Gli esercizi seguenti servono a consolidare il concetto di insieme compatto in \(\mathbb R\). Useremo soprattutto il teorema di Heine-Borel, secondo cui un sottoinsieme di \(\mathbb R\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=[2,5] \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=[2,5]\) è compatto.
Svolgimento
In \(\mathbb R\), per il teorema di Heine-Borel, un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
L'intervallo \([2,5]\) è chiuso, perché contiene entrambi i suoi estremi \(2\) e \(5\).
Inoltre è limitato, perché tutti i suoi elementi soddisfano
\[ 2\le x\le 5. \]
Dunque \(A\) è chiuso e limitato. Pertanto, per il teorema di Heine-Borel, \(A\) è compatto.
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=(2,5) \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=(2,5)\) non è compatto.
Svolgimento
L'intervallo \((2,5)\) è limitato, perché tutti i suoi elementi sono compresi tra \(2\) e \(5\).
Tuttavia non è chiuso, poiché non contiene i suoi punti di accumulazione \(2\) e \(5\). Infatti esistono successioni di punti di \(A\) che convergono a \(2\) oppure a \(5\), per esempio
\[ x_n=2+\frac1n. \]
Per ogni \(n\) sufficientemente grande si ha \(x_n\in(2,5)\), ma
\[ x_n\to 2, \]
e \(2\notin A\).
Quindi \(A\) non è chiuso. Poiché in \(\mathbb R\) un insieme compatto deve essere chiuso e limitato, \(A\) non è compatto.
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=[0,+\infty) \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=[0,+\infty)\) non è compatto.
Svolgimento
L'insieme \(A=[0,+\infty)\) è chiuso in \(\mathbb R\), perché contiene il suo punto di bordo \(0\) e il suo complementare
\[ \mathbb R\setminus A=(-\infty,0) \]
è aperto.
Tuttavia \(A\) non è limitato superiormente. Infatti, per ogni \(M>0\), il numero
\[ M+1 \]
appartiene ad \(A\) ed è maggiore di \(M\).
Quindi \(A\) non è limitato. Per il teorema di Heine-Borel, essendo non limitato, non può essere compatto.
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\{1,2,3,4\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=\{1,2,3,4\}\) è compatto.
Svolgimento
Ogni insieme finito di numeri reali è chiuso e limitato.
L'insieme \(A\) è limitato, perché tutti i suoi elementi sono compresi tra \(1\) e \(4\):
\[ 1\le x\le 4 \quad \text{per ogni } x\in A. \]
Inoltre \(A\) è chiuso, perché è un insieme finito e tutti i suoi punti sono isolati.
Dunque \(A\) è chiuso e limitato. Per il teorema di Heine-Borel, \(A\) è compatto.
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) non è compatto.
Svolgimento
L'insieme \(A\) è limitato, perché
\[ 0<\frac1n\le 1 \]
per ogni \(n\ge 1\). Quindi
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Tuttavia \(A\) non è chiuso. Infatti la successione
\[ x_n=\frac1n \]
è formata da punti di \(A\), ma converge a \(0\):
\[ \frac1n\to 0. \]
Il punto \(0\) è quindi un punto di accumulazione di \(A\), ma
\[ 0\notin A. \]
Perciò \(A\) non è chiuso. Essendo limitato ma non chiuso, non è compatto.
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\left\{0\right\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) è compatto.
Svolgimento
L'insieme \(A\) è limitato, perché
\[ 0\le x\le 1 \]
per ogni \(x\in A\). Quindi \(A\subseteq[0,1]\).
Verifichiamo ora che \(A\) è chiuso. I punti della forma \(\displaystyle \frac1n\) sono isolati, mentre l'unico punto di accumulazione dell'insieme è \(0\).
Infatti
\[ \frac1n\to 0. \]
A differenza dell'esercizio precedente, questa volta \(0\) appartiene all'insieme \(A\).
Dunque \(A\) contiene tutti i suoi punti di accumulazione ed è chiuso.
Poiché \(A\) è chiuso e limitato, per il teorema di Heine-Borel è compatto.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=[-1,1]\setminus\{0\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) non è compatto.
Svolgimento
L'insieme \(A\) è limitato, perché è contenuto in \([-1,1]\).
Tuttavia \(A\) non è chiuso. Infatti \(0\) è un punto di accumulazione di \(A\): ogni intorno di \(0\) contiene punti positivi e negativi diversi da \(0\), per esempio numeri del tipo
\[ \frac1n \]
per \(n\) sufficientemente grande.
Inoltre
\[ \frac1n\in A \quad \text{e} \quad \frac1n\to 0. \]
Ma \(0\notin A\), perché è stato rimosso dall'intervallo \([-1,1]\).
Quindi \(A\) non contiene tutti i suoi punti di accumulazione, dunque non è chiuso.
Essendo limitato ma non chiuso, \(A\) non è compatto.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\left[-2,3\right]\cup\{7\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) è compatto.
Svolgimento
L'intervallo \([-2,3]\) è chiuso e limitato, quindi è compatto.
Anche il singoletto \(\{7\}\) è chiuso e limitato, quindi è compatto.
L'unione finita di insiemi chiusi è chiusa. Pertanto
\[ A=[-2,3]\cup\{7\} \]
è chiuso.
Inoltre \(A\) è limitato, perché tutti i suoi elementi sono compresi tra \(-2\) e \(7\):
\[ -2\le x\le 7 \quad \text{per ogni } x\in A. \]
Dunque \(A\) è chiuso e limitato. Per il teorema di Heine-Borel, \(A\) è compatto.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\bigcup_{n=1}^{+\infty}\left[\frac1n,1\right] \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) non è compatto.
Svolgimento
Osserviamo innanzitutto che
\[ \left[\frac1n,1\right]\subseteq(0,1] \]
per ogni \(n\ge 1\). Inoltre, dato un qualsiasi \(x\in(0,1]\), possiamo scegliere \(n\) sufficientemente grande in modo che
\[ \frac1n\le x. \]
Allora
\[ x\in\left[\frac1n,1\right]. \]
Quindi
\[ A=(0,1]. \]
L'insieme \((0,1]\) è limitato, ma non è chiuso, perché \(0\) è un punto di accumulazione e non appartiene all'insieme.
Infatti
\[ \frac1n\in A \quad \text{e} \quad \frac1n\to 0, \]
ma \(0\notin A\).
Pertanto \(A\) non è chiuso e quindi non è compatto.
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-1,\frac1n\right] \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A=[-1,0]\) è compatto.
Svolgimento
Dobbiamo prima determinare l'insieme \(A\).
Un numero \(x\) appartiene ad \(A\) se e solo se appartiene a tutti gli intervalli
\[ \left[-1,\frac1n\right]. \]
Ciò significa che
\[ -1\le x\le \frac1n \]
per ogni \(n\ge 1\).
Se \(x\le 0\) e \(x\ge -1\), allora certamente
\[ x\le \frac1n \]
per ogni \(n\ge 1\). Quindi \([-1,0]\subseteq A\).
Viceversa, se \(x>0\), scegliendo \(n\) sufficientemente grande si ha
\[ \frac1n
Allora \(x\notin\left[-1,\displaystyle\frac1n\right]\), quindi \(x\notin A\).
Pertanto
\[ A=[-1,0]. \]
L'intervallo \([-1,0]\) è chiuso e limitato. Quindi, per il teorema di Heine-Borel, è compatto.
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Dimostrare che l'insieme
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge 1\right\}\cup\{1\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) è compatto.
Svolgimento
Scriviamo il termine generale nella forma
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
Da questa espressione segue che
\[ 0<\frac{n}{n+1}<1 \]
per ogni \(n\ge 1\), e inoltre
\[ \frac{n}{n+1}\to 1. \]
L'insieme \(A\) è limitato, perché tutti i suoi elementi appartengono all'intervallo \([0,1]\).
Inoltre l'unico punto di accumulazione della successione
\[ \frac{n}{n+1} \]
è \(1\), e tale punto appartiene ad \(A\).
I punti
\[ \frac{n}{n+1} \]
sono isolati, mentre \(1\) è incluso nell'insieme.
Quindi \(A\) contiene tutti i suoi punti di accumulazione ed è chiuso.
Essendo chiuso e limitato, \(A\) è compatto per il teorema di Heine-Borel.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2<4\right\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) non è compatto.
Svolgimento
Risolviamo prima la disequazione
\[ x^2<4. \]
Essa equivale a
\[ -2
Quindi
\[ A=(-2,2). \]
L'insieme \(A\) è limitato, perché è contenuto in \([-2,2]\).
Tuttavia non è chiuso, perché non contiene i punti \(-2\) e \(2\), che sono punti di accumulazione dell'insieme.
Per esempio, la successione
\[ x_n=2-\frac1n \]
appartiene ad \(A\) per ogni \(n\ge 1\) sufficientemente grande e converge a \(2\), ma \(2\notin A\).
Quindi \(A\) non è chiuso. Per il teorema di Heine-Borel, \(A\) non è compatto.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l'insieme
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: x^2\le 4\right\} \]
è compatto in \(\mathbb R\).
Risultato
L'insieme \(A\) è compatto.
Svolgimento
Risolviamo la disequazione
\[ x^2\le 4. \]
Essa equivale a
\[ -2\le x\le 2. \]
Dunque
\[ A=[-2,2]. \]
L'intervallo \([-2,2]\) è chiuso, perché contiene i suoi estremi, ed è limitato, perché ogni suo elemento \(x\) soddisfa
\[ -2\le x\le 2. \]
Per il teorema di Heine-Borel, \(A\) è compatto.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Sia
\[ A=\left\{x\in\mathbb R: |x-3|\le 2\right\}. \]
Stabilire se \(A\) è compatto.
Risultato
L'insieme \(A=[1,5]\) è compatto.
Svolgimento
La disequazione
\[ |x-3|\le 2 \]
significa che la distanza di \(x\) da \(3\) è al più \(2\). Equivalentemente,
\[ -2\le x-3\le 2. \]
Sommando \(3\) ai tre membri otteniamo
\[ 1\le x\le 5. \]
Quindi
\[ A=[1,5]. \]
L'intervallo \([1,5]\) è chiuso e limitato. Per il teorema di Heine-Borel, \(A\) è compatto.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Dimostrare che l'intersezione di due insiemi compatti \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) è compatta.
Risultato
L'insieme \(K_1\cap K_2\) è compatto.
Svolgimento
Poiché \(K_1\) e \(K_2\) sono compatti in \(\mathbb R\), per il teorema di Heine-Borel sono chiusi e limitati.
L'intersezione di due insiemi chiusi è chiusa. Dunque
\[ K_1\cap K_2 \]
è chiuso.
Inoltre \(K_1\cap K_2\subseteq K_1\). Poiché \(K_1\) è limitato, ogni suo sottoinsieme è limitato. Quindi \(K_1\cap K_2\) è limitato.
Abbiamo dimostrato che \(K_1\cap K_2\) è chiuso e limitato.
Pertanto, per il teorema di Heine-Borel, \(K_1\cap K_2\) è compatto.
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Dimostrare che l'unione di due insiemi compatti \(K_1,K_2\subseteq\mathbb R\) è compatta.
Risultato
L'insieme \(K_1\cup K_2\) è compatto.
Svolgimento
Poiché \(K_1\) e \(K_2\) sono compatti in \(\mathbb R\), sono chiusi e limitati.
L'unione finita di insiemi chiusi è chiusa. Quindi
\[ K_1\cup K_2 \]
è chiuso.
Poiché \(K_1\) è limitato, esiste \(M_1>0\) tale che
\[ |x|\le M_1 \quad \text{per ogni } x\in K_1. \]
Poiché \(K_2\) è limitato, esiste \(M_2>0\) tale che
\[ |x|\le M_2 \quad \text{per ogni } x\in K_2. \]
Poniamo
\[ M=\max\{M_1,M_2\}. \]
Allora, per ogni \(x\in K_1\cup K_2\), si ha
\[ |x|\le M. \]
Quindi \(K_1\cup K_2\) è limitato.
Essendo chiuso e limitato, \(K_1\cup K_2\) è compatto.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Dimostrare che l'insieme
\[ K=\left\{x\in[0,2]: x\neq 1\right\} \]
non è compatto.
Risultato
L'insieme \(K=[0,2]\setminus\{1\}\) non è compatto.
Svolgimento
L'insieme \(K\) è limitato, perché è contenuto in \([0,2]\).
Tuttavia non è chiuso. Infatti \(1\) è un punto di accumulazione di \(K\), ma non appartiene a \(K\).
Per vederlo in modo esplicito, consideriamo la successione
\[ x_n=1+\frac1n. \]
Per ogni \(n\ge 1\) si ha \(x_n\neq 1\), e per \(n\) sufficientemente grande si ha \(x_n\in[0,2]\). Quindi \(x_n\in K\).
Inoltre
\[ x_n\to 1. \]
Ma \(1\notin K\). Dunque \(K\) non è chiuso.
Poiché in \(\mathbb R\) ogni compatto deve essere chiuso e limitato, \(K\) non è compatto.
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Dimostrare, usando i ricoprimenti aperti, che l'insieme
\[ A=(0,1) \]
non è compatto.
Risultato
L'intervallo \((0,1)\) non è compatto.
Svolgimento
Consideriamo la famiglia di aperti
\[ \mathcal U=\left\{\left(\frac1n,1\right):n\in\mathbb N,\ n\ge 2\right\}. \]
Questa famiglia ricopre \((0,1)\). Infatti, preso \(x\in(0,1)\), possiamo scegliere \(n\) sufficientemente grande in modo che
\[ \frac1n
Allora
\[ x\in\left(\frac1n,1\right). \]
Quindi
\[ (0,1)\subseteq\bigcup_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1n,1\right). \]
Supponiamo ora di scegliere un numero finito di questi aperti:
\[ \left(\frac1{n_1},1\right),\ldots,\left(\frac1{n_k},1\right). \]
Sia
\[ N=\max\{n_1,\ldots,n_k\}. \]
Tra questi intervalli, quello che parte più a sinistra è
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
L'unione finita scelta è quindi contenuta in
\[ \left(\frac1N,1\right). \]
Ma il punto
\[ x=\frac1{N+1} \]
appartiene a \((0,1)\) e soddisfa
\[ \frac1{N+1}<\frac1N. \]
Dunque \(x\) non appartiene all'unione finita scelta.
Abbiamo trovato un ricoprimento aperto di \((0,1)\) che non ammette alcun sottoricoprimento finito. Per definizione, \((0,1)\) non è compatto.
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Dimostrare, usando le successioni, che l'insieme
\[ A=(0,1] \]
non è compatto.
Risultato
L'insieme \((0,1]\) non è compatto.
Svolgimento
In \(\mathbb R\), ogni successione contenuta in un insieme compatto ammette una sottosuccessione convergente a un punto dell'insieme.
Consideriamo la successione
\[ x_n=\frac1n. \]
Per ogni \(n\ge 1\) si ha
\[ x_n\in(0,1]. \]
Inoltre
\[ x_n\to 0. \]
Ogni sottosuccessione di \((x_n)\) converge ancora a \(0\). Infatti, se \((x_{n_k})\) è una sottosuccessione, allora
\[ x_{n_k}=\frac1{n_k}\to 0. \]
Ma
\[ 0\notin(0,1]. \]
Quindi la successione \((x_n)\), pur essendo interamente contenuta in \((0,1]\), non possiede alcuna sottosuccessione convergente a un punto di \((0,1]\).
Pertanto \((0,1]\) non è compatto.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Sia \(K\subseteq\mathbb R\) un insieme compatto e sia \(f:K\to\mathbb R\) una funzione continua. Dimostrare che \(f(K)\) è compatto.
Risultato
L'immagine continua di un compatto è compatta.
Svolgimento
Vogliamo dimostrare che
\[ f(K)=\{f(x):x\in K\} \]
è compatto.
Usiamo il criterio sequenziale di compattezza in \(\mathbb R\). Sia dunque \((y_n)\) una successione di punti di \(f(K)\). Per definizione di immagine, per ogni \(n\) esiste \(x_n\in K\) tale che
\[ y_n=f(x_n). \]
Poiché \(K\) è compatto, dalla successione \((x_n)\) possiamo estrarre una sottosuccessione \((x_{n_k})\) convergente a un punto \(x_0\in K\):
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Poiché \(f\) è continua in \(x_0\), passando al limite otteniamo
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
Ma
\[ f(x_{n_k})=y_{n_k}. \]
Quindi la successione \((y_n)\) ammette una sottosuccessione \((y_{n_k})\) convergente al punto
\[ f(x_0)\in f(K). \]
Abbiamo dimostrato che ogni successione in \(f(K)\) ammette una sottosuccessione convergente a un punto di \(f(K)\). Pertanto \(f(K)\) è compatto.