Dopo aver studiato le definizioni di massimo e minimo di un insieme, è importante imparare a riconoscerli concretamente nei diversi contesti matematici.
Nei seguenti esercizi analizzeremo insiemi finiti, intervalli, successioni e insiemi definiti mediante equazioni o disequazioni, determinando di volta in volta l'esistenza del massimo e del minimo e giustificando rigorosamente ogni conclusione.
Gli esercizi sono proposti in ordine di difficoltà crescente e svolti passo passo, evidenziando le tecniche e i ragionamenti più utilizzati nello studio degli insiemi numerici.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\{2,5,7,9\}. \]
Risultato
\[ \min A=2,\qquad \max A=9. \]
Svolgimento
L'insieme \(A\) è formato da un numero finito di elementi:
\[ 2,\ 5,\ 7,\ 9. \]
Il più piccolo elemento dell'insieme è \(2\), quindi:
\[ \min A=2. \]
Il più grande elemento dell'insieme è \(9\), quindi:
\[ \max A=9. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\{-4,-1,0,3\}. \]
Risultato
\[ \min A=-4,\qquad \max A=3. \]
Svolgimento
Per individuare il minimo cerchiamo l'elemento dell'insieme minore o uguale a tutti gli altri.
Poiché:
\[ -4\leq -1,\qquad -4\leq 0,\qquad -4\leq 3, \]
abbiamo:
\[ \min A=-4. \]
Per il massimo, osserviamo che:
\[ -4\leq 3,\qquad -1\leq 3,\qquad 0\leq 3. \]
Dunque:
\[ \max A=3. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'intervallo:
\[ A=[-2,4]. \]
Risultato
\[ \min A=-2,\qquad \max A=4. \]
Svolgimento
L'intervallo \([-2,4]\) contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ -2\leq x\leq 4. \]
Il numero \(-2\) appartiene all'intervallo ed è minore o uguale a ogni suo elemento. Quindi:
\[ \min A=-2. \]
Il numero \(4\) appartiene all'intervallo ed è maggiore o uguale a ogni suo elemento. Quindi:
\[ \max A=4. \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'intervallo:
\[ A=(1,6). \]
Risultato
L'insieme non possiede né minimo né massimo.
Svolgimento
L'intervallo \((1,6)\) contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 1<x<6. \]
Gli estremi \(1\) e \(6\) non appartengono all'insieme.
Il numero \(1\) non può essere minimo, perché \(1\notin A\). Inoltre, qualunque elemento \(x\in A\) scegliamo, esiste sempre un elemento di \(A\) più piccolo, ad esempio:
\[ \frac{1+x}{2}. \]
Infatti, se \(1<x<6\), allora:
\[ 1<\frac{1+x}{2}<x. \]
Dunque il minimo non esiste.
Analogamente, il numero \(6\) non può essere massimo, perché \(6\notin A\). Inoltre, dato \(x\in A\), il numero:
\[ \frac{x+6}{2} \]
appartiene ancora ad \(A\) ed è maggiore di \(x\). Quindi il massimo non esiste.
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'intervallo:
\[ A=(0,3]. \]
Risultato
\[ \max A=3, \]
mentre il minimo non esiste.
Svolgimento
L'intervallo \((0,3]\) contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 0<x\leq 3. \]
Il numero \(3\) appartiene all'insieme ed è maggiore o uguale a ogni elemento dell'insieme. Pertanto:
\[ \max A=3. \]
Il numero \(0\), invece, non appartiene all'insieme.
Inoltre, se scegliamo un qualunque elemento \(x\in A\), allora:
\[ \frac{x}{2}\in A \]
e risulta:
\[ \frac{x}{2}<x. \]
Quindi nessun elemento di \(A\) può essere minore o uguale a tutti gli altri. Il minimo non esiste.
Esercizio 6 — livello ★☆☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'intervallo:
\[ A=[-1,+\infty). \]
Risultato
\[ \min A=-1, \]
mentre il massimo non esiste.
Svolgimento
L'insieme è formato da tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ x\geq -1. \]
Il numero \(-1\) appartiene all'insieme ed è minore o uguale a tutti gli elementi di \(A\). Dunque:
\[ \min A=-1. \]
L'insieme non ha massimo, perché contiene numeri arbitrariamente grandi.
Infatti, se \(x\in A\), allora anche:
\[ x+1\in A \]
e risulta:
\[ x+1>x. \]
Quindi nessun elemento di \(A\) può essere il massimo.
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Risultato
\[ \max A=1, \]
mentre il minimo non esiste.
Svolgimento
Gli elementi dell'insieme sono:
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Il valore più grande si ottiene per \(n=1\), infatti:
\[ \frac1n\leq 1 \qquad \forall n\geq 1. \]
Inoltre \(1\in A\). Quindi:
\[ \max A=1. \]
Il minimo invece non esiste.
Infatti, dato un qualunque elemento \(\frac1n\in A\), possiamo considerare:
\[ \frac1{n+1}\in A. \]
Poiché:
\[ \frac1{n+1}<\frac1n, \]
nessun elemento dell'insieme può essere minore o uguale a tutti gli altri.
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{1-\frac1n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=0, \]
mentre il massimo non esiste.
Svolgimento
Scriviamo alcuni elementi dell'insieme:
\[ 0,\ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Il valore più piccolo si ottiene per \(n=1\):
\[ 1-\frac11=0. \]
Inoltre, per ogni \(n\geq 1\), si ha:
\[ 1-\frac1n\geq 0. \]
Dunque:
\[ \min A=0. \]
Il massimo non esiste. Infatti gli elementi dell'insieme si avvicinano sempre di più a \(1\), ma il numero \(1\) non appartiene ad \(A\).
Per verificare rigorosamente che nessun elemento è massimo, preso:
\[ 1-\frac1n\in A, \]
possiamo considerare:
\[ 1-\frac1{n+1}\in A. \]
Poiché:
\[ 1-\frac1{n+1}>1-\frac1n, \]
ogni elemento dell'insieme è superato da un altro elemento dell'insieme. Quindi il massimo non esiste.
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{(-1)^n:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=-1,\qquad \max A=1. \]
Svolgimento
L'espressione \((-1)^n\) può assumere soltanto due valori:
\[ 1 \quad \text{oppure} \quad -1. \]
Quindi l'insieme è:
\[ A=\{-1,1\}. \]
Il più piccolo elemento è \(-1\), dunque:
\[ \min A=-1. \]
Il più grande elemento è \(1\), dunque:
\[ \max A=1. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:x^2\leq 9\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=-3,\qquad \max A=3. \]
Svolgimento
Risolviamo la disequazione:
\[ x^2\leq 9. \]
Essa equivale a:
\[ -3\leq x\leq 3. \]
Quindi:
\[ A=[-3,3]. \]
Poiché entrambi gli estremi appartengono all'intervallo, abbiamo:
\[ \min A=-3,\qquad \max A=3. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:x^2<4\right\}. \]
Risultato
L'insieme non possiede né minimo né massimo.
Svolgimento
Risolviamo la disequazione:
\[ x^2<4. \]
Otteniamo:
\[ -2<x<2. \]
Pertanto:
\[ A=(-2,2). \]
Gli estremi \(-2\) e \(2\) non appartengono all'insieme.
Per dimostrare che il minimo non esiste, consideriamo un qualunque elemento \(x\in(-2,2)\).
Il numero
\[ \frac{-2+x}{2} \]
appartiene ancora all'intervallo \((-2,2)\) e soddisfa:
\[ \frac{-2+x}{2}<x. \]
Esiste quindi sempre un elemento dell'insieme più piccolo di \(x\), perciò il minimo non esiste.
Analogamente, il numero
\[ \frac{x+2}{2} \]
appartiene ancora all'intervallo \((-2,2)\) e soddisfa:
\[ \frac{x+2}{2}>x. \]
Esiste quindi sempre un elemento dell'insieme più grande di \(x\), perciò il massimo non esiste.
Dunque l'insieme non possiede né minimo né massimo.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:1\leq x<5\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=1, \]
mentre il massimo non esiste.
Svolgimento
L'insieme è l'intervallo:
\[ A=[1,5). \]
Il numero \(1\) appartiene all'insieme ed è minore o uguale a tutti gli elementi di \(A\). Pertanto:
\[ \min A=1. \]
Il numero \(5\), invece, non appartiene all'insieme.
Inoltre, dato un qualunque \(x\in[1,5)\), il numero:
\[ \frac{x+5}{2} \]
appartiene ancora ad \(A\) e soddisfa:
\[ x<\frac{x+5}{2}<5. \]
Quindi ogni elemento dell'insieme è superato da un altro elemento dell'insieme. Il massimo non esiste.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=\frac12, \]
mentre il massimo non esiste.
Svolgimento
Osserviamo che:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Scriviamo alcuni elementi:
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
Il primo elemento, ottenuto per \(n=1\), è:
\[ \frac{1}{2}. \]
Inoltre la successione è crescente, perché:
\[ \frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1} =\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)} =\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0. \]
Quindi:
\[ \min A=\frac12. \]
Il massimo non esiste, perché gli elementi sono sempre minori di \(1\), ma si avvicinano progressivamente a \(1\).
Inoltre, per ogni elemento \(\frac{n}{n+1}\in A\), esiste l'elemento successivo:
\[ \frac{n+1}{n+2}\in A, \]
che è più grande. Dunque nessun elemento è massimo.
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac{1}{n^2}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Risultato
\[ \max A=1, \]
mentre il minimo non esiste.
Svolgimento
Gli elementi dell'insieme sono:
\[ 1,\ \frac14,\ \frac19,\ \frac1{16},\ldots \]
Il valore massimo si ottiene per \(n=1\):
\[ \frac{1}{1^2}=1. \]
Inoltre, per ogni \(n\geq 1\), si ha:
\[ \frac{1}{n^2}\leq 1. \]
Quindi:
\[ \max A=1. \]
Il minimo non esiste. Infatti, dato un elemento:
\[ \frac1{n^2}\in A, \]
l'elemento:
\[ \frac1{(n+1)^2}\in A \]
è più piccolo, poiché:
\[ \frac1{(n+1)^2}<\frac1{n^2}. \]
Dunque nessun elemento dell'insieme può essere il minimo.
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:x^2-5x+6\leq 0\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=2,\qquad \max A=3. \]
Svolgimento
Scomponiamo il trinomio:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Dobbiamo quindi risolvere:
\[ (x-2)(x-3)\leq 0. \]
Il prodotto è minore o uguale a zero tra le due radici, estremi inclusi. Pertanto:
\[ 2\leq x\leq 3. \]
Quindi:
\[ A=[2,3]. \]
Poiché l'intervallo è chiuso e limitato, entrambi gli estremi appartengono all'insieme. Di conseguenza:
\[ \min A=2,\qquad \max A=3. \]
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:x^2-5x+6<0\right\}. \]
Risultato
L'insieme non possiede né minimo né massimo.
Svolgimento
Scomponiamo:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
La disequazione diventa:
\[ (x-2)(x-3)<0. \]
Il prodotto è strettamente negativo tra le due radici, senza includerle. Quindi:
\[ 2<x<3. \]
Pertanto:
\[ A=(2,3). \]
Il numero \(2\) non appartiene ad \(A\), quindi non può essere minimo. Inoltre ogni elemento di \(A\) può essere diminuito restando ancora dentro l'intervallo.
Il numero \(3\) non appartiene ad \(A\), quindi non può essere massimo. Inoltre ogni elemento di \(A\) può essere aumentato restando ancora dentro l'intervallo.
Dunque \(A\) non possiede né minimo né massimo.
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:|x-2|\leq 3\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=-1,\qquad \max A=5. \]
Svolgimento
La disequazione:
\[ |x-2|\leq 3 \]
equivale a:
\[ -3\leq x-2\leq 3. \]
Sommiamo \(2\) a tutti i membri:
\[ -1\leq x\leq 5. \]
Quindi:
\[ A=[-1,5]. \]
L'estremo sinistro \(-1\) appartiene all'insieme ed è minore o uguale a tutti gli elementi di \(A\). Quindi:
\[ \min A=-1. \]
L'estremo destro \(5\) appartiene all'insieme ed è maggiore o uguale a tutti gli elementi di \(A\). Quindi:
\[ \max A=5. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:|x+1|<4\right\}. \]
Risultato
L'insieme non possiede né minimo né massimo.
Svolgimento
La disequazione:
\[ |x+1|<4 \]
equivale a:
\[ -4<x+1<4. \]
Sottraiamo \(1\) da tutti i membri:
\[ -5<x<3. \]
Quindi:
\[ A=(-5,3). \]
L'estremo sinistro \(-5\) non appartiene all'insieme, quindi non può essere minimo.
Inoltre, preso un qualunque elemento \(x\in(-5,3)\), il numero
\[ \frac{-5+x}{2} \]
appartiene ancora all'insieme e soddisfa:
\[ \frac{-5+x}{2}<x. \]
Esiste quindi sempre un elemento dell'insieme più piccolo di \(x\), perciò il minimo non esiste.
Analogamente, l'estremo destro \(3\) non appartiene all'insieme, quindi non può essere massimo.
Inoltre, il numero
\[ \frac{x+3}{2} \]
appartiene ancora all'insieme e soddisfa:
\[ \frac{x+3}{2}>x. \]
Esiste quindi sempre un elemento dell'insieme più grande di \(x\), perciò il massimo non esiste.
Dunque l'insieme non possiede né minimo né massimo.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{x\in\mathbb{R}:\frac{x-1}{x+2}\leq 0\right\}. \]
Risultato
\[ \max A=1, \]
mentre il minimo non esiste.
Svolgimento
Studiamo il segno della frazione:
\[ \frac{x-1}{x+2}\leq 0. \]
Il numeratore si annulla per:
\[ x=1. \]
Il denominatore si annulla per:
\[ x=-2. \]
Il valore \(x=-2\) deve essere escluso dal dominio, perché annulla il denominatore.
Studiamo il segno nei tre intervalli:
\[ (-\infty,-2),\qquad (-2,1),\qquad (1,+\infty). \]
La frazione è negativa in \((-2,1)\) e nulla in \(x=1\). Pertanto:
\[ A=(-2,1]. \]
Il numero \(1\) appartiene ad \(A\) ed è maggiore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme. Quindi:
\[ \max A=1. \]
Il numero \(-2\) non appartiene all'insieme, perché annulla il denominatore.
Inoltre, preso un qualunque elemento \(x\in(-2,1]\), il numero
\[ \frac{x-2}{2} \]
appartiene ancora all'insieme \(A=(-2,1]\) e soddisfa:
\[ \frac{x-2}{2}<x. \]
Esiste quindi sempre un elemento dell'insieme più piccolo di \(x\), perciò il minimo non esiste.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Determinare massimo e minimo dell'insieme:
\[ A=\left\{\frac{2n+1}{n+1}:n\in\mathbb{N},\ n\geq 1\right\}. \]
Risultato
\[ \min A=\frac32, \]
mentre il massimo non esiste.
Svolgimento
Riscriviamo l'espressione:
\[ \frac{2n+1}{n+1}=\frac{2n+2-1}{n+1}=2-\frac1{n+1}. \]
Quindi gli elementi dell'insieme hanno la forma:
\[ 2-\frac1{n+1}. \]
Per \(n=1\) otteniamo:
\[ 2-\frac12=\frac32. \]
Inoltre, se \(n\) aumenta, il termine \(\frac1{n+1}\) diminuisce, quindi l'espressione:
\[ 2-\frac1{n+1} \]
aumenta.
Pertanto il primo elemento è il più piccolo:
\[ \min A=\frac32. \]
Il massimo non esiste. Infatti tutti gli elementi sono minori di \(2\), perché:
\[ 2-\frac1{n+1}<2. \]
Tuttavia, preso un qualunque elemento:
\[ 2-\frac1{n+1}\in A, \]
l'elemento successivo:
\[ 2-\frac1{n+2}\in A \]
è maggiore, poiché:
\[ \frac1{n+2}<\frac1{n+1}. \]
Quindi nessun elemento dell'insieme può essere massimo.