Proponiamo una raccolta di 20 esercizi svolti su intervalli e intorni, pensati per comprendere in modo rigoroso e progressivo la struttura dei principali sottoinsiemi della retta reale.
Gli esercizi riguardano intervalli aperti, chiusi, semiaperti, semirette, appartenenza agli intervalli, scrittura in forma insiemistica e prime interpretazioni geometriche sulla retta reale.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Scrivere in forma insiemistica l’intervallo:
\[ (2,7) \]
Risultato
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Svolgimento
L’intervallo:
\[ (2,7) \]
è un intervallo aperto.
Le parentesi tonde indicano che gli estremi \(2\) e \(7\) non appartengono all’intervallo.
Quindi:
\[ 2\notin(2,7), \qquad 7\notin(2,7). \]
Appartengono invece all’intervallo tutti i numeri reali strettamente compresi tra \(2\) e \(7\).
Dire che un numero reale \(x\) appartiene a \((2,7)\) significa dunque imporre contemporaneamente le due condizioni:
\[ x>2 \]
e
\[ x<7. \]
Scrivendo le due condizioni in forma compatta, otteniamo:
\[ 2<x<7 \]
Pertanto:
\[ (2,7)=\{x\in\mathbb{R}\mid 2<x<7\} \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Scrivere in forma insiemistica l’intervallo:
\[ [-3,5] \]
Risultato
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Svolgimento
L’intervallo:
\[ [-3,5] \]
è un intervallo chiuso.
Le parentesi quadre indicano che entrambi gli estremi appartengono all’intervallo.
Quindi:
\[ -3\in[-3,5], \qquad 5\in[-3,5]. \]
Oltre agli estremi, appartengono all’intervallo tutti i numeri reali compresi tra \(-3\) e \(5\).
Un numero reale \(x\) appartiene quindi a \([-3,5]\) se è maggiore o uguale a \(-3\) e minore o uguale a \(5\).
In formule:
\[ -3\leq x\leq 5 \]
Di conseguenza:
\[ [-3,5]=\{x\in\mathbb{R}\mid -3\leq x\leq 5\} \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Scrivere in forma di intervallo l’insieme:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\}. \]
Risultato
\[ [1,6) \qquad \text{oppure} \qquad [1,6[ \]
Svolgimento
Consideriamo l’insieme:
\[ \{x\in\mathbb{R}\mid 1\leq x<6\} \]
La condizione:
\[ 1\leq x \]
significa che \(x\) può essere uguale a \(1\), oppure maggiore di \(1\).
Dunque l’estremo sinistro \(1\) appartiene all’insieme.
Per questo motivo, a sinistra si usa la parentesi quadra:
\[ [1,\ldots \]
La condizione:
\[ x<6 \]
significa invece che \(x\) deve essere strettamente minore di \(6\).
Quindi il numero \(6\) non appartiene all’insieme.
Per questo motivo, a destra si usa la parentesi tonda:
\[ \ldots,6) \]
Pertanto l’insieme dato è:
\[ [1,6) \]
Con la notazione alternativa molto usata in analisi matematica, lo stesso intervallo si scrive:
\[ [1,6[ \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Stabilire se il numero \(4\) appartiene all’intervallo:
\[ (4,9] \]
Risultato
\[ 4\notin(4,9] \]
Svolgimento
L’intervallo:
\[ (4,9] \]
è semiaperto.
La parentesi tonda a sinistra indica che l’estremo sinistro \(4\) non appartiene all’intervallo.
La parentesi quadra a destra indica invece che l’estremo destro \(9\) appartiene all’intervallo.
In forma insiemistica:
\[ (4,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid 4<x\leq 9\}. \]
Per verificare se \(4\) appartiene all’intervallo, sostituiamo \(x=4\) nella condizione:
\[ 4<x\leq 9. \]
Otteniamo:
\[ 4<4\leq 9. \]
La disuguaglianza:
\[ 4<4 \]
è falsa, perché nessun numero reale è strettamente minore di sé stesso.
Pertanto \(4\) non soddisfa la condizione di appartenenza.
Quindi:
\[ 4\notin(4,9] \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Scrivere in forma insiemistica la semiretta:
\[ [-2,+\infty) \]
Risultato
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Svolgimento
L’intervallo:
\[ [-2,+\infty) \]
è una semiretta illimitata verso destra.
Questo significa che contiene tutti i numeri reali maggiori oppure uguali a \(-2\).
La parentesi quadra in corrispondenza di \(-2\) indica che l’estremo finito appartiene all’intervallo.
Quindi:
\[ -2\in[-2,+\infty) \]
Il simbolo \(+\infty\), invece, non rappresenta un numero reale.
Per questo motivo \(+\infty\) non può essere incluso nell’intervallo mediante parentesi quadra.
La condizione di appartenenza è dunque:
\[ x\geq -2 \]
Pertanto:
\[ [-2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq -2\} \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Determinare centro, ampiezza e raggio dell’intervallo:
\[ [3,11] \]
Risultato
\[ \text{centro}=7,\qquad \text{ampiezza}=8,\qquad \text{raggio}=4 \]
Svolgimento
Consideriamo l’intervallo:
\[ [3,11]. \]
I suoi estremi sono:
\[ a=3,\qquad b=11. \]
L’ampiezza, detta anche lunghezza dell’intervallo, è la distanza tra l’estremo superiore e l’estremo inferiore.
Quindi:
\[ b-a=11-3=8. \]
Pertanto:
\[ \text{ampiezza}=8. \]
Il centro dell’intervallo è il punto medio tra gli estremi.
Si calcola mediante la formula:
\[ \frac{a+b}{2}. \]
Sostituendo \(a=3\) e \(b=11\), otteniamo:
\[ \frac{3+11}{2}=\frac{14}{2}=7. \]
Dunque:
\[ \text{centro}=7. \]
Il raggio è la distanza tra il centro e uno dei due estremi.
Equivalentemente, è metà dell’ampiezza:
\[ \frac{b-a}{2}. \]
Quindi:
\[ \frac{11-3}{2}=\frac{8}{2}=4. \]
Pertanto:
\[ \text{raggio}=4. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Scrivere in forma di intervallo l’insieme dei numeri reali che soddisfano:
\[ |x-2|<5 \]
Risultato
\[ (-3,7) \qquad \text{oppure} \qquad ]-3,7[ \]
Svolgimento
L’espressione:
\[ |x-2| \]
rappresenta la distanza tra il numero reale \(x\) e il punto \(2\) della retta reale.
La disequazione:
\[ |x-2|<5 \]
significa quindi che \(x\) deve avere distanza minore di \(5\) dal punto \(2\).
In termini di intorno circolare aperto, stiamo cercando tutti i punti dell’intorno di centro \(2\) e raggio \(5\).
Usiamo la proprietà:
\[ |A|<r \iff -r<A<r, \qquad r>0. \]
Nel nostro caso:
\[ A=x-2,\qquad r=5. \]
Quindi:
\[ -5<x-2<5. \]
Sommiamo \(2\) a tutti i membri della doppia disuguaglianza:
\[ -5+2<x-2+2<5+2. \]
Otteniamo:
\[ -3<x<7. \]
Dunque l’insieme soluzione è l’intervallo aperto:
\[ (-3,7) \]
Con la notazione alternativa:
\[ ]-3,7[ \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Scrivere in forma di intervallo l’insieme dei numeri reali che soddisfano:
\[ |x+1|\leq 4 \]
Risultato
\[ [-5,3] \]
Svolgimento
La quantità:
\[ |x+1| \]
può essere riscritta come:
\[ |x-(-1)|. \]
Essa rappresenta quindi la distanza tra \(x\) e il punto \(-1\).
La disequazione:
\[ |x+1|\leq 4 \]
significa che la distanza tra \(x\) e \(-1\) deve essere minore oppure uguale a \(4\).
Poiché compare il simbolo \(\leq\), gli estremi dell’intervallo verranno inclusi.
Usiamo la proprietà:
\[ |A|\leq r \iff -r\leq A\leq r, \qquad r>0. \]
Nel nostro caso:
\[ A=x+1,\qquad r=4. \]
Otteniamo:
\[ -4\leq x+1\leq 4. \]
Sottraiamo \(1\) da tutti i membri:
\[ -4-1\leq x+1-1\leq 4-1. \]
Quindi:
\[ -5\leq x\leq 3. \]
In forma di intervallo:
\[ [-5,3]. \]
Esercizio 9 — livello ★★★☆☆
Determinare:
\[ [1,8]\cap(3,10) \]
Risultato
\[ (3,8] \qquad \text{oppure} \qquad ]3,8] \]
Svolgimento
L’intersezione tra due insiemi contiene tutti e soli gli elementi che appartengono contemporaneamente a entrambi gli insiemi.
Consideriamo il primo intervallo:
\[ [1,8] \]
Esso contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 1\leq x\leq 8. \]
Consideriamo ora il secondo intervallo:
\[ (3,10). \]
Esso contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 3<x<10. \]
Per appartenere all’intersezione, un numero reale deve soddisfare entrambe le condizioni.
Dobbiamo quindi imporre contemporaneamente:
\[ 1\leq x\leq 8 \]
e:
\[ 3<x<10. \]
Il vincolo più forte a sinistra è:
\[ x>3. \]
Infatti, se \(x>3\), allora automaticamente \(x\geq1\).
Il vincolo più forte a destra è:
\[ x\leq8. \]
Infatti, se \(x\leq8\), allora automaticamente \(x<10\).
Otteniamo quindi:
\[ 3<x\leq8. \]
Pertanto:
\[ [1,8]\cap(3,10)=(3,8] \]
Esercizio 10 — livello ★★★☆☆
Determinare:
\[ [0,4]\cup(4,9) \]
Risultato
\[ [0,9) \qquad \text{oppure} \qquad [0,9[ \]
Svolgimento
L’unione tra due insiemi contiene tutti gli elementi che appartengono almeno a uno dei due insiemi.
Il primo intervallo è:
\[ [0,4]. \]
Esso contiene tutti i numeri reali compresi tra \(0\) e \(4\), estremi inclusi.
In particolare:
\[ 4\in[0,4]. \]
Il secondo intervallo è:
\[ (4,9). \]
Esso contiene tutti i numeri reali strettamente compresi tra \(4\) e \(9\).
In particolare, il numero \(4\) non appartiene al secondo intervallo, ma appartiene al primo.
Quindi non si crea alcun buco nel punto \(4\).
L’unione contiene:
- tutti i numeri da \(0\) a \(4\), incluso \(4\);
- tutti i numeri maggiori di \(4\) e minori di \(9\).
Complessivamente, essa contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 0\leq x<9. \]
Pertanto:
\[ [0,4]\cup(4,9)=[0,9) \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l’insieme:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
è un intervallo.
Risultato
L’insieme non è un intervallo.
Svolgimento
Ricordiamo che un sottoinsieme \(I\subseteq\mathbb{R}\) è un intervallo se, presi due suoi elementi qualsiasi, contiene anche tutti i numeri reali compresi tra essi.
Consideriamo l’insieme:
\[ [0,2)\cup(2,5]. \]
Il primo intervallo:
\[ [0,2) \]
contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 0\leq x<2. \]
Il secondo intervallo:
\[ (2,5] \]
contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 2<x\leq5. \]
Osserviamo ora il punto \(2\).
Esso non appartiene al primo intervallo, perché il primo intervallo esclude l’estremo destro:
\[ 2\notin[0,2). \]
Inoltre non appartiene al secondo intervallo, perché il secondo intervallo esclude l’estremo sinistro:
\[ 2\notin(2,5]. \]
Quindi:
\[ 2\notin[0,2)\cup(2,5]. \]
Tuttavia:
\[ 1\in[0,2)\cup(2,5] \]
e:
\[ 3\in[0,2)\cup(2,5]. \]
Poiché:
\[ 1<2<3, \]
abbiamo trovato due elementi dell’insieme, \(1\) e \(3\), tali che un numero compreso tra essi, cioè \(2\), non appartiene all’insieme.
L’insieme presenta quindi un “buco” interno.
È importante osservare che l’insieme considerato è unione di due intervalli, ma non costituisce esso stesso un intervallo della retta reale.
Pertanto:
\[ [0,2)\cup(2,5] \]
non è un intervallo.
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Stabilire se l’intervallo:
\[ [2,+\infty) \]
è aperto, chiuso oppure né aperto né chiuso in \(\mathbb{R}\).
Risultato
L’intervallo \([2,+\infty)\) è chiuso in \(\mathbb{R}\), ma non è aperto.
Svolgimento
Consideriamo l’intervallo:
\[ [2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq2\}. \]
Esso contiene il proprio estremo finito \(2\), poiché la parentesi quadra indica inclusione.
Studiamo prima se l’insieme è aperto.
Un insieme è aperto se ogni suo punto possiede un intorno aperto interamente contenuto nell’insieme.
Il punto \(2\) appartiene all’insieme:
\[ 2\in[2,+\infty). \]
Tuttavia, ogni intorno aperto di \(2\) contiene anche punti minori di \(2\).
Per esempio, per ogni \(r>0\), l’intorno:
\[ (2-r,2+r) \]
contiene punti dell’intervallo \((2-r,2)\), che sono minori di \(2\).
Tali punti non appartengono a \([2,+\infty)\).
Quindi nessun intorno aperto di \(2\) è interamente contenuto in \([2,+\infty)\).
Pertanto \([2,+\infty)\) non è aperto.
Studiamo ora se l’insieme è chiuso.
Il complementare di \([2,+\infty)\) in \(\mathbb{R}\) è:
\[ \mathbb{R}\setminus[2,+\infty)=(-\infty,2). \]
L’intervallo:
\[ (-\infty,2) \]
è aperto in \(\mathbb{R}\).
Poiché il complementare di \([2,+\infty)\) è aperto, segue che \([2,+\infty)\) è chiuso.
Esercizio 13 — livello ★★★★☆
Scrivere l’intorno circolare aperto di centro \(-1\) e raggio \(3\) sia in forma di intervallo sia in forma insiemistica.
Risultato
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Svolgimento
Un intorno circolare aperto di centro \(x_0\) e raggio \(r>0\) è l’insieme dei numeri reali che hanno distanza minore di \(r\) dal punto \(x_0\).
In forma insiemistica:
\[ I(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\}. \]
In questo esercizio:
\[ x_0=-1,\qquad r=3. \]
Sostituendo nella definizione:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-(-1)|<3\}. \]
Poiché:
\[ x-(-1)=x+1, \]
otteniamo:
\[ I(-1,3)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\}. \]
Per scriverlo in forma di intervallo, calcoliamo gli estremi:
\[ x_0-r=-1-3=-4 \]
e:
\[ x_0+r=-1+3=2. \]
Essendo un intorno aperto, gli estremi non sono inclusi.
Quindi:
\[ I(-1,3)=(-4,2). \]
Pertanto:
\[ I(-1,3)=(-4,2)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x+1|<3\} \]
Esercizio 14 — livello ★★★★☆
Scrivere l’intorno circolare chiuso di centro \(4\) e raggio \(5\) sia in forma di intervallo sia in forma insiemistica.
Risultato
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Svolgimento
Un intorno circolare chiuso di centro \(x_0\) e raggio \(r>0\) è l’insieme dei numeri reali che hanno distanza minore oppure uguale a \(r\) dal punto \(x_0\).
In forma insiemistica:
\[ \overline{I}(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\}. \]
In questo caso:
\[ x_0=4,\qquad r=5. \]
Sostituendo nella definizione:
\[ \overline{I}(4,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\}. \]
Per passare alla forma di intervallo, calcoliamo gli estremi.
L’estremo sinistro è:
\[ x_0-r=4-5=-1. \]
L’estremo destro è:
\[ x_0+r=4+5=9. \]
Poiché l’intorno è chiuso, vengono inclusi anche i punti che distano esattamente \(5\) dal centro.
Infatti:
\[ |-1-4|=|-5|=5 \]
e:
\[ |9-4|=5. \]
Quindi gli estremi \(-1\) e \(9\) appartengono all’intorno.
Pertanto:
\[ \overline{I}(4,5)=[-1,9]=\{x\in\mathbb{R}\mid |x-4|\leq5\} \]
Esercizio 15 — livello ★★★★☆
Scrivere l’intorno destro aperto di \(2\) e raggio \(6\).
Risultato
\[ (2,8) \qquad \text{oppure} \qquad ]2,8[ \]
Svolgimento
Un intorno destro aperto di un punto \(x_0\) contiene soltanto punti che si trovano a destra di \(x_0\), cioè punti maggiori di \(x_0\).
Se il raggio è \(r>0\), l’intorno destro aperto ha la forma:
\[ (x_0,x_0+r). \]
In questo esercizio:
\[ x_0=2,\qquad r=6. \]
Calcoliamo l’estremo destro:
\[ x_0+r=2+6=8. \]
L’intorno destro aperto è quindi:
\[ (2,8). \]
Esso contiene tutti i numeri reali \(x\) tali che:
\[ 2<x<8. \]
Il punto \(2\) non appartiene all’intorno, perché l’intorno destro aperto parte da \(2\) ma lo esclude.
Anche il punto \(8\) non appartiene all’intorno, perché l’estremo destro è escluso.
Esercizio 16 — livello ★★★★☆
Scrivere l’intorno sinistro aperto di \(5\) e raggio \(4\).
Risultato
\[ (1,5) \qquad \text{oppure} \qquad ]1,5[ \]
Svolgimento
Un intorno sinistro aperto di un punto \(x_0\) contiene soltanto punti minori di \(x_0\).
Se il raggio è \(r>0\), esso ha la forma:
\[ (x_0-r,x_0). \]
In questo esercizio:
\[ x_0=5,\qquad r=4. \]
Calcoliamo l’estremo sinistro:
\[ x_0-r=5-4=1. \]
Pertanto l’intorno sinistro aperto richiesto è:
\[ (1,5). \]
Tale insieme contiene tutti i numeri reali strettamente compresi tra \(1\) e \(5\).
In particolare:
- tutti i punti dell’intorno sono minori di \(5\);
- il punto \(5\) non appartiene all’intorno;
- anche l’estremo \(1\) è escluso.
In forma insiemistica:
\[ (1,5)=\{x\in\mathbb{R}\mid 1<x<5\} \]
Esercizio 17 — livello ★★★★★
Scrivere in forma di unione di intervalli l’intorno circolare escluso:
\[ I^\ast(3,2) \]
Risultato
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Svolgimento
Per definizione, l’intorno circolare escluso di centro \(x_0\) e raggio \(r>0\) è:
\[ I^\ast(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\}. \]
Esso si ottiene prendendo l’intorno circolare aperto di centro \(x_0\) e rimuovendo il punto centrale.
In questo esercizio:
\[ x_0=3,\qquad r=2. \]
Consideriamo dapprima l’intorno circolare aperto associato:
\[ I(3,2)=(3-2,3+2). \]
Calcolando gli estremi:
\[ 3-2=1 \]
e:
\[ 3+2=5, \]
otteniamo:
\[ I(3,2)=(1,5). \]
Tuttavia l’intorno richiesto è escluso.
Ciò significa che il punto centrale:
\[ x_0=3 \]
deve essere eliminato dall’intervallo.
Eliminando il punto \(3\), l’intervallo si spezza in due parti:
\[ (1,3) \]
e:
\[ (3,5). \]
Pertanto:
\[ I^\ast(3,2)=(1,3)\cup(3,5) \]
Esercizio 18 — livello ★★★★★
Scrivere un intorno di \(+\infty\) determinato da \(M=4\).
Risultato
\[ (4,+\infty) \]
Svolgimento
Un intorno di \(+\infty\) è una semiretta aperta destra del tipo:
\[ (M,+\infty), \qquad M>0. \]
Esso contiene tutti i numeri reali sufficientemente grandi, cioè maggiori di un certo valore reale \(M\).
In questo esercizio:
\[ M=4. \]
Sostituendo nella definizione otteniamo:
\[ (4,+\infty). \]
In forma insiemistica:
\[ (4,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}\mid x>4\}. \]
Questo insieme contiene tutti i numeri reali maggiori di \(4\).
Il numero \(4\) non appartiene all’intorno, poiché la parentesi tonda indica esclusione dell’estremo.
Inoltre il simbolo \(+\infty\) non rappresenta un numero reale e quindi non può essere incluso nell’intervallo.
Gli intorni di \(+\infty\) non rappresentano intorni nel senso ordinario della distanza tra numeri reali, ma costituiscono una convenzione fondamentale nello studio dei limiti all’infinito.
Esercizio 19 — livello ★★★★★
Scrivere un intorno di \(-\infty\) determinato da \(M=6\).
Risultato
\[ (-\infty,-6) \]
Svolgimento
Un intorno di \(-\infty\) è una semiretta aperta sinistra del tipo:
\[ (-\infty,-M), \qquad M>0. \]
Esso contiene tutti i numeri reali sufficientemente piccoli, cioè negativi e molto grandi in valore assoluto.
In questo esercizio:
\[ M=6. \]
Pertanto:
\[ -M=-6. \]
Sostituendo nella definizione dell’intorno di \(-\infty\), otteniamo:
\[ (-\infty,-6). \]
In forma insiemistica:
\[ (-\infty,-6)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<-6\}. \]
L’insieme contiene quindi tutti i numeri reali minori di \(-6\).
Il numero \(-6\) non appartiene all’intorno, perché l’estremo è escluso.
Gli intorni di \(-\infty\) non rappresentano intorni nel senso ordinario della distanza tra numeri reali, ma costituiscono una convenzione fondamentale nello studio dei limiti all’infinito.
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Determinare l’insieme soluzione della disequazione:
\[ |x-1|<|x+3| \]
Risultato
\[ (-1,+\infty) \]
Svolgimento
La quantità:
\[ |x-1| \]
rappresenta la distanza del punto \(x\) dal numero \(1\).
Analogamente:
\[ |x+3|=|x-(-3)| \]
rappresenta la distanza del punto \(x\) dal numero \(-3\).
La disequazione:
\[ |x-1|<|x+3| \]
significa quindi che \(x\) deve essere più vicino a \(1\) che a \(-3\).
Risolviamo algebricamente la disequazione.
Poiché entrambi i membri sono non negativi, possiamo elevare al quadrato senza alterare il verso della disuguaglianza:
\[ (x-1)^2<(x+3)^2. \]
Sviluppiamo i quadrati:
\[ x^2-2x+1<x^2+6x+9. \]
Sottraiamo \(x^2\) da entrambi i membri:
\[ -2x+1<6x+9. \]
Portiamo i termini contenenti \(x\) a sinistra:
\[ -8x+1<9. \]
Sottraiamo \(1\):
\[ -8x<8. \]
Dividiamo ora per \(-8\).
Poiché stiamo dividendo per un numero negativo, il verso della disuguaglianza cambia:
\[ x>-1. \]
Pertanto l’insieme soluzione è:
\[ (-1,+\infty). \]
Geometricamente, il punto di separazione è il punto medio tra \(-3\) e \(1\), cioè:
\[ \frac{-3+1}{2}=-1. \]
Tutti i punti situati a destra di \(-1\) risultano quindi più vicini a \(1\) che a \(-3\).