La funzione inversa è uno dei concetti fondamentali nello studio delle funzioni. Intuitivamente, invertire una funzione significa percorrere al contrario la corrispondenza stabilita dalla funzione stessa: se una funzione manda un elemento \(x\) in un elemento \(y\), la funzione inversa deve mandare \(y\) di nuovo in \(x\).
Questa idea, però, richiede una condizione precisa. Non ogni funzione può essere invertita come funzione. Affinché esista una funzione inversa definita su tutto il codominio, ogni elemento del codominio deve essere raggiunto da uno e un solo elemento del dominio. In altre parole, rispetto agli insiemi considerati, la funzione deve essere biiettiva.
Consideriamo una funzione
\[ f:A\to B. \]
Se \(f\) è biiettiva, allora per ogni elemento \(y\in B\) esiste un unico elemento \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Possiamo quindi definire una nuova funzione
\[ f^{-1}:B\to A, \]
che associa a ogni \(y\in B\) l’unico elemento \(x\in A\) da cui \(y\) proviene. Questa nuova funzione si chiama funzione inversa di \(f\).
Lo studio della funzione inversa è essenziale perché permette di comprendere il ruolo della biiettività, il significato della composizione di funzioni, il legame tra una funzione e il suo grafico e il modo in cui si risolvono equazioni del tipo \(f(x)=y\).
Indice
- Funzione inversa: significato intuitivo
- Quando una funzione ammette funzione inversa
- Definizione di funzione inversa
- Funzione inversa e funzione biiettiva
- Come trovare la funzione inversa
- Verifica della funzione inversa tramite composizione
- Esempi di funzioni inverse
- Funzioni non invertibili
- Restrizione del dominio e funzione inversa
- Grafico di una funzione inversa
- Errori frequenti da evitare
Funzione inversa: significato intuitivo
Per comprendere il significato di funzione inversa, partiamo dall'idea più semplice. Una funzione associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Se
\[ f:A\to B, \]
allora a ogni elemento \(x\in A\) la funzione associa un elemento \(f(x)\in B\).
La funzione inversa, quando esiste, compie il percorso opposto: parte da un valore \(y\in B\) e restituisce l'elemento \(x\in A\) da cui quel valore proviene.
In altre parole, se
\[ f(x)=y, \]
allora la funzione inversa deve soddisfare
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Per esempio, consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+3. \]
Questa funzione aggiunge \(3\) a ogni numero reale. Dunque:
\[ f(2)=2+3=5. \]
La funzione inversa deve fare il percorso contrario: partendo da \(5\), deve tornare a \(2\). Per ottenere questo risultato, bisogna sottrarre \(3\). Infatti:
\[ f^{-1}(5)=5-3=2. \]
In generale, la funzione inversa di \(f(x)=x+3\) è
\[ f^{-1}(x)=x-3. \]
Questo esempio mostra l'idea intuitiva: la funzione inversa annulla l'effetto della funzione iniziale. Se la funzione iniziale trasforma \(x\) in \(y\), la funzione inversa trasforma \(y\) di nuovo in \(x\).
Tuttavia, questa inversione non è sempre possibile. Affinché una funzione ammetta una vera funzione inversa, ogni elemento del codominio deve provenire da uno e un solo elemento del dominio. Se un valore del codominio non viene mai raggiunto, non sapremmo quale elemento associare ad esso. Se invece uno stesso valore proviene da due elementi diversi del dominio, non sapremmo quale dei due scegliere.
Per questo motivo, l'esistenza della funzione inversa è strettamente legata alla biiettività: una funzione ammette funzione inversa definita su tutto il codominio se e solo se è biiettiva.
Quando una funzione ammette funzione inversa
Non tutte le funzioni ammettono una funzione inversa. Per capire quando ciò accade, consideriamo una funzione
\[ f:A\to B. \]
Vogliamo costruire una funzione inversa
\[ f^{-1}:B\to A. \]
Questo significa che, per ogni elemento \(y\in B\), la funzione inversa deve associare un elemento \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Affinché questa associazione sia possibile, devono essere soddisfatte due condizioni fondamentali.
La prima condizione è che ogni elemento di \(B\) sia effettivamente raggiunto dalla funzione. Infatti, se esistesse un elemento \(y\in B\) che non è immagine di alcun elemento di \(A\), allora non sarebbe possibile definire \(f^{-1}(y)\). Non ci sarebbe nessun elemento del dominio da associare a \(y\).
Questa è esattamente la condizione di suriettività.
La seconda condizione è che ogni elemento di \(B\) sia raggiunto da un solo elemento di \(A\). Infatti, se uno stesso valore \(y\in B\) fosse immagine di due elementi distinti \(x_1,x_2\in A\), allora la funzione inversa non saprebbe quale valore assegnare a \(y\): dovrebbe scegliere tra \(x_1\) e \(x_2\).
Questa è esattamente la condizione di iniettività.
Dunque, per definire una funzione inversa su tutto il codominio \(B\), la funzione deve essere sia iniettiva sia suriettiva, cioè deve essere biiettiva.
In simboli, una funzione
\[ f:A\to B \]
ammette una funzione inversa
\[ f^{-1}:B\to A \]
se e solo se, per ogni \(y\in B\), esiste uno e un solo \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Usando il simbolo \(\exists!\), questa condizione si scrive:
\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad \text{tale che} \quad f(x)=y. \]
La funzione inversa è quindi possibile esattamente quando ogni elemento del codominio ha un'unica preimmagine nel dominio.
Questo punto è essenziale: la stessa formula può ammettere o non ammettere inversa a seconda degli insiemi su cui viene considerata.
Definizione di funzione inversa
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione biiettiva. Per ogni elemento \(y\in B\) esiste allora un unico elemento \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Possiamo quindi definire una nuova funzione
\[ f^{-1}:B\to A, \]
detta funzione inversa di \(f\), ponendo
\[ f^{-1}(y)=x \]
se e solo se
\[ f(x)=y. \]
In forma compatta, si scrive:
\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]
Questa relazione esprime il significato preciso della funzione inversa: se \(f\) manda \(x\) in \(y\), allora \(f^{-1}\) manda \(y\) in \(x\).
È importante osservare che la funzione inversa ha dominio \(B\) e codominio \(A\). Infatti, mentre la funzione iniziale va da \(A\) a \(B\), la funzione inversa percorre la corrispondenza nel verso opposto.
Per esempio, se
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1, \]
allora, per trovare la funzione inversa, partiamo dall'equazione
\[ y=2x+1 \]
e risolviamo rispetto a \(x\). Otteniamo:
\[ y-1=2x, \]
quindi
\[ x=\frac{y-1}{2}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]
Rinominando la variabile indipendente, si scrive di solito:
\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]
Dunque la funzione inversa è
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]
Funzione inversa e funzione biiettiva
Il legame tra funzione inversa e funzione biiettiva può essere riassunto in una sola affermazione: una funzione ammette inversa su tutto il codominio se e solo se è biiettiva.
Consideriamo una funzione
\[ f:A\to B. \]
Se \(f\) è biiettiva, allora per ogni \(y\in B\) esiste un unico \(x\in A\) tale che
\[ f(x)=y. \]
Questa unicità permette di definire senza ambiguità la funzione inversa
\[ f^{-1}:B\to A. \]
In forma compatta:
\[ f \text{ è biiettiva} \quad \Longleftrightarrow \quad f \text{ ammette funzione inversa } f^{-1}:B\to A. \]
L'equivalenza va intesa con precisione: l'inversa è definita su tutto \(B\) e assume valori in \(A\). Se manca la suriettività, esistono elementi di \(B\) senza preimmagine; se manca l'iniettività, esistono elementi di \(B\) con più di una preimmagine.
Per esempio, la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1 \]
è biiettiva, e la sua inversa è
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=x-1. \]
Al contrario,
\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2 \]
non ammette funzione inversa da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\), perché valori opposti hanno la stessa immagine e nessun numero reale negativo viene raggiunto.
Come trovare la funzione inversa
Per trovare la funzione inversa di una funzione data mediante una formula, si parte dall'equazione che descrive la funzione e si risolve rispetto alla variabile di partenza.
Consideriamo una funzione biiettiva
\[ f:A\to B. \]
Se la funzione è espressa nella forma
\[ y=f(x), \]
allora trovare l'inversa significa ricavare \(x\) in funzione di \(y\). Una volta ottenuta l'espressione di \(x\), si scrive
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Infine, per convenzione, si rinomina spesso la variabile indipendente e si scrive la funzione inversa in termini di \(x\).
Vediamo il procedimento su un esempio. Consideriamo
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-2. \]
Poniamo
\[ y=3x-2. \]
Ora risolviamo rispetto a \(x\). Sommando \(2\) a entrambi i membri, otteniamo
\[ y+2=3x. \]
Dividendo per \(3\), segue che
\[ x=\frac{y+2}{3}. \]
Quindi
\[ f^{-1}(y)=\frac{y+2}{3}. \]
Rinominando la variabile, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}. \]
Dunque la funzione inversa è
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}. \]
Il metodo può essere riassunto così:
- si scrive \(y=f(x)\);
- si risolve l'equazione rispetto a \(x\);
- si interpreta l'espressione ottenuta come \(f^{-1}(y)\);
- si rinomina, se necessario, la variabile indipendente.
Questo procedimento produce una vera funzione inversa solo quando la funzione di partenza è invertibile. Se durante il calcolo compaiono più possibili valori di \(x\) per lo stesso \(y\), oppure se alcuni valori del codominio non sono raggiunti, allora bisogna tornare a controllare dominio e codominio.
Verifica della funzione inversa tramite composizione
Dopo aver trovato una possibile funzione inversa, è buona norma verificarla tramite la composizione di funzioni.
Sia
\[ f:A\to B \]
una funzione biiettiva, e sia
\[ f^{-1}:B\to A \]
la sua funzione inversa. Allora devono valere le due identità:
\[ f^{-1}(f(x))=x \qquad \text{per ogni } x\in A, \]
e
\[ f(f^{-1}(y))=y \qquad \text{per ogni } y\in B. \]
La prima identità dice che, se partiamo da un elemento del dominio, applichiamo \(f\) e poi applichiamo \(f^{-1}\), torniamo al punto di partenza.
La seconda dice che, se partiamo da un elemento del codominio, applichiamo \(f^{-1}\) e poi applichiamo \(f\), otteniamo di nuovo l'elemento iniziale.
In modo equivalente, usando la funzione identità, si può scrivere:
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
e
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
Vediamo un esempio. Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-2. \]
Nella sezione precedente abbiamo trovato
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3}. \]
Verifichiamo ora che questa sia davvero la funzione inversa.
Per ogni \(x\in\mathbb R\), abbiamo:
\[ f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x-2) = \frac{(3x-2)+2}{3} = \frac{3x}{3} = x. \]
Inoltre, per ogni \(x\in\mathbb R\), abbiamo:
\[ f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{x+2}{3}\right) = 3\cdot\frac{x+2}{3}-2 = x+2-2 = x. \]
Le due composizioni restituiscono quindi la funzione identità. Questo conferma che
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+2}{3} \]
è effettivamente la funzione inversa di \(f(x)=3x-2\).
La verifica tramite composizione è particolarmente utile perché permette di controllare non solo la correttezza dei calcoli, ma anche il verso corretto della funzione inversa.
Esempi di funzioni inverse
Vediamo ora alcuni esempi di funzioni inverse, prestando attenzione non solo alla formula, ma anche agli insiemi tra cui la funzione è definita.
Esempio 1. Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x-4. \]
Per trovare l'inversa, poniamo
\[ y=x-4. \]
Risolviamo rispetto a \(x\):
\[ x=y+4. \]
Dunque
\[ f^{-1}(y)=y+4. \]
Rinominando la variabile, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=x+4. \]
La funzione inversa è quindi
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=x+4. \]
Esempio 2. Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=5x. \]
Poniamo
\[ y=5x. \]
Dividendo per \(5\), otteniamo
\[ x=\frac{y}{5}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{5}. \]
Quindi
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{5}. \]
In questo caso la funzione inversa è
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x}{5}. \]
Esempio 3. Consideriamo la funzione
\[ f:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f(x)=x^2. \]
La funzione è invertibile perché, su \([0,+\infty)\), la funzione \(x\mapsto x^2\) è strettamente crescente e quindi iniettiva. Inoltre, ogni numero reale non negativo è il quadrato di un numero reale non negativo.
Poniamo
\[ y=x^2. \]
Poiché \(x\in[0,+\infty)\), dobbiamo scegliere la radice non negativa:
\[ x=\sqrt y. \]
Quindi
\[ f^{-1}(y)=\sqrt y. \]
Rinominando la variabile, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\sqrt x. \]
La funzione inversa è
\[ f^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad f^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Esempio 4. Consideriamo la funzione
\[ f:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad f(x)=\ln x. \]
Per trovare l'inversa, poniamo
\[ y=\ln x. \]
Applicando l'esponenziale a entrambi i membri, otteniamo
\[ e^y=x. \]
Dunque
\[ f^{-1}(y)=e^y. \]
In termini della variabile \(x\), si scrive
\[ f^{-1}(x)=e^x. \]
Poiché la funzione iniziale va da \((0,+\infty)\) a \(\mathbb R\), la sua inversa va da \(\mathbb R\) a \((0,+\infty)\):
\[ f^{-1}:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad f^{-1}(x)=e^x. \]
Esempio 5. Consideriamo la funzione razionale
\[ f:\mathbb R\setminus\{-1\}\to\mathbb R\setminus\{1\},\qquad f(x)=\frac{x}{x+1}. \]
Per trovare l'inversa, poniamo
\[ y=\frac{x}{x+1}. \]
Moltiplicando per \(x+1\), otteniamo
\[ y(x+1)=x. \]
Sviluppando:
\[ yx+y=x. \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) allo stesso membro:
\[ y=x-yx. \]
Raccogliendo \(x\), otteniamo
\[ y=x(1-y). \]
Poiché il codominio è \(\mathbb R\setminus\{1\}\), abbiamo \(y\ne1\). Possiamo quindi dividere per \(1-y\):
\[ x=\frac{y}{1-y}. \]
Pertanto
\[ f^{-1}(y)=\frac{y}{1-y}. \]
Rinominando la variabile, otteniamo
\[ f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
La funzione inversa è dunque
\[ f^{-1}:\mathbb R\setminus\{1\}\to\mathbb R\setminus\{-1\},\qquad f^{-1}(x)=\frac{x}{1-x}. \]
Osserviamo che il valore \(1\) è escluso dal codominio di \(f\), perché non esiste alcun \(x\in\mathbb R\setminus\{-1\}\) tale che
\[ \frac{x}{x+1}=1. \]
Infatti, questa uguaglianza porterebbe a \(x=x+1\), impossibile. Per questo motivo il dominio della funzione inversa è \(\mathbb R\setminus\{1\}\).
Questo esempio mostra perché il codominio deve essere indicato con precisione: il dominio della funzione inversa coincide con i valori effettivamente assunti dalla funzione iniziale.
Funzioni non invertibili
Consideriamo una funzione
\[ f:A\to B. \]
Una funzione non è invertibile quando non è possibile associare a ogni elemento di \(B\) un unico elemento di \(A\) da cui esso proviene.
Possono presentarsi due ostacoli.
Il primo si verifica quando la funzione non è suriettiva. In questo caso esiste almeno un elemento di \(B\) che non viene raggiunto da alcun elemento di \(A\). Per tale elemento, quindi, non sarebbe possibile definire il valore della funzione inversa.
Il secondo si verifica quando la funzione non è iniettiva. In questo caso esistono due elementi distinti del dominio con la stessa immagine. Di conseguenza, percorrendo la corrispondenza a ritroso da quel valore, non si avrebbe una scelta univoca.
Vediamo un esempio fondamentale. Consideriamo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Questa funzione non è iniettiva, perché
\[ f(-2)=(-2)^2=4 \]
e
\[ f(2)=2^2=4. \]
Dunque due elementi distinti, \(-2\) e \(2\), hanno la stessa immagine.
Inoltre, la funzione non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché non assume valori negativi:
\[ x^2\ge 0 \qquad \text{per ogni } x\in\mathbb R. \]
Per esempio, \(-1\) appartiene al codominio \(\mathbb R\), ma non esiste alcun numero reale \(x\) tale che
\[ x^2=-1. \]
La funzione \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\), non ammette quindi funzione inversa da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\).
Bisogna fare attenzione a un punto: il problema non è la presenza del simbolo \(\sqrt{x}\), ma il fatto che la corrispondenza inversa non sarebbe una funzione. Infatti, partendo da \(4\), dovremmo tornare sia a \(2\) sia a \(-2\), perché entrambi hanno quadrato uguale a \(4\).
Per ottenere una vera funzione inversa è necessario eliminare l'ambiguità, ad esempio restringendo opportunamente il dominio.
Restrizione del dominio e funzione inversa
Una funzione che non è invertibile può talvolta diventarlo restringendo opportunamente il dominio.
Consideriamo di nuovo la funzione
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]
Come abbiamo visto, questa funzione non è iniettiva su tutto \(\mathbb R\), perché due numeri opposti hanno lo stesso quadrato. Per esempio,
\[ f(-2)=f(2)=4. \]
Se però restringiamo il dominio all'intervallo \([0,+\infty)\), l'ambiguità scompare. Consideriamo infatti
\[ g:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]
Su \([0,+\infty)\), la funzione \(x\mapsto x^2\) è strettamente crescente. Di conseguenza, due elementi distinti del dominio hanno immagini distinte: la funzione \(g\) è iniettiva.
Inoltre, ogni elemento del codominio \([0,+\infty)\) viene raggiunto. Infatti, se \(y\in[0,+\infty)\), possiamo scegliere
\[ x=\sqrt y. \]
Allora \(x\in[0,+\infty)\) e
\[ g(x)=g(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]
Dunque \(g\) è anche suriettiva. Essendo iniettiva e suriettiva, è biiettiva e ammette funzione inversa.
Per trovarla, partiamo da
\[ y=x^2. \]
Poiché il dominio è \([0,+\infty)\), dobbiamo prendere la radice non negativa:
\[ x=\sqrt y. \]
Quindi
\[ g^{-1}(y)=\sqrt y. \]
Rinominando la variabile, otteniamo
\[ g^{-1}(x)=\sqrt x. \]
La funzione inversa è quindi
\[ g^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad g^{-1}(x)=\sqrt x. \]
Avremmo potuto restringere il dominio anche all'intervallo \((-\infty,0]\). In quel caso la funzione sarebbe ancora invertibile, ma l'inversa sarebbe diversa:
\[ h:(-\infty,0]\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]
ha funzione inversa
\[ h^{-1}:[0,+\infty)\to(-\infty,0],\qquad h^{-1}(x)=-\sqrt x. \]
Questo esempio mostra che la stessa formula può produrre inverse diverse a seconda della restrizione scelta.
Grafico di una funzione inversa
Il grafico di una funzione inversa ha una proprietà geometrica molto importante: si ottiene riflettendo il grafico della funzione iniziale rispetto alla retta
\[ y=x. \]
Per capire il motivo, consideriamo una funzione biiettiva
\[ f:A\to B \]
e la sua inversa
\[ f^{-1}:B\to A. \]
Se un punto \((a,b)\) appartiene al grafico di \(f\), allora
\[ b=f(a). \]
Per definizione di funzione inversa, questo equivale a dire che
\[ f^{-1}(b)=a. \]
Dunque il punto \((b,a)\) appartiene al grafico di \(f^{-1}\).
In altre parole, passando da una funzione alla sua inversa, le coordinate dei punti si scambiano:
\[ (a,b)\quad \longleftrightarrow \quad (b,a). \]
Lo scambio delle coordinate corrisponde geometricamente a una simmetria rispetto alla retta \(y=x\). Per questo motivo, il grafico di \(f^{-1}\) è il simmetrico del grafico di \(f\) rispetto a tale retta.
Per esempio, consideriamo
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+2. \]
La sua inversa è
\[ f^{-1}(x)=x-2. \]
Il punto \((1,3)\) appartiene al grafico di \(f\), perché
\[ f(1)=1+2=3. \]
Di conseguenza, il punto \((3,1)\) appartiene al grafico di \(f^{-1}\), perché
\[ f^{-1}(3)=3-2=1. \]
Lo stesso accade per ogni punto del grafico. Ogni coppia \((x,f(x))\) viene trasformata nella coppia \((f(x),x)\), che appartiene al grafico della funzione inversa.
Questa interpretazione grafica è utile anche per riconoscere quando una funzione può essere invertita. Se una retta orizzontale incontra il grafico di una funzione in più di un punto, allora esistono due valori diversi del dominio con la stessa immagine. In tal caso la funzione non è iniettiva e non può avere una funzione inversa definita su tutto il codominio.
Viceversa, se il grafico della relazione inversa fosse incontrato da una retta verticale in più di un punto, allora non rappresenterebbe il grafico di una funzione. È lo stesso problema osservato dal punto di vista della corrispondenza inversa.
Il grafico, quindi, traduce visivamente lo stesso principio: per invertire una funzione senza ambiguità, ogni retta orizzontale deve incontrare il grafico al più una volta, e il codominio deve coincidere con i valori effettivamente assunti.
Errori frequenti da evitare
Concludiamo evidenziando alcuni errori frequenti nello studio della funzione inversa.
- Confondere \(f^{-1}\) con il reciproco di \(f\). La scrittura \(f^{-1}\) indica la funzione inversa, non la funzione \(\displaystyle \frac{1}{f}\). In generale, \[ f^{-1}(x)\ne \frac{1}{f(x)}. \]
- Cercare l'inversa senza controllare se la funzione è invertibile. Prima di parlare di funzione inversa su tutto il codominio, bisogna sapere se la funzione è biiettiva.
- Dimenticare gli insiemi su cui la funzione è definita. La stessa formula algebrica può essere invertibile o non invertibile a seconda del dominio e del codominio scelti. Per esempio, \(f(x)=x^2\) non è invertibile come funzione da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\), ma lo diventa se viene considerata da \([0,+\infty)\) a \([0,+\infty)\).
- Scambiare le variabili senza interpretare il risultato. Quando si calcola l'inversa, non basta manipolare l'equazione formalmente: bisogna verificare che l'espressione ottenuta definisca davvero una funzione con dominio e codominio corretti.
- Non verificare l'inversa tramite composizione. Una volta trovata una candidata inversa, è sempre utile controllare che \[ f^{-1}(f(x))=x \] e \[ f(f^{-1}(x))=x \] sugli insiemi opportuni.
Per esempio, se
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1, \]
allora la funzione inversa è
\[ f^{-1}(x)=x-1. \]
Invece il reciproco della funzione sarebbe
\[ \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x+1}, \]
che è un oggetto completamente diverso.
La funzione inversa non consiste quindi nel prendere il reciproco dei valori, ma nel ricostruire l'elemento di partenza a partire dalla sua immagine.
In sintesi, una funzione inversa esiste quando la corrispondenza può essere percorsa a ritroso senza ambiguità: ogni elemento del codominio deve avere un'unica preimmagine nel dominio. Questa condizione coincide precisamente con la biiettività.