Gli intervalli e gli intorni sono particolari sottoinsiemi della retta reale. Essi permettono di descrivere con precisione insiemi di numeri reali compresi tra due estremi oppure regioni della retta sufficientemente vicine a un punto fissato.
Gli intervalli rappresentano porzioni continue della retta reale, mentre gli intorni descrivono regioni della retta sufficientemente vicine a un punto fissato.
Qui appresso studieremo in modo rigoroso gli intervalli e gli intorni, distinguendo tra intervalli aperti, chiusi, limitati, illimitati e le principali tipologie di intorno.
Indice
- Intervalli nella Retta Reale
- Definizione Formale di Intervallo
- Intervalli Limitati: Aperti, Chiusi e Semiaperti
- Estremi, Centro, Ampiezza e Raggio
- Intervalli Illimitati e Semirette
- Rappresentazione Grafica degli Intervalli
- Insiemi Aperti e Chiusi
- Intorni di un Punto
- Intorni Circolari Aperti e Chiusi
- Intorni Destri e Sinistri
- Intorni Circolari Esclusi
- Intorni di \(+\infty\) e \(-\infty\)
- Osservazioni Finali
Intervalli nella Retta Reale
Un intervallo è un insieme di numeri reali che occupa una porzione continua della retta reale.
Ad esempio: \[ [2,5] \]
contiene tutti i numeri reali compresi tra \(2\) e \(5\), estremi inclusi.
L’insieme: \[ (2,5) \qquad \text{oppure} \qquad ]2,5[ \]
contiene invece tutti i numeri reali compresi tra \(2\) e \(5\), ma esclude gli estremi \(2\) e \(5\).
In molti testi di analisi matematica viene utilizzata la seconda notazione con le parentesi quadre invertite per indicare l’intervallo aperto.
L’idea fondamentale è che un intervallo non presenta interruzioni: se contiene due numeri, allora contiene anche tutti i numeri compresi tra essi.
Definizione Formale di Intervallo
In matematica, un intervallo è un particolare insieme convesso della retta reale.
Formalmente, un sottoinsieme: \[ I\subseteq\mathbb{R} \]
si dice intervallo se:
\[ \forall x,y\in I,\ \forall z\in\mathbb{R},\quad \min(x,y)<z<\max(x,y) \Longrightarrow z\in I \]
Ciò significa che, scelti due elementi qualsiasi dell’insieme, tutti i numeri compresi tra essi appartengono ancora all’insieme.
Questa proprietà garantisce l’assenza di “buchi” interni.
Esempio. \[ [1,4] \] è un intervallo.
Infatti, scelti due numeri qualsiasi appartenenti a \([1,4]\), tutti i valori compresi tra essi appartengono ancora all’intervallo.
Controesempio. \[ [1,2]\cup[3,4] \]
non è un intervallo.
Infatti: \[ 1.5\in [1,2]\cup[3,4], \qquad 3.5\in [1,2]\cup[3,4] \]
ma: \[ 2.5\notin [1,2]\cup[3,4] \]
nonostante: \[ 1.5<2.5<3.5 \]
Intervalli Limitati: Aperti, Chiusi e Semiaperti
Siano: \[ a,b\in\mathbb{R}, \qquad a<b \]
Gli intervalli limitati di estremi \(a\) e \(b\) si classificano in base all’inclusione oppure all’esclusione degli estremi.
Intervallo aperto
L’intervallo aperto di estremi \(a\) e \(b\) esclude entrambi gli estremi:
\[ (a,b)=]a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\} \]
Intervallo chiuso
L’intervallo chiuso di estremi \(a\) e \(b\) include entrambi gli estremi:
\[ [a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x\leq b\} \]
Intervalli semiaperti
Gli intervalli semiaperti contengono uno solo dei due estremi.
Si distinguono:
\[ [a,b)=[a,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid a\leq x<b\} \]
e:
\[ (a,b]=]a,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\leq b\} \]
Nel primo caso appartiene all’intervallo l’estremo sinistro \(a\), ma non \(b\). Nel secondo caso appartiene invece \(b\), ma non \(a\).
Estremi, Centro, Ampiezza e Raggio
Consideriamo un intervallo limitato di estremi \(a\) e \(b\), con:
\[ a<b \]
Si definiscono:
- estremo inferiore: il numero \(a\);
- estremo superiore: il numero \(b\);
- ampiezza (o lunghezza): \[ b-a \]
- centro: \[ \frac{a+b}{2} \]
- raggio: \[ \frac{b-a}{2} \]
Ad esempio, per l’intervallo: \[ [2,8] \]
l’ampiezza è: \[ 8-2=6 \]
il centro è: \[ \frac{2+8}{2}=5 \]
mentre il raggio è: \[ \frac{8-2}{2}=3 \]
Intervalli Illimitati e Semirette
Un intervallo si dice illimitato se si estende indefinitamente verso destra, verso sinistra oppure in entrambe le direzioni della retta reale.
Le semirette illimitate verso destra sono:
\[ (a,+\infty)=]a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x>a\} \]
e:
\[ [a,+\infty)=[a,+\infty[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x\geq a\} \]
Analogamente, le semirette illimitate verso sinistra sono:
\[ (-\infty,b)=]-\infty,b[ =\{x\in\mathbb{R}\mid x<b\} \]
e:
\[ (-\infty,b]=]-\infty,b] =\{x\in\mathbb{R}\mid x\leq b\} \]
È importante osservare che: \[ +\infty\notin\mathbb{R}, \qquad -\infty\notin\mathbb{R} \]
Di conseguenza, gli infiniti non possono mai essere inclusi mediante parentesi quadre.
L’intera retta reale può essere rappresentata come: \[ \mathbb{R}=(-\infty,+\infty)=]-\infty,+\infty[ \]
Rappresentazione Grafica degli Intervalli
Gli intervalli possono essere rappresentati graficamente sulla retta reale.
In generale:
- un punto pieno indica che l’estremo appartiene all’intervallo;
- un punto vuoto indica che l’estremo non appartiene all’intervallo;
- una linea continua rappresenta tutti i punti appartenenti all’intervallo.
Ad esempio, l’intervallo: \[ [-2,3) \qquad \text{ovvero} \qquad [-2,3[ \]
contiene \(-2\), ma non contiene \(3\).
Sulla retta reale viene quindi rappresentato con:
- un punto pieno in \(-2\);
- un punto vuoto in \(3\);
- una linea continua tra i due estremi.
Insiemi Aperti e Chiusi
Gli intervalli permettono di introdurre i concetti di insieme aperto e insieme chiuso sulla retta reale.
Un intervallo aperto: \[ (a,b)=]a,b[ \]
è un esempio di insieme aperto, poiché ogni suo punto può essere circondato da un piccolo intervallo ancora interamente contenuto nell’insieme.
Un intervallo chiuso: \[ [a,b] \]
è invece un esempio di insieme chiuso della retta reale.
Gli intervalli: \[ [a,b), \qquad (a,b] \]
scrivibili anche come: \[ [a,b[, \qquad ]a,b] \]
non sono né aperti né chiusi.
Intorni di un Punto
Il concetto di intorno formalizza l’idea di vicinanza a un punto della retta reale.
Sia: \[ x_0\in\mathbb{R} \]
Un insieme: \[ U\subseteq\mathbb{R} \]
si dice intorno di \(x_0\) se contiene un intervallo aperto contenente \(x_0\).
Equivalentemente, \(U\) è un intorno di \(x_0\) se esistono due numeri reali \(a,b\) tali che:
\[ x_0\in(a,b)\subseteq U \qquad \text{ovvero} \qquad x_0\in]a,b[\subseteq U \]
Intuitivamente, un intorno contiene sempre una regione sufficientemente vicina al punto \(x_0\).
Intorni Circolari Aperti e Chiusi
Gli intorni più utilizzati sono gli intorni circolari, cioè intervalli centrati in un punto.
Sia: \[ x_0\in\mathbb{R}, \qquad r>0 \]
dove \(r\) prende il nome di raggio.
Intorno circolare aperto
L’intorno circolare aperto di centro \(x_0\) e raggio \(r\) è:
\[ I(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|<r\} \]
Equivalentemente:
\[ I(x_0,r) = (x_0-r,x_0+r) = ]x_0-r,x_0+r[ \]
La condizione: \[ |x-x_0|<r \]
significa che la distanza tra \(x\) e \(x_0\) è minore di \(r\).
Intorno circolare chiuso
L’intorno circolare chiuso di centro \(x_0\) e raggio \(r\) è:
\[ \overline{I}(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid |x-x_0|\leq r\} \]
Equivalentemente:
\[ \overline{I}(x_0,r) = [x_0-r,x_0+r] \]
In questo caso vengono inclusi anche gli estremi.
Esempio. L’intorno circolare aperto di centro \(3\) e raggio \(2\) è:
\[ I(3,2) = (1,5) = ]1,5[ \]
Intorni Destri e Sinistri
Talvolta interessa studiare soltanto i punti che si trovano a destra oppure a sinistra di un punto fissato.
Un intorno destro aperto di \(x_0\) è un insieme del tipo:
\[ (x_0,x_0+r) = ]x_0,x_0+r[ \]
con: \[ r>0 \]
Analogamente, un intorno sinistro aperto di \(x_0\) è:
\[ (x_0-r,x_0) = ]x_0-r,x_0[ \]
con: \[ r>0 \]
Il primo contiene soltanto punti maggiori di \(x_0\), mentre il secondo contiene soltanto punti minori di \(x_0\).
Intorni Circolari Esclusi
Un intorno circolare escluso è un intorno circolare dal quale viene eliminato il punto centrale.
Formalmente:
\[ I^\ast(x_0,r) = \{x\in\mathbb{R}\mid 0<|x-x_0|<r\} \]
Equivalentemente:
\[ I^\ast(x_0,r) = (x_0-r,x_0)\cup(x_0,x_0+r) = ]x_0-r,x_0[ \cup ]x_0,x_0+r[ \]
La condizione: \[ 0<|x-x_0| \]
esclude il punto: \[ x=x_0 \]
mentre: \[ |x-x_0|<r \]
mantiene tutti i punti che distano da \(x_0\) meno di \(r\).
Esempio. Per: \[ x_0=4, \qquad r=1 \]
si ottiene:
\[ I^\ast(4,1) = (3,4)\cup(4,5) = ]3,4[ \cup ]4,5[ \]
Intorni di \(+\infty\) e \(-\infty\)
Per poter studiare il comportamento delle funzioni per valori illimitatamente grandi, il concetto di intorno viene esteso anche agli infiniti.
Si definisce intorno di \(+\infty\) ogni semiretta aperta destra del tipo:
\[ (M,+\infty) = ]M,+\infty[ \]
con: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Intuitivamente, questo intorno rappresenta l’insieme di tutti i numeri reali maggiori di un valore \(M\) positivo e scelto grande a piacere.
Analogamente, si definisce intorno di \(-\infty\) ogni semiretta aperta sinistra del tipo:
\[ (-\infty,-M) = ]-\infty,-M[ \]
con: \[ M\in\mathbb{R}, \qquad M>0 \]
Questo insieme descrive la regione della retta reale costituita da tutti i numeri minori di un valore negativo \(-M\) molto piccolo in valore assoluto.
Osservazioni Finali
Gli intervalli e gli intorni permettono di descrivere in modo rigoroso sottoinsiemi della retta reale e regioni vicine a un punto.
Gli intervalli distinguono tra estremi inclusi ed estremi esclusi, mentre gli intorni introducono il concetto di vicinanza sulla retta reale.
In particolare:
- gli intervalli aperti non contengono gli estremi;
- gli intervalli chiusi contengono gli estremi;
- gli intervalli semiaperti contengono un solo estremo;
- gli intorni circolari aperti sono intervalli aperti centrati in un punto;
- gli intorni circolari chiusi includono anche gli estremi;
- gli intorni circolari esclusi eliminano il punto centrale;
- gli intorni di \(+\infty\) e \(-\infty\) rappresentano semirette aperte che si estendono oltre un valore grande a piacere.
Questi concetti verranno utilizzati continuamente nello studio delle funzioni e dell’analisi matematica.