre, per ogni \(y\in[-1,1]\), si ha
\[ \sin(\arcsin y)=y. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la funzione
\[ f:\mathbb R\to[-1,1],\qquad f(x)=\sin x \]
è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
La funzione è suriettiva su \([-1,1]\), perché il seno assume tutti i valori compresi tra \(-1\) e \(1\).
Tuttavia non è iniettiva su \(\mathbb R\). Infatti
\[ \sin 0=0 \]
e
\[ \sin \pi=0. \]
Poiché \(0\ne \pi\), due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine.
Questo impedisce l'esistenza di una funzione inversa. Infatti, se esistesse un'inversa
\[ f^{-1}:[-1,1]\to\mathbb R, \]
allora il valore \(0\in[-1,1]\) dovrebbe essere mandato sia in \(0\) sia in \(\pi\), perché entrambi hanno immagine \(0\) mediante \(f\). Ciò è impossibile per una funzione.
Dunque \(f\) non è biiettiva e non ammette inversa.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^3+1. \]
Stabilire se \(f\) è invertibile e determinarne l'inversa.
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}. \]
Svolgimento
La funzione \(x\mapsto x^3\) è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Aggiungere \(1\) ai valori della funzione non modifica l'iniettività. Quindi \(f(x)=x^3+1\) è iniettiva.
Mostriamo anche la suriettività. Sia \(y\in\mathbb R\). Cerchiamo \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x^3+1=y. \]
Sottraendo \(1\), otteniamo
\[ x^3=y-1. \]
Prendendo la radice cubica, ricaviamo
\[ x=\sqrt[3]{y-1}. \]
Questo valore è reale per ogni \(y\in\mathbb R\). Inoltre
\[ f(\sqrt[3]{y-1})=(\sqrt[3]{y-1})^3+1=y-1+1=y. \]
Quindi \(f\) è suriettiva.
Essendo biiettiva, \(f\) ammette inversa. Dalla relazione
\[ y=x^3+1 \]
ricaviamo
\[ x=\sqrt[3]{y-1}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y-1}. \]
Rinominando la variabile indipendente, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}. \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\}. \]
Consideriamo la funzione \(f:A\to B\) definita da
\[ f(1)=b,\qquad f(2)=c,\qquad f(3)=a. \]
Stabilire se \(f\) è invertibile e, in caso affermativo, determinare \(f^{-1}\).
Risultato
La funzione è invertibile e
\[ f^{-1}(a)=3,\qquad f^{-1}(b)=1,\qquad f^{-1}(c)=2. \]
Svolgimento
Una funzione tra insiemi finiti è invertibile se ogni elemento del codominio è raggiunto da uno e un solo elemento del dominio.
Osserviamo le immagini:
\[ f(1)=b,\qquad f(2)=c,\qquad f(3)=a. \]
Gli elementi \(a,b,c\) del codominio compaiono tutti come valori della funzione. Quindi \(f\) è suriettiva.
Inoltre nessun valore viene ripetuto: \(a\), \(b\) e \(c\) sono immagini di elementi distinti di \(A\). Quindi \(f\) è iniettiva.
La funzione è dunque biiettiva e ammette inversa.
Per costruire l'inversa, invertiamo le associazioni:
\[ f(3)=a \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(a)=3, \]
\[ f(1)=b \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(b)=1, \]
\[ f(2)=c \quad \Longrightarrow \quad f^{-1}(c)=2. \]
Quindi
\[ f^{-1}:B\to A \]
è definita da
\[ f^{-1}(a)=3,\qquad f^{-1}(b)=1,\qquad f^{-1}(c)=2. \]
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\}. \]
Consideriamo la funzione \(f:A\to B\) definita da
\[ f(1)=a,\qquad f(2)=a,\qquad f(3)=b. \]
Stabilire se \(f\) è invertibile.
Risultato
La funzione non è invertibile.
Svolgimento
Per essere invertibile, la funzione dovrebbe essere biiettiva.
La funzione non è iniettiva, perché due elementi distinti del dominio hanno la stessa immagine:
\[ f(1)=a \]
e
\[ f(2)=a. \]
Poiché \(1\ne 2\), l'iniettività fallisce.
Inoltre la funzione non è suriettiva, perché l'elemento \(c\in B\) non è immagine di nessun elemento di \(A\). Infatti le sole immagini sono \(a\) e \(b\).
Dunque la funzione non è né iniettiva né suriettiva. In particolare non è biiettiva.
Pertanto non ammette funzione inversa.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x. \]
Costruire un'inversa sinistra di \(f\).
Risultato
Una possibile inversa sinistra è la funzione \(g:\mathbb R\to\mathbb R\) definita da
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Svolgimento
La funzione \(f(x)=e^x\) è iniettiva, ma non è suriettiva da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\), perché la sua immagine è \((0,+\infty)\).
Un'inversa sinistra di \(f\) è una funzione
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R \]
tale che
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
In forma esplicita, dobbiamo avere
\[ g(f(x))=x \]
per ogni \(x\in\mathbb R\).
Poiché \(f(x)=e^x>0\), per invertire \(f\) sui valori effettivamente raggiunti dobbiamo usare il logaritmo naturale:
\[ \ln(e^x)=x. \]
Tuttavia \(g\) deve essere definita su tutto \(\mathbb R\), non solo su \((0,+\infty)\). Sui valori \(y\le 0\), la condizione \(g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}\) non impone alcuna scelta, perché tali valori non appartengono all'immagine di \(f\).
Possiamo quindi definire
\[ g(y)= \begin{cases} \ln y, & y>0,\\ 0, & y\le 0. \end{cases} \]
Verifichiamo che sia davvero un'inversa sinistra. Per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha \(e^x>0\), quindi
\[ g(f(x))=g(e^x)=\ln(e^x)=x. \]
Dunque
\[ g\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Quindi \(g\) è un'inversa sinistra di \(f\).
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Sia
\[ f:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
Costruire due inverse destre distinte di \(f\).
Risultato
Due inverse destre distinte sono
\[ h_1(y)=\sqrt y \]
e
\[ h_2(y)=-\sqrt y. \]
Svolgimento
Un'inversa destra di \(f\) è una funzione
\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R \]
tale che
\[ f\circ h=\operatorname{id}_{[0,+\infty)}. \]
In forma esplicita, dobbiamo avere
\[ f(h(y))=y \]
per ogni \(y\in[0,+\infty)\).
La funzione \(f(x)=x^2\) è suriettiva da \(\mathbb R\) a \([0,+\infty)\), perché ogni numero reale non negativo è il quadrato di almeno un numero reale.
Per ogni \(y\ge 0\), il numero \(\sqrt y\) è una preimmagine di \(y\), perché
\[ f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Quindi
\[ h_1:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h_1(y)=\sqrt y \]
è un'inversa destra di \(f\).
Anche il numero \(-\sqrt y\) è una preimmagine di \(y\), perché
\[ f(-\sqrt y)=(-\sqrt y)^2=y. \]
Quindi anche
\[ h_2:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h_2(y)=-\sqrt y \]
è un'inversa destra di \(f\).
Le due funzioni sono distinte. Infatti, per esempio,
\[ h_1(1)=1, \]
mentre
\[ h_2(1)=-1. \]
Questo mostra che una funzione suriettiva ma non iniettiva può avere più inverse destre.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Dimostrare che, se una funzione
\[ f:A\to B \]
ammette una funzione
\[ u:B\to A \]
tale che
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
allora \(f\) è biiettiva e \(u=f^{-1}\).
Risultato
La funzione \(f\) è biiettiva e \(u\) è la sua inversa.
Svolgimento
Dobbiamo dimostrare che \(f\) è iniettiva e suriettiva.
Cominciamo dall'iniettività. Siano \(x_1,x_2\in A\) e supponiamo che
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Applichiamo \(u\) a entrambi i membri:
\[ u(f(x_1))=u(f(x_2)). \]
Poiché
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A, \]
per ogni \(x\in A\) si ha
\[ u(f(x))=x. \]
Quindi l'uguaglianza precedente diventa
\[ x_1=x_2. \]
Abbiamo dimostrato che, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine, allora sono uguali. Dunque \(f\) è iniettiva.
Dimostriamo ora la suriettività. Sia \(y\in B\). Dobbiamo mostrare che esiste \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Poiché \(u:B\to A\), l'elemento \(u(y)\) appartiene ad \(A\). Poniamo
\[ x=u(y). \]
Allora, usando l'identità
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B, \]
otteniamo
\[ f(x)=f(u(y))=y. \]
Quindi ogni elemento \(y\in B\) è immagine di almeno un elemento di \(A\). Dunque \(f\) è suriettiva.
Abbiamo provato che \(f\) è sia iniettiva sia suriettiva. Pertanto \(f\) è biiettiva.
Poiché \(f\) è biiettiva, ammette un'unica funzione inversa
\[ f^{-1}:B\to A. \]
Inoltre la funzione \(u\) soddisfa esattamente le due identità caratteristiche dell'inversa:
\[ u\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ u=\operatorname{id}_B. \]
Per l'unicità dell'inversa, segue che
\[ u=f^{-1}. \]
Quindi \(u\) è la funzione inversa ordinaria di \(f\).