Funzioni Iniettive, Suriettive e Biiettive: Definizione, Significato ed Esempi

Le funzioni iniettive, funzioni suriettive e funzioni biiettive occupano un ruolo centrale nello studio delle funzioni.

Queste tre nozioni descrivono il modo in cui una funzione collega il dominio al codominio: alcune funzioni distinguono perfettamente gli elementi del dominio, altre raggiungono tutto il codominio, altre ancora realizzano una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi.

La distinzione tra iniettività, suriettività e biiettività è fondamentale per comprendere l'immagine di una funzione, la funzione inversa e il ruolo del dominio e del codominio nella definizione stessa di funzione.

Una stessa legge può infatti avere proprietà diverse a seconda degli insiemi su cui viene considerata. Per questo motivo, quando si studiano funzioni iniettive, suriettive e biiettive, è sempre necessario considerare la funzione nella sua forma completa:

\[ f:A\to B. \]

Indice

• Funzioni iniettive, suriettive e biiettive: significato intuitivo
• Definizione di funzione iniettiva
• Definizione di funzione suriettiva
• Definizione di funzione biiettiva
• Differenza tra funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva
• Come verificare se una funzione è iniettiva
• Come verificare se una funzione è suriettiva
• Funzioni biiettive e funzione inversa
• Esempi su funzioni iniettive, suriettive e biiettive
• Errori comuni da evitare

Funzioni iniettive, suriettive e biiettive: significato intuitivo

Per comprendere il significato di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva, consideriamo una funzione

\[ f:A\to B. \]

Il dominio \(A\) è l'insieme degli elementi ai quali la funzione può essere applicata; il codominio \(B\) è l'insieme di arrivo della funzione, cioè l'insieme al quale devono appartenere i suoi valori. A ogni elemento \(x\in A\) la funzione associa uno e un solo elemento \(f(x)\in B\).

Le proprietà di iniettività, suriettività e biiettività descrivono il modo in cui la funzione collega il dominio al codominio.

Una funzione è iniettiva quando non manda mai due elementi distinti del dominio nello stesso elemento del codominio. In altre parole, elementi diversi di \(A\) devono avere immagini diverse in \(B\).

Una funzione è suriettiva quando ogni elemento del codominio viene effettivamente raggiunto. In altre parole, non esistono elementi di \(B\) che rimangono fuori dall'immagine della funzione.

Una funzione è biiettiva quando è sia iniettiva sia suriettiva. In questo caso ogni elemento del codominio è raggiunto da uno e un solo elemento del dominio: si stabilisce quindi una corrispondenza perfetta tra \(A\) e \(B\).

In forma intuitiva, una funzione iniettiva non sovrappone elementi distinti del dominio; una funzione suriettiva copre tutto il codominio; una funzione biiettiva fa entrambe le cose contemporaneamente.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. \]

Questa funzione non è iniettiva, perché due numeri reali distinti possono avere la stessa immagine. Infatti

\[ -1\ne 1, \]

ma

\[ f(-1)=(-1)^2=1 \]

e

\[ f(1)=1^2=1. \]

Dunque \(f(-1)=f(1)\), pur essendo \(-1\ne 1\). La funzione non è iniettiva.

La stessa funzione non è neppure suriettiva da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\). Infatti l'immagine di \(f\) è

\[ f(\mathbb R)=[0,+\infty), \]

mentre il codominio dichiarato è \(\mathbb R\). I numeri reali negativi appartengono quindi al codominio, ma non vengono mai raggiunti dalla funzione.

Consideriamo ora la funzione

\[ g:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

L'espressione \( g(x) \) è la stessa, ma la funzione è diversa, perché sono cambiati dominio e codominio.

Sul dominio \([0,+\infty)\), la funzione \(g\) è iniettiva: due numeri reali non negativi distinti hanno quadrati distinti. Inoltre \(g\) è suriettiva su \([0,+\infty)\), perché ogni numero \(y\ge 0\) può essere scritto come quadrato di un numero reale non negativo.

Infatti, se \(y\in[0,+\infty)\), scegliendo

\[ x=\sqrt y, \]

si ha \(x\in[0,+\infty)\) e

\[ g(x)=g(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Pertanto \(g\) è biiettiva.

Questo esempio mostra un punto fondamentale: iniettività, suriettività e biiettività non dipendono soltanto dalla legge, ma anche dal dominio e dal codominio con cui la funzione viene definita.

Definizione di funzione iniettiva

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti e sia

\[ f:A\to B \]

una funzione. Dire che \(f\) è iniettiva significa dire che elementi distinti del dominio hanno immagini distinte.

In simboli, \(f\) è iniettiva se

\[ x_1\ne x_2 \quad \Longrightarrow \quad f(x_1)\ne f(x_2) \]

per ogni \(x_1,x_2\in A\).

Questa formulazione esprime direttamente l'idea intuitiva: una funzione iniettiva non manda mai due elementi diversi del dominio nello stesso elemento del codominio.

Esiste però una forma equivalente, spesso più comoda nelle dimostrazioni. La funzione \(f\) è iniettiva se e solo se

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2 \]

per ogni \(x_1,x_2\in A\).

Questa seconda forma afferma che, se due elementi del dominio hanno la stessa immagine, allora quegli elementi devono necessariamente coincidere.

Le due condizioni sono equivalenti: la prima dice che elementi diversi hanno immagini diverse; la seconda dice che immagini uguali possono provenire soltanto dallo stesso elemento del dominio.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Mostriamo che \(f\) è iniettiva. Siano \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e supponiamo che

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Allora

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

Sottraendo \(1\) da entrambi i membri, otteniamo

\[ 2x_1=2x_2. \]

Dividendo per \(2\), segue che

\[ x_1=x_2. \]

Abbiamo quindi dimostrato che

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Pertanto la funzione \(f\) è iniettiva.

Consideriamo invece la funzione

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Questa funzione non è iniettiva. Infatti esistono due elementi distinti del dominio che hanno la stessa immagine:

\[ -1\ne 1, \]

ma

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

e

\[ g(1)=1^2=1. \]

Quindi

\[ g(-1)=g(1), \]

pur essendo \(-1\ne 1\). Di conseguenza \(g\) non è iniettiva.

Definizione di funzione suriettiva

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti e sia

\[ f:A\to B \]

una funzione. Dire che \(f\) è suriettiva significa dire che ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.

In simboli, \(f\) è suriettiva se

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Questa condizione afferma che nessun elemento del codominio rimane escluso dai valori assunti dalla funzione.

Ricordiamo infatti che l'immagine di \(f\) è l'insieme

\[ f(A)=\{\,y\in B\mid \exists x\in A \text{ tale che } f(x)=y\,\}. \]

Pertanto una funzione è suriettiva se e solo se la sua immagine coincide con il codominio:

\[ f(A)=B. \]

In altre parole, una funzione suriettiva raggiunge tutti gli elementi dell'insieme di arrivo.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+1. \]

Mostriamo che \(f\) è suriettiva. Sia \(y\in\mathbb R\). Vogliamo trovare almeno un \(x\in\mathbb R\) tale che

\[ f(x)=y. \]

Poiché \(f(x)=x+1\), dobbiamo risolvere l'equazione

\[ x+1=y. \]

Da cui

\[ x=y-1. \]

Poiché \(y\in\mathbb R\), anche \(y-1\in\mathbb R\). Dunque, scegliendo \(x=y-1\), otteniamo

\[ f(x)=f(y-1)=(y-1)+1=y. \]

Abbiamo quindi mostrato che per ogni \(y\in\mathbb R\) esiste almeno un \(x\in\mathbb R\) tale che \(f(x)=y\). Pertanto \(f\) è suriettiva.

Consideriamo invece la funzione

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Questa funzione non è suriettiva. Infatti il codominio è \(\mathbb R\), ma la funzione assume soltanto valori non negativi:

\[ g(x)=x^2\ge 0 \]

per ogni \(x\in\mathbb R\).

Di conseguenza, nessun numero reale negativo appartiene all'immagine di \(g\). Per esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che

\[ x^2=-1. \]

Quindi \(-1\in\mathbb R\) appartiene al codominio, ma non appartiene all'immagine della funzione. Pertanto \(g\) non è suriettiva.

Se però cambiamo il codominio e consideriamo

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

allora la funzione \(h\) è suriettiva. Infatti, per ogni \(y\in[0,+\infty)\), scegliendo

\[ x=\sqrt y, \]

si ha \(x\in\mathbb R\) e

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Dunque ogni elemento del codominio \([0,+\infty)\) viene raggiunto dalla funzione.

Questo mostra che la suriettività dipende in modo essenziale dal codominio scelto. La stessa legge può definire una funzione suriettiva oppure non suriettiva a seconda dell'insieme di arrivo dichiarato.

Definizione di funzione biiettiva

Siano \(A\) e \(B\) due insiemi non vuoti e sia

\[ f:A\to B \]

una funzione. Dire che \(f\) è biiettiva significa dire che \(f\) è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

In altre parole, una funzione è biiettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di uno e un solo elemento del dominio.

In simboli, \(f\) è biiettiva se

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Il simbolo \(\exists!\) significa “esiste uno e un solo”. Dunque la condizione precedente afferma che, per ogni elemento \(y\) del codominio, esiste esattamente un elemento \(x\) del dominio tale che \(f(x)=y\).

Questa definizione contiene insieme le due proprietà fondamentali.

• La suriettività garantisce l'esistenza: ogni \(y\in B\) viene raggiunto da almeno un elemento del dominio.
• L'iniettività garantisce l'unicità: nessun \(y\in B\) può essere raggiunto da due elementi distinti del dominio.

Una funzione biiettiva stabilisce quindi una corrispondenza perfetta tra dominio e codominio: a ogni elemento del dominio corrisponde un elemento del codominio, e ogni elemento del codominio proviene da uno e un solo elemento del dominio.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Mostriamo che \(f\) è biiettiva.

Per verificare l'iniettività, siano \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e supponiamo che

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Allora

\[ 2x_1+1=2x_2+1. \]

Sottraendo \(1\) da entrambi i membri e dividendo per \(2\), otteniamo

\[ x_1=x_2. \]

Quindi \(f\) è iniettiva.

Per verificare la suriettività, sia \(y\in\mathbb R\). Cerchiamo un \(x\in\mathbb R\) tale che

\[ f(x)=y. \]

Risolviamo quindi l'equazione

\[ 2x+1=y. \]

Si ottiene

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Poiché \(y\in\mathbb R\), anche \(\displaystyle \frac{y-1}{2}\in\mathbb R\). Scegliendo dunque

\[ x=\frac{y-1}{2}, \]

si ha

\[ f(x)=2\cdot\frac{y-1}{2}+1=y. \]

Quindi \(f\) è suriettiva.

Poiché \(f\) è sia iniettiva sia suriettiva, concludiamo che \(f\) è biiettiva.

Consideriamo invece la funzione

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Questa funzione non è biiettiva. Infatti non è iniettiva, perché \(g(-1)=g(1)\) pur essendo \(-1\ne 1\), e non è suriettiva, perché nessun numero reale negativo appartiene alla sua immagine.

Se invece consideriamo

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

allora \(h\) è biiettiva. Infatti su \([0,+\infty)\) la funzione \(x^2\) è iniettiva, e ogni numero reale non negativo \(y\) è immagine di \(x=\sqrt y\).

Anche in questo caso si vede che la biiettività non dipende soltanto dalla legge della funzione, ma dal modo completo in cui la funzione è definita, cioè dal dominio, dal codominio e dalla legge di associazione.

Differenza tra funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva

Le nozioni di funzione iniettiva, suriettiva e biiettiva descrivono proprietà diverse del modo in cui una funzione collega dominio e codominio.

Consideriamo una funzione

\[ f:A\to B. \]

Dire che \(f\) è iniettiva significa concentrarsi sugli elementi del dominio: elementi distinti di \(A\) devono avere immagini distinte in \(B\).

Dire che \(f\) è suriettiva significa invece concentrarsi sugli elementi del codominio: ogni elemento di \(B\) deve essere raggiunto da almeno un elemento di \(A\).

Dire che \(f\) è biiettiva significa richiedere entrambe le condizioni: ogni elemento del codominio deve essere raggiunto, e deve essere raggiunto una sola volta.

In simboli:

\[ \text{\(f\) iniettiva} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2 \]

per ogni \(x_1,x_2\in A\).

Inoltre:

\[ \text{\(f\) suriettiva} \quad \Longleftrightarrow \quad f(A)=B. \]

Infine:

\[ \text{\(f\) biiettiva} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{\(f\) è iniettiva e suriettiva.} \]

Queste tre proprietà sono indipendenti nel senso seguente: una funzione può essere iniettiva senza essere suriettiva, può essere suriettiva senza essere iniettiva, può essere entrambe le cose, oppure nessuna delle due.

Per esempio, la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=e^x \]

è iniettiva, perché la funzione esponenziale è strettamente crescente su \(\mathbb R\). Tuttavia non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché

\[ e^x>0 \]

per ogni \(x\in\mathbb R\). Dunque i numeri reali minori o uguali a zero appartengono al codominio, ma non appartengono all'immagine.

Quindi \(f\) è iniettiva, ma non suriettiva.

Consideriamo invece la funzione

\[ g:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad g(x)=x^2. \]

Questa funzione è suriettiva, perché ogni numero reale non negativo \(y\) è il quadrato di almeno un numero reale. Infatti, se \(y\ge 0\), scegliendo \(x=\sqrt y\), si ottiene

\[ g(x)=y. \]

Tuttavia \(g\) non è iniettiva, perché

\[ g(-1)=g(1)=1, \]

pur essendo \(-1\ne 1\).

Quindi \(g\) è suriettiva, ma non iniettiva.

La funzione

\[ h:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad h(x)=2x+1 \]

è invece biiettiva. Infatti è iniettiva, perché valori distinti di \(x\) producono valori distinti di \(2x+1\), ed è suriettiva, perché ogni \(y\in\mathbb R\) si ottiene scegliendo

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Infine, la funzione

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^2 \]

non è né iniettiva né suriettiva. Non è iniettiva perché valori opposti hanno lo stesso quadrato; non è suriettiva perché non assume valori negativi.

Questi esempi mostrano che iniettività e suriettività rispondono a domande diverse. L'iniettività riguarda l'unicità della provenienza dei valori; la suriettività riguarda il fatto che tutti gli elementi del codominio vengano effettivamente raggiunti.

Come verificare se una funzione è iniettiva

Verificare se una funzione è iniettiva significa stabilire se elementi distinti del dominio hanno sempre immagini distinte.

Consideriamo una funzione

\[ f:A\to B. \]

Per dimostrare che \(f\) è iniettiva, il metodo più usato consiste nel partire dall'uguaglianza tra due immagini e mostrare che gli elementi di partenza devono coincidere.

Si prendono quindi due elementi arbitrari \(x_1,x_2\in A\) e si suppone che

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Se da questa uguaglianza si riesce a dedurre che

\[ x_1=x_2, \]

allora la funzione è iniettiva.

In forma sintetica, il ragionamento è il seguente:

\[ f(x_1)=f(x_2) \quad \Longrightarrow \quad x_1=x_2. \]

Se questa implicazione vale per ogni \(x_1,x_2\in A\), allora \(f\) è iniettiva.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=3x-2. \]

Siano \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e supponiamo che

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Allora

\[ 3x_1-2=3x_2-2. \]

Sommando \(2\) a entrambi i membri, otteniamo

\[ 3x_1=3x_2. \]

Dividendo per \(3\), segue che

\[ x_1=x_2. \]

Dunque

\[ f(x_1)=f(x_2)\quad \Longrightarrow\quad x_1=x_2. \]

Pertanto \(f\) è iniettiva.

Per mostrare invece che una funzione non è iniettiva, è sufficiente trovare un controesempio: due elementi distinti del dominio che hanno la stessa immagine.

In simboli, bisogna trovare \(x_1,x_2\in A\) tali che

\[ x_1\ne x_2 \]

ma

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

La funzione non è iniettiva, perché

\[ -1\ne 1, \]

ma

\[ g(-1)=(-1)^2+1=2 \]

e

\[ g(1)=1^2+1=2. \]

Quindi \(g(-1)=g(1)\), pur essendo \(-1\ne 1\). Questo basta per concludere che \(g\) non è iniettiva.

In alcuni casi l'iniettività può essere verificata anche usando la monotonia. Se una funzione reale di variabile reale è strettamente crescente oppure strettamente decrescente su tutto il suo dominio, allora è iniettiva.

Infatti, se \(x_1<x_2\) e \(f\) è strettamente crescente, allora

\[ f(x_1)<f(x_2), \]

quindi due elementi distinti del dominio non possono avere la stessa immagine. Un ragionamento analogo vale per le funzioni strettamente decrescenti.

Per esempio, la funzione

\[ h:[0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad h(x)=x^2 \]

è iniettiva, perché è strettamente crescente sul dominio \([0,+\infty)\).

Bisogna però fare attenzione: una funzione crescente, ma non strettamente crescente, non è necessariamente iniettiva. L'iniettività richiede che elementi distinti abbiano sempre immagini distinte.

Dal punto di vista grafico, una funzione reale di variabile reale è iniettiva quando ogni retta orizzontale interseca il grafico al massimo in un punto. Questo criterio è spesso chiamato test della retta orizzontale.

Se una retta orizzontale incontra il grafico in due punti distinti, allora esistono due elementi diversi del dominio con la stessa immagine, e quindi la funzione non è iniettiva. Il criterio è utile per interpretare geometricamente l'iniettività, ma nelle dimostrazioni è preferibile usare la definizione simbolica.

Come verificare se una funzione è suriettiva

Verificare se una funzione è suriettiva significa stabilire se ogni elemento del codominio viene effettivamente raggiunto dalla funzione.

Consideriamo una funzione

\[ f:A\to B. \]

Per dimostrare che \(f\) è suriettiva, bisogna prendere un elemento arbitrario \(y\in B\) e mostrare che esiste almeno un elemento \(x\in A\) tale che

\[ f(x)=y. \]

In forma sintetica, il ragionamento è il seguente:

\[ \forall y\in B,\quad \exists x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Se questa condizione è soddisfatta, allora ogni elemento del codominio appartiene all'immagine della funzione. Di conseguenza

\[ f(A)=B, \]

e quindi \(f\) è suriettiva.

In pratica, per verificare la suriettività si parte dall'equazione

\[ f(x)=y \]

e si cerca di risolverla rispetto a \(x\). Se, per ogni \(y\in B\), si riesce a trovare almeno una soluzione \(x\in A\), allora la funzione è suriettiva.

Per le funzioni reali di variabile reale, verificare la suriettività significa spesso determinare l'immagine della funzione. A seconda dei casi, può essere necessario studiare la monotonia, calcolare limiti, individuare massimi e minimi oppure risolvere direttamente l'equazione \(f(x)=y\).

La domanda fondamentale è sempre la stessa: l'immagine della funzione coincide con il codominio dichiarato?

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x-3. \]

Sia \(y\in\mathbb R\). Vogliamo trovare un numero reale \(x\) tale che

\[ f(x)=y. \]

Poiché \(f(x)=2x-3\), dobbiamo risolvere l'equazione

\[ 2x-3=y. \]

Da cui

\[ 2x=y+3 \]

e quindi

\[ x=\frac{y+3}{2}. \]

Poiché \(y\in\mathbb R\), anche \(\displaystyle \frac{y+3}{2}\in\mathbb R\). Scegliendo dunque

\[ x=\frac{y+3}{2}, \]

otteniamo

\[ f(x)=2\cdot\frac{y+3}{2}-3=y+3-3=y. \]

Abbiamo quindi mostrato che ogni \(y\in\mathbb R\) è immagine di almeno un \(x\in\mathbb R\). Pertanto \(f\) è suriettiva.

Per mostrare invece che una funzione non è suriettiva, è sufficiente trovare almeno un elemento del codominio che non viene raggiunto.

In simboli, bisogna trovare un elemento \(y\in B\) tale che l'equazione

\[ f(x)=y \]

non abbia soluzioni \(x\in A\).

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2+1. \]

Questa funzione non è suriettiva. Infatti il codominio è \(\mathbb R\), ma per ogni \(x\in\mathbb R\) si ha

\[ x^2\ge 0, \]

quindi

\[ x^2+1\ge 1. \]

Di conseguenza la funzione non assume valori minori di \(1\). Per esempio, \(0\in\mathbb R\) appartiene al codominio, ma non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che

\[ x^2+1=0. \]

Pertanto \(g\) non è suriettiva.

La stessa legge può però diventare suriettiva se viene scelto un codominio diverso. Consideriamo infatti

\[ h:\mathbb R\to[1,+\infty),\qquad h(x)=x^2+1. \]

Mostriamo che \(h\) è suriettiva. Sia \(y\in[1,+\infty)\). Allora \(y\ge 1\), quindi

\[ y-1\ge 0. \]

Possiamo dunque scegliere

\[ x=\sqrt{y-1}. \]

Si ha \(x\in\mathbb R\) e

\[ h(x)=h(\sqrt{y-1})=(\sqrt{y-1})^2+1=y. \]

Quindi ogni elemento del codominio \([1,+\infty)\) viene raggiunto dalla funzione. Pertanto \(h\) è suriettiva.

Questo esempio conferma che la suriettività non è una proprietà della sola legge, ma della funzione nel suo insieme. Per stabilire se una funzione è suriettiva, bisogna sempre considerare insieme dominio, codominio e legge di associazione.

Funzioni biiettive e funzione inversa

Le funzioni biiettive sono particolarmente importanti perché permettono di definire una funzione inversa.

Consideriamo una funzione

\[ f:A\to B. \]

Dire che \(f\) è biiettiva significa dire che ogni elemento \(y\in B\) è immagine di uno e un solo elemento \(x\in A\). In simboli:

\[ \forall y\in B,\quad \exists! x\in A \quad : \quad f(x)=y. \]

Questa proprietà consente di invertire il verso della corrispondenza. Infatti, se ogni \(y\in B\) proviene da uno e un solo \(x\in A\), allora possiamo associare a ogni elemento \(y\in B\) quell'unico elemento \(x\in A\) tale che \(f(x)=y\).

Si definisce così una nuova funzione

\[ f^{-1}:B\to A, \]

detta funzione inversa di \(f\).

Per definizione, la funzione inversa associa a ogni \(y\in B\) l'unico elemento \(x\in A\) tale che

\[ f(x)=y. \]

In simboli:

\[ f^{-1}(y)=x \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=y. \]

La biiettività è essenziale per poter definire l'inversa su tutto il codominio \(B\).

• La suriettività garantisce che ogni \(y\in B\) abbia almeno una controimmagine in \(A\).
• L'iniettività garantisce che questa controimmagine sia unica.

Senza suriettività, esisterebbero elementi del codominio non raggiunti dalla funzione, e quindi l'inversa non potrebbe essere definita su tutto \(B\). Senza iniettività, esisterebbero elementi del codominio raggiunti da più elementi del dominio, e quindi l'inversa non sarebbe una funzione.

Per esempio, consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=2x+1. \]

Questa funzione è biiettiva. Per trovare la sua inversa, poniamo

\[ y=2x+1 \]

e risolviamo rispetto a \(x\). Si ottiene

\[ y-1=2x \]

e quindi

\[ x=\frac{y-1}{2}. \]

Pertanto

\[ f^{-1}(y)=\frac{y-1}{2}. \]

Indicando di nuovo la variabile indipendente con \(x\), si scrive usualmente

\[ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

In questo caso la funzione inversa è

\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}. \]

Verifichiamo ora il significato dell'inversa tramite la composizione. Per ogni \(x\in\mathbb R\),

\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(2x+1)=\frac{(2x+1)-1}{2}=x. \]

Inoltre, per ogni \(x\in\mathbb R\),

\[ f(f^{-1}(x))=f\left(\frac{x-1}{2}\right)=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x. \]

Quindi comporre una funzione biiettiva con la sua inversa restituisce l'elemento di partenza.

Consideriamo invece la funzione

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

Questa funzione non ammette inversa da \(\mathbb R\) a \(\mathbb R\), perché non è biiettiva. Infatti non è iniettiva, poiché

\[ g(-1)=g(1), \]

pur essendo \(-1\ne 1\). Inoltre non è suriettiva su \(\mathbb R\), perché non assume valori negativi.

Se però restringiamo dominio e codominio e consideriamo

\[ h:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2, \]

allora \(h\) è biiettiva e ammette funzione inversa. Per ogni \(y\in[0,+\infty)\), l'unico \(x\in[0,+\infty)\) tale che

\[ x^2=y \]

è

\[ x=\sqrt y. \]

Dunque

\[ h^{-1}:[0,+\infty)\to[0,+\infty),\qquad h^{-1}(x)=\sqrt x. \]

Questo esempio mostra ancora una volta che l'esistenza della funzione inversa non dipende soltanto dalla legge, ma dalla funzione considerata nella sua totalità: dominio, codominio e legge di associazione.

Esempi su funzioni iniettive, suriettive e biiettive

Vediamo alcuni esempi in cui le proprietà di iniettività, suriettività e biiettività vengono determinate esplicitamente. In ogni caso è importante considerare non solo la legge della funzione, ma anche il dominio e il codominio con cui essa è definita.

Esempio 1. Consideriamo la funzione

\[ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x+3. \]

Mostriamo che \(f\) è biiettiva.

Per verificare l'iniettività, siano \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e supponiamo che

\[ f(x_1)=f(x_2). \]

Allora

\[ x_1+3=x_2+3. \]

Sottraendo \(3\) da entrambi i membri, otteniamo

\[ x_1=x_2. \]

Quindi \(f\) è iniettiva.

Per verificare la suriettività, sia \(y\in\mathbb R\). Cerchiamo \(x\in\mathbb R\) tale che

\[ f(x)=y. \]

Dobbiamo quindi risolvere

\[ x+3=y, \]

da cui

\[ x=y-3. \]

Poiché \(y\in\mathbb R\), anche \(y-3\in\mathbb R\). Scegliendo \(x=y-3\), si ottiene

\[ f(x)=f(y-3)=(y-3)+3=y. \]

Dunque \(f\) è suriettiva.

Poiché \(f\) è sia iniettiva sia suriettiva, \(f\) è biiettiva.

Esempio 2. Consideriamo la funzione

\[ g:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad g(x)=x^2. \]

La funzione \(g\) non è iniettiva, perché due elementi distinti del dominio possono avere la stessa immagine. Infatti

\[ -1\ne 1, \]

ma

\[ g(-1)=(-1)^2=1 \]

e

\[ g(1)=1^2=1. \]

Dunque \(g(-1)=g(1)\), pur essendo \(-1\ne 1\). La funzione non è iniettiva.

Inoltre \(g\) non è suriettiva da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\). Infatti, per ogni \(x\in\mathbb R\), si ha

\[ x^2\ge 0. \]

Quindi la funzione non assume valori negativi. Per esempio, non esiste alcun \(x\in\mathbb R\) tale che

\[ x^2=-1. \]

Pertanto \(g\) non è suriettiva.

Concludiamo che \(g\) non è né iniettiva né suriettiva; quindi non è biiettiva.

Esempio 3. Consideriamo la funzione

\[ h:\mathbb R\to[0,+\infty),\qquad h(x)=x^2. \]

Rispetto all'esempio precedente, la legge e il dominio sono gli stessi, ma il codominio è cambiato.

La funzione \(h\) non è iniettiva, perché

\[ h(-1)=h(1)=1, \]

pur essendo \(-1\ne 1\).

Tuttavia \(h\) è suriettiva. Infatti, sia \(y\in[0,+\infty)\). Allora \(y\ge 0\), quindi possiamo scegliere

\[ x=\sqrt y. \]

Si ha \(x\in\mathbb R\) e

\[ h(x)=h(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y. \]

Dunque ogni elemento del codominio \([0,+\infty)\) viene raggiunto dalla funzione.

Quindi \(h\) è suriettiva, ma non iniettiva. Di conseguenza non è biiettiva.

La stessa legge diventa però iniettiva se si restringe il dominio a \([0,+\infty)\), perché su tale intervallo la funzione \(x^2\) è strettamente crescente.

Esempio 4. Consideriamo la funzione

\[ p:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad p(x)=x^3. \]

Mostriamo che \(p\) è biiettiva.

Per verificare l'iniettività, siano \(x_1,x_2\in\mathbb R\) e supponiamo che

\[ p(x_1)=p(x_2). \]

Allora

\[ x_1^3=x_2^3. \]

Poiché la funzione cubica è strettamente crescente su \(\mathbb R\), da \(x_1^3=x_2^3\) segue necessariamente

\[ x_1=x_2. \]

Quindi \(p\) è iniettiva.

Per verificare la suriettività, sia \(y\in\mathbb R\). Scegliendo

\[ x=\sqrt[3]{y}, \]

si ha \(x\in\mathbb R\) e

\[ p(x)=p(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y. \]

Dunque \(p\) è suriettiva.

Poiché \(p\) è sia iniettiva sia suriettiva, \(p\) è biiettiva.

Esempio 5. Consideriamo gli insiemi finiti

\[ A=\{1,2,3\},\qquad B=\{a,b,c\} \]

e la funzione \(q:A\to B\) definita da

\[ q(1)=a,\qquad q(2)=b,\qquad q(3)=c. \]

La funzione \(q\) è iniettiva, perché elementi distinti di \(A\) hanno immagini distinte in \(B\).

Inoltre \(q\) è suriettiva, perché ogni elemento del codominio \(B\) viene raggiunto:

\[ a=q(1),\qquad b=q(2),\qquad c=q(3). \]

Dunque \(q\) è biiettiva.

Questo esempio mostra in modo semplice l'idea di corrispondenza uno a uno: a ogni elemento del dominio corrisponde un elemento diverso del codominio, e ogni elemento del codominio viene raggiunto esattamente una volta.

Esempio 6. Consideriamo la funzione

\[ r:\mathbb R\to(0,+\infty),\qquad r(x)=e^x. \]

La funzione \(r\) è iniettiva, perché la funzione esponenziale è strettamente crescente su \(\mathbb R\).

Inoltre \(r\) è suriettiva sul codominio \((0,+\infty)\). Infatti, se \(y\in(0,+\infty)\), allora \(y>0\) e possiamo scegliere

\[ x=\log y. \]

Si ha \(x\in\mathbb R\) e

\[ r(x)=r(\log y)=e^{\log y}=y. \]

Dunque \(r\) è biiettiva.

La sua funzione inversa è

\[ r^{-1}:(0,+\infty)\to\mathbb R,\qquad r^{-1}(x)=\log x. \]

Anche in questo caso la scelta del codominio è essenziale: se l'esponenziale fosse dichiarata come funzione da \(\mathbb R\) in \(\mathbb R\), non sarebbe suriettiva.

Errori comuni da evitare

Riassumiamo alcuni errori frequenti nello studio delle funzioni iniettive, suriettive e biiettive.

• Confondere iniettività e suriettività. L'iniettività riguarda il fatto che elementi distinti del dominio abbiano immagini distinte; la suriettività riguarda invece il fatto che ogni elemento del codominio venga raggiunto.
• Pensare che la legge determini da sola queste proprietà. La stessa legge può definire funzioni con proprietà diverse se cambiano dominio o codominio.
• Stabilire la suriettività senza guardare il codominio. Una funzione è suriettiva se la sua immagine coincide con il codominio dichiarato, non semplicemente se assume “molti” valori.
• Stabilire l'iniettività guardando solo alcuni valori. Per dimostrare che una funzione è iniettiva bisogna verificare la proprietà per tutti gli elementi del dominio; per dimostrare che non è iniettiva basta invece un solo controesempio.
• Pensare che una funzione biiettiva sia soltanto una funzione invertibile “a livello di formula o legge”. Una funzione è biiettiva quando ogni elemento del codominio è raggiunto da uno e un solo elemento del dominio. Solo in questo caso esiste una funzione inversa definita su tutto il codominio.

Per esempio, una funzione può avere una legge semplice e apparentemente ben nota, ma cambiare completamente comportamento se cambiano dominio o codominio. Per questo motivo non bisogna mai stabilire iniettività, suriettività o biiettività guardando soltanto l'espressione della funzione.

Iniettività, suriettività e biiettività devono essere studiate sulla funzione completa, cioè tenendo conto di dominio, codominio e legge di corrispondenza.

In conclusione, una funzione iniettiva non manda elementi distinti nello stesso valore; una funzione suriettiva raggiunge tutto il codominio; una funzione biiettiva realizza entrambe le condizioni e stabilisce una corrispondenza uno a uno tra dominio e codominio.