Gli esercizi che seguono permettono di consolidare le nozioni fondamentali sulle successioni: definizione, notazione, termine generale, ricorrenza, monotonia, limitatezza, successioni aritmetiche e geometriche, rappresentazione grafica e prime sottosuccessioni.
In ciascun esercizio useremo le definizioni in modo esplicito, così da chiarire non soltanto il risultato finale, ma anche il procedimento corretto da seguire.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Scrivere i primi cinque termini della successione definita da
\[ a_n=2n-1,\qquad n\ge 1. \]
Risultato
I primi cinque termini sono
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Svolgimento
La successione è definita mediante il termine generale
\[ a_n=2n-1. \]
Per trovare i primi cinque termini dobbiamo sostituire a \(n\) i valori \(1,2,3,4,5\).
Per \(n=1\) otteniamo
\[ a_1=2\cdot 1-1=1. \]
Per \(n=2\) otteniamo
\[ a_2=2\cdot 2-1=3. \]
Per \(n=3\) otteniamo
\[ a_3=2\cdot 3-1=5. \]
Analogamente,
\[ a_4=2\cdot 4-1=7, \qquad a_5=2\cdot 5-1=9. \]
Dunque i primi cinque termini della successione sono
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Osserviamo che questi sono i primi numeri naturali dispari. Tuttavia, la successione non è semplicemente l'insieme dei numeri dispari: è una lista ordinata, in cui il primo termine è \(1\), il secondo è \(3\), il terzo è \(5\), e così via.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Determinare i primi quattro termini della successione
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
nei due casi seguenti:
- \(n\ge 0\);
- \(n\ge 1\).
Risultato
Se \(n\ge 0\), i primi quattro termini sono
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14. \]
Se \(n\ge 1\), i primi quattro termini sono
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15. \]
Svolgimento
La formula del termine generale è la stessa in entrambi i casi:
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Cambia però l'indice iniziale della successione.
Se \(n\ge 0\), il primo indice è \(0\). Quindi i primi quattro termini corrispondono a \(n=0,1,2,3\).
Calcoliamo:
\[ a_0=\frac{1}{0+1}=1, \]
\[ a_1=\frac{1}{1+1}=\frac12, \]
\[ a_2=\frac{1}{2+1}=\frac13, \]
\[ a_3=\frac{1}{3+1}=\frac14. \]
Dunque, se \(n\ge 0\), la successione comincia con
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Se invece \(n\ge 1\), il primo indice è \(1\). I primi quattro termini corrispondono allora a \(n=1,2,3,4\).
Calcoliamo:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac13,\qquad a_3=\frac14,\qquad a_4=\frac15. \]
Dunque, se \(n\ge 1\), la successione comincia con
\[ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ldots \]
Questo esercizio mostra che una stessa formula può generare successioni diverse se cambia l'insieme degli indici.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se la formula
\[ a_n=\frac{1}{n-2} \]
definisce una successione reale per ogni \(n\ge 1\). In caso contrario, indicare da quale indice può essere considerata.
Risultato
La formula non definisce una successione reale per ogni \(n\ge 1\), perché per \(n=2\) il denominatore si annulla. Può essere considerata, ad esempio, per \(n\ge 3\).
Svolgimento
Per definire una successione reale, il termine \(a_n\) deve essere un numero reale per ogni indice ammesso.
La formula è
\[ a_n=\frac{1}{n-2}. \]
Il denominatore è
\[ n-2. \]
Tale denominatore si annulla quando
\[ n-2=0. \]
Quindi
\[ n=2. \]
Per \(n=2\) avremmo
\[ a_2=\frac{1}{2-2}=\frac10, \]
che non è definito.
Dunque la formula non definisce una successione reale per tutti gli indici \(n\ge 1\).
Per evitare il problema, possiamo considerare la successione a partire da \(n=3\). In tal caso otteniamo
\[ a_3=1,\qquad a_4=\frac12,\qquad a_5=\frac13,\qquad a_6=\frac14,\ldots \]
Quindi la formula definisce correttamente una successione reale se si pone, ad esempio,
\[ n\ge 3. \]
Esercizio 4 — livello ★★☆☆☆
Data la successione
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \qquad n\ge 1, \]
scrivere i primi quattro termini e riscrivere il termine generale nella forma \(1+\displaystyle \frac1n\).
Risultato
I primi quattro termini sono
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Inoltre
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Svolgimento
Calcoliamo i primi termini sostituendo \(n=1,2,3,4\).
Per \(n=1\),
\[ a_1=\frac{1+1}{1}=2. \]
Per \(n=2\),
\[ a_2=\frac{2+1}{2}=\frac32. \]
Per \(n=3\),
\[ a_3=\frac{3+1}{3}=\frac43. \]
Per \(n=4\),
\[ a_4=\frac{4+1}{4}=\frac54. \]
Dunque i primi quattro termini sono
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54. \]
Ora riscriviamo il termine generale:
\[ \frac{n+1}{n}=\frac{n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Poiché
\[ \frac{n}{n}=1, \]
otteniamo
\[ a_n=1+\frac1n. \]
Questa forma è spesso più significativa della forma iniziale, perché mostra che ogni termine si ottiene aggiungendo a \(1\) la quantità \(\displaystyle \frac1n\).
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione definita per ricorrenza da
\[ a_1=4,\qquad a_{n+1}=a_n+5\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Scrivere i primi cinque termini e trovare una formula esplicita per \(a_n\).
Risultato
I primi cinque termini sono
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
La formula esplicita è
\[ a_n=4+5(n-1). \]
Equivalentemente,
\[ a_n=5n-1. \]
Svolgimento
La successione è definita per ricorrenza. Questo significa che ogni termine si ottiene dal precedente.
Sappiamo che
\[ a_1=4. \]
Inoltre
\[ a_{n+1}=a_n+5. \]
Quindi ogni termine successivo si ottiene aggiungendo \(5\) al termine precedente.
Calcoliamo:
\[ a_2=a_1+5=4+5=9, \]
\[ a_3=a_2+5=9+5=14, \]
\[ a_4=a_3+5=14+5=19, \]
\[ a_5=a_4+5=19+5=24. \]
I primi cinque termini sono dunque
\[ 4,\ 9,\ 14,\ 19,\ 24. \]
Per trovare la formula esplicita, osserviamo che per passare da \(a_1\) ad \(a_n\) aggiungiamo \(5\) esattamente \(n-1\) volte.
Pertanto
\[ a_n=4+5(n-1). \]
Sviluppando,
\[ a_n=4+5n-5=5n-1. \]
Dunque una formula esplicita della successione è
\[ a_n=5n-1. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione definita da
\[ b_1=3,\qquad b_{n+1}=2b_n\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Scrivere i primi cinque termini e riconoscere il tipo di successione.
Risultato
I primi cinque termini sono
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Si tratta di una successione geometrica di primo termine \(3\) e ragione \(2\).
Svolgimento
La successione è definita per ricorrenza:
\[ b_1=3, \qquad b_{n+1}=2b_n. \]
Questo significa che ogni termine successivo si ottiene moltiplicando il termine precedente per \(2\).
Calcoliamo:
\[ b_2=2b_1=2\cdot 3=6, \]
\[ b_3=2b_2=2\cdot 6=12, \]
\[ b_4=2b_3=2\cdot 12=24, \]
\[ b_5=2b_4=2\cdot 24=48. \]
Dunque i primi cinque termini sono
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ 48. \]
Poiché ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando sempre per lo stesso numero, la successione è geometrica.
Il primo termine è
\[ b_1=3, \]
mentre la ragione è
\[ q=2. \]
La formula esplicita è quindi
\[ b_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=7,\qquad n\ge 1, \]
è crescente, decrescente e limitata.
Risultato
La successione è costante. Quindi è crescente e decrescente in senso non stretto. Inoltre è limitata.
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=7\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Questo significa che tutti i suoi termini sono uguali a \(7\):
\[ 7,\ 7,\ 7,\ 7,\ldots \]
Per verificare se è crescente, dobbiamo controllare se
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In questo caso
\[ a_n=7 \qquad \text{e} \qquad a_{n+1}=7. \]
Quindi
\[ a_n=a_{n+1}. \]
In particolare,
\[ a_n\le a_{n+1}. \]
Dunque la successione è crescente in senso non stretto.
Analogamente, poiché
\[ a_n=a_{n+1}, \]
vale anche
\[ a_n\ge a_{n+1}. \]
Quindi la successione è anche decrescente in senso non stretto.
Infine, la successione è limitata, perché tutti i suoi termini coincidono con \(7\). Per esempio, possiamo scrivere
\[ 6\le a_n\le 8\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In realtà, l'insieme dei valori assunti dalla successione è semplicemente
\[ \{7\}. \]
Questo basta per concludere che la successione è limitata: infatti tutti i suoi termini restano sempre uguali a \(7\).
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Dimostrare che la successione
\[ a_n=n^2+1, \qquad n\ge 1, \]
è strettamente crescente.
Risultato
La successione è strettamente crescente.
Svolgimento
Per dimostrare che una successione è strettamente crescente, dobbiamo provare che
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Equivalentemente, possiamo dimostrare che
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Nel nostro caso
\[ a_n=n^2+1. \]
Calcoliamo il termine successivo:
\[ a_{n+1}=(n+1)^2+1. \]
Quindi
\[ a_{n+1}-a_n=\bigl((n+1)^2+1\bigr)-(n^2+1). \]
Sviluppiamo:
\[ (n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=n^2+2n+2. \]
Allora
\[ a_{n+1}-a_n=(n^2+2n+2)-(n^2+1)=2n+1. \]
Poiché \(n\ge 1\), abbiamo
\[ 2n+1>0. \]
Pertanto
\[ a_{n+1}-a_n>0\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Di conseguenza
\[ a_n<a_{n+1}\quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
e la successione è strettamente crescente.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Dimostrare che la successione
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1, \]
è strettamente decrescente.
Risultato
La successione è strettamente decrescente.
Svolgimento
Per dimostrare che una successione è strettamente decrescente, dobbiamo provare che
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Nel nostro caso
\[ a_n=\frac1n. \]
Il termine successivo è
\[ a_{n+1}=\frac{1}{n+1}. \]
Poiché
\[ n+1>n \]
e poiché \(n\) e \(n+1\) sono positivi, passando ai reciproci il verso della disuguaglianza si inverte:
\[ \frac{1}{n+1}<\frac1n. \]
Cioè
\[ a_{n+1}<a_n\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Dunque la successione
\[ \left(\frac1n\right)_{n\ge 1} \]
è strettamente decrescente.
Questo esempio è importante perché mostra che una successione decrescente non deve necessariamente diventare negativa: infatti tutti i termini della successione sono positivi.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1, \]
è crescente, decrescente oppure monotona.
Risultato
La successione non è né crescente né decrescente. Di conseguenza non è monotona.
Svolgimento
Calcoliamo i primi termini della successione:
\[ a_1=(-1)^1=-1, \]
\[ a_2=(-1)^2=1, \]
\[ a_3=(-1)^3=-1, \]
\[ a_4=(-1)^4=1. \]
Dunque la successione è
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Per essere crescente dovrebbe valere
\[ a_n\le a_{n+1}\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Tuttavia, per \(n=2\) abbiamo
\[ a_2=1 \qquad \text{e} \qquad a_3=-1. \]
Quindi
\[ a_2>a_3. \]
Questo basta per concludere che la successione non è crescente.
Per essere decrescente dovrebbe valere
\[ a_n\ge a_{n+1}\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Tuttavia, per \(n=1\) abbiamo
\[ a_1=-1 \qquad \text{e} \qquad a_2=1. \]
Quindi
\[ a_1<a_2. \]
Questo basta per concludere che la successione non è decrescente.
Poiché una successione monotona è una successione crescente oppure decrescente, la successione data non è monotona.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Studiare la limitatezza della successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Determinare un minorante, un maggiorante, l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme dei valori assunti.
Risultato
La successione è limitata. Si ha
\[ 0<a_n<1\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Un minorante è \(0\), un maggiorante è \(1\). Inoltre
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12, \qquad \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Svolgimento
Consideriamo la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Poiché \(n\ge 1\), sia \(n\) sia \(n+1\) sono positivi. Quindi
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Dunque \(0\) è un minorante della successione.
Inoltre, poiché
\[ n<n+1, \]
dividendo per \(n+1>0\) otteniamo
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Dunque \(1\) è un maggiorante della successione.
Abbiamo quindi
\[ 0<a_n<1\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In particolare, la successione è limitata.
Ora determiniamo l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme dei valori assunti.
Calcoliamo i primi termini:
\[ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34,\qquad a_4=\frac45. \]
La successione è crescente, perché
\[ a_n=1-\frac{1}{n+1}. \]
Al crescere di \(n\), la quantità \(\frac{1}{n+1}\) diminuisce; quindi \(1-\frac{1}{n+1}\) aumenta.
Il primo termine è
\[ a_1=\frac12. \]
Poiché la successione è crescente, il valore più piccolo assunto è \(\displaystyle \frac12\). Pertanto
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}=\frac12. \]
D'altra parte, tutti i termini sono minori di \(1\), ma diventano sempre più vicini a \(1\). Quindi \(1\) è il più piccolo tra tutti i maggioranti.
Pertanto
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=1. \]
Osserviamo che l'estremo superiore non è un termine della successione, perché non esiste alcun \(n\ge 1\) tale che
\[ \frac{n}{n+1}=1. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Dimostrare che la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\ge 1, \]
è limitata.
Risultato
La successione è limitata. Infatti
\[ |a_n|\le 1\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Svolgimento
Per dimostrare che una successione è limitata, possiamo usare il criterio mediante il valore assoluto.
Una successione \((a_n)\) è limitata se esiste un numero reale \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Nel nostro caso
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Calcoliamo il valore assoluto:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|. \]
Poiché
\[ |(-1)^n|=1 \]
per ogni \(n\ge 1\), otteniamo
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Poiché \(n\ge 1\), si ha
\[ \frac1n\le 1. \]
Dunque
\[ |a_n|\le 1\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Scegliendo \(K=1\), concludiamo che la successione è limitata.
I primi termini sono
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Essi cambiano segno, ma restano tutti compresi tra \(-1\) e \(1\).
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire se la successione
\[ a_n=n^2-3n, \qquad n\ge 1, \]
è limitata superiormente, limitata inferiormente oppure limitata.
Risultato
La successione è limitata inferiormente, ma non è limitata superiormente. Di conseguenza non è limitata.
Svolgimento
Consideriamo
\[ a_n=n^2-3n. \]
Calcoliamo alcuni termini:
\[ a_1=1-3=-2, \]
\[ a_2=4-6=-2, \]
\[ a_3=9-9=0, \]
\[ a_4=16-12=4. \]
I termini iniziano quindi così:
\[ -2,\ -2,\ 0,\ 4,\ldots \]
Per studiare la limitatezza, riscriviamo il termine generale completando il quadrato:
\[ n^2-3n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94. \]
Poiché un quadrato è sempre non negativo, abbiamo
\[ \left(n-\frac32\right)^2\ge 0. \]
Quindi
\[ a_n=\left(n-\frac32\right)^2-\frac94\ge -\frac94. \]
Questo mostra che la successione è limitata inferiormente.
In realtà, poiché \(n\) è naturale, il valore più piccolo assunto è \(-2\), ottenuto per \(n=1\) e \(n=2\). Infatti
\[ a_1=a_2=-2. \]
Ora chiediamoci se la successione è limitata superiormente.
Per valori grandi di \(n\), il termine dominante è \(n^2\). Il termine \(-3n\) cresce in valore assoluto molto più lentamente rispetto a \(n^2\).
Possiamo renderlo rigoroso osservando che, per \(n\ge 6\), si ha
\[ 3n\le \frac{n^2}{2}. \]
Infatti questa disuguaglianza equivale a
\[ 6n\le n^2, \]
cioè
\[ 6\le n. \]
Dunque, per \(n\ge 6\),
\[ a_n=n^2-3n\ge n^2-\frac{n^2}{2}=\frac{n^2}{2}. \]
La quantità \(\displaystyle \frac{n^2}{2}\) supera qualunque numero reale fissato, scegliendo \(n\) abbastanza grande.
Pertanto la successione non è limitata superiormente.
Concludiamo che la successione è limitata inferiormente, ma non superiormente. Quindi non è limitata.
Esercizio 14 — livello ★★☆☆☆
Verificare che la successione
\[ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ldots \]
è aritmetica e determinarne il termine generale.
Risultato
La successione è aritmetica di primo termine \(a_1=5\) e ragione \(d=3\). Il termine generale è
\[ a_n=5+3(n-1). \]
Equivalentemente,
\[ a_n=3n+2. \]
Svolgimento
Una successione è aritmetica se la differenza tra due termini consecutivi è costante.
Calcoliamo le differenze:
\[ 8-5=3, \]
\[ 11-8=3, \]
\[ 14-11=3. \]
La differenza tra termini consecutivi è sempre \(3\). Quindi la successione è aritmetica.
Il primo termine è
\[ a_1=5, \]
e la ragione è
\[ d=3. \]
Il termine generale di una successione aritmetica è
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Sostituendo \(a_1=5\) e \(d=3\), otteniamo
\[ a_n=5+3(n-1). \]
Sviluppando,
\[ a_n=5+3n-3=3n+2. \]
Dunque
\[ a_n=3n+2. \]
Esercizio 15 — livello ★★☆☆☆
Verificare che la successione
\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ldots \]
è geometrica e determinarne il termine generale.
Risultato
La successione è geometrica di primo termine \(a_1=2\) e ragione \(q=3\). Il termine generale è
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Svolgimento
Una successione è geometrica se ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando sempre per lo stesso numero.
Calcoliamo i rapporti tra termini consecutivi:
\[ \frac62=3, \]
\[ \frac{18}{6}=3, \]
\[ \frac{54}{18}=3. \]
Il rapporto è costante ed è uguale a \(3\). Quindi la successione è geometrica.
Il primo termine è
\[ a_1=2, \]
e la ragione è
\[ q=3. \]
Il termine generale di una successione geometrica è
\[ a_n=a_1q^{n-1}. \]
Sostituendo \(a_1=2\) e \(q=3\), otteniamo
\[ a_n=2\cdot 3^{n-1}. \]
Verifichiamo sui primi termini:
\[ a_1=2\cdot 3^0=2, \]
\[ a_2=2\cdot 3^1=6, \]
\[ a_3=2\cdot 3^2=18. \]
La formula è quindi coerente con i termini dati.
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Studiare il segno della successione
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}, \qquad n\ge 1. \]
Stabilire se è positiva, negativa oppure di segno alterno.
Risultato
La successione è di segno alterno. I termini con indice dispari sono positivi, mentre i termini con indice pari sono negativi.
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n}{n+1}. \]
Il fattore
\[ \frac{n}{n+1} \]
è sempre positivo, perché \(n\ge 1\) e \(n+1>0\). Quindi il segno di \(a_n\) dipende soltanto dal fattore
\[ (-1)^{n+1}. \]
Se \(n\) è dispari, allora \(n+1\) è pari. Pertanto
\[ (-1)^{n+1}=1. \]
In questo caso
\[ a_n=\frac{n}{n+1}>0. \]
Se invece \(n\) è pari, allora \(n+1\) è dispari. Pertanto
\[ (-1)^{n+1}=-1. \]
In questo caso
\[ a_n=-\frac{n}{n+1}<0. \]
Calcoliamo i primi termini:
\[ a_1=\frac12, \]
\[ a_2=-\frac23, \]
\[ a_3=\frac34, \]
\[ a_4=-\frac45. \]
Quindi la successione è
\[ \frac12,\ -\frac23,\ \frac34,\ -\frac45,\ldots \]
I termini cambiano segno a ogni passo. Di conseguenza la successione è di segno alterno.
Esercizio 17 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione
\[ a_n=\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Indicare quali punti compaiono nella sua rappresentazione grafica e spiegare perché il grafico di una successione non è una curva continua.
Risultato
I primi punti del grafico sono
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Il grafico non è una curva continua perché la successione è definita soltanto per valori naturali dell'indice.
Svolgimento
Una successione reale è una funzione definita sui numeri naturali.
Nel nostro caso
\[ a_n=\frac1n. \]
Per rappresentarla graficamente, associamo a ogni indice \(n\) il punto del piano
\[ (n,a_n). \]
Per \(n=1\) otteniamo
\[ a_1=1, \]
quindi il primo punto è
\[ (1,1). \]
Per \(n=2\) otteniamo
\[ a_2=\frac12, \]
quindi il secondo punto è
\[ \left(2,\frac12\right). \]
Per \(n=3\) otteniamo
\[ a_3=\frac13, \]
quindi il terzo punto è
\[ \left(3,\frac13\right). \]
Analogamente, per \(n=4\) otteniamo
\[ \left(4,\frac14\right). \]
Dunque i primi punti del grafico sono
\[ \left(1,1\right),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Il grafico di una successione non è una curva continua, perché l'indice \(n\) non assume tutti i valori reali, ma soltanto valori naturali.
Quindi tra il punto corrispondente a \(n=1\) e quello corrispondente a \(n=2\) non ci sono punti della successione. La rappresentazione grafica è formata da punti isolati, non da una linea continua.
Esercizio 18 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ a_n=(-1)^n, \qquad n\ge 1. \]
Scrivere la sottosuccessione formata dai termini di indice pari e la sottosuccessione formata dai termini di indice dispari.
Risultato
La sottosuccessione degli indici pari è
\[ a_{2k}=1,\qquad k\ge 1. \]
La sottosuccessione degli indici dispari è
\[ a_{2k-1}=-1,\qquad k\ge 1. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=(-1)^n. \]
I suoi primi termini sono
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Consideriamo prima gli indici pari. Un indice pari può essere scritto nella forma
\[ n=2k, \qquad k\ge 1. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}. \]
Poiché \(2k\) è pari, si ha
\[ (-1)^{2k}=1. \]
Quindi
\[ a_{2k}=1\quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
La sottosuccessione degli indici pari è dunque
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Consideriamo ora gli indici dispari. Un indice dispari può essere scritto nella forma
\[ n=2k-1, \qquad k\ge 1. \]
La sottosuccessione corrispondente è
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}. \]
Poiché \(2k-1\) è dispari, si ha
\[ (-1)^{2k-1}=-1. \]
Quindi
\[ a_{2k-1}=-1\quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
La sottosuccessione degli indici dispari è dunque
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Questo esercizio mostra che una successione non costante può contenere sottosuccessioni costanti.
Esercizio 19 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ a_n=n, \qquad n\ge 1. \]
Stabilire se la lista
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
può essere una sottosuccessione. Stabilire poi se la lista
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
può essere una sottosuccessione.
Risultato
La prima lista può essere una sottosuccessione, perché gli indici sono strettamente crescenti. La seconda lista non può essere una sottosuccessione, perché gli indici non sono strettamente crescenti.
Svolgimento
Una sottosuccessione di \((a_n)\) si ottiene scegliendo una successione di indici naturali strettamente crescente
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
La sottosuccessione è allora
\[ a_{n_1},\ a_{n_2},\ a_{n_3},\ldots \]
Consideriamo la prima lista:
\[ a_3,\ a_5,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Gli indici sono
\[ 3,\ 5,\ 8,\ 10,\ldots \]
Essi sono strettamente crescenti, perché
\[ 3<5<8<10<\cdots. \]
Quindi questa lista può essere una sottosuccessione.
Consideriamo ora la seconda lista:
\[ a_5,\ a_3,\ a_8,\ a_{10},\ldots \]
Gli indici sono
\[ 5,\ 3,\ 8,\ 10,\ldots \]
Questa sequenza di indici non è strettamente crescente, perché
\[ 5>3. \]
Dunque la seconda lista non può essere una sottosuccessione.
Il punto fondamentale è che una sottosuccessione può saltare alcuni termini della successione originaria, ma non può cambiare l'ordine con cui i termini compaiono.
Esercizio 20 — livello ★★★★☆
Considerare la successione
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n, \qquad n\ge 1. \]
Scrivere i primi sei termini, stabilire se la successione è monotona e mostrare che è limitata.
Risultato
I primi sei termini sono
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
La successione non è monotona. Inoltre è limitata, perché
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Svolgimento
La successione è
\[ a_n=(-1)^n+\frac1n. \]
Calcoliamo i primi sei termini.
Per \(n=1\),
\[ a_1=(-1)^1+\frac11=-1+1=0. \]
Per \(n=2\),
\[ a_2=(-1)^2+\frac12=1+\frac12=\frac32. \]
Per \(n=3\),
\[ a_3=(-1)^3+\frac13=-1+\frac13=-\frac23. \]
Per \(n=4\),
\[ a_4=(-1)^4+\frac14=1+\frac14=\frac54. \]
Per \(n=5\),
\[ a_5=(-1)^5+\frac15=-1+\frac15=-\frac45. \]
Per \(n=6\),
\[ a_6=(-1)^6+\frac16=1+\frac16=\frac76. \]
Dunque i primi sei termini sono
\[ 0,\ \frac32,\ -\frac23,\ \frac54,\ -\frac45,\ \frac76. \]
Studiamo ora la monotonia. Osserviamo che
\[ a_1=0 \qquad \text{e} \qquad a_2=\frac32. \]
Quindi
\[ a_1<a_2. \]
Tuttavia
\[ a_2=\frac32 \qquad \text{e} \qquad a_3=-\frac23. \]
Quindi
\[ a_2>a_3. \]
La successione prima aumenta e poi diminuisce. Pertanto non è crescente.
Inoltre, poiché \(a_1<a_2\), non è nemmeno decrescente.
Di conseguenza la successione non è monotona.
Dimostriamo infine che è limitata.
Sappiamo che
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
per ogni \(n\ge 1\). Inoltre
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Sommando queste informazioni, otteniamo da un lato
\[ (-1)^n+\frac1n\ge -1+0=-1. \]
Dall'altro lato,
\[ (-1)^n+\frac1n\le 1+1=2. \]
Quindi
\[ -1\le a_n\le 2\quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Questo dimostra che la successione è limitata.
L'esercizio è istruttivo perché mostra una successione limitata ma non monotona: limitatezza e monotonia sono proprietà diverse e indipendenti.