Le successioni permettono di studiare, in forma ordinata e rigorosa, il comportamento di quantità che dipendono da un indice naturale.
In termini intuitivi, una successione è una lista infinita di numeri:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Tuttavia, in matematica, una successione non è soltanto una lista scritta in ordine. È una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali, cioè una legge che associa a ogni indice naturale \(n\) un numero reale \(a_n\).
Questa osservazione è essenziale: studiare una successione significa studiare come varia il termine \(a_n\) al crescere di \(n\), e soprattutto capire se i suoi termini si avvicinano a un certo valore, se restano limitati, se oscillano, se crescono indefinitamente oppure se non presentano alcun comportamento regolare.
Le successioni sono alla base di concetti centrali dell'analisi, come il limite, la convergenza, la divergenza, la completezza dei numeri reali, le serie numeriche e molte proprietà fondamentali delle funzioni.
Nelle sezioni che seguono introdurremo le successioni in modo rigoroso, partendo dalla definizione formale e arrivando alle principali proprietà ed esempi. L'obiettivo è costruire una base solida per lo studio successivo dei limiti di successione e dei risultati fondamentali dell'analisi matematica.
Indice
- Definizione di successione
- Notazione di una successione
- Termine generale di una successione
- Successioni definite esplicitamente
- Successioni definite per ricorrenza
- Esempi fondamentali di successioni
- Successioni costanti
- Successioni crescenti e decrescenti
- Successioni monotone
- Successioni limitate superiormente e inferiormente
- Successioni limitate
- Successioni positive, negative e di segno alterno
- Successioni aritmetiche
- Successioni geometriche
- Rappresentazione grafica di una successione
- Differenza tra successione e funzione reale di variabile reale
- Sottosuccessioni
- Prime proprietà delle successioni
- Errori comuni sulle successioni
Definizione di successione
Una successione è una funzione definita sull'insieme dei numeri naturali.
Più precisamente, una successione reale è una funzione
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Questo significa che a ogni numero naturale \(n\in\mathbb N\) la funzione \(a\) associa uno e un solo numero reale, indicato con
\[ a(n). \]
Nello studio delle successioni, però, si usa quasi sempre la notazione con indice. Invece di scrivere \(a(n)\), si scrive
\[ a_n. \]
Il numero \(a_n\) si chiama termine \(n\)-esimo della successione.
Dunque una successione reale può essere vista come una lista infinita e ordinata di numeri reali:
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots \]
Bisogna però fare attenzione: questa lista non è un semplice insieme di numeri. L'ordine dei termini è parte essenziale della successione.
Per esempio, le due successioni
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
e
\[ 2,\ 1,\ 4,\ 3,\ldots \]
non sono la stessa successione, anche se possono contenere gli stessi valori. Infatti il primo termine della prima successione è \(1\), mentre il primo termine della seconda successione è \(2\).
In generale, quindi, una successione non è determinata soltanto dai valori che assume, ma anche dal modo in cui tali valori sono associati agli indici naturali.
Se \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) è una successione, essa viene spesso indicata con una delle seguenti notazioni:
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \qquad (a_n), \qquad \{a_n\}_{n\in\mathbb N}. \]
Noi useremo principalmente la notazione
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Questa notazione mette in evidenza che la successione è l'intero oggetto formato da tutti i termini \(a_n\), al variare di \(n\) nei numeri naturali.
È importante distinguere tra la successione e il suo termine generale. La successione è l'intera funzione
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}, \]
mentre \(a_n\) è soltanto il termine che corrisponde all'indice \(n\).
Per esempio, se
\[ a_n=\frac1n, \]
allora la successione è
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
e il termine generale è
\[ a_n=\frac1n. \]
In conclusione, una successione reale è una funzione che associa a ogni indice naturale un numero reale. La scrittura con indici permette di studiare il comportamento dei termini al crescere di \(n\), che è il punto di partenza per la teoria dei limiti di successione.
Notazione di una successione
Dopo aver definito una successione come una funzione sui numeri naturali, è importante fissare alcune convenzioni di notazione.
Una successione viene di solito indicata con
\[ (a_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Questa scrittura significa che stiamo considerando tutti i termini \(a_n\), al variare dell'indice \(n\) nell'insieme \(\mathbb N\).
In molti testi, però, l'insieme dei numeri naturali può essere definito in due modi diversi:
\[ \mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\} \]
oppure
\[ \mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}. \]
Per questo motivo, quando si lavora con le successioni, è spesso necessario specificare da quale indice parte la successione.
Se la successione parte da \(0\), si scrive
\[ (a_n)_{n\ge 0}. \]
In questo caso i termini sono
\[ a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Se invece la successione parte da \(1\), si scrive
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
In questo caso i termini sono
\[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ldots \]
Le due convenzioni sono entrambe corrette. La scelta dell'indice iniziale non cambia la natura della successione, ma può cambiare la scrittura dei suoi termini.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
non può essere considerata per \(n=0\), perché \(\displaystyle \frac{1}{0}\) non è definito. In questo caso è naturale scrivere
\[ (a_n)_{n\ge 1}. \]
Invece la successione
\[ b_n=\frac{1}{n+1} \]
può essere considerata per \(n\ge 0\). In tal caso si ottiene
\[ b_0=1,\qquad b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac13,\qquad b_3=\frac14,\ldots \]
Le due successioni
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad (b_n)_{n\ge 0} \]
hanno gli stessi valori nello stesso ordine, ma sono indicizzate in modo diverso.
In generale, quando non ci sono ambiguità, si può scrivere semplicemente
\[ (a_n). \]
Tuttavia, nelle definizioni e nelle dimostrazioni, indicare chiaramente l'insieme degli indici evita errori e ambiguità.
Noi useremo principalmente successioni indicizzate da \(n\ge 1\), salvo diversa indicazione.
Termine generale di una successione
Il termine generale di una successione è l'espressione che descrive il termine \(a_n\) in funzione dell'indice \(n\).
Per esempio, se
\[ a_n=\frac{n+1}{n}, \]
allora il termine generale della successione è
\[ \frac{n+1}{n}. \]
Sostituendo a \(n\) i valori \(1,2,3,4,\ldots\), si ottengono i termini della successione:
\[ a_1=2,\qquad a_2=\frac32,\qquad a_3=\frac43,\qquad a_4=\frac54,\ldots \]
Quindi la successione è
\[ 2,\ \frac32,\ \frac43,\ \frac54,\ldots \]
Il termine generale permette di calcolare qualsiasi termine della successione, purché l'indice considerato appartenga all'insieme degli indici su cui la successione è definita.
Questa precisazione è importante. Non basta scrivere una formula: bisogna anche stabilire per quali valori di \(n\) tale formula ha significato.
Per esempio, l'espressione
\[ a_n=\frac{1}{n-3} \]
non definisce una successione per tutti gli indici \(n\ge 1\), perché per \(n=3\) il denominatore si annulla.
Per ottenere una successione reale, si deve quindi restringere l'insieme degli indici, per esempio ponendo
\[ n\ge 4. \]
In tal caso si ottiene la successione
\[ a_4=1,\qquad a_5=\frac12,\qquad a_6=\frac13,\qquad a_7=\frac14,\ldots \]
Un errore frequente consiste nel confondere il termine generale con la successione stessa. Il termine generale \(a_n\) è un singolo termine variabile con \(n\); la successione \((a_n)\), invece, è l'intero oggetto formato da tutti i termini.
Per esempio, nella successione
\[ a_n=n^2+1, \]
il termine generale è \(n^2+1\), mentre i primi termini sono
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ldots \]
Conoscere il termine generale è spesso il modo più semplice per studiare le proprietà della successione: monotonia, limitatezza, segno dei termini e comportamento per valori grandi dell'indice.
Successioni definite esplicitamente
Una successione è detta definita esplicitamente quando il suo termine generale è dato direttamente mediante una formula in funzione dell'indice \(n\).
In altre parole, una successione è definita esplicitamente quando possiamo scrivere
\[ a_n=f(n), \]
dove \(f\) è una certa espressione che dipende da \(n\).
Per esempio, la successione
\[ a_n=2n+1 \]
è definita esplicitamente. Infatti, sostituendo a \(n\) i valori \(1,2,3,\ldots\), otteniamo direttamente i suoi termini:
\[ a_1=3,\qquad a_2=5,\qquad a_3=7,\qquad a_4=9,\ldots \]
Quindi la successione è
\[ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ldots \]
Anche la successione
\[ b_n=\frac{n}{n+1} \]
è definita esplicitamente. I suoi primi termini sono
\[ b_1=\frac12,\qquad b_2=\frac23,\qquad b_3=\frac34,\qquad b_4=\frac45,\ldots \]
In questo caso la formula consente di calcolare immediatamente qualsiasi termine della successione.
Per esempio, il centesimo termine è
\[ b_{100}=\frac{100}{101}. \]
Questa è una caratteristica importante delle successioni definite esplicitamente: per trovare un termine non è necessario conoscere i termini precedenti.
Consideriamo ora la successione
\[ c_n=(-1)^n. \]
Se \(n\ge 1\), i primi termini sono
\[ c_1=-1,\qquad c_2=1,\qquad c_3=-1,\qquad c_4=1,\ldots \]
Dunque la successione è
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Questo esempio mostra che una formula esplicita può descrivere anche successioni non crescenti e non decrescenti, ma oscillanti.
In generale, le successioni definite esplicitamente sono particolarmente comode perché permettono di studiare le proprietà della successione direttamente a partire dalla formula del termine generale.
Per esempio, dalla formula
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
si vede che i termini sono positivi e diventano sempre più piccoli al crescere di \(n\):
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Invece, dalla formula
\[ a_n=n^2 \]
si vede che i termini crescono indefinitamente:
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
Bisogna però ricordare che una formula esplicita definisce una successione reale solo se essa ha significato per tutti gli indici considerati.
Per esempio, la formula
\[ a_n=\sqrt{n-5} \]
non definisce una successione reale per tutti gli indici \(n\ge 1\), perché per \(n=1,2,3,4\) la quantità \(n-5\) è negativa.
Per ottenere una successione reale, possiamo considerarla a partire da \(n=5\):
\[ (a_n)_{n\ge 5}, \qquad a_n=\sqrt{n-5}. \]
In questo modo tutti i termini sono numeri reali:
\[ a_5=0,\qquad a_6=1,\qquad a_7=\sqrt2,\qquad a_8=\sqrt3,\ldots \]
Quindi, quando una successione è definita esplicitamente, bisogna sempre controllare due aspetti:
- la formula del termine generale;
- l'insieme degli indici per cui la formula è definita.
Una volta fissati questi due elementi, la successione è determinata in modo completo.
Successioni definite per ricorrenza
Una successione è detta definita per ricorrenza quando i suoi termini non sono dati direttamente da una formula esplicita in funzione di \(n\), ma vengono determinati a partire da uno o più termini precedenti.
In questo caso, per definire la successione, non basta indicare una relazione tra i termini: bisogna anche specificare almeno un termine iniziale.
Per esempio, consideriamo la successione definita da
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Il primo termine è \(a_1=2\). La relazione di ricorrenza dice che ogni termine successivo si ottiene aggiungendo \(3\) al termine precedente.
Otteniamo quindi
\[ a_2=a_1+3=5, \]
\[ a_3=a_2+3=8, \]
\[ a_4=a_3+3=11. \]
Dunque la successione è
\[ 2,\ 5,\ 8,\ 11,\ldots \]
In una successione definita per ricorrenza, per calcolare un termine è spesso necessario conoscere i termini che lo precedono.
Consideriamo un secondo esempio:
\[ b_1=1, \qquad b_{n+1}=2b_n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In questo caso ogni termine successivo si ottiene moltiplicando per \(2\) il termine precedente:
\[ b_2=2b_1=2, \]
\[ b_3=2b_2=4, \]
\[ b_4=2b_3=8. \]
Quindi la successione è
\[ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ldots \]
Una relazione di ricorrenza può dipendere anche da più termini precedenti. Un esempio fondamentale è la successione di Fibonacci:
\[ F_1=1,\qquad F_2=1, \]
\[ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In questo caso ogni termine, a partire dal terzo, è la somma dei due termini precedenti.
Infatti:
\[ F_3=F_2+F_1=2, \]
\[ F_4=F_3+F_2=3, \]
\[ F_5=F_4+F_3=5, \]
\[ F_6=F_5+F_4=8. \]
I primi termini sono quindi
\[ 1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ldots \]
Questo esempio mostra che, quando la relazione di ricorrenza coinvolge due termini precedenti, occorre specificare due termini iniziali. Più in generale, una ricorrenza che dipende da \(k\) termini precedenti richiede \(k\) condizioni iniziali.
È importante osservare che una definizione ricorsiva non è automaticamente equivalente a una formula esplicita semplice. A volte è possibile trovare una formula chiusa per \(a_n\), altre volte la descrizione ricorsiva è il modo più naturale per definire la successione.
Per esempio, la successione
\[ a_1=2, \qquad a_{n+1}=a_n+3 \]
può essere descritta anche esplicitamente come
\[ a_n=2+3(n-1). \]
Infatti, partendo da \(2\), si aggiunge \(3\) per passare da un termine al successivo; dopo \(n-1\) passaggi, si è aggiunto \(3\) esattamente \(n-1\) volte.
In conclusione, una successione definita per ricorrenza è determinata da:
- uno o più termini iniziali;
- una regola che permette di costruire i termini successivi.
Senza le condizioni iniziali, la relazione di ricorrenza non determina una successione unica.
Esempi fondamentali di successioni
Dopo aver introdotto le successioni definite esplicitamente e quelle definite per ricorrenza, è utile esaminare alcuni esempi fondamentali. Questi esempi ricorrono spesso nello studio dell'analisi matematica e aiutano a riconoscere i comportamenti più comuni delle successioni.
Successione dei numeri naturali
La successione
\[ a_n=n \]
ha come termini
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
È una successione crescente e i suoi termini diventano arbitrariamente grandi al crescere di \(n\).
Successione dei reciproci
La successione
\[ a_n=\frac1n \]
ha come termini
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
I suoi termini sono positivi e diventano sempre più piccoli. Questa successione è uno degli esempi fondamentali di successione che si avvicina a \(0\).
Successione dei quadrati
La successione
\[ a_n=n^2 \]
ha come termini
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ldots \]
È una successione crescente e i suoi termini crescono più rapidamente rispetto alla successione \(a_n=n\).
Successione alternante
La successione
\[ a_n=(-1)^n \]
ha come termini, per \(n\ge 1\),
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
I termini non si avvicinano a un unico valore, ma oscillano continuamente tra \(-1\) e \(1\).
Successione armonica
La successione
\[ a_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n \]
è la successione delle somme parziali della serie armonica.
I primi termini sono
\[ a_1=1, \qquad a_2=1+\frac12=\frac32, \]
\[ a_3=1+\frac12+\frac13=\frac{11}{6}, \qquad a_4=1+\frac12+\frac13+\frac14=\frac{25}{12}. \]
Questa successione è crescente. Anche se i singoli addendi \(\frac1n\) diventano sempre più piccoli, le somme parziali continuano ad aumentare.
Successione geometrica elementare
La successione
\[ a_n=2^n \]
ha come termini, per \(n\ge 1\),
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
Ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando per \(2\). Per questo motivo è un esempio di successione geometrica.
Successione geometrica decrescente
La successione
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n \]
ha come termini, per \(n\ge 1\),
\[ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
Ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando per \(\frac12\). I termini sono positivi e si avvicinano progressivamente a \(0\).
Successione definita da un rapporto
La successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
ha come termini
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
I termini sono tutti minori di \(1\), ma diventano sempre più vicini a \(1\).
Infatti possiamo scrivere
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Questa forma mostra chiaramente che la distanza tra \(a_n\) e \(1\) è uguale a \(\displaystyle \frac{1}{n+1}\), che diventa sempre più piccola al crescere di \(n\).
Successione con segno alterno e ampiezza decrescente
La successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
ha come termini
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
I termini cambiano segno a ogni passo, ma la loro ampiezza diventa sempre più piccola.
In particolare, i termini positivi e negativi si avvicinano entrambi a \(0\).
Questi esempi mostrano che le successioni possono avere comportamenti molto diversi: possono crescere, decrescere, oscillare, restare limitate, avvicinarsi a un numero oppure diventare arbitrariamente grandi.
Successioni costanti
Una successione è detta costante se tutti i suoi termini sono uguali a uno stesso numero reale.
Più precisamente, una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) è costante se esiste un numero reale \(c\) tale che
\[ a_n=c \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In questo caso la successione è
\[ c,\ c,\ c,\ c,\ldots \]
Per esempio, la successione definita da
\[ a_n=5 \quad \text{per ogni } n\ge 1 \]
è costante, perché ogni suo termine è uguale a \(5\):
\[ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ldots \]
Anche la successione
\[ b_n=-2 \quad \text{per ogni } n\ge 1 \]
è costante:
\[ -2,\ -2,\ -2,\ -2,\ldots \]
Le successioni costanti sono gli esempi più semplici di successioni. Non crescono, non decrescono in senso stretto e non oscillano: tutti i termini coincidono.
Dal punto di vista della monotonia, una successione costante è sia crescente sia decrescente, se si usano le definizioni non strette:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
e
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Infatti, se \(a_n=c\) per ogni \(n\), allora
\[ a_n=a_{n+1}=c. \]
Dunque valgono contemporaneamente sia \(a_n\le a_{n+1}\) sia \(a_n\ge a_{n+1}\).
Una successione costante è anche limitata. Infatti, se \(a_n=c\) per ogni \(n\), allora tutti i suoi termini coincidono con \(c\), quindi sono certamente compresi, per esempio, tra \(c-1\) e \(c+1\):
\[ c-1\le a_n\le c+1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In realtà, il più piccolo maggiorante dell'insieme dei valori assunti dalla successione è \(c\), e anche il più grande minorante è \(c\). Infatti l'insieme dei valori assunti è semplicemente
\[ \{c\}. \]
Quindi
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}=c, \qquad \inf\{a_n:n\ge 1\}=c. \]
Le successioni costanti sono importanti anche perché rappresentano il modello più semplice di successione che resta sempre uguale a un valore fissato.
Successioni crescenti e decrescenti
Una successione può essere studiata confrontando ogni termine con il termine successivo. Questo permette di capire se i termini aumentano, diminuiscono oppure non seguono un andamento regolare.
Una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) si dice crescente se
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In altre parole, ogni termine è minore o uguale del termine successivo.
Si dice invece strettamente crescente se
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In questo caso ogni termine è strettamente minore del termine successivo.
Per esempio, la successione
\[ a_n=n \]
è strettamente crescente, perché
\[ a_{n+1}=n+1>n=a_n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Quindi i suoi termini sono
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
e aumentano a ogni passo.
Una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) si dice decrescente se
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In altre parole, ogni termine è maggiore o uguale del termine successivo.
Si dice invece strettamente decrescente se
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Per esempio, la successione
\[ b_n=\frac1n \]
è strettamente decrescente, perché
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+1}<\frac1n=b_n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Infatti i suoi termini sono
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
e diventano sempre più piccoli.
Non tutte le successioni sono crescenti o decrescenti. Per esempio, la successione
\[ c_n=(-1)^n \]
ha termini
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
e quindi non è né crescente né decrescente.
Infatti da \(c_1=-1\) a \(c_2=1\) la successione aumenta, mentre da \(c_2=1\) a \(c_3=-1\) diminuisce.
Per verificare se una successione è crescente o decrescente, un metodo molto usato consiste nello studiare il segno della differenza
\[ a_{n+1}-a_n. \]
Se
\[ a_{n+1}-a_n\ge 0 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
allora la successione è crescente.
Se invece
\[ a_{n+1}-a_n\le 0 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
allora la successione è decrescente.
Per esempio, consideriamo
\[ a_n=n^2. \]
Calcoliamo:
\[ a_{n+1}-a_n=(n+1)^2-n^2. \]
Sviluppando,
\[ (n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1. \]
Poiché
\[ 2n+1>0 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
la successione \((n^2)_{n\ge 1}\) è strettamente crescente.
Un altro metodo, utile quando i termini sono positivi, consiste nello studiare il rapporto
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Se \(a_n>0\) per ogni \(n\) e
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
allora la successione è crescente.
Se invece \(a_n>0\) per ogni \(n\) e
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
allora la successione è decrescente.
Per esempio, consideriamo
\[ a_n=\left(\frac12\right)^n. \]
Poiché \(a_n>0\) per ogni \(n\ge 1\), possiamo studiare il rapporto:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{\left(\frac12\right)^n} = \frac12. \]
Siccome
\[ \frac12<1, \]
la successione è strettamente decrescente.
È importante ricordare che una successione crescente non deve necessariamente crescere in modo illimitato. Per esempio,
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
è crescente, ma tutti i suoi termini sono minori di \(1\):
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Analogamente, una successione decrescente non deve necessariamente diventare arbitrariamente negativa. Per esempio,
\[ b_n=\frac1n \]
è decrescente, ma tutti i suoi termini sono positivi.
Successioni monotone
Una successione si dice monotona se mantiene sempre lo stesso verso di variazione: oppure non diminuisce mai, oppure non aumenta mai.
Più precisamente, una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) si dice monotona se è crescente oppure decrescente.
Quindi una successione è monotona se vale una delle due condizioni seguenti:
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
oppure
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Nel primo caso la successione è crescente; nel secondo caso è decrescente.
Se invece vale
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
la successione è strettamente crescente. Se vale
\[ a_n>a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
la successione è strettamente decrescente.
Una successione strettamente crescente o strettamente decrescente è detta strettamente monotona.
Per esempio, la successione
\[ a_n=3n+1 \]
è strettamente crescente, perché
\[ a_{n+1}=3(n+1)+1=3n+4 \]
e quindi
\[ a_{n+1}-a_n=(3n+4)-(3n+1)=3>0 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Dunque
\[ a_n<a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
e la successione è strettamente crescente.
Consideriamo invece la successione
\[ b_n=\frac{1}{n+2}. \]
I suoi primi termini sono
\[ \frac13,\ \frac14,\ \frac15,\ \frac16,\ldots \]
Poiché al crescere di \(n\) il denominatore aumenta, i termini diventano più piccoli.
Infatti
\[ b_{n+1}=\frac{1}{n+3} \]
e, poiché
\[ n+3>n+2 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
si ha
\[ \frac{1}{n+3}<\frac{1}{n+2}. \]
Quindi
\[ b_{n+1}<b_n \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
cioè la successione è strettamente decrescente.
Non ogni successione è monotona. Per esempio, la successione
\[ c_n=(-1)^n \]
non è monotona, perché i suoi termini sono
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
e quindi la successione prima aumenta, poi diminuisce, poi aumenta di nuovo.
Infatti
\[ c_1=-1<1=c_2, \]
ma
\[ c_2=1>-1=c_3. \]
Dunque non è né crescente né decrescente.
La monotonia è una proprietà importante perché impone un ordine globale ai termini della successione. Se una successione è crescente, ogni termine successivo non può scendere sotto quelli precedenti; se è decrescente, ogni termine successivo non può salire sopra quelli precedenti.
Per esempio, se \((a_n)\) è crescente, allora
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le a_{n+1}\le \cdots. \]
Se invece \((a_n)\) è decrescente, allora
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge a_{n+1}\ge \cdots. \]
Questa struttura ordinata rende le successioni monotone particolarmente importanti nello studio dei limiti. Infatti, una successione monotona e limitata ha sempre limite reale: questo risultato, noto come teorema di convergenza delle successioni monotone, sarà uno dei punti centrali nello studio successivo delle successioni.
Successioni limitate superiormente e inferiormente
Una successione può essere studiata anche dal punto di vista dei valori che i suoi termini possono assumere. In particolare, è importante capire se i termini restano sempre al di sotto di un certo numero oppure sempre al di sopra di un certo numero.
Sia \((a_n)_{n\ge 1}\) una successione reale. Si dice che \((a_n)\) è limitata superiormente se esiste un numero reale \(M\) tale che
\[ a_n\le M \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Il numero \(M\) si chiama maggiorante della successione.
In modo analogo, si dice che \((a_n)\) è limitata inferiormente se esiste un numero reale \(m\) tale che
\[ m\le a_n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Il numero \(m\) si chiama minorante della successione.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
è limitata superiormente. Infatti
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Dunque \(1\) è un maggiorante della successione.
Osserviamo però che \(1\) non è l'unico maggiorante. Anche \(2\), \(10\), \(100\) sono maggioranti, perché tutti i termini della successione sono minori di \(1\), e quindi sono certamente minori anche di \(2\), \(10\), \(100\).
In generale, se \(M\) è un maggiorante di una successione, allora ogni numero maggiore di \(M\) è ancora un maggiorante.
La stessa successione è anche limitata inferiormente. Infatti, per ogni \(n\ge 1\),
\[ \frac{n}{n+1}>0. \]
Quindi \(0\) è un minorante della successione.
Anche in questo caso il minorante non è unico: ogni numero minore o uguale a \(0\) è un minorante.
Consideriamo ora la successione
\[ b_n=n. \]
Essa è limitata inferiormente, perché
\[ 1\le n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Dunque \(1\) è un minorante.
Tuttavia, la successione non è limitata superiormente. Infatti non esiste un numero reale \(M\) tale che
\[ n\le M \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Qualunque numero reale \(M\) si scelga, esiste sempre un indice naturale \(n\) tale che
\[ n>M. \]
Quindi i termini della successione superano qualunque soglia fissata.
Consideriamo invece la successione
\[ c_n=-n. \]
Essa è limitata superiormente, perché
\[ -n\le -1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Dunque \(-1\) è un maggiorante.
Tuttavia, non è limitata inferiormente: infatti i suoi termini diventano sempre più negativi e scendono sotto qualunque numero reale fissato.
In simboli, per ogni \(m\in\mathbb R\) esiste un indice naturale \(n\) tale che
\[ -n<m. \]
Quindi non esiste un minorante reale per la successione \((-n)_{n\ge 1}\).
È importante distinguere tra il fatto che una successione sia limitata superiormente o inferiormente e il fatto che sia crescente o decrescente.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
è crescente, ma è limitata superiormente da \(1\). Dunque una successione crescente non deve necessariamente crescere senza limite.
Analogamente, la successione
\[ b_n=\frac1n \]
è decrescente, ma è limitata inferiormente da \(0\). Dunque una successione decrescente non deve necessariamente diventare arbitrariamente negativa.
Dal punto di vista insiemistico, dire che una successione è limitata superiormente significa dire che l'insieme dei suoi valori
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
è un sottoinsieme di \(\mathbb R\) limitato superiormente.
Analogamente, dire che una successione è limitata inferiormente significa dire che l'insieme
\[ \{a_n:n\ge 1\} \]
è limitato inferiormente.
Questa osservazione permette di collegare lo studio delle successioni alla teoria di estremo superiore ed estremo inferiore.
Se una successione è limitata superiormente, l'insieme dei suoi valori ammette estremo superiore:
\[ \sup\{a_n:n\ge 1\}. \]
Se una successione è limitata inferiormente, l'insieme dei suoi valori ammette estremo inferiore:
\[ \inf\{a_n:n\ge 1\}. \]
Per esempio, per la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
l'insieme dei valori è
\[ \left\{\frac12,\frac23,\frac34,\frac45,\ldots\right\}. \]
Esso è limitato superiormente e il suo estremo superiore è \(1\), anche se \(1\) non è un termine della successione.
Infatti
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
ma i termini si avvicinano sempre di più a \(1\).
Successioni limitate
Una successione si dice limitata se è limitata sia superiormente sia inferiormente.
Più precisamente, una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) è limitata se esistono due numeri reali \(m\) e \(M\) tali che
\[ m\le a_n\le M \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Il numero \(m\) è un minorante della successione, mentre \(M\) è un maggiorante.
In modo equivalente, una successione è limitata se tutti i suoi termini restano compresi in un intervallo chiuso e limitato:
\[ a_n\in [m,M] \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
è limitata. Infatti, per ogni \(n\ge 1\), si ha
\[ 0<\frac1n\le 1. \]
Quindi tutti i termini della successione sono compresi tra \(0\) e \(1\):
\[ 0\le a_n\le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Osserviamo che \(0\) è un minorante, ma non è un termine della successione. Infatti non esiste alcun \(n\ge 1\) tale che
\[ \frac1n=0. \]
Questo mostra che un minorante o un maggiorante non deve necessariamente essere assunto dalla successione.
Anche la successione
\[ b_n=(-1)^n \]
è limitata. Infatti i suoi termini sono soltanto \(-1\) e \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Dunque
\[ -1\le b_n\le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In questo caso sia il minorante \(-1\) sia il maggiorante \(1\) sono anche valori effettivamente assunti dalla successione.
La successione
\[ c_n=n \]
invece non è limitata. Infatti è limitata inferiormente, perché
\[ 1\le n \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
ma non è limitata superiormente.
Per ogni \(M\in\mathbb R\), è possibile scegliere un indice naturale \(n\) tale che
\[ n>M. \]
Quindi non esiste un numero reale \(M\) capace di maggiorare tutti i termini della successione.
Analogamente, la successione
\[ d_n=-n \]
non è limitata, perché è limitata superiormente ma non inferiormente.
Un'altra caratterizzazione molto usata della limitatezza è quella mediante il valore assoluto.
Una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) è limitata se e solo se esiste un numero reale \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Questa condizione significa che tutti i termini della successione appartengono all'intervallo
\[ [-K,K]. \]
Infatti, dalla disuguaglianza
\[ |a_n|\le K \]
segue che
\[ -K\le a_n\le K \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Viceversa, se esistono \(m,M\in\mathbb R\) tali che
\[ m\le a_n\le M \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
allora è sufficiente scegliere
\[ K=\max\{|m|,|M|\}. \]
In questo modo si ottiene
\[ |a_n|\le K \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Questa forma è spesso più comoda nelle dimostrazioni, perché racchiude in un'unica disuguaglianza il controllo superiore e inferiore dei termini.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
è limitata, perché
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n \le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Quindi possiamo scegliere \(K=1\) e concludere che
\[ |a_n|\le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
La limitatezza è una proprietà essenziale nello studio delle successioni. Da sola non garantisce l'esistenza del limite: per esempio, \((-1)^n\) è limitata ma non si avvicina a un unico valore.
Tuttavia, combinata con altre proprietà, come la monotonia, diventa estremamente potente. In particolare, ogni successione monotona e limitata converge a un numero reale.
Successioni positive, negative e di segno alterno
Un altro aspetto importante nello studio di una successione è il segno dei suoi termini. In particolare, può essere utile stabilire se i termini sono sempre positivi, sempre negativi oppure se cambiano segno al variare dell'indice.
Una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) si dice positiva se
\[ a_n\ge 0 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Se invece
\[ a_n>0 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
si dice che la successione è strettamente positiva.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac1n \]
è strettamente positiva, perché
\[ \frac1n>0 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) si dice negativa se
\[ a_n\le 0 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Se invece
\[ a_n<0 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
si dice che la successione è strettamente negativa.
Per esempio, la successione
\[ b_n=-n \]
è strettamente negativa, perché
\[ -n<0 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Una successione può anche contenere sia termini positivi sia termini negativi. Un caso particolarmente importante è quello delle successioni di segno alterno.
Una successione è detta di segno alterno quando i suoi termini cambiano segno a ogni passo, passando da positivo a negativo o da negativo a positivo.
L'esempio fondamentale è
\[ a_n=(-1)^n. \]
Per \(n\ge 1\), i suoi termini sono
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Infatti, quando \(n\) è dispari, \((-1)^n=-1\); quando \(n\) è pari, \((-1)^n=1\).
Se invece si considera la successione
\[ b_n=(-1)^{n+1}, \]
i termini sono
\[ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ldots \]
In questo caso il primo termine è positivo, perché
\[ b_1=(-1)^2=1. \]
Le potenze di \(-1\) sono quindi uno strumento standard per costruire successioni con segno alterno.
Per esempio, la successione
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n} \]
ha termini
\[ -1,\ \frac12,\ -\frac13,\ \frac14,\ldots \]
Essa cambia segno a ogni passo, ma l'ampiezza dei termini diminuisce.
Infatti
\[ |c_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac1n. \]
Lo studio del segno è utile perché molte proprietà delle successioni dipendono dal fatto che i termini siano positivi, negativi o alternati.
Per esempio, quando una successione ha termini positivi, spesso è possibile studiare la monotonia mediante il rapporto
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}. \]
Questo metodo richiede attenzione: il rapporto è particolarmente efficace quando i termini sono strettamente positivi, perché in tal caso il segno non altera il verso delle disuguaglianze.
Invece, nelle successioni di segno alterno, lo studio della monotonia deve essere condotto con maggiore cautela. Per esempio, la successione
\[ \frac{(-1)^n}{n} \]
non è monotona, perché i suoi termini passano continuamente da negativi a positivi.
Tuttavia, la successione dei valori assoluti
\[ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n \]
è strettamente decrescente.
Questo esempio mostra una distinzione importante: una successione può non essere monotona, ma la successione dei suoi valori assoluti può esserlo.
Successioni aritmetiche
Una successione aritmetica è una successione in cui la differenza tra due termini consecutivi è costante.
Più precisamente, una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) è aritmetica se esiste un numero reale \(d\) tale che
\[ a_{n+1}-a_n=d \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Il numero \(d\) si chiama ragione della successione aritmetica.
Equivalentemente, una successione aritmetica può essere definita per ricorrenza ponendo
\[ a_{n+1}=a_n+d \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Questo significa che ogni termine si ottiene dal precedente aggiungendo sempre lo stesso numero \(d\).
Per esempio, la successione
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
è aritmetica, perché la differenza tra due termini consecutivi è sempre \(4\):
\[ 7-3=4,\qquad 11-7=4,\qquad 15-11=4. \]
In questo caso la ragione è
\[ d=4. \]
Se il primo termine è \(a_1\) e la ragione è \(d\), allora il termine generale della successione aritmetica è
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Infatti, per passare da \(a_1\) ad \(a_n\), bisogna aggiungere \(d\) esattamente \(n-1\) volte:
\[ a_2=a_1+d, \]
\[ a_3=a_1+2d, \]
\[ a_4=a_1+3d, \]
e, in generale,
\[ a_n=a_1+(n-1)d. \]
Per esempio, nella successione
\[ 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ldots \]
abbiamo \(a_1=3\) e \(d=4\). Quindi
\[ a_n=3+(n-1)4. \]
Semplificando,
\[ a_n=4n-1. \]
Infatti:
\[ a_1=4\cdot 1-1=3, \]
\[ a_2=4\cdot 2-1=7, \]
\[ a_3=4\cdot 3-1=11. \]
Il segno della ragione determina l'andamento della successione.
- Se \(d>0\), la successione è strettamente crescente.
- Se \(d=0\), la successione è costante.
- Se \(d<0\), la successione è strettamente decrescente.
Per esempio, la successione
\[ a_n=2+5(n-1) \]
è strettamente crescente, perché la sua ragione è \(d=5>0\).
La successione
\[ b_n=6 \]
è aritmetica con ragione \(d=0\), quindi è costante.
La successione
\[ c_n=10-3(n-1) \]
è strettamente decrescente, perché la sua ragione è \(d=-3<0\).
Le successioni aritmetiche sono quindi il modello più semplice di successioni con crescita o decrescita lineare: a ogni passo la variazione è sempre la stessa.
Successioni geometriche
Una successione geometrica è una successione in cui ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando sempre per uno stesso numero.
Più precisamente, una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) è geometrica se esiste un numero reale \(q\) tale che
\[ a_{n+1}=q\,a_n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Il numero \(q\) si chiama ragione della successione geometrica.
Se \(a_n\neq 0\) per ogni \(n\ge 1\), la ragione può essere ricavata dal rapporto tra due termini consecutivi:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n}=q \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Per esempio, la successione
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
è geometrica, perché ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando per \(2\):
\[ 6=2\cdot 3, \qquad 12=2\cdot 6, \qquad 24=2\cdot 12. \]
In questo caso la ragione è
\[ q=2. \]
Se il primo termine è \(a_1\) e la ragione è \(q\), allora il termine generale della successione geometrica è
\[ a_n=a_1 q^{\,n-1}. \]
Infatti:
\[ a_2=a_1q, \]
\[ a_3=a_2q=a_1q^2, \]
\[ a_4=a_3q=a_1q^3, \]
e, in generale,
\[ a_n=a_1q^{\,n-1}. \]
Per esempio, nella successione
\[ 3,\ 6,\ 12,\ 24,\ldots \]
abbiamo \(a_1=3\) e \(q=2\). Quindi
\[ a_n=3\cdot 2^{n-1}. \]
Infatti:
\[ a_1=3\cdot 2^0=3, \]
\[ a_2=3\cdot 2^1=6, \]
\[ a_3=3\cdot 2^2=12. \]
Consideriamo ora la successione
\[ b_n=\left(\frac12\right)^{n-1}. \]
I suoi primi termini sono
\[ 1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ldots \]
Anche questa è una successione geometrica, con primo termine \(b_1=1\) e ragione
\[ q=\frac12. \]
Infatti ogni termine si ottiene dal precedente moltiplicando per \(\displaystyle \frac12\).
Il comportamento di una successione geometrica dipende in modo essenziale dalla ragione \(q\).
Supponiamo, per semplicità, che \(a_1>0\). Allora:
- se \(q>1\), la successione è strettamente crescente e i suoi termini diventano sempre più grandi;
- se \(q=1\), la successione è costante;
- se \(0<q<1\), la successione è strettamente decrescente e i suoi termini si avvicinano a \(0\);
- se \(q=0\), tutti i termini dal secondo in poi sono uguali a \(0\);
- se \(q<0\), i termini cambiano segno a ogni passo.
Per esempio, la successione
\[ a_n=2^n \]
è geometrica con ragione \(q=2\). I suoi termini sono
\[ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ldots \]
e crescono rapidamente.
Invece la successione
\[ b_n=\left(\frac13\right)^n \]
è geometrica con ragione
\[ q=\frac13. \]
I suoi termini sono
\[ \frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\ \frac1{81},\ldots \]
e diventano sempre più piccoli.
Un esempio con ragione negativa è
\[ c_n=(-2)^n. \]
Per \(n\ge 1\), i primi termini sono
\[ -2,\ 4,\ -8,\ 16,\ldots \]
La successione è geometrica con ragione \(q=-2\). I termini cambiano segno a ogni passo e il loro valore assoluto cresce.
Consideriamo infine la successione
\[ d_n=\left(-\frac12\right)^n. \]
I suoi primi termini sono
\[ -\frac12,\ \frac14,\ -\frac18,\ \frac1{16},\ldots \]
In questo caso la ragione è
\[ q=-\frac12. \]
I termini cambiano segno a ogni passo, ma il loro valore assoluto diventa sempre più piccolo.
Le successioni geometriche sono fondamentali perché descrivono processi in cui la variazione non è costante in valore assoluto, ma è proporzionale al termine precedente. Per questo motivo compaiono naturalmente in molti contesti: crescita esponenziale, decadimento, interessi composti e studio delle serie geometriche.
Rappresentazione grafica di una successione
Una successione reale \((a_n)_{n\ge 1}\) può essere rappresentata graficamente nel piano cartesiano associando a ogni indice \(n\) il corrispondente termine \(a_n\).
In altre parole, alla successione \((a_n)_{n\ge 1}\) associamo i punti
\[ (1,a_1),\ (2,a_2),\ (3,a_3),\ldots,\ (n,a_n),\ldots \]
Il grafico di una successione è quindi l'insieme dei punti
\[ \{(n,a_n):n\ge 1\}. \]
Bisogna osservare una differenza importante rispetto al grafico di una funzione reale di variabile reale. Una successione è definita soltanto sugli indici naturali, quindi il suo grafico non è una curva continua, ma un insieme discreto di punti.
Per esempio, consideriamo la successione
\[ a_n=\frac1n. \]
I primi punti del suo grafico sono
\[ (1,1),\ \left(2,\frac12\right),\ \left(3,\frac13\right),\ \left(4,\frac14\right),\ldots \]
Questi punti si abbassano progressivamente e si avvicinano all'asse delle ascisse, ma non formano una curva continua.
Analogamente, per la successione
\[ b_n=(-1)^n \]
i punti del grafico sono
\[ (1,-1),\ (2,1),\ (3,-1),\ (4,1),\ldots \]
In questo caso i punti oscillano tra le due rette orizzontali
\[ y=-1 \qquad \text{e} \qquad y=1. \]
La rappresentazione grafica è utile perché permette di visualizzare alcune proprietà della successione.
Se i punti salgono al crescere dell'indice, la successione può essere crescente. Se i punti scendono, la successione può essere decrescente. Se i punti restano compresi tra due rette orizzontali, la successione può essere limitata.
Per esempio, una successione limitata è rappresentata da punti che restano tutti all'interno di una striscia orizzontale del piano. Infatti, se esistono \(m,M\in\mathbb R\) tali che
\[ m\le a_n\le M \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
allora tutti i punti \((n,a_n)\) si trovano tra le due rette orizzontali
\[ y=m \qquad \text{e} \qquad y=M. \]
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
è rappresentata da punti compresi tra \(0\) e \(1\), perché
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Inoltre i punti si avvicinano progressivamente alla retta orizzontale
\[ y=1. \]
È però importante non confondere il disegno con una dimostrazione. Il grafico può suggerire che una successione sia crescente, limitata o convergente, ma queste proprietà devono essere verificate mediante le definizioni o mediante criteri rigorosi.
Per esempio, dal grafico della successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
si intuisce che i termini aumentano e restano sotto \(1\). Tuttavia, per dimostrarlo, bisogna controllare le disuguaglianze.
Infatti
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} = \frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}. \]
Sviluppando il numeratore otteniamo
\[ (n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-n^2-2n=1. \]
Quindi
\[ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} >0 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
La successione è dunque strettamente crescente.
Inoltre
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
quindi è limitata superiormente da \(1\).
In conclusione, il grafico di una successione è formato da punti isolati, uno per ogni indice naturale. Esso è uno strumento utile per intuire il comportamento della successione, ma non sostituisce le definizioni e le dimostrazioni.
Differenza tra successione e funzione reale di variabile reale
Una successione reale è una funzione definita sui numeri naturali:
\[ a:\mathbb N\to\mathbb R. \]
Una funzione reale di variabile reale, invece, è una funzione definita su un sottoinsieme di \(\mathbb R\):
\[ f:A\subseteq \mathbb R\to\mathbb R. \]
La differenza principale riguarda quindi il dominio. Nel caso di una successione, la variabile indipendente assume soltanto valori naturali:
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots \]
Nel caso di una funzione reale di variabile reale, invece, la variabile può assumere valori reali, per esempio tutti i valori di un intervallo.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac1n \]
è definita soltanto per \(n\in\mathbb N\), con \(n\ge 1\). I suoi termini sono
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
La funzione
\[ f(x)=\frac1x \]
invece può essere definita, per esempio, per ogni \(x>0\). In questo caso il dominio è l'intervallo
\[ (0,+\infty). \]
La successione \((a_n)\) può essere ottenuta valutando la funzione \(f(x)=\displaystyle \frac1x\) soltanto negli indici naturali:
\[ a_n=f(n)=\frac1n. \]
Tuttavia, la successione e la funzione non sono lo stesso oggetto. La funzione \(f\) è definita anche in punti non naturali, come
\[ x=\frac12,\qquad x=\sqrt2,\qquad x=10.7, \]
mentre la successione considera soltanto i valori corrispondenti agli indici naturali.
Questa differenza si riflette anche nella rappresentazione grafica.
Il grafico della funzione
\[ f(x)=\frac1x \]
su \((0,+\infty)\) è una curva continua. Il grafico della successione
\[ a_n=\frac1n \]
invece è formato soltanto dai punti
\[ \left(n,\frac1n\right), \qquad n\ge 1. \]
Quindi la successione corrisponde a una parte discreta del grafico della funzione.
Molte successioni possono essere ottenute restringendo una funzione reale agli indici naturali. Per esempio, dalla funzione
\[ f(x)=x^2+1 \]
si ottiene la successione
\[ a_n=f(n)=n^2+1. \]
I primi termini sono
\[ 2,\ 5,\ 10,\ 17,\ldots \]
Non bisogna però pensare che ogni proprietà della funzione si trasferisca automaticamente alla successione o viceversa.
Per esempio, una funzione può non essere monotona su tutto il suo dominio, ma la successione ottenuta valutandola sugli interi naturali può esserlo.
Consideriamo la funzione
\[ f(x)=\sin(\pi x). \]
Questa funzione oscilla sull'asse reale. Tuttavia, se la valutiamo negli interi naturali, otteniamo
\[ a_n=f(n)=\sin(\pi n)=0 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
La successione corrispondente è quindi
\[ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ldots \]
cioè una successione costante.
Viceversa, conoscere i valori di una funzione soltanto sugli indici naturali non permette, in generale, di ricostruire il comportamento della funzione su tutto il suo dominio.
Per esempio, due funzioni diverse possono assumere gli stessi valori in tutti gli interi naturali, ma comportarsi in modo diverso tra un intero e l'altro.
Questa osservazione mostra che una successione conserva soltanto le informazioni relative ai valori assunti in corrispondenza degli indici naturali.
Riassumendo:
- una successione reale è una funzione da \(\mathbb N\) in \(\mathbb R\);
- una funzione reale di variabile reale è definita su un sottoinsieme di \(\mathbb R\);
- il grafico di una successione è discreto;
- il grafico di una funzione reale può essere una curva continua;
- una successione può spesso essere ottenuta valutando una funzione reale sugli indici naturali, ma resta un oggetto distinto.
Sottosuccessioni
Una sottosuccessione è una successione ottenuta scegliendo alcuni termini di una successione data, senza modificarne l'ordine.
Sia \((a_n)_{n\ge 1}\) una successione reale. Una sottosuccessione di \((a_n)\) è una successione della forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
dove \((n_k)_{k\ge 1}\) è una successione strettamente crescente di indici naturali, cioè
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots<n_k<n_{k+1}<\cdots. \]
La condizione sugli indici è fondamentale: per costruire una sottosuccessione si possono eliminare alcuni termini della successione originaria, ma non si può cambiare l'ordine dei termini rimasti.
Per esempio, consideriamo la successione
\[ a_n=n. \]
I suoi termini sono
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ldots \]
Se scegliamo soltanto gli indici pari,
\[ n_k=2k, \]
otteniamo la sottosuccessione
\[ a_{n_k}=a_{2k}=2k. \]
I suoi termini sono
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots \]
Se invece scegliamo soltanto gli indici dispari,
\[ n_k=2k-1, \]
otteniamo la sottosuccessione
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=2k-1, \]
cioè
\[ 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ldots \]
Consideriamo ora la successione alternante
\[ a_n=(-1)^n. \]
I suoi termini sono
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Scegliendo gli indici pari \(n_k=2k\), otteniamo
\[ a_{n_k}=a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Quindi la sottosuccessione degli indici pari è
\[ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ldots \]
Scegliendo invece gli indici dispari \(n_k=2k-1\), otteniamo
\[ a_{n_k}=a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Quindi la sottosuccessione degli indici dispari è
\[ -1,\ -1,\ -1,\ -1,\ldots \]
Questo esempio mostra che una successione può non avvicinarsi a un unico valore, ma possedere sottosuccessioni con comportamenti molto regolari.
È importante distinguere tra l'indice \(k\) della sottosuccessione e l'indice \(n_k\) della successione originaria.
Nella sottosuccessione
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
il numero \(k\) indica la posizione del termine nella sottosuccessione, mentre \(n_k\) indica la posizione del termine corrispondente nella successione originaria.
Per esempio, se
\[ n_k=2k, \]
allora:
\[ n_1=2,\qquad n_2=4,\qquad n_3=6,\qquad n_4=8. \]
La sottosuccessione \((a_{2k})_{k\ge 1}\) prende quindi il secondo, il quarto, il sesto, l'ottavo termine della successione originaria, e così via.
Non ogni scelta di termini produce una sottosuccessione. Gli indici devono essere strettamente crescenti.
Per esempio, la scelta
\[ n_1=3,\qquad n_2=1,\qquad n_3=4 \]
non definisce una sottosuccessione, perché gli indici non rispettano l'ordine naturale:
\[ 3>1. \]
Allo stesso modo, non si può ripetere lo stesso indice. La scelta
\[ n_1=2,\qquad n_2=2,\qquad n_3=5 \]
non definisce una sottosuccessione, perché non vale
\[ n_1<n_2. \]
Una proprietà semplice ma importante è che, per ogni sottosuccessione, si ha
\[ n_k\ge k \quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
Infatti gli indici \(n_k\) sono naturali e strettamente crescenti. Il primo indice è almeno \(1\), il secondo è almeno \(2\), il terzo è almeno \(3\), e così via.
Questa osservazione è utile perché mostra che anche gli indici di una sottosuccessione tendono a diventare arbitrariamente grandi.
Le sottosuccessioni sono fondamentali nello studio delle successioni perché permettono di analizzare comportamenti parziali della successione originaria.
Per esempio, una successione può oscillare, ma alcune sue sottosuccessioni possono essere costanti, crescenti, decrescenti o convergenti.
Nel caso della successione
\[ a_n=(-1)^n, \]
la successione completa oscilla tra \(-1\) e \(1\), mentre le due sottosuccessioni
\[ (a_{2k})_{k\ge 1} \qquad \text{e} \qquad (a_{2k-1})_{k\ge 1} \]
sono entrambe costanti.
In generale, se una successione converge a un limite reale \(L\), allora ogni sua sottosuccessione converge allo stesso limite \(L\). Il viceversa, invece, non è vero in generale: il fatto che una sottosuccessione converga non basta per garantire che converga tutta la successione.
Per esempio, la successione \((-1)^n\) non converge, ma possiede la sottosuccessione degli indici pari, che converge a \(1\), e la sottosuccessione degli indici dispari, che converge a \(-1\).
Le sottosuccessioni saranno quindi uno strumento decisivo nello studio dei limiti, dei punti di accumulazione e del teorema di Bolzano-Weierstrass.
Prime proprietà delle successioni
Le successioni possiedono alcune proprietà generali che permettono di collegare tra loro monotonia, limitatezza, segno e sottosuccessioni. In questa sezione raccogliamo i primi risultati fondamentali, senza ancora entrare nella teoria completa dei limiti.
Ogni successione crescente è limitata inferiormente
Se una successione \((a_n)_{n\ge 1}\) è crescente, allora
\[ a_n\le a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Ne segue che ogni termine successivo è maggiore o uguale del primo termine:
\[ a_1\le a_2\le a_3\le \cdots \le a_n\le \cdots. \]
In particolare,
\[ a_1\le a_n \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Dunque \(a_1\) è un minorante della successione. Quindi ogni successione crescente è limitata inferiormente.
Attenzione: una successione crescente non è necessariamente limitata superiormente. Per esempio,
\[ a_n=n \]
è crescente, ma non è limitata superiormente.
Ogni successione decrescente è limitata superiormente
Se una successione \((a_n)_{n\ge 1}\) è decrescente, allora
\[ a_n\ge a_{n+1} \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Ne segue che
\[ a_1\ge a_2\ge a_3\ge \cdots \ge a_n\ge \cdots. \]
In particolare,
\[ a_n\le a_1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Dunque \(a_1\) è un maggiorante della successione. Quindi ogni successione decrescente è limitata superiormente.
Anche in questo caso non vale automaticamente l'altra limitazione. Per esempio,
\[ a_n=-n \]
è decrescente, ma non è limitata inferiormente.
Una successione monotona può essere limitata oppure illimitata
La monotonia descrive l'ordine dei termini, ma non determina da sola la limitatezza completa della successione.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
è crescente e limitata, perché
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Invece la successione
\[ b_n=n \]
è crescente ma non limitata superiormente.
Analogamente, la successione
\[ c_n=\frac1n \]
è decrescente e limitata, perché
\[ 0<\frac1n\le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Invece la successione
\[ d_n=-n \]
è decrescente ma non limitata inferiormente.
Ogni sottosuccessione di una successione limitata è limitata
Sia \((a_n)_{n\ge 1}\) una successione limitata. Allora esiste un numero reale \(K>0\) tale che
\[ |a_n|\le K \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Consideriamo una sua sottosuccessione
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}. \]
Poiché ogni \(n_k\) è un indice naturale, dalla disuguaglianza precedente segue immediatamente che
\[ |a_{n_k}|\le K \quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
Dunque anche la sottosuccessione è limitata.
Il viceversa non è vero: una successione può avere una sottosuccessione limitata senza essere limitata.
Per esempio, consideriamo
\[ a_n= \begin{cases} 1, & \text{se } n \text{ è pari},\\ n, & \text{se } n \text{ è dispari}. \end{cases} \]
La sottosuccessione degli indici pari è costante:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
Quindi è limitata. Tuttavia la successione completa non è limitata superiormente, perché per gli indici dispari assume valori arbitrariamente grandi.
Ogni sottosuccessione di una successione monotona è monotona nello stesso verso
Sia \((a_n)_{n\ge 1}\) una successione crescente e sia \((a_{n_k})_{k\ge 1}\) una sua sottosuccessione.
Poiché gli indici della sottosuccessione sono strettamente crescenti, si ha
\[ n_k<n_{k+1} \quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
Poiché \((a_n)\) è crescente, dagli indici ordinati segue
\[ a_{n_k}\le a_{n_{k+1}} \quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
Quindi la sottosuccessione è crescente.
Allo stesso modo, se \((a_n)\) è decrescente, allora ogni sua sottosuccessione è decrescente. Infatti, da
\[ n_k<n_{k+1} \]
segue
\[ a_{n_k}\ge a_{n_{k+1}}. \]
Dunque le sottosuccessioni conservano il verso di monotonia della successione originaria.
La limitatezza non implica la monotonia
Una successione può essere limitata senza essere monotona.
L'esempio più semplice è
\[ a_n=(-1)^n. \]
Infatti
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
quindi la successione è limitata.
Tuttavia non è monotona, perché i suoi termini oscillano:
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Una successione limitata può quindi non avere alcun andamento crescente o decrescente.
La monotonia e la limitatezza insieme sono decisive
Sebbene la monotonia da sola non garantisca la limitatezza e la limitatezza da sola non garantisca la monotonia, le due proprietà insieme hanno un ruolo fondamentale.
Infatti, un risultato centrale dell'analisi afferma che ogni successione reale monotona e limitata converge.
Più precisamente:
- se \((a_n)\) è crescente e limitata superiormente, allora converge al suo estremo superiore;
- se \((a_n)\) è decrescente e limitata inferiormente, allora converge al suo estremo inferiore.
Questo teorema non viene dimostrato in questa sezione, ma spiega perché le proprietà introdotte finora siano così importanti. Monotonia e limitatezza sono tra i primi strumenti rigorosi per stabilire l'esistenza di un limite.
Errori comuni sulle successioni
Nello studio delle successioni compaiono alcuni errori molto frequenti. Riconoscerli è importante, perché molte difficoltà successive sui limiti nascono proprio da una comprensione imprecisa delle definizioni iniziali.
Confondere la successione con l'insieme dei suoi valori
Una successione non è semplicemente l'insieme dei valori che compaiono tra i suoi termini. Una successione è una funzione definita sui numeri naturali, quindi conta anche l'ordine con cui i termini sono disposti e conta anche la loro eventuale ripetizione.
Per esempio, la successione
\[ a_n=(-1)^n \]
ha come termini
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
L'insieme dei valori assunti dalla successione è
\[ \{-1,1\}. \]
Tuttavia la successione non coincide con l'insieme \(\{-1,1\}\). La successione contiene infinite ripetizioni ordinate dei valori \(-1\) e \(1\), mentre l'insieme contiene soltanto i due valori distinti.
Confondere il termine generale con la successione
Il simbolo \(a_n\) indica il termine della successione corrispondente all'indice \(n\). La scrittura \((a_n)_{n\ge 1}\), invece, indica l'intera successione.
Per esempio, se
\[ a_n=\frac1n, \]
allora \(a_n\) è il termine generale, mentre
\[ (a_n)_{n\ge 1} \]
è l'intera successione
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Dire che \(a_n=\displaystyle \frac1n\) non significa indicare un singolo numero fissato, ma una regola che, per ogni indice \(n\), produce il termine corrispondente.
Non specificare l'indice iniziale
Un errore frequente consiste nello scrivere una formula senza indicare per quali valori dell'indice essa definisce realmente una successione.
Per esempio,
\[ a_n=\frac1n \]
non può essere considerata a partire da \(n=0\), perché \(\displaystyle \frac10\) non è definito.
In questo caso bisogna scrivere, per esempio,
\[ (a_n)_{n\ge 1}, \qquad a_n=\frac1n. \]
Analogamente, la formula
\[ b_n=\sqrt{n-4} \]
definisce una successione reale soltanto per
\[ n\ge 4. \]
Infatti, per \(n<4\), la quantità \(n-4\) è negativa e quindi \(\sqrt{n-4}\) non è un numero reale.
Pensare che una successione crescente sia sempre illimitata
Una successione crescente non deve necessariamente crescere senza limite.
Per esempio, la successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
è crescente, ma tutti i suoi termini sono minori di \(1\):
\[ \frac{n}{n+1}<1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Quindi la successione è limitata superiormente.
La monotonia descrive il verso di variazione dei termini, ma non basta da sola a stabilire se la successione sia limitata oppure illimitata.
Pensare che una successione limitata sia sempre monotona
Anche la limitatezza non implica la monotonia.
La successione
\[ a_n=(-1)^n \]
è limitata, perché
\[ -1\le a_n\le 1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
Tuttavia non è monotona, perché i suoi termini oscillano tra \(-1\) e \(1\):
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ldots \]
Dunque una successione può restare sempre dentro un intervallo limitato senza essere crescente o decrescente.
Confondere sottosuccessione e sottoinsieme di termini
Una sottosuccessione non è una scelta qualsiasi di termini. Gli indici devono essere strettamente crescenti.
Una sottosuccessione di \((a_n)_{n\ge 1}\) ha la forma
\[ (a_{n_k})_{k\ge 1}, \]
dove
\[ n_1<n_2<n_3<\cdots. \]
Per esempio, se si scelgono gli indici
\[ 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ldots, \]
si ottiene una sottosuccessione. Se invece si scelgono gli indici
\[ 3,\ 1,\ 5,\ldots, \]
non si ottiene una sottosuccessione, perché l'ordine degli indici non è rispettato.
Pensare che una sottosuccessione descriva sempre tutta la successione
Una sottosuccessione descrive soltanto una parte della successione originaria. Per questo motivo, il comportamento di una sottosuccessione non basta, in generale, a determinare il comportamento dell'intera successione.
Per esempio, la successione
\[ a_n=(-1)^n \]
non converge, perché oscilla tra \(-1\) e \(1\).
Tuttavia la sottosuccessione degli indici pari è costante:
\[ a_{2k}=1 \quad \text{per ogni } k\ge 1, \]
mentre la sottosuccessione degli indici dispari è anch'essa costante:
\[ a_{2k-1}=-1 \quad \text{per ogni } k\ge 1. \]
Quindi una successione può avere sottosuccessioni molto regolari pur non avendo, nel complesso, un comportamento unico.
Usare il grafico come se fosse una dimostrazione
Il grafico di una successione può aiutare a intuire il comportamento dei termini, ma non sostituisce una dimostrazione.
Per esempio, osservando il grafico della successione
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
si può intuire che essa sia crescente e limitata superiormente da \(1\). Tuttavia, per dimostrarlo, bisogna verificare le disuguaglianze:
\[ a_{n+1}-a_n>0 \quad \text{per ogni } n\ge 1, \]
e
\[ a_n<1 \quad \text{per ogni } n\ge 1. \]
In analisi matematica il disegno suggerisce, ma la dimostrazione deve basarsi sulle definizioni.
Le proprietà introdotte sono la base per lo studio dei limiti di successione. In particolare, la combinazione di monotonia e limitatezza conduce a uno dei primi risultati fondamentali dell'analisi: ogni successione reale monotona e limitata converge.
Le successioni costituiscono quindi un ponte naturale tra aritmetica, algebra e analisi: partendo da una semplice lista ordinata di numeri, si arriva a concetti profondi come limite, convergenza, completezza dei numeri reali e comportamento all'infinito.