La completezza di \(\mathbb R\) è una proprietà fondamentale dei numeri reali. Essa esprime il fatto che la retta reale non presenta “buchi”: ogni insieme reale non vuoto e superiormente limitato possiede un estremo superiore reale.
Questa proprietà distingue profondamente \(\mathbb R\) dall'insieme dei numeri razionali \(\mathbb Q\). Infatti, nei razionali esistono insiemi non vuoti e superiormente limitati che non possiedono estremo superiore razionale. In \(\mathbb R\), invece, questo fenomeno non può accadere.
In questa trattazione introdurremo il significato della completezza di \(\mathbb R\), enunceremo l'assioma di completezza mediante l'estremo superiore e vedremo perché questa proprietà è alla base di molti risultati fondamentali dell'analisi matematica.
Indice
- Idea intuitiva di completezza di \(\mathbb R\)
- Perché \(\mathbb Q\) non è completo
- Richiamo: maggioranti, minoranti, massimo e minimo
- Richiamo: estremo superiore ed estremo inferiore
- Assioma di completezza di \(\mathbb R\)
- Significato dell'assioma di completezza
- Esempi di applicazione dell'assioma di completezza
- Completezza di \(\mathbb R\) e successioni
- Conseguenze fondamentali della completezza di \(\mathbb R\)
- Riepilogo finale
Idea intuitiva di completezza di \(\mathbb R\)
Dire che \(\mathbb R\) è completo significa, intuitivamente, dire che la retta reale non ha buchi.
Questa affermazione va interpretata con attenzione. I numeri razionali \(\mathbb Q\) sono molto fitti sulla retta: tra due razionali distinti esiste sempre almeno un altro razionale. Tuttavia, nonostante questa densità, \(\mathbb Q\) non riempie completamente la retta.
Per esempio, il numero
\[ \sqrt{2} \]
non è razionale. Eppure è possibile costruire numeri razionali sempre più vicini a \(\sqrt{2}\), sia per difetto sia per eccesso.
In altre parole, dentro \(\mathbb Q\) esistono processi di approssimazione che “puntano” verso un numero che non appartiene a \(\mathbb Q\). Dal punto di vista dei razionali, quel punto è un buco.
L'insieme \(\mathbb R\), invece, è costruito proprio per colmare questi buchi. Ogni grandezza che può essere individuata come limite, come estremo superiore o come punto di separazione tra due classi di numeri, appartiene alla retta reale.
La completezza di \(\mathbb R\) formalizza questa idea: ogni insieme reale non vuoto e superiormente limitato possiede un estremo superiore in \(\mathbb R\).
Perché \(\mathbb Q\) non è completo
Per comprendere la completezza di \(\mathbb R\), è utile osservare prima perché \(\mathbb Q\) non è completo.
Consideriamo l'insieme
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\}. \]
L'insieme \(A\) è formato dai numeri razionali il cui quadrato è minore di \(2\).
Per esempio,
\[ 1\in A, \]
perché
\[ 1^2=1<2. \]
Inoltre \(A\) è superiormente limitato in \(\mathbb Q\). Per esempio, \(2\) è un maggiorante razionale di \(A\), perché ogni razionale \(q\) con \(q^2<2\) è certamente minore di \(2\).
Tuttavia \(A\) non possiede estremo superiore in \(\mathbb Q\).
Infatti, se ragioniamo dentro \(\mathbb R\), il suo estremo superiore è
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
Ma
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Dunque, guardando l'insieme solo dentro \(\mathbb Q\), manca il numero che dovrebbe rappresentare il più piccolo maggiorante.
Questo è il punto essenziale: \(\mathbb Q\) contiene molti numeri, ed è denso sulla retta, ma non è completo. Esistono insiemi razionali non vuoti e superiormente limitati che non hanno estremo superiore razionale.
Il buco corrispondente a \(\sqrt{2}\)
L'insieme
\[ A=\{q\in\mathbb Q:q^2<2\} \]
descrive tutti i razionali che stanno, intuitivamente, a sinistra di \(\sqrt{2}\).
Dentro \(\mathbb Q\), però, il numero \(\sqrt{2}\) non esiste. Quindi l'insieme \(A\) si avvicina indefinitamente a una soglia che non appartiene ai razionali.
Nei reali, invece, quella soglia esiste ed è proprio \(\sqrt{2}\). Per questo motivo \(\mathbb R\) è completo, mentre \(\mathbb Q\) non lo è.
Richiamo: maggioranti, minoranti, massimo e minimo
Prima di enunciare l'assioma di completezza, richiamiamo alcune definizioni fondamentali.
Sia \(A\subseteq\mathbb R\) un insieme non vuoto.
Un numero \(M\in\mathbb R\) si dice maggiorante di \(A\) se ogni elemento di \(A\) è minore o uguale a \(M\). In simboli:
\[ x\leq M \qquad \text{per ogni } x\in A. \]
Se \(A\) possiede almeno un maggiorante, allora \(A\) si dice superiormente limitato.
Analogamente, un numero \(m\in\mathbb R\) si dice minorante di \(A\) se ogni elemento di \(A\) è maggiore o uguale a \(m\). In simboli:
\[ m\leq x \qquad \text{per ogni } x\in A. \]
Se \(A\) possiede almeno un minorante, allora \(A\) si dice inferiormente limitato.
Massimo e minimo
Un elemento \(M\in A\) si dice massimo di \(A\) se è maggiore o uguale di ogni elemento di \(A\):
\[ x\leq M \qquad \text{per ogni } x\in A. \]
In questo caso si scrive
\[ M=\max A. \]
Un elemento \(m\in A\) si dice minimo di \(A\) se è minore o uguale di ogni elemento di \(A\):
\[ m\leq x \qquad \text{per ogni } x\in A. \]
In questo caso si scrive
\[ m=\min A. \]
È importante osservare che massimo e minimo, se esistono, devono appartenere all'insieme.
Per esempio, l'intervallo
\[ (0,1) \]
è superiormente e inferiormente limitato, ma non ha né massimo né minimo. Infatti \(1\) e \(0\) sono rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore, ma non appartengono all'intervallo.
Richiamo: estremo superiore ed estremo inferiore
Le nozioni di massimo e minimo non sono sufficienti per descrivere tutti gli insiemi limitati. Esistono infatti insiemi che non hanno massimo, ma possiedono comunque un più piccolo maggiorante.
Sia \(A\subseteq\mathbb R\) un insieme non vuoto e superiormente limitato. Un numero \(s\in\mathbb R\) si dice estremo superiore di \(A\) se soddisfa due proprietà:
- \(s\) è un maggiorante di \(A\);
- \(s\) è il più piccolo tra tutti i maggioranti di \(A\).
In questo caso si scrive
\[ s=\sup A. \]
Dire che \(s=\sup A\) significa quindi che
\[ x\leq s \qquad \text{per ogni } x\in A, \]
e che ogni numero più piccolo di \(s\) non è più un maggiorante di \(A\).
Equivalentemente, \(s=\sup A\) se e solo se \(s\) è un maggiorante di \(A\) e, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste almeno un elemento \(x\in A\) tale che
\[ s-\varepsilon<x\leq s. \]
Questa seconda caratterizzazione è molto importante: essa dice che gli elementi di \(A\) possono avvicinarsi arbitrariamente a \(\sup A\) dal basso.
Estremo inferiore
In modo analogo, sia \(A\subseteq\mathbb R\) un insieme non vuoto e inferiormente limitato. Un numero \(i\in\mathbb R\) si dice estremo inferiore di \(A\) se soddisfa due proprietà:
- \(i\) è un minorante di \(A\);
- \(i\) è il più grande tra tutti i minoranti di \(A\).
In questo caso si scrive
\[ i=\inf A. \]
Dire che \(i=\inf A\) significa quindi che
\[ i\leq x \qquad \text{per ogni } x\in A, \]
e che ogni numero più grande di \(i\) non è più un minorante di \(A\).
Equivalentemente, \(i=\inf A\) se e solo se \(i\) è un minorante di \(A\) e, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste almeno un elemento \(x\in A\) tale che
\[ i\leq x<i+\varepsilon. \]
Differenza tra massimo ed estremo superiore
Il massimo, se esiste, è un elemento dell'insieme. L'estremo superiore, invece, può anche non appartenere all'insieme.
Per esempio, per l'intervallo
\[ A=(0,1) \]
si ha
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=0. \]
Tuttavia
\[ 1\notin A \qquad \text{e} \qquad 0\notin A. \]
Quindi \(A\) non ha né massimo né minimo.
Questo esempio mostra che l'estremo superiore e l'estremo inferiore sono concetti più generali di massimo e minimo.
Assioma di completezza di \(\mathbb R\)
Possiamo ora enunciare la proprietà fondamentale dei numeri reali.
Assioma di completezza di \(\mathbb R\). Ogni sottoinsieme non vuoto di \(\mathbb R\) superiormente limitato ammette estremo superiore in \(\mathbb R\).
In simboli, se \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\), e \(A\) è superiormente limitato, allora esiste un numero reale \(s\in\mathbb R\) tale che
\[ s=\sup A. \]
Questo assioma afferma che, nella retta reale, ogni insieme non vuoto che possiede almeno un maggiorante possiede anche il più piccolo dei suoi maggioranti.
La completezza di \(\mathbb R\) può quindi essere espressa dicendo che in \(\mathbb R\) non mancano gli estremi superiori degli insiemi non vuoti e superiormente limitati.
Forma equivalente con l'estremo inferiore
L'assioma di completezza può essere formulato anche tramite l'estremo inferiore.
Ogni sottoinsieme non vuoto di \(\mathbb R\) inferiormente limitato ammette estremo inferiore in \(\mathbb R\).
In simboli, se \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\), e \(A\) è inferiormente limitato, allora esiste un numero reale \(i\in\mathbb R\) tale che
\[ i=\inf A. \]
Le due formulazioni sono equivalenti. Infatti, l'esistenza degli estremi superiori permette di ricavare l'esistenza degli estremi inferiori applicando l'assioma all'insieme opposto
\[ -A=\{-x:x\in A\}. \]
In particolare, se \(A\) è inferiormente limitato, allora
\[ \inf A=-\sup(-A). \]
Perché si parla di assioma?
Si parla di assioma perché la completezza non può essere dedotta dalle sole proprietà algebriche e d'ordine che i numeri razionali già possiedono.
Anche \(\mathbb Q\) è un campo ordinato: si possono sommare, moltiplicare e confrontare numeri razionali. Tuttavia \(\mathbb Q\) non è completo.
La proprietà che distingue \(\mathbb R\) da \(\mathbb Q\) è proprio l'esistenza dell'estremo superiore per ogni insieme reale non vuoto e superiormente limitato.
Significato dell'assioma di completezza
L'assioma di completezza afferma che, se un insieme reale è non vuoto e non può superare una certa soglia, allora esiste una soglia minima che lo contiene dall'alto.
Questa soglia minima è l'estremo superiore.
Per capire il significato dell'assioma, immaginiamo un insieme \(A\subseteq\mathbb R\) formato da punti collocati sulla retta reale. Se \(A\) è superiormente limitato, allora tutti i suoi punti stanno a sinistra di almeno un numero reale.
L'assioma di completezza garantisce che tra tutti questi maggioranti esiste il più piccolo. In altre parole, esiste un numero reale che rappresenta esattamente il bordo superiore dell'insieme.
Questo bordo può appartenere oppure non appartenere all'insieme.
Se appartiene all'insieme, allora coincide con il massimo. Se non appartiene all'insieme, è comunque presente nella retta reale come estremo superiore.
Esempio: intervallo chiuso
Consideriamo l'intervallo
\[ A=[0,1]. \]
L'insieme \(A\) è non vuoto e superiormente limitato.
Il suo estremo superiore è
\[ \sup A=1. \]
In questo caso \(1\in A\), quindi l'estremo superiore è anche il massimo:
\[ \max A=1. \]
Esempio: intervallo aperto
Consideriamo ora l'intervallo
\[ A=(0,1). \]
Anche questo insieme è non vuoto e superiormente limitato.
Il suo estremo superiore è ancora
\[ \sup A=1. \]
Tuttavia \(1\notin A\), quindi \(A\) non ha massimo.
L'assioma di completezza garantisce comunque l'esistenza dell'estremo superiore, anche quando esso non appartiene all'insieme.
Il punto essenziale
Il punto essenziale è questo: la completezza non dice che ogni insieme limitato abbia massimo o minimo.
Dice invece che ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ha estremo superiore, e ogni insieme non vuoto e inferiormente limitato ha estremo inferiore.
Questa distinzione è fondamentale. Il massimo deve appartenere all'insieme; l'estremo superiore, invece, può anche non appartenere all'insieme.
Esempi di applicazione dell'assioma di completezza
Vediamo ora alcuni esempi che mostrano come l'assioma di completezza garantisca l'esistenza dell'estremo superiore anche quando l'insieme non possiede massimo.
Esempio 1: un intervallo aperto
Consideriamo l'insieme
\[ A=(0,1). \]
L'insieme \(A\) è non vuoto e superiormente limitato. Per esempio, \(1\) è un maggiorante di \(A\), perché
\[ x\leq 1 \qquad \text{per ogni } x\in A. \]
Per l'assioma di completezza, \(A\) ammette estremo superiore in \(\mathbb R\). In questo caso
\[ \sup A=1. \]
Tuttavia \(1\notin A\), quindi \(A\) non ha massimo.
Questo esempio mostra che l'assioma di completezza non garantisce l'esistenza del massimo, ma garantisce l'esistenza dell'estremo superiore.
Esempio 2: l'insieme dei quadrati minori di \(2\)
Consideriamo l'insieme
\[ A=\{x\in\mathbb R:x^2<2\}. \]
Questo insieme è non vuoto, perché \(0\in A\). Inoltre è superiormente limitato: per esempio, \(2\) è un maggiorante di \(A\).
Per l'assioma di completezza, esiste
\[ \sup A. \]
In questo caso si ha
\[ \sup A=\sqrt{2}. \]
Infatti \(\sqrt{2}\) è un maggiorante di \(A\), perché se \(x^2<2\), allora \(x<\sqrt{2}\). Inoltre ogni numero minore di \(\sqrt{2}\) non può essere un maggiorante, perché esistono elementi di \(A\) arbitrariamente vicini a \(\sqrt{2}\) da sinistra.
Questo esempio mostra il ruolo essenziale dei numeri reali: il numero \(\sqrt{2}\), che manca in \(\mathbb Q\), esiste in \(\mathbb R\) e può essere riconosciuto come estremo superiore di un insieme.
Esempio 3: un insieme con massimo
Consideriamo l'insieme
\[ A=\left\{1-\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
I primi elementi dell'insieme sono
\[ 0,\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\ldots \]
L'insieme è non vuoto e superiormente limitato. Infatti ogni suo elemento è minore di \(1\).
Per l'assioma di completezza, \(A\) possiede estremo superiore. In questo caso
\[ \sup A=1. \]
Però \(1\notin A\), perché non esiste alcun \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ 1-\frac{1}{n}=1. \]
Dunque \(A\) non ha massimo.
Questo esempio è importante perché mostra un insieme discreto, formato da infiniti punti isolati, che si avvicina indefinitamente a un valore esterno all'insieme.
Completezza di \(\mathbb R\) e successioni
La completezza di \(\mathbb R\) può essere espressa anche attraverso le successioni. Una delle formulazioni più importanti è il criterio di Cauchy.
Una successione \((x_n)\) di numeri reali si dice successione di Cauchy se i suoi termini diventano arbitrariamente vicini tra loro al crescere degli indici.
In simboli, \((x_n)\) è di Cauchy se, per ogni \(\varepsilon>0\), esiste \(N\in\mathbb N\) tale che, per ogni \(m,n\geq N\), si ha
\[ |x_n-x_m|<\varepsilon. \]
L'idea è che una successione di Cauchy non richiede di conoscere in anticipo il suo limite: essa descrive una successione i cui termini si stabilizzano sempre più tra loro.
Completezza tramite successioni di Cauchy
La completezza di \(\mathbb R\) può essere formulata così:
Ogni successione di Cauchy di numeri reali converge a un numero reale.
In simboli, se \((x_n)\subseteq\mathbb R\) è una successione di Cauchy, allora esiste \(x\in\mathbb R\) tale che
\[ x_n\to x. \]
Questa proprietà è un'altra forma della completezza di \(\mathbb R\). Essa dice che, se una successione reale si comporta come se dovesse convergere, allora il suo limite esiste davvero dentro \(\mathbb R\).
Perché \(\mathbb Q\) non è completo dal punto di vista sequenziale
Nei razionali questo non accade. Esistono successioni di numeri razionali che sono di Cauchy, ma non convergono ad alcun numero razionale.
Per esempio, possiamo considerare una successione di approssimazioni razionali di \(\sqrt{2}\):
\[ 1,\ 1.4,\ 1.41,\ 1.414,\ 1.4142,\ldots \]
Questa successione è formata da numeri razionali e i suoi termini si avvicinano sempre di più tra loro. Essa converge, in \(\mathbb R\), a
\[ \sqrt{2}. \]
Tuttavia
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Quindi, vista come successione in \(\mathbb Q\), essa non converge a un numero razionale.
Questo mostra che \(\mathbb Q\) non è completo: contiene successioni che dovrebbero convergere, ma il loro limite cade fuori da \(\mathbb Q\).
Collegamento con l'assioma dell'estremo superiore
L'assioma dell'estremo superiore e la completezza tramite successioni di Cauchy sono due formulazioni diverse della stessa proprietà fondamentale dei numeri reali.
L'assioma dell'estremo superiore afferma che gli insiemi reali non vuoti e superiormente limitati hanno un bordo superiore reale.
La completezza tramite successioni di Cauchy afferma invece che ogni processo di approssimazione interna ai reali converge a un numero reale.
Entrambe le formulazioni esprimono la stessa idea: nella retta reale non mancano i punti limite necessari a completare i processi di approssimazione.
Conseguenze fondamentali della completezza di \(\mathbb R\)
La completezza di \(\mathbb R\) non è una proprietà isolata. Molti teoremi fondamentali dell'analisi reale dipendono proprio dal fatto che la retta reale non ha buchi.
Vediamo alcune delle conseguenze più importanti.
Esistenza degli estremi superiori e inferiori
La conseguenza più diretta è l'esistenza degli estremi superiori e inferiori.
Se \(A\subseteq\mathbb R\) è non vuoto e superiormente limitato, allora esiste
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
Se \(A\subseteq\mathbb R\) è non vuoto e inferiormente limitato, allora esiste
\[ \inf A\in\mathbb R. \]
Questa proprietà permette di lavorare con insiemi che non possiedono massimo o minimo, ma che hanno comunque un bordo superiore o inferiore ben definito.
Teorema degli intervalli annidati
Un'altra conseguenza della completezza è il teorema degli intervalli annidati.
Se
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad n\in\mathbb N, \]
è una successione di intervalli chiusi, limitati e annidati, cioè
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots, \]
allora la loro intersezione è non vuota:
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n\neq\varnothing. \]
Se inoltre la lunghezza degli intervalli tende a \(0\), cioè
\[ b_n-a_n\to 0, \]
allora l'intersezione contiene un solo punto.
Questo risultato dipende dalla completezza: in un insieme non completo, una successione di intervalli annidati può “chiudersi” attorno a un punto mancante.
Teorema di Bolzano-Weierstrass
La completezza è anche alla base del teorema di Bolzano-Weierstrass.
Questo teorema afferma che ogni successione reale limitata ammette una sottosuccessione convergente.
In simboli, se \((x_n)\) è una successione limitata di numeri reali, allora esistono una sottosuccessione \((x_{n_k})\) e un numero reale \(x\in\mathbb R\) tali che
\[ x_{n_k}\to x. \]
Il punto essenziale è che il limite della sottosuccessione appartiene ancora a \(\mathbb R\). Questo è possibile perché \(\mathbb R\) è completo.
Criterio di convergenza di Cauchy
Una conseguenza fondamentale della completezza è il criterio di convergenza di Cauchy.
Una successione reale converge se e solo se è una successione di Cauchy.
In simboli:
\[ (x_n) \text{ converge in } \mathbb R \quad \Longleftrightarrow \quad (x_n) \text{ è di Cauchy}. \]
L'implicazione da sinistra a destra vale in ogni spazio metrico: ogni successione convergente è di Cauchy.
L'implicazione opposta, invece, è una proprietà di completezza: in \(\mathbb R\), ogni successione di Cauchy converge a un numero reale.
Teoremi di esistenza in analisi
Molti risultati di esistenza dell'analisi si basano, direttamente o indirettamente, sulla completezza di \(\mathbb R\).
Per esempio, la completezza è alla base del teorema di Weierstrass, del teorema degli zeri, del teorema dei valori intermedi e di diversi risultati sulla convergenza delle successioni e delle serie.
In tutti questi casi, l'idea di fondo è la stessa: si costruisce un oggetto mediante approssimazioni successive e la completezza garantisce che l'oggetto limite esista realmente in \(\mathbb R\).
Riepilogo finale
La completezza di \(\mathbb R\) è la proprietà che distingue i numeri reali dai numeri razionali. Essa esprime il fatto che la retta reale non presenta buchi.
La formulazione più classica della completezza è l'assioma dell'estremo superiore:
ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato di \(\mathbb R\) possiede estremo superiore in \(\mathbb R\).
In simboli, se \(A\subseteq\mathbb R\), \(A\neq\varnothing\), e \(A\) è superiormente limitato, allora esiste
\[ \sup A\in\mathbb R. \]
In modo equivalente, ogni sottoinsieme non vuoto e inferiormente limitato di \(\mathbb R\) possiede estremo inferiore in \(\mathbb R\).
La completezza non afferma che ogni insieme limitato abbia massimo o minimo. Afferma invece che ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ha un estremo superiore, anche quando tale estremo non appartiene all'insieme.
L'insieme dei numeri razionali \(\mathbb Q\) non è completo: esistono insiemi razionali non vuoti e superiormente limitati che non hanno estremo superiore razionale. Un esempio fondamentale è l'insieme dei razionali \(q\) tali che \(q^2<2\), il cui estremo superiore reale è \(\sqrt{2}\), che non appartiene a \(\mathbb Q\).
La completezza di \(\mathbb R\) può essere espressa anche in forma sequenziale: ogni successione di Cauchy di numeri reali converge a un numero reale.
Questa proprietà è alla base di molti risultati fondamentali dell'analisi matematica, tra cui il teorema degli intervalli annidati, il teorema di Bolzano-Weierstrass, il criterio di convergenza di Cauchy e numerosi teoremi di esistenza.
In sintesi, la completezza è ciò che rende \(\mathbb R\) l'ambiente naturale dell'analisi: ogni processo di approssimazione ben definito trova il proprio limite all'interno della retta reale.