Gli esercizi che seguono hanno lo scopo di consolidare la comprensione del teorema degli intervalli annidati e delle sue applicazioni. In particolare, impareremo a verificare quando una successione di intervalli soddisfa le ipotesi del teorema, a determinarne l'intersezione e a comprendere il ruolo della completezza dei numeri reali.
Gli esercizi sono ordinati per difficoltà crescente. Nei primi problemi applicheremo direttamente il teorema; successivamente analizzeremo controesempi, costruzioni più sofisticate e alcune delle sue conseguenze teoriche più importanti.
Useremo sia la forma generale del teorema, secondo cui l'intersezione di una successione di intervalli chiusi, limitati, non vuoti e annidati è non vuota, sia la forma più forte: se le ampiezze degli intervalli tendono a zero, allora l'intersezione è formata da un solo punto.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[0,\frac{1}{n}\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi e limitati. Inoltre
\[ I_{n+1} = \left[0,\frac{1}{n+1}\right] \subseteq \left[0,\frac{1}{n}\right] = I_n, \]
poiché
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
La successione è dunque costituita da intervalli annidati.
Inoltre l'ampiezza di \(I_n\) è
\[ \frac{1}{n}-0=\frac{1}{n}, \]
e si ha
\[ \frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
Per la forma forte del teorema degli intervalli annidati, quando le ampiezze tendono a zero l'intersezione si riduce a un unico punto.
Osserviamo che \(0\) appartiene a tutti gli intervalli \(I_n\).
D'altra parte, se \(x>0\), scegliendo \(n\) sufficientemente grande si ottiene
\[ \frac{1}{n}<x. \]
Ne segue che \(x\notin I_n\), e quindi \(x\) non può appartenere all'intersezione di tutti gli intervalli.
L'unico punto comune a tutti gli intervalli è dunque \(0\).
Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,\frac{1}{n}\right] = \{0\}. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n= \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti.
Inoltre
\[ \left[ -\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right] \subseteq \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right], \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Si tratta quindi di una successione di intervalli annidati.
L'ampiezza di \(I_n\) vale
\[ \frac{1}{n} - \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2}{n}, \]
e
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow 0. \]
Il teorema degli intervalli annidati garantisce quindi che l'intersezione contiene un unico punto.
Poiché
\[ -\frac{1}{n} \leq 0 \leq \frac{1}{n} \qquad \forall n, \]
il numero \(0\) appartiene a tutti gli intervalli.
Se invece \(x\neq0\), allora \(|x|>0\). Scegliendo \(n\) sufficientemente grande si ha
\[ \frac{1}{n}<|x|. \]
Da ciò segue che \(x\notin I_n\).
Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right] = \{0\}. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[1,1+\frac{1}{n}\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{1\}. \]
Svolgimento
Gli intervalli \(I_n\) sono chiusi, limitati e non vuoti. Inoltre, al crescere di \(n\), l'estremo destro \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) diminuisce, mentre l'estremo sinistro rimane uguale a \(1\). Quindi gli intervalli sono annidati.
Infatti, per ogni \(n\in\mathbb N\), si ha
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
L'ampiezza dell'intervallo \(I_n\) è
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-1=\frac{1}{n}. \]
Poiché \(\frac{1}{n}\to0\), il teorema degli intervalli annidati garantisce che l'intersezione contiene un solo punto.
Il punto \(1\) appartiene a tutti gli intervalli, perché è sempre l'estremo sinistro di \(I_n\). Dunque
\[ 1\in\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Poiché l'intersezione contiene un solo punto e tale punto è \(1\), concludiamo che
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[1,1+\frac{1}{n}\right]=\{1\}. \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{2\}. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. Inoltre, al crescere di \(n\), l'estremo sinistro
\[ 2-\frac{1}{n} \]
cresce verso \(2\), mentre l'estremo destro
\[ 2+\frac{1}{n} \]
decresce verso \(2\). Quindi gli intervalli sono annidati.
L'ampiezza di \(I_n\) è
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(2-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}, \]
e dunque
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow0. \]
Per il teorema degli intervalli annidati, l'intersezione contiene un unico punto.
Poiché
\[ 2-\frac{1}{n}\leq 2\leq 2+\frac{1}{n} \]
per ogni \(n\), il punto \(2\) appartiene a tutti gli intervalli.
Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right] = \{2\}. \]
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[0,2+\frac{1}{n}\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,2]. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. Inoltre, poiché
\[ 2+\frac{1}{n+1}<2+\frac{1}{n}, \]
si ha
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
Dunque si tratta di una successione di intervalli annidati.
In questo caso, però, l'ampiezza degli intervalli non tende a zero. Infatti
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-0=2+\frac{1}{n}, \]
e quindi
\[ 2+\frac{1}{n}\longrightarrow2. \]
Perciò l'intersezione non deve necessariamente ridursi a un solo punto.
Osserviamo che ogni punto \(x\in[0,2]\) appartiene a tutti gli intervalli, perché
\[ 0\leq x\leq2<2+\frac{1}{n} \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Quindi
\[ [0,2]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty}I_n. \]
Se invece \(x<0\), allora \(x\notin I_n\) per ogni \(n\), poiché tutti gli intervalli hanno estremo sinistro uguale a \(0\).
Viceversa, se \(x>2\), allora \(x-2>0\). Per la proprietà archimedea esiste \(n\) tale che
\[ \frac{1}{n}<x-2. \]
Da cui
\[ 2+\frac{1}{n}<x. \]
Pertanto \(x\notin I_n\), e quindi \(x\) non appartiene all'intersezione di tutti gli intervalli.
Concludiamo che
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,2+\frac{1}{n}\right] = [0,2]. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n},3+\frac{1}{n}\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. Al crescere di \(n\), l'estremo sinistro \(1-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce verso \(1\), mentre l'estremo destro \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\) decresce verso \(3\). Dunque gli intervalli sono annidati.
L'ampiezza di \(I_n\) è
\[ \left(3+\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)=2+\frac{2}{n}. \]
Poiché \(2+\displaystyle \frac{2}{n}\to2\), l'ampiezza non tende a zero. Quindi l'intersezione non si riduce a un solo punto.
Gli estremi sinistri hanno estremo superiore \(1\), mentre gli estremi destri hanno estremo inferiore \(3\). Per il teorema degli intervalli annidati si ottiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. Inoltre l'estremo sinistro \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce verso \(0\), mentre l'estremo destro resta uguale a \(1\). Quindi gli intervalli sono annidati.
L'ampiezza di \(I_n\) è
\[ 1-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{1}{n}. \]
Poiché \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\to1\), l'ampiezza non tende a zero.
L'estremo superiore degli estremi sinistri è \(0\), mentre l'estremo inferiore degli estremi destri è \(1\). Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1\right]=[0,1]. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},5\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[2,5]. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. L'estremo sinistro \(2-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce verso \(2\), mentre l'estremo destro resta costante e uguale a \(5\). Quindi gli intervalli sono annidati.
L'ampiezza di \(I_n\) è
\[ 5-\left(2-\frac{1}{n}\right)=3+\frac{1}{n}. \]
Poiché \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\to3\), l'ampiezza non tende a zero.
L'estremo superiore degli estremi sinistri è \(2\), mentre l'estremo inferiore degli estremi destri è \(5\). Dunque
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[2-\frac{1}{n},5\right]=[2,5]. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. L'estremo sinistro \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) cresce verso \(0\), mentre l'estremo destro \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) decresce verso \(1\). Quindi gli intervalli sono annidati.
L'ampiezza di \(I_n\) è
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{2}{n}. \]
Poiché \(1+\displaystyle \frac{2}{n}\to1\), l'ampiezza non tende a zero.
L'estremo superiore degli estremi sinistri è \(0\), mentre l'estremo inferiore degli estremi destri è \(1\). Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]=[0,1]. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Si ha
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Svolgimento
Riscriviamo gli estremi dell'intervallo:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}, \qquad 2-\frac{1}{n+1}. \]
Quindi
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. Tuttavia non sono annidati decrescenti: al crescere di \(n\), entrambi gli estremi si spostano verso destra.
Infatti
\[ I_1=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right], \qquad I_2=\left[\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right]. \]
L'intervallo \(I_2\) non è contenuto in \(I_1\), poiché il suo estremo destro è maggiore di quello di \(I_1\). Dunque il teorema degli intervalli annidati non si applica direttamente.
Determiniamo comunque l'intersezione. Un numero \(x\) appartiene a tutti gli intervalli se e solo se
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq x\leq 2-\frac{1}{n+1} \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Dalla prima disuguaglianza, imponendo che essa valga per ogni \(n\), si ottiene
\[ x\geq1. \]
Infatti gli estremi sinistri \(1-\frac{1}{n+1}\) crescono verso \(1\).
Dalla seconda disuguaglianza, invece, il vincolo più restrittivo si ottiene per \(n=1\), poiché gli estremi destri \(2-\frac{1}{n+1}\) crescono al crescere di \(n\). Quindi deve essere
\[ x\leq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \]
Pertanto ogni punto appartenente all'intersezione deve soddisfare
\[ 1\leq x\leq\frac{3}{2}. \]
Viceversa, se \(1\leq x\leq\frac{3}{2}\), allora per ogni \(n\in\mathbb N\) si ha
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq1\leq x \]
e inoltre
\[ x\leq\frac{3}{2}\leq2-\frac{1}{n+1}. \]
Dunque \(x\in I_n\) per ogni \(n\in\mathbb N\).
Concludiamo che
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left(0,\frac{1}{n}\right). \]
Stabilire se il teorema degli intervalli annidati è applicabile e determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Il teorema degli intervalli annidati non è applicabile, perché gli intervalli non sono chiusi. Inoltre
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Svolgimento
Gli intervalli \(I_n\) sono aperti, limitati, non vuoti e annidati. Infatti, al crescere di \(n\), l'estremo destro \(\displaystyle \frac{1}{n}\) diminuisce.
Tuttavia il teorema degli intervalli annidati richiede intervalli chiusi e limitati. In questo caso gli intervalli non sono chiusi, quindi il teorema non può essere applicato.
Determiniamo ora l'intersezione. Se \(x\) appartenesse a tutti gli intervalli, allora dovrebbe valere
\[ 0\lt x\lt\frac{1}{n} \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Ma, se \(x\gt0\), per la proprietà archimedea esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Per tale \(n\), il numero \(x\) non appartiene a \(I_n\).
Dunque nessun numero reale appartiene a tutti gli intervalli. Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=[n,+\infty). \]
Stabilire se il teorema degli intervalli annidati è applicabile e determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Il teorema degli intervalli annidati non è applicabile, perché gli intervalli non sono limitati. Inoltre
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Svolgimento
Gli intervalli \(I_n=[n,+\infty)\) sono chiusi e non vuoti. Inoltre sono annidati, perché
\[ [n+1,+\infty)\subseteq[n,+\infty). \]
Tuttavia non sono limitati. Il teorema degli intervalli annidati richiede intervalli chiusi e limitati, quindi in questo caso non è applicabile.
Determiniamo l'intersezione. Se \(x\) appartenesse a tutti gli intervalli, allora dovrebbe valere
\[ x\geq n \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Questo è impossibile, perché nessun numero reale è maggiore o uguale di tutti i numeri naturali.
Quindi
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]. \]
Stabilire se il teorema degli intervalli annidati è applicabile e determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Il teorema degli intervalli annidati non è applicabile, perché gli intervalli non sono limitati. Inoltre
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono chiusi e non vuoti, ma non sono limitati inferiormente. Quindi il teorema degli intervalli annidati non può essere applicato direttamente.
Gli intervalli sono comunque annidati, perché l'estremo destro \(\displaystyle\frac{1}{n}\) decresce verso \(0\).
Se \(x\leq0\), allora
\[ x\leq0\lt\frac{1}{n} \]
per ogni \(n\in\mathbb N\). Quindi ogni \(x\leq0\) appartiene a tutti gli intervalli.
Se invece \(x\gt0\), per la proprietà archimedea esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Per tale \(n\), si ha \(x\notin I_n\).
Pertanto i punti comuni a tutti gli intervalli sono esattamente i numeri reali minori o uguali a \(0\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left[0,1+\frac{(-1)^n}{2}\right]. \]
Stabilire se gli intervalli sono annidati e se il teorema degli intervalli annidati è applicabile.
Risultato
Gli intervalli non sono annidati. Il teorema degli intervalli annidati non è applicabile.
Svolgimento
Calcoliamo i primi intervalli. Per \(n=1\) si ha
\[ I_1=\left[0,\frac{1}{2}\right], \]
mentre per \(n=2\) si ha
\[ I_2=\left[0,\frac{3}{2}\right]. \]
Quindi \(I_2\) non è contenuto in \(I_1\). Infatti
\[ \frac{3}{2}\in I_2, \qquad \frac{3}{2}\notin I_1. \]
La successione di intervalli non è dunque annidata.
Anche se gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti, manca l'ipotesi di annidamento. Pertanto il teorema degli intervalli annidati non è applicabile.
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Considerare la successione di intervalli
\[ I_n=\left(0,1+\frac{1}{n}\right). \]
Stabilire se il teorema degli intervalli annidati è applicabile e determinare
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Risultato
Il teorema degli intervalli annidati non è applicabile, perché gli intervalli non sono chiusi. Inoltre
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Svolgimento
Gli intervalli sono aperti, limitati, non vuoti e annidati, poiché l'estremo destro \(1+\displaystyle\frac{1}{n}\) decresce verso \(1\).
Tuttavia il teorema degli intervalli annidati richiede intervalli chiusi e limitati. Poiché gli intervalli \(I_n\) non sono chiusi, il teorema non è applicabile.
Determiniamo ora l'intersezione. Se \(0\lt x\leq1\), allora
\[ 0\lt x\lt1+\frac{1}{n} \]
per ogni \(n\in\mathbb N\), quindi \(x\in I_n\) per ogni \(n\).
Pertanto
\[ (0,1]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Viceversa, se \(x\leq0\), allora \(x\notin I_n\) per ogni \(n\). Se invece \(x\gt1\), allora \(x-1\gt0\), e per la proprietà archimedea esiste \(n\in\mathbb N\) tale che
\[ \frac{1}{n}\lt x-1. \]
Da cui
\[ 1+\frac{1}{n}\lt x. \]
Per tale \(n\), il numero \(x\) non appartiene a \(I_n\).
Concludiamo che
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Costruire una successione di intervalli chiusi e limitati, annidati e di ampiezza tendente a zero, la cui intersezione sia \(\{\sqrt{2}\}\).
Risultato
Un possibile esempio è
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
In tal caso
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Svolgimento
Consideriamo
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
Ogni \(I_n\) è un intervallo chiuso, limitato e non vuoto.
Al crescere di \(n\), l'estremo sinistro cresce verso \(\sqrt{2}\), mentre l'estremo destro decresce verso \(\sqrt{2}\). Quindi gli intervalli sono annidati.
L'ampiezza di \(I_n\) è
\[ \left(\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right)-\left(\sqrt{2}-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}. \]
Poiché \( \displaystyle \frac{2}{n}\to0\), il teorema degli intervalli annidati garantisce che l'intersezione contiene un solo punto.
Il punto \(\sqrt{2}\) appartiene a tutti gli intervalli, perché si trova sempre tra gli estremi \(\sqrt{2}-\displaystyle \frac{1}{n}\) e \(\sqrt{2}+\displaystyle \frac{1}{n}\).
Pertanto l'unico punto comune a tutti gli intervalli è \(\sqrt{2}\), cioè
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]=\{\sqrt{2}\}. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Sia \(f(x)=x^2-2\). Considerare l'intervallo iniziale \([1,2]\), in cui \(f(1)\lt0\) e \(f(2)\gt0\). Costruire, mediante bisezione, una successione di intervalli chiusi e annidati che contenga sempre una soluzione dell'equazione
\[ x^2=2. \]
Spiegare perché l'intersezione contiene un unico punto.
Risultato
Il metodo di bisezione produce una successione di intervalli chiusi, limitati e annidati, con ampiezza tendente a zero. L'intersezione contiene un unico punto, che è \(\sqrt{2}\).
Svolgimento
Partiamo dall'intervallo
\[ I_1=[1,2]. \]
Poiché \(f(1)=1^2-2=-1\) e \(f(2)=2^2-2=2\), la funzione cambia segno tra \(1\) e \(2\).
Dividiamo \(I_1\) in due parti uguali e scegliamo una delle due metà in cui la funzione cambia ancora segno. Chiamiamo tale intervallo \(I_2\). Ripetendo il procedimento, otteniamo una successione di intervalli
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Per costruzione, ogni \(I_n\) è chiuso, limitato e non vuoto. Inoltre gli intervalli sono annidati.
A ogni passo l'ampiezza viene dimezzata. Poiché l'ampiezza iniziale è \(1\), l'ampiezza di \(I_n\) è
\[ \frac{1}{2^{n-1}}. \]
Siccome
\[ \frac{1}{2^{n-1}}\to0, \]
il teorema degli intervalli annidati garantisce che l'intersezione contiene un unico punto.
Indichiamo con \(x_0\) l'unico punto appartenente a tutti gli intervalli \(I_n\). Per costruzione, ogni intervallo \(I_n\) contiene almeno una soluzione dell'equazione \(x^2=2\).
D'altra parte l'intersezione di tutti gli intervalli è formata da un solo punto. Poiché \(f\) è continua e, per costruzione, in ogni intervallo \(I_n\) la funzione cambia segno, il punto comune deve essere una radice di \(f\). Essendo tale punto compreso tra \(1\) e \(2\), esso coincide con la soluzione positiva dell'equazione \(x^2=2\), cioè con \(\sqrt{2}\).
Quindi
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Siano \((a_n)\) e \((b_n)\) due successioni reali tali che
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
per ogni \(n\in\mathbb N\). Supponiamo inoltre che
\[ b_n-a_n\to0. \]
Dimostrare che le due successioni convergono allo stesso limite.
Risultato
Le successioni \((a_n)\) e \((b_n)\) convergono allo stesso limite.
Svolgimento
Consideriamo gli intervalli
\[ I_n=[a_n,b_n]. \]
La condizione
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
implica che
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
per ogni \(n\). Dunque \((I_n)\) è una successione di intervalli annidati.
Inoltre gli intervalli sono chiusi, limitati e non vuoti. Poiché \(b_n-a_n\to0\), il teorema degli intervalli annidati garantisce che esiste un unico punto \(x_0\) tale che
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Poiché \(x_0\in I_n\) per ogni \(n\), si ha
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
per ogni \(n\).
Da questa doppia disuguaglianza segue
\[ 0\leq x_0-a_n\leq b_n-a_n \]
e anche
\[ 0\leq b_n-x_0\leq b_n-a_n. \]
Poiché \(b_n-a_n\to0\), per il teorema del confronto otteniamo
\[ a_n\to x_0 \qquad\text{e}\qquad b_n\to x_0. \]
Pertanto le due successioni convergono allo stesso limite.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Mostrare che il teorema degli intervalli annidati può fallire in \(\mathbb Q\).
Risultato
In \(\mathbb Q\) esistono successioni di intervalli razionali chiusi, limitati e annidati, con ampiezza tendente a zero, la cui intersezione è vuota.
Svolgimento
Costruiamo intervalli razionali che stringono il numero irrazionale \(\sqrt{2}\).
Siano \(a_n\) e \(b_n\) numeri razionali tali che
\[ a_n\lt\sqrt{2}\lt b_n \]
e tali che
\[ b_n-a_n\to0. \]
Per esempio, si possono scegliere \(a_n\) e \(b_n\) come approssimazioni decimali razionali, rispettivamente per difetto e per eccesso, di \(\sqrt{2}\).
Inoltre scegliamoli in modo che gli intervalli
\[ [a_n,b_n] \]
siano annidati.
Consideriamo ora gli insiemi
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
Nello spazio ordinato \(\mathbb Q\), gli insiemi \(I_n\) sono intervalli chiusi e limitati. Sono inoltre annidati e la loro ampiezza tende a zero.
In \(\mathbb R\), l'intersezione degli intervalli \([a_n,b_n]\) è il solo punto \(\sqrt{2}\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]=\{\sqrt{2}\}. \]
Tuttavia
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Quindi, se lavoriamo dentro \(\mathbb Q\), nessun numero razionale appartiene a tutti gli intervalli \(I_n\).
Pertanto
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Questo mostra che il teorema degli intervalli annidati dipende dalla completezza di \(\mathbb R\) e può fallire in \(\mathbb Q\).
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Dimostrare la seguente forma del teorema degli intervalli annidati: se
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad I_{n+1}\subseteq I_n \]
per ogni \(n\in\mathbb N\), e se
\[ b_n-a_n\to0, \]
allora esiste un unico punto appartenente a tutti gli intervalli \(I_n\).
Risultato
Esiste un unico \(x_0\in\mathbb R\) tale che
\[ x_0\in I_n \]
per ogni \(n\in\mathbb N\).
Svolgimento
Poiché gli intervalli sono annidati, si ha
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
per ogni \(n\).
Dunque la successione \((a_n)\) è crescente, mentre la successione \((b_n)\) è decrescente.
Mostriamo che ogni \(b_n\) è un maggiorante dell'insieme \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\). Infatti, se \(k\leq n\), allora
\[ a_k\leq a_n\leq b_n. \]
Se invece \(k>n\), allora
\[ a_k\leq b_k\leq b_n. \]
In ogni caso \(a_k\leq b_n\). Quindi ogni \(b_n\) è un maggiorante di \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\).
Per la completezza di \(\mathbb R\), esiste
\[ x_0=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}. \]
Di conseguenza, si ha
\[ x_0\leq b_n \]
per ogni \(n\). Inoltre, dalla definizione di estremo superiore, si ha
\[ a_n\leq x_0 \]
per ogni \(n\).
Quindi
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
per ogni \(n\), e dunque \(x_0\in I_n\) per ogni \(n\).
Abbiamo così dimostrato che l'intersezione non è vuota.
Mostriamo ora l'unicità. Supponiamo che \(x\) e \(y\) appartengano a tutti gli intervalli \(I_n\), con \(x\leq y\). Allora, per ogni \(n\),
\[ a_n\leq x\leq y\leq b_n. \]
Ne segue che
\[ 0\leq y-x\leq b_n-a_n. \]
Poiché \(b_n-a_n\to0\), otteniamo \(y-x=0\), cioè \(x=y\).
Dunque il punto comune a tutti gli intervalli è unico.