Estremo Superiore ed Inferiore: Definizione, Proprietà ed Esempi

Gli estremi superiore ed inferiore generalizzano i concetti di massimo e minimo di un insieme e permettono di descrivere rigorosamente il comportamento degli insiemi limitati.

A differenza del massimo e del minimo, l'estremo superiore e l'estremo inferiore possono esistere anche quando i corrispondenti valori estremi non appartengono all'insieme.

Nelle sezioni seguenti introdurremo le definizioni di maggiorante, minorante, estremo superiore ed estremo inferiore, ne studieremo le principali proprietà e analizzeremo diversi esempi significativi.

Indice

• Maggioranti e minoranti
• Estremo superiore
• Estremo inferiore
• Unicità dell'estremo superiore e dell'estremo inferiore
• Caratterizzazione dell'estremo superiore
• Caratterizzazione dell'estremo inferiore
• Relazione con massimo e minimo
• Esempi
• Completezza dei numeri reali

Per introdurre i concetti di estremo superiore ed estremo inferiore è necessario partire da due nozioni fondamentali: quelle di maggiorante e minorante.

Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme non vuoto.

Definizione. Un numero reale \(M\) si dice maggiorante di \(A\) se:

\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]

In altre parole, un maggiorante è un numero maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme.

Analogamente, un numero reale \(m\) si dice minorante di \(A\) se:

\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]

Un minorante è quindi un numero minore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme.

Esempio 1. Consideriamo l'intervallo \( A=(1,5). \)

Poiché ogni elemento è minore di \(5\), il numero \(5\) è un maggiorante di \(A\). Anche i numeri \(6\), \(10\), \(100\) e, più in generale, tutti i numeri reali maggiori o uguali a \(5\) sono maggioranti dell'insieme.

Analogamente, il numero \(1\) è un minorante di \(A\). Lo sono anche \(0\), \(-3\), \(-100\) e, più in generale, tutti i numeri reali minori o uguali a \(1\).

Osserviamo quindi che uno stesso insieme può possedere infiniti maggioranti e infiniti minoranti.

Insiemi limitati superiormente e inferiormente

Definizione. Un insieme che possiede almeno un maggiorante si dice limitato superiormente, mentre un insieme che possiede almeno un minorante si dice limitato inferiormente.

Se un insieme è limitato sia superiormente sia inferiormente, si dice semplicemente limitato.

È importante osservare che il termine limitato non ha alcun legame con il concetto di limite di una successione o di una funzione. Dire che un insieme è limitato significa semplicemente che tutti i suoi elementi sono compresi tra un opportuno minorante e un opportuno maggiorante.

Esempio 2. L'intervallo

\[ (1,5) \]

è limitato superiormente e inferiormente. Ad esempio, \(5\) è un maggiorante e \(1\) è un minorante.

Esempio 3. L'insieme \( [0,+\infty) \) è limitato inferiormente ma non è limitato superiormente. Infatti \(0\) è un minorante, mentre non esiste alcun numero reale che sia maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme.

Esempio 4. L'insieme \( \mathbb{R} \) non è né limitato superiormente né limitato inferiormente.

I concetti di maggiorante e minorante costituiscono il punto di partenza per introdurre gli estremi superiore ed inferiore, che verranno definiti nelle sezioni successive.

Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme non vuoto e limitato superiormente. L'insieme dei suoi maggioranti è quindi non vuoto, e tra di essi ne esiste uno privilegiato: il più piccolo.

Definizione. Si dice estremo superiore di \(A\), e si indica con \(\sup A\), il più piccolo dei maggioranti di \(A\).

In modo equivalente, un numero reale \(s\) è l'estremo superiore di \(A\) se soddisfa le due condizioni:

• \(s\) è un maggiorante di \(A\), cioè \(x\leq s\) per ogni \(x\in A\);
• se \(M\) è un maggiorante di \(A\), allora \(s\leq M\).

La prima condizione afferma che \(s\) "sta sopra" tutti gli elementi di \(A\); la seconda che nessun numero più piccolo di \(s\) gode della stessa proprietà.

L'esistenza dell'estremo superiore per ogni insieme non vuoto e limitato superiormente non è affatto ovvia: essa è garantita da una proprietà fondamentale dei numeri reali, l'assioma di completezza, che discuteremo nell'ultima sezione.

Esempio 5. Riprendiamo l'intervallo:

\[ A=(1,5). \]

I suoi maggioranti sono tutti e soli i numeri reali maggiori o uguali a \(5\), cioè l'insieme \([5,+\infty)\). Il più piccolo di essi è \(5\), dunque:

\[ \sup A=5. \]

Si noti che \(5\notin A\): l'estremo superiore non appartiene necessariamente all'insieme.

In modo perfettamente simmetrico si introduce l'estremo inferiore. Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme non vuoto e limitato inferiormente: l'insieme dei suoi minoranti è non vuoto e contiene un elemento privilegiato, il più grande.

Definizione. Si dice estremo inferiore di \(A\), e si indica con \(\inf A\), il più grande dei minoranti di \(A\).

In modo equivalente, un numero reale \(i\) è l'estremo inferiore di \(A\) se soddisfa le due condizioni:

• \(i\) è un minorante di \(A\), cioè \(i\leq x\) per ogni \(x\in A\);
• se \(m\) è un minorante di \(A\), allora \(m\leq i\).

Anche in questo caso l'esistenza dell'estremo inferiore per ogni insieme non vuoto e limitato inferiormente discende dall'assioma di completezza.

Esempio 6. Consideriamo nuovamente:

\[ A=(1,5). \]

I suoi minoranti sono tutti e soli i numeri reali minori o uguali a \(1\), cioè l'insieme \((-\infty,1]\). Il più grande di essi è \(1\), dunque:

\[ \inf A=1. \]

Come per l'estremo superiore, osserviamo che \(1\notin A\).

Osservazione (insiemi illimitati). Le definizioni precedenti riguardano insiemi limitati superiormente o inferiormente. Per trattare in modo uniforme anche il caso illimitato si adotta spesso la seguente convenzione: se \(A\) non è limitato superiormente si pone

\[ \sup A=+\infty, \]

mentre se \(A\) non è limitato inferiormente si pone

\[ \inf A=-\infty. \]

I simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) non sono numeri reali: l'uguaglianza \(\sup A=+\infty\) è soltanto un modo conciso per affermare che \(A\) non possiede alcun maggiorante. Con questa convenzione ogni sottoinsieme non vuoto di \(\mathbb{R}\) risulta dotato di estremo superiore ed inferiore, finiti o infiniti. Ad esempio \(\sup\mathbb{R}=+\infty\) e \(\inf\mathbb{R}=-\infty\), mentre per l'insieme \([0,+\infty)\) si ha \(\inf=0\) e \(\sup=+\infty\).

Quando esistono, l'estremo superiore e l'estremo inferiore di un insieme sono unici.

Proposizione. Se un insieme \(A\subseteq\mathbb{R}\) possiede un estremo superiore, allora esso è unico.

Dimostrazione. Supponiamo che \(s_1\) e \(s_2\) siano due estremi superiori di \(A\).

Poiché \(s_1\) è un estremo superiore, ogni maggiorante di \(A\) è maggiore o uguale a \(s_1\). In particolare, essendo \(s_2\) un maggiorante di \(A\), si ha:

\[ s_1\leq s_2. \]

Analogamente, poiché \(s_2\) è un estremo superiore ed \(s_1\) è un maggiorante di \(A\), risulta:

\[ s_2\leq s_1. \]

Dalle due disuguaglianze segue:

\[ s_1=s_2. \]

Pertanto l'estremo superiore è unico.

Con un ragionamento del tutto analogo si dimostra che anche l'estremo inferiore, quando esiste, è unico.

Monotonia rispetto all'inclusione

Un'ulteriore proprietà utile riguarda il comportamento degli estremi quando un insieme viene ampliato: aggiungere elementi può solo far crescere (o lasciare invariato) l'estremo superiore e far diminuire (o lasciare invariato) l'estremo inferiore.

Proposizione. Siano \(A,B\subseteq\mathbb{R}\) non vuoti con \(A\subseteq B\). Se \(B\) è limitato superiormente, allora anche \(A\) lo è e

\[ \sup A\leq\sup B. \]

Analogamente, se \(B\) è limitato inferiormente, allora anche \(A\) lo è e

\[ \inf A\geq\inf B. \]

Dimostrazione. Supponiamo \(B\) limitato superiormente e poniamo \(s=\sup B\). Per ogni \(x\in A\) si ha \(x\in B\), poiché \(A\subseteq B\), e quindi \(x\leq s\). Dunque \(s\) è un maggiorante di \(A\): in particolare \(A\) è limitato superiormente e ammette estremo superiore. Poiché \(\sup A\) è il più piccolo dei maggioranti di \(A\) ed \(s\) è uno di essi, risulta:

\[ \sup A\leq s=\sup B. \]

Il caso inferiore è del tutto analogo. Posto \(i=\inf B\), si ha \(i\leq x\) per ogni \(x\in B\), e quindi per ogni \(x\in A\); pertanto \(i\) è un minorante di \(A\) ed esiste \(\inf A\). Essendo \(\inf A\) il più grande dei minoranti di \(A\) ed \(i\) uno di essi, si ottiene \(\inf A\geq i=\inf B\).

Osservazione. Adottando la convenzione introdotta nella sezione precedente, le disuguaglianze \(\sup A\leq\sup B\) e \(\inf A\geq\inf B\) restano valide per qualunque coppia di insiemi non vuoti con \(A\subseteq B\), anche illimitati.

La definizione di estremo superiore afferma che \(\sup A\) è il più piccolo tra tutti i maggioranti di \(A\). Verificare direttamente questa proprietà richiederebbe, in linea di principio, di confrontare \(s\) con la totalità dei maggioranti dell'insieme.

Esiste però una caratterizzazione molto più maneggevole, che permette di riconoscere un estremo superiore esaminando soltanto gli elementi di \(A\).

Proposizione. Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme non vuoto e limitato superiormente, e sia \(s\in\mathbb{R}\). Allora:

\[ s=\sup A \]

se e solo se valgono entrambe le condizioni seguenti:

• \(x\leq s\) per ogni \(x\in A\);
• per ogni \(\varepsilon>0\) esiste un elemento \(x\in A\) tale che \[ s-\varepsilon<x. \]

La prima condizione afferma che \(s\) è un maggiorante di \(A\).

La seconda condizione garantisce invece che nessun numero strettamente minore di \(s\) possa essere un maggiorante dell'insieme.

Infatti, fissato arbitrariamente \(\varepsilon>0\), esiste sempre un elemento di \(A\) strettamente maggiore di \(s-\varepsilon\). Di conseguenza \(s-\varepsilon\) non può essere un maggiorante di \(A\).

L'equivalenza si comprende osservando il significato delle due condizioni. Se valesse la prima ma non la seconda, esisterebbe un \(\varepsilon>0\) tale che nessun elemento di \(A\) supera \(s-\varepsilon\): allora \(s-\varepsilon\) sarebbe a sua volta un maggiorante, strettamente minore di \(s\), e dunque \(s\) non potrebbe essere il più piccolo dei maggioranti. Viceversa, se valgono entrambe le condizioni, \(s\) è un maggiorante e nessun numero più piccolo di \(s\) lo è: \(s\) è quindi il minimo dei maggioranti, cioè \(\sup A\).

Esempio 7. Consideriamo l'intervallo:

\[ A=(1,5). \]

Verifichiamo, tramite la caratterizzazione, che:

\[ \sup A=5. \]

Prima condizione. Ogni elemento di \(A\) soddisfa \(x<5\), e quindi a maggior ragione \(x\leq 5\). Dunque \(5\) è un maggiorante di \(A\).

Seconda condizione. Sia \(\varepsilon>0\). Dobbiamo esibire un elemento di \(A\) maggiore di \(5-\varepsilon\).

Se \(\varepsilon\geq 4\), allora:

\[ 5-\varepsilon\leq 1, \]

e quindi ogni elemento di \(A\) è già maggiore di \(5-\varepsilon\): la condizione è banalmente soddisfatta.

Se invece \(0<\varepsilon<4\), consideriamo il numero:

\[ x=5-\frac{\varepsilon}{2}. \]

Poiché \(0<\dfrac{\varepsilon}{2}<2\), si ha:

\[ 3<x<5, \]

e dunque \(x\in(1,5)=A\). Inoltre, essendo \(\dfrac{\varepsilon}{2}<\varepsilon\), risulta:

\[ 5-\varepsilon<x. \]

In entrambi i casi abbiamo trovato un elemento di \(A\) maggiore di \(5-\varepsilon\). La seconda condizione è quindi verificata per ogni \(\varepsilon>0\).

Essendo soddisfatte entrambe le condizioni, concludiamo che:

\[ \sup A=5, \]

pur essendo \(5\notin A\). Questo esempio mette in luce la natura dell'estremo superiore: un valore al quale gli elementi dell'insieme possono avvicinarsi quanto si vuole, senza che esso debba necessariamente appartenere all'insieme.

Analogamente all'estremo superiore, anche l'estremo inferiore ammette una caratterizzazione equivalente particolarmente utile nelle applicazioni.

Proposizione. Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme non vuoto e limitato inferiormente, e sia \(i\in\mathbb{R}\). Allora:

\[ i=\inf A \]

se e solo se valgono entrambe le condizioni seguenti:

• \(i\leq x\) per ogni \(x\in A\);
• per ogni \(\varepsilon>0\) esiste un elemento \(x\in A\) tale che \[ x<i+\varepsilon. \]

La prima condizione afferma che \(i\) è un minorante di \(A\).

La seconda condizione garantisce invece che nessun numero strettamente maggiore di \(i\) possa essere un minorante dell'insieme.

Infatti, fissato arbitrariamente \(\varepsilon>0\), esiste sempre un elemento di \(A\) strettamente minore di \(i+\varepsilon\). Di conseguenza \(i+\varepsilon\) non può essere un minorante di \(A\).

L'equivalenza si comprende osservando il significato delle due condizioni. Se valesse la prima ma non la seconda, esisterebbe un \(\varepsilon>0\) tale che:

\[ x\geq i+\varepsilon \qquad \forall x\in A. \]

In tal caso \(i+\varepsilon\) sarebbe un minorante di \(A\) strettamente maggiore di \(i\), in contraddizione con il fatto che \(i\) sia il più grande tra i minoranti.

Viceversa, se valgono entrambe le condizioni, \(i\) è un minorante e nessun numero maggiore di \(i\) è un minorante. Pertanto \(i\) coincide con il massimo dei minoranti, cioè con l'estremo inferiore di \(A\).

Esempio 8. Consideriamo l'intervallo:

\[ A=(1,5). \]

Verifichiamo, tramite la caratterizzazione precedente, che:

\[ \inf A=1. \]

Prima condizione. Ogni elemento di \(A\) soddisfa \(1<x\), e quindi a maggior ragione \(1\leq x\). Ne segue che \(1\) è un minorante di \(A\).

Seconda condizione. Sia \(\varepsilon>0\).

Se \(\varepsilon\geq 4\), allora:

\[ 1+\varepsilon\geq 5, \]

e quindi qualunque elemento di \(A\) risulta minore di \(1+\varepsilon\).

Se invece \(0<\varepsilon<4\), consideriamo:

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2}. \]

Poiché:

\[ 0<\frac{\varepsilon}{2}<2, \]

si ottiene:

\[ 1<x<3<5. \]

Pertanto:

\[ x\in(1,5)=A. \]

Inoltre:

\[ x=1+\frac{\varepsilon}{2} < 1+\varepsilon. \]

In entrambi i casi esiste un elemento di \(A\) minore di \(1+\varepsilon\). La seconda condizione risulta quindi verificata.

Essendo soddisfatte entrambe le condizioni, concludiamo che:

\[ \inf(1,5)=1. \]

Osservazione. Poiché:

\[ 1\notin(1,5), \]

l'estremo inferiore non è necessariamente un elemento dell'insieme.

Gli estremi superiore e inferiore sono strettamente collegati al massimo e al minimo, di cui costituiscono una generalizzazione. La differenza essenziale è una sola: il massimo e il minimo devono appartenere all'insieme, mentre l'estremo superiore e l'estremo inferiore no.

Proposizione. Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) non vuoto e limitato superiormente. Allora \(A\) possiede massimo se e solo se:

\[ \sup A\in A, \]

e in tal caso:

\[ \max A=\sup A. \]

Dimostrazione. Supponiamo dapprima che \(A\) possieda massimo e poniamo \(m=\max A\).

Per definizione di massimo, \(m\in A\) e \(x\leq m\) per ogni \(x\in A\), quindi \(m\) è un maggiorante di \(A\). Inoltre, se \(M\) è un qualunque maggiorante di \(A\), allora \(M\geq x\) per ogni \(x\in A\) e in particolare, essendo \(m\in A\):

\[ M\geq m. \]

Dunque \(m\) è il più piccolo dei maggioranti, cioè \(m=\sup A\); in particolare \(\sup A=m\in A\).

Viceversa, supponiamo che \(\sup A\in A\) e poniamo \(s=\sup A\). Allora \(s\) è un maggiorante, quindi \(x\leq s\) per ogni \(x\in A\); inoltre \(s\in A\). Per definizione, \(s\) è dunque il massimo di \(A\), e \(\max A=s=\sup A\).

In modo del tutto analogo si dimostra che \(A\), non vuoto e limitato inferiormente, possiede minimo se e solo se \(\inf A\in A\), e in tal caso:

\[ \min A=\inf A. \]

Riassumendo: l'estremo superiore esiste sempre (per un insieme non vuoto e limitato superiormente), mentre il massimo esiste soltanto quando l'estremo superiore appartiene all'insieme. Lo stesso vale, simmetricamente, per estremo inferiore e minimo.

Esempio 9. Per l'intervallo chiuso:

\[ A=[1,5], \]

si ha \(\sup A=5\) e \(\inf A=1\); poiché \(5\in A\) e \(1\in A\), entrambi gli estremi appartengono all'insieme e quindi:

\[ \max A=5,\qquad \min A=1. \]

Per l'intervallo aperto:

\[ A=(1,5), \]

si ha ancora \(\sup A=5\) e \(\inf A=1\), ma ora \(5\notin A\) e \(1\notin A\): l'insieme non possiede né massimo né minimo, pur essendo dotato di estremo superiore e inferiore.

Applichiamo le definizioni e i risultati precedenti ad alcuni insiemi notevoli, determinando per ciascuno estremo superiore, estremo inferiore ed eventuali massimo e minimo.

Esempio 10. \[ A=[-2,3). \]

L'estremo inferiore è \(-2\), che appartiene all'insieme; pertanto:

\[ \inf A=\min A=-2. \]

L'estremo superiore è \(3\), che invece non appartiene all'insieme:

\[ \sup A=3, \]

mentre il massimo non esiste.

Esempio 11. \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Gli elementi sono \(1,\ \frac12,\ \frac13,\ldots\) Il valore più grande è \(1\), ottenuto per \(n=1\), e appartiene all'insieme:

\[ \sup A=\max A=1. \]

Gli elementi decrescono avvicinandosi a \(0\) senza mai raggiungerlo. Il numero \(0\) è un minorante e, per ogni \(\varepsilon>0\), scegliendo \(n\) tale che \(\frac1n<\varepsilon\) si ottiene un elemento minore di \(0+\varepsilon\). Dunque:

\[ \inf A=0, \]

mentre il minimo non esiste, poiché \(0\notin A\).

Esempio 12. \[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Poiché \(\frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}\), la successione è crescente. Il primo elemento, per \(n=1\), è \(\frac12\) e appartiene all'insieme:

\[ \inf A=\min A=\frac12. \]

Gli elementi crescono avvicinandosi a \(1\) senza mai raggiungerlo, quindi:

\[ \sup A=1, \]

mentre il massimo non esiste, poiché \(1\notin A\).

Esempio 13. \[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]

Conviene distinguere i termini di indice pari e dispari.

Per \(n\) pari l'elemento vale \(1+\frac1n\); questi termini decrescono e il più grande si ottiene per \(n=2\):

\[ 1+\frac12=\frac32. \]

Tutti gli altri elementi dell'insieme sono minori di \(\frac32\), che appartiene ad \(A\). Pertanto:

\[ \sup A=\max A=\frac32. \]

Per \(n\) dispari l'elemento vale \(-1+\frac1n\); questi termini decrescono avvicinandosi a \(-1\) senza mai raggiungerlo. Il numero \(-1\) è un minorante di \(A\) e, per ogni \(\varepsilon>0\), scegliendo \(n\) dispari con \(\frac1n<\varepsilon\) si ottiene un elemento minore di \(-1+\varepsilon\). Dunque:

\[ \inf A=-1, \]

mentre il minimo non esiste, poiché nessun elemento dell'insieme è uguale a \(-1\).

Abbiamo più volte affermato che ogni insieme non vuoto e limitato superiormente possiede estremo superiore. Questa proprietà non è una conseguenza delle regole algebriche o dell'ordinamento: è una proprietà strutturale dei numeri reali, presa come assioma.

Assioma di completezza. Ogni sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) non vuoto e limitato superiormente ammette estremo superiore in \(\mathbb{R}\).

Da questo assioma si deduce immediatamente la proprietà simmetrica per l'estremo inferiore: ogni sottoinsieme di \(\mathbb{R}\) non vuoto e limitato inferiormente ammette estremo inferiore in \(\mathbb{R}\). È sufficiente osservare che, posto \(-A=\{-x:x\in A\}\), si ha:

\[ \inf A=-\sup(-A). \]

L'importanza dell'assioma di completezza emerge con chiarezza confrontando \(\mathbb{R}\) con il campo dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\), che non gode di questa proprietà.

Un insieme razionale privo di estremo superiore in \(\mathbb{Q}\)

Consideriamo il sottoinsieme di \(\mathbb{Q}\):

\[ B=\left\{x\in\mathbb{Q}:x>0,\ x^2<2\right\}. \]

L'insieme \(B\) è non vuoto, poiché \(1\in B\), ed è limitato superiormente in \(\mathbb{Q}\): se \(x\in B\) allora \(x^2<2<4\), da cui \(x<2\), e quindi \(2\) è un maggiorante.

Mostriamo però che \(B\) non possiede estremo superiore all'interno di \(\mathbb{Q}\). Supponiamo per assurdo che esista \(s\in\mathbb{Q}\) con \(s=\sup B\); poiché \(\sqrt2\) non è razionale, deve essere \(s^2\neq 2\), quindi \(s^2<2\) oppure \(s^2>2\).

Se \(s^2<2\), scegliamo un razionale \(h\) con \(0<h<1\) e:

\[ h<\frac{2-s^2}{2s+1}. \]

Allora, usando \(h^2<h\):

\[ (s+h)^2=s^2+2sh+h^2<s^2+h(2s+1)<s^2+(2-s^2)=2, \]

cosicché \(s+h\in B\) e \(s+h>s\): ciò contraddice il fatto che \(s\) sia un maggiorante.

Se invece \(s^2>2\), scegliamo un razionale \(h\) con:

\[ 0<h<\frac{s^2-2}{2s}. \]

Allora:

\[ (s-h)^2=s^2-2sh+h^2>s^2-2sh>s^2-(s^2-2)=2. \]

Ne segue che \(s-h\) è ancora un maggiorante di \(B\) (ogni elemento \(x\in B\) soddisfa \(x^2<2<(s-h)^2\), da cui \(x<s-h\)), ma \(s-h<s\): ciò contraddice il fatto che \(s\) sia il più piccolo dei maggioranti.

In entrambi i casi si giunge a una contraddizione. Dunque \(B\) non ammette estremo superiore in \(\mathbb{Q}\).

Nell'insieme dei numeri reali, invece, l'estremo superiore esiste ed è:

\[ \sup B=\sqrt2. \]

Questo esempio mostra che \(\mathbb{Q}\) presenta dei "buchi": esistono insiemi razionali limitati superiormente che si addensano attorno a un valore senza che tale valore appartenga a \(\mathbb{Q}\). L'assioma di completezza afferma proprio che in \(\mathbb{R}\) questi buchi non esistono: i numeri reali formano un continuo privo di lacune.

È questa proprietà a rendere possibile lo sviluppo rigoroso dei concetti di limite, continuità, derivata e integrale, che costituiscono il fondamento dell'analisi matematica.