Il teorema di Heine-Borel è uno dei risultati fondamentali dell'analisi reale. Esso fornisce una caratterizzazione completa degli insiemi compatti della retta reale, mostrando che in \(\mathbb R\) la compattezza coincide esattamente con due proprietà più semplici da riconoscere: la chiusura e la limitatezza.
In altre parole, un sottoinsieme di \(\mathbb R\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Questo risultato rende concreta la definizione di compattezza mediante ricoprimenti aperti e spiega perché intervalli come \([a,b]\) sono compatti, mentre insiemi come \((a,b)\) o \([0,+\infty)\) non lo sono.
In questa trattazione enunceremo il teorema di Heine-Borel, ne chiariremo il significato, dimostreremo entrambe le implicazioni e analizzeremo esempi fondamentali e controesempi.
Indice
- Enunciato del teorema di Heine-Borel
- Significato del teorema
- Perché la limitatezza è necessaria
- Perché la chiusura è necessaria
- Dimostrazione: ogni compatto di \(\mathbb R\) è chiuso e limitato
- Dimostrazione: ogni chiuso e limitato di \(\mathbb R\) è compatto
- Esempi di insiemi compatti tramite Heine-Borel
- Esempi di insiemi non compatti tramite Heine-Borel
- Heine-Borel e successioni
- Riepilogo finale
Enunciato del teorema di Heine-Borel
Il teorema di Heine-Borel caratterizza completamente gli insiemi compatti della retta reale.
Teorema di Heine-Borel. Un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
In simboli:
\[ K \subseteq \mathbb R \text{ è compatto} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ è chiuso e limitato}. \]
Il teorema contiene due affermazioni distinte:
- se \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto, allora \(K\) è chiuso e limitato;
- se \(K\subseteq\mathbb R\) è chiuso e limitato, allora \(K\) è compatto.
La prima implicazione mostra che la compattezza impedisce sia la fuga all'infinito sia la presenza di punti di accumulazione mancanti. La seconda implicazione mostra invece che, nella retta reale, queste due condizioni sono sufficienti per garantire la compattezza.
Significato del teorema
La definizione di insieme compatto è formulata mediante i ricoprimenti aperti: un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto se ogni ricoprimento aperto di \(K\) ammette un sottoricoprimento finito.
Questa definizione è molto generale, ma non sempre è immediata da verificare. Il teorema di Heine-Borel rende la compattezza molto più concreta nel caso degli insiemi reali.
Infatti, grazie al teorema, per stabilire se un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto non è necessario controllare direttamente tutti i suoi ricoprimenti aperti. È sufficiente verificare due proprietà:
- \(K\) è limitato, cioè i suoi punti non possono allontanarsi indefinitamente;
- \(K\) è chiuso, cioè contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Per esempio, l'intervallo
\[ [0,1] \]
è chiuso e limitato, quindi è compatto.
L'intervallo
\[ (0,1) \]
è limitato, ma non è chiuso; quindi non è compatto.
La semiretta
\[ [0,+\infty) \]
è chiusa, ma non è limitata; quindi non è compatta.
Il teorema di Heine-Borel mostra quindi che, in \(\mathbb R\), compattezza significa esattamente: nessuna fuga all'infinito e nessun punto di accumulazione mancante.
Perché la limitatezza è necessaria
Vediamo innanzitutto perché un insieme compatto non può essere illimitato.
Un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) si dice limitato se esiste \(M>0\) tale che
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
Equivalentemente, tutti i punti di \(K\) hanno valore assoluto minore o uguale a una stessa costante:
\[ |x|\leq M \qquad \text{per ogni } x\in K. \]
Se invece \(K\) non è limitato, allora i suoi punti possono allontanarsi indefinitamente. In questo caso si può costruire un ricoprimento aperto di \(K\) che non ammette alcun sottoricoprimento finito.
Consideriamo infatti la famiglia di aperti
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
L'unione di tutti questi aperti è l'intera retta reale:
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R. \]
Quindi, in particolare,
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
La famiglia \(\{(-n,n)\}_{n\geq 1}\) è dunque un ricoprimento aperto di \(K\).
Se da questo ricoprimento scegliamo soltanto un numero finito di aperti, esiste un indice massimo \(N\) tra quelli scelti. Poiché gli intervalli \((-n,n)\) crescono al crescere di \(n\), l'unione finita degli aperti scelti è contenuta in
\[ (-N,N). \]
Ma, se \(K\) è illimitato, esiste almeno un punto \(x\in K\) tale che
\[ |x|>N. \]
Tale punto non appartiene a \((-N,N)\). Dunque nessun numero finito di aperti della famiglia può ricoprire tutto \(K\).
Quindi un insieme illimitato non può essere compatto.
Di conseguenza, ogni insieme compatto di \(\mathbb R\) deve essere limitato.
Perché la chiusura è necessaria
Vediamo ora perché un insieme compatto di \(\mathbb R\) deve essere chiuso.
Un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione. In altre parole, se una successione di punti di \(K\) converge a un numero reale \(x\), allora il limite \(x\) deve appartenere ancora a \(K\).
Se un insieme non è chiuso, può accadere che alcuni suoi punti si avvicinino indefinitamente a un punto esterno all'insieme. Questo fenomeno è incompatibile con la compattezza.
Per esempio, l'intervallo
\[ (0,1) \]
non è chiuso, perché \(0\) e \(1\) sono punti di accumulazione dell'intervallo, ma non appartengono all'intervallo stesso.
Consideriamo la successione
\[ x_n=\frac{1}{n}. \]
Per ogni \(n\geq 2\), si ha
\[ x_n\in(0,1), \]
ma
\[ x_n\to 0. \]
Il limite \(0\) non appartiene a \((0,1)\). Dunque la successione \(\left(\displaystyle \frac{1}{n}\right)\), pur essendo contenuta nell'intervallo aperto \((0,1)\), converge verso un punto esterno all'insieme.
Questo mostra perché la chiusura è necessaria: un insieme compatto non può perdere i limiti delle successioni che vivono al suo interno.
Più precisamente, se \(K\) è compatto, ogni successione di punti di \(K\) ammette una sottosuccessione convergente a un punto di \(K\). Se \(K\) avesse un punto di accumulazione esterno, sarebbe possibile costruire una successione di punti di \(K\) convergente a quel punto esterno, contraddicendo la compattezza.
Di conseguenza, ogni insieme compatto di \(\mathbb R\) deve essere chiuso.
Dimostrazione: ogni compatto di \(\mathbb R\) è chiuso e limitato
Dimostriamo ora la prima implicazione del teorema di Heine-Borel:
\[ K \text{ compatto} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ chiuso e limitato}. \]
La dimostrazione si divide naturalmente in due parti:
- prima dimostriamo che \(K\) è limitato;
- poi dimostriamo che \(K\) è chiuso.
Un compatto di \(\mathbb R\) è limitato
Supponiamo che \(K\subseteq\mathbb R\) sia compatto.
Consideriamo la famiglia di aperti
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Poiché
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R, \]
si ha certamente
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
Dunque \(\{U_n\}_{n\geq 1}\) è un ricoprimento aperto di \(K\).
Siccome \(K\) è compatto, da questo ricoprimento aperto possiamo estrarre un sottoricoprimento finito. Esistono quindi indici
\[ n_1,n_2,\ldots,n_m \]
tali che
\[ K\subseteq (-n_1,n_1)\cup(-n_2,n_2)\cup\cdots\cup(-n_m,n_m). \]
Sia
\[ N=\max\{n_1,n_2,\ldots,n_m\}. \]
Poiché gli intervalli \((-n,n)\) crescono al crescere di \(n\), si ha
\[ (-n_j,n_j)\subseteq (-N,N) \qquad \text{per ogni } j=1,\ldots,m. \]
Pertanto
\[ K\subseteq (-N,N). \]
Quindi ogni punto \(x\in K\) soddisfa
\[ |x|<N. \]
Abbiamo così trovato una costante \(N>0\) che limita tutti i punti di \(K\). Dunque \(K\) è limitato.
Un compatto di \(\mathbb R\) è chiuso
Dimostriamo ora che \(K\) è chiuso.
Useremo la caratterizzazione sequenziale degli insiemi chiusi: un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è chiuso se e solo se, per ogni successione \((x_n)\subseteq K\) convergente a un numero reale \(x\), si ha necessariamente \(x\in K\).
Sia dunque \((x_n)\) una successione di punti di \(K\) tale che
\[ x_n\to x \qquad \text{con } x\in\mathbb R. \]
Poiché \(K\) è compatto, per la caratterizzazione sequenziale della compattezza in \(\mathbb R\), ogni successione di punti di \(K\) ammette una sottosuccessione convergente a un punto di \(K\). Esiste quindi una sottosuccessione \((x_{n_k})\) tale che
\[ x_{n_k}\to y \qquad \text{con } y\in K. \]
Ma \((x_{n_k})\) è una sottosuccessione della successione \((x_n)\), e ogni sottosuccessione di una successione convergente converge allo stesso limite. Poiché \(x_n\to x\), segue che
\[ x_{n_k}\to x. \]
Abbiamo quindi
\[ x_{n_k}\to x \qquad \text{e} \qquad x_{n_k}\to y. \]
Per l'unicità del limite in \(\mathbb R\), si ottiene
\[ x=y. \]
Poiché \(y\in K\), segue che anche \(x\in K\).
Abbiamo dimostrato che ogni successione di punti di \(K\) convergente in \(\mathbb R\) ha limite appartenente a \(K\). Dunque \(K\) è chiuso.
Abbiamo quindi provato che ogni insieme compatto di \(\mathbb R\) è sia chiuso sia limitato.
Dimostrazione: ogni chiuso e limitato di \(\mathbb R\) è compatto
Dimostriamo ora la seconda implicazione del teorema di Heine-Borel:
\[ K \text{ chiuso e limitato} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ compatto}. \]
Questa è la parte più profonda del teorema. Infatti, non basta sapere intuitivamente che un insieme chiuso e limitato è ben controllato: dobbiamo dimostrare che ogni suo ricoprimento aperto ammette un sottoricoprimento finito.
Procederemo in due passaggi:
- prima dimostreremo che ogni intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) è compatto;
- poi useremo questo risultato per dimostrare che ogni sottoinsieme chiuso e limitato di \(\mathbb R\) è compatto.
Passo 1: ogni intervallo \([a,b]\) è compatto
Siano \(a,b\in\mathbb R\), con \(a\leq b\). Vogliamo dimostrare che l'intervallo
\[ [a,b] \]
è compatto.
Consideriamo un ricoprimento aperto qualunque di \([a,b]\):
\[ [a,b]\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
dove ogni \(U_i\) è un aperto di \(\mathbb R\).
Dobbiamo dimostrare che esistono \(i_1,\ldots,i_m\in I\) tali che
\[ [a,b]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Ragioniamo per assurdo. Supponiamo che esista un ricoprimento aperto di \([a,b]\) dal quale non sia possibile estrarre alcun sottoricoprimento finito.
Dividiamo l'intervallo \([a,b]\) in due metà:
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Se entrambe queste metà ammettessero un sottoricoprimento finito, allora anche la loro unione, cioè tutto \([a,b]\), ammetterebbe un sottoricoprimento finito. Questo contraddirebbe l'ipotesi.
Dunque almeno una delle due metà non ammette un sottoricoprimento finito. Indichiamola con \(I_1\).
Ora dividiamo \(I_1\) in due metà. Anche in questo caso, almeno una delle due metà non può ammettere un sottoricoprimento finito; altrimenti \(I_1\) sarebbe ricoperto da un numero finito di aperti. Indichiamo tale metà con \(I_2\).
Proseguendo in questo modo, costruiamo una successione di intervalli chiusi e limitati
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots \]
tali che:
- ogni \(I_n\) è un sottointervallo chiuso di \([a,b]\);
- nessun \(I_n\) ammette un sottoricoprimento finito mediante gli aperti del ricoprimento iniziale;
- la lunghezza di \(I_n\) tende a \(0\).
Più precisamente, se \(I_n=[a_n,b_n]\), allora
\[ b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}. \]
Per il teorema degli intervalli annidati, esiste almeno un punto
\[ x\in \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Poiché \(x\in[a,b]\) e la famiglia \(\{U_i\}_{i\in I}\) ricopre \([a,b]\), esiste un indice \(i_0\in I\) tale che
\[ x\in U_{i_0}. \]
Siccome \(U_{i_0}\) è aperto, esiste \(r>0\) tale che
\[ (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Poiché la lunghezza degli intervalli \(I_n\) tende a \(0\), possiamo scegliere \(N\in\mathbb N\) tale che
\[ b_N-a_N<r. \]
Inoltre \(x\in I_N\). Quindi, per ogni \(y\in I_N\), si ha
\[ |y-x|\leq b_N-a_N<r. \]
Pertanto
\[ I_N\subseteq (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Ma allora \(I_N\) è ricoperto da un solo aperto del ricoprimento iniziale, cioè da \(U_{i_0}\). In particolare, \(I_N\) ammette un sottoricoprimento finito.
Questo contraddice la costruzione degli intervalli \(I_n\), secondo cui nessun \(I_n\) doveva ammettere un sottoricoprimento finito.
L'assurdo nasce dall'aver supposto che \([a,b]\) non fosse compatto. Dunque ogni intervallo chiuso e limitato \([a,b]\) è compatto.
Passo 2: ogni chiuso e limitato \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto
Sia ora \(K\subseteq\mathbb R\) un insieme chiuso e limitato.
Poiché \(K\) è limitato, esiste \(M>0\) tale che
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
Abbiamo appena dimostrato che l'intervallo \([-M,M]\) è compatto.
Consideriamo ora un ricoprimento aperto qualunque di \(K\):
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Vogliamo dimostrare che da questo ricoprimento si può estrarre un sottoricoprimento finito.
Poiché \(K\) è chiuso, il suo complementare
\[ \mathbb R\setminus K \]
è aperto.
Aggiungiamo questo aperto alla famiglia \(\{U_i\}_{i\in I}\). Otteniamo così la famiglia
\[ \{U_i\}_{i\in I}\cup\{\mathbb R\setminus K\}. \]
Questa nuova famiglia è un ricoprimento aperto di tutto l'intervallo \([-M,M]\).
Infatti, se \(x\in[-M,M]\), allora possono verificarsi due casi:
- se \(x\in K\), allora \(x\) appartiene ad almeno uno degli aperti \(U_i\), perché \(\{U_i\}_{i\in I}\) ricopre \(K\);
- se \(x\notin K\), allora \(x\in\mathbb R\setminus K\).
Dunque
\[ [-M,M]\subseteq \left(\bigcup_{i\in I} U_i\right)\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Poiché \([-M,M]\) è compatto, da questo ricoprimento aperto di \([-M,M]\) possiamo estrarre un sottoricoprimento finito.
Esiste quindi un numero finito di aperti del ricoprimento iniziale, che indichiamo con
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m}, \]
ed eventualmente anche l'aperto \(\mathbb R\setminus K\), tali che
\[ [-M,M]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Ora restringiamo l'attenzione ai punti di \(K\). Poiché nessun punto di \(K\) appartiene a \(\mathbb R\setminus K\), la parte \(\mathbb R\setminus K\) non contribuisce a ricoprire \(K\).
Pertanto i soli aperti
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m} \]
bastano a ricoprire \(K\):
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Abbiamo dunque estratto un sottoricoprimento finito dal ricoprimento aperto iniziale di \(K\).
Poiché il ricoprimento aperto iniziale era arbitrario, \(K\) è compatto.
Abbiamo così dimostrato che ogni insieme chiuso e limitato di \(\mathbb R\) è compatto.
Esempi di insiemi compatti tramite Heine-Borel
Il teorema di Heine-Borel permette di riconoscere rapidamente molti insiemi compatti di \(\mathbb R\), senza dover verificare direttamente la definizione mediante ricoprimenti aperti.
In \(\mathbb R\), infatti, basta controllare due proprietà:
- l'insieme deve essere chiuso;
- l'insieme deve essere limitato.
Intervalli chiusi e limitati
Ogni intervallo del tipo
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
è compatto.
Infatti, \([a,b]\) è chiuso, perché contiene i propri estremi, ed è limitato, perché ogni suo punto \(x\) soddisfa
\[ a\leq x\leq b. \]
Dunque, per il teorema di Heine-Borel, \([a,b]\) è compatto.
Insiemi finiti
Ogni insieme finito di numeri reali è compatto.
Per esempio, consideriamo
\[ A=\{-2,0,3,7\}. \]
L'insieme \(A\) è chiuso, perché tutti i suoi punti sono isolati e non possiede punti di accumulazione esterni. Inoltre è limitato, perché tutti i suoi elementi appartengono, per esempio, all'intervallo \([-2,7]\).
Quindi, per il teorema di Heine-Borel, \(A\) è compatto.
Un insieme infinito con un punto di accumulazione incluso
Consideriamo l'insieme
\[ K=\{0\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Questo insieme è limitato, perché
\[ K\subseteq [0,1]. \]
Inoltre è chiuso: l'unico punto di accumulazione della successione \(\displaystyle \frac{1}{n}\) è \(0\), e \(0\) appartiene a \(K\).
Dunque \(K\) è chiuso e limitato. Per il teorema di Heine-Borel, \(K\) è compatto.
Unione finita di intervalli chiusi e limitati
Anche insiemi come
\[ A=[-2,-1]\cup[0,3]\cup[5,6] \]
sono compatti.
Infatti \(A\) è limitato, perché è contenuto nell'intervallo \([-2,6]\). Inoltre è chiuso, perché è un'unione finita di insiemi chiusi.
Quindi, per il teorema di Heine-Borel, \(A\) è compatto.
Esempi di insiemi non compatti tramite Heine-Borel
Il teorema di Heine-Borel permette anche di riconoscere rapidamente quando un insieme di numeri reali non è compatto.
In \(\mathbb R\), un insieme non è compatto se manca almeno una delle due proprietà richieste dal teorema: chiusura o limitatezza.
Intervalli aperti limitati
L'intervallo
\[ (0,1) \]
non è compatto.
Infatti è limitato, ma non è chiuso. I punti \(0\) e \(1\) sono punti di accumulazione di \((0,1)\), ma non appartengono all'intervallo.
Poiché \((0,1)\) non è chiuso, per il teorema di Heine-Borel non è compatto.
Intervalli semiaperti
Anche l'intervallo
\[ [0,1) \]
non è compatto.
Esso è limitato, ma non è chiuso, perché \(1\) è un punto di accumulazione dell'insieme e \(1\notin[0,1)\).
Quindi \([0,1)\) non è compatto.
Insiemi chiusi ma illimitati
La semiretta
\[ [0,+\infty) \]
non è compatta.
Infatti è chiusa, ma non è limitata: i suoi punti possono allontanarsi indefinitamente verso \(+\infty\).
Per il teorema di Heine-Borel, un sottoinsieme di \(\mathbb R\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Poiché \([0,+\infty)\) non è limitato, non è compatto.
Un insieme limitato ma non chiuso
Consideriamo l'insieme
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
L'insieme \(A\) è limitato, perché
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Tuttavia non è chiuso, perché la successione
\[ \frac{1}{n} \]
converge a \(0\), ma \(0\notin A\).
Dunque \(A\) non è chiuso. Per il teorema di Heine-Borel, \(A\) non è compatto.
Heine-Borel e successioni
Il teorema di Heine-Borel è strettamente collegato alla caratterizzazione sequenziale della compattezza.
In \(\mathbb R\), dire che un insieme \(K\) è compatto equivale anche a dire che ogni successione di punti di \(K\) ammette una sottosuccessione convergente a un punto di \(K\).
Il teorema di Heine-Borel spiega perché questa proprietà è equivalente alla chiusura e alla limitatezza.
Il ruolo della limitatezza
La limitatezza impedisce alle successioni di fuggire all'infinito.
Per esempio, nell'insieme
\[ [0,+\infty) \]
la successione
\[ x_n=n \]
è interamente contenuta nell'insieme, ma non ammette alcuna sottosuccessione convergente in \(\mathbb R\). Ogni sua sottosuccessione tende infatti a \(+\infty\).
Questo mostra perché la limitatezza è necessaria per la compattezza.
Il ruolo della chiusura
La chiusura impedisce alle successioni di convergere verso punti esterni all'insieme.
Per esempio, nell'intervallo
\[ (0,1) \]
la successione
\[ x_n=\frac{1}{n} \]
è contenuta in \((0,1)\) per ogni \(n\geq 2\), ma converge a \(0\), che non appartiene all'intervallo.
Questo mostra perché la chiusura è necessaria per la compattezza.
Chiusura e limitatezza insieme
Se un insieme \(K\subseteq\mathbb R\) è limitato, allora ogni successione di punti di \(K\) è limitata. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, essa ammette una sottosuccessione convergente in \(\mathbb R\).
Se inoltre \(K\) è chiuso, il limite di tale sottosuccessione appartiene ancora a \(K\).
Dunque ogni successione di punti di \(K\) ammette una sottosuccessione convergente a un punto di \(K\).
Questo è il contenuto sequenziale della compattezza e rappresenta un'altra forma del teorema di Heine-Borel nella retta reale.
Riepilogo finale
Il teorema di Heine-Borel afferma che un sottoinsieme \(K\subseteq\mathbb R\) è compatto se e solo se è chiuso e limitato.
In simboli:
\[ K\subseteq\mathbb R \text{ è compatto} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ è chiuso e limitato}. \]
La compattezza è definita tramite ricoprimenti aperti: ogni ricoprimento aperto di \(K\) deve ammettere un sottoricoprimento finito.
Il teorema di Heine-Borel rende questa definizione concreta nel caso della retta reale. Invece di controllare direttamente tutti i ricoprimenti aperti, basta verificare due proprietà:
- \(K\) è chiuso, quindi contiene tutti i suoi punti di accumulazione;
- \(K\) è limitato, quindi i suoi punti non possono fuggire all'infinito.
La limitatezza impedisce la fuga all'infinito, mentre la chiusura impedisce la presenza di punti di accumulazione mancanti.
Per questo motivo, in \(\mathbb R\), gli insiemi compatti sono esattamente gli insiemi chiusi e limitati.
Il teorema di Heine-Borel è quindi il risultato che collega in modo definitivo la definizione astratta di compattezza, basata sui ricoprimenti aperti, con una caratterizzazione semplice e concreta nella retta reale: essere chiuso e limitato.
Questa caratterizzazione è alla base di molti risultati successivi dell'analisi, tra cui il teorema di Weierstrass, la caratterizzazione sequenziale della compattezza e lo studio delle funzioni continue definite su insiemi compatti.