Nello studio degli insiemi numerici è spesso necessario individuare il valore più grande o il valore più piccolo appartenente a un insieme.
I concetti di massimo e minimo consentono proprio di formalizzare questa idea intuitiva e costituiscono uno dei primi strumenti fondamentali dell'analisi matematica.
Nelle sezioni seguenti introdurremo le definizioni rigorose di massimo e minimo di un insieme, ne studieremo le principali proprietà e analizzeremo diversi esempi significativi.
Indice
- Massimo di un insieme
- Minimo di un insieme
- Unicità del massimo e del minimo
- Quando esistono massimo e minimo?
- Esempi
- Relazione con estremo superiore ed inferiore
Massimo di un insieme
Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme non vuoto.
Un elemento \(M\in A\) si dice massimo di \(A\) se risulta:
\[ x\leq M \qquad \forall x\in A. \]
In altre parole, il massimo è l'elemento più grande dell'insieme, ossia un elemento che risulta maggiore o uguale a tutti gli altri elementi dell'insieme stesso.
Quando esiste, si scrive:
\[ M=\max A. \]
Dire che \(M\) è il massimo di \(A\) equivale quindi a verificare contemporaneamente due condizioni:
- \(M\in A\);
- \(x\leq M\) per ogni \(x\in A\).
La prima condizione è fondamentale: un numero che non appartiene all'insieme non può essere il suo massimo.
Minimo di un insieme
Sia \(A\subseteq\mathbb{R}\) un insieme non vuoto.
Un elemento \(m\in A\) si dice minimo di \(A\) se:
\[ m\leq x \qquad \forall x\in A. \]
Il minimo è dunque l'elemento più piccolo dell'insieme, ossia un elemento che risulta minore o uguale a tutti gli altri elementi dell'insieme.
Quando esiste, si scrive:
\[ m=\min A. \]
Anche in questo caso devono essere soddisfatte contemporaneamente le condizioni:
- \(m\in A\);
- \(m\leq x\) per ogni \(x\in A\).
Unicità del massimo e del minimo
Se un insieme possiede un massimo, esso è unico.
Infatti, supponiamo che \(M_1\) e \(M_2\) siano due massimi dell'insieme.
Poiché \(M_1\) è un massimo:
\[ M_2\leq M_1. \]
Analogamente, poiché \(M_2\) è un massimo:
\[ M_1\leq M_2. \]
Dalle due disuguaglianze segue:
\[ M_1=M_2. \]
Pertanto i due massimi coincidono.
Lo stesso ragionamento dimostra che anche il minimo, quando esiste, è unico.
Quando esistono massimo e minimo?
Non tutti gli insiemi possiedono un massimo o un minimo.
Affinché un insieme abbia un massimo, deve esistere un elemento dell'insieme che sia maggiore o uguale a tutti gli altri elementi dell'insieme.
Analogamente, per avere un minimo deve esistere un elemento dell'insieme che sia minore o uguale a tutti gli altri elementi dell'insieme.
L'esistenza di un massimo o di un minimo dipende quindi non solo dalla forma dell'insieme, ma anche dal fatto che l'eventuale estremo appartenga effettivamente all'insieme.
Esempi
Intervallo chiuso
Consideriamo l'intervallo:
\[ [1,5]. \]
L'estremo sinistro \(1\) appartiene all'intervallo e risulta minore o uguale a tutti gli altri elementi dell'intervallo.
Pertanto:
\[ \min[1,5]=1. \]
Analogamente:
\[ \max[1,5]=5. \]
Intervallo aperto
Consideriamo ora:
\[ (1,5). \]
I numeri \(1\) e \(5\) non appartengono all'intervallo.
Di conseguenza:
\[ \min(1,5) \]
non esiste e
\[ \max(1,5) \]
non esiste.
Per quanto ci si possa avvicinare a \(5\), è sempre possibile trovare un elemento dell'intervallo ancora più grande.
Lo stesso vale in prossimità di \(1\).
Insieme con massimo ma senza minimo
Consideriamo:
\[ A=(0,1]. \]
Poiché \(1\in A\) e nessun elemento di \(A\) è maggiore di \(1\),
\[ \max A=1. \]
Tuttavia \(0\notin A\).
Inoltre non esiste alcun elemento dell'insieme che sia minore o uguale a tutti gli altri elementi dell'insieme.
Pertanto il minimo non esiste.
Insieme con minimo ma senza massimo
Consideriamo:
\[ [2,+\infty). \]
Il numero \(2\) appartiene all'insieme ed è minore o uguale a tutti gli altri elementi dell'insieme.
Quindi:
\[ \min[2,+\infty)=2. \]
L'insieme non possiede invece alcun massimo, poiché contiene numeri arbitrariamente grandi.
Relazione con estremo superiore ed inferiore
I concetti di massimo e minimo sono strettamente collegati a quelli di estremo superiore ed estremo inferiore.
In particolare:
- se il massimo di un insieme esiste, allora coincide con il suo estremo superiore;
- se il minimo di un insieme esiste, allora coincide con il suo estremo inferiore.
Tuttavia il viceversa non è sempre vero.
Ad esempio, l'intervallo aperto:
\[ (1,5) \]
non possiede un massimo, ma ammette come estremo superiore il numero \(5\).
Analogamente, non possiede un minimo, ma ammette come estremo inferiore il numero \(1\).
I concetti di massimo e minimo sono strettamente legati a quelli di estremo superiore ed estremo inferiore. Quando esistono, massimo ed estremo superiore coincidono, così come minimo ed estremo inferiore. Il viceversa però non vale: un insieme può avere estremo superiore senza possedere un massimo (come avviene per l’intervallo aperto \((1,5)\), il cui estremo superiore è \(5\)).