Una raccolta progressiva di 20 esercizi svolti sui sistemi di equazioni di secondo grado, pensata per imparare a risolvere sistemi non lineari mediante sostituzione, confronto e utilizzo delle identità algebriche.
Gli esercizi sono ordinati in modo graduale: si parte da sistemi molto semplici fino ad arrivare a problemi più articolati con più soluzioni, radicali e sistemi impossibili.
In ogni svolgimento verranno mostrati tutti i passaggi fondamentali, prestando attenzione sia ai calcoli sia alla verifica finale delle soluzioni ottenute.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=4. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Svolgimento
Entrambe le equazioni esprimono il valore di \(y\). Perché il sistema sia verificato, i due valori devono coincidere.
Uguagliamo quindi i secondi membri:
\[ x^2=4. \]
Cerchiamo i numeri che hanno quadrato uguale a \(4\). Otteniamo:
\[ x=2 \qquad \text{oppure} \qquad x=-2. \]
Dalla seconda equazione sappiamo che:
\[ y=4. \]
Quindi le coppie soluzione sono:
\[ (2,4) \qquad \text{e} \qquad (-2,4). \]
Pertanto:
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Svolgimento
Anche in questo caso entrambe le equazioni forniscono il valore di \(y\). Uguagliamo quindi i secondi membri:
\[ x^2=x+2. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ x^2-x-2=0. \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Otteniamo quindi:
\[ (x-2)(x+1)=0. \]
Un prodotto è nullo quando almeno uno dei fattori è nullo. Dunque:
\[ x=2 \qquad \text{oppure} \qquad x=-1. \]
Calcoliamo ora il valore di \(y\) usando:
\[ y=x+2. \]
Se \(x=2\), otteniamo:
\[ y=2+2=4. \]
Se \(x=-1\), otteniamo:
\[ y=-1+2=1. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Svolgimento
Dalla prima equazione ricaviamo \(y\):
\[ y=5-x. \]
Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione:
\[ x(5-x)=6. \]
Sviluppiamo il prodotto:
\[ 5x-x^2=6. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Quindi:
\[ x=2 \qquad \text{oppure} \qquad x=3. \]
Ricaviamo i valori corrispondenti di \(y\).
Se \(x=2\):
\[ y=5-2=3. \]
Se \(x=3\):
\[ y=5-3=2. \]
Pertanto:
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=12. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Svolgimento
Dalla prima equazione ricaviamo:
\[ x=y+1. \]
Sostituiamo nella seconda equazione:
\[ (y+1)y=12. \]
Sviluppando otteniamo:
\[ y^2+y=12. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ y^2+y-12=0. \]
Scomponiamo:
\[ y^2+y-12=(y+4)(y-3). \]
Dunque:
\[ y=-4 \qquad \text{oppure} \qquad y=3. \]
Calcoliamo ora \(x\).
Se \(y=-4\):
\[ x=-4+1=-3. \]
Se \(y=3\):
\[ x=3+1=4. \]
Quindi:
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Esercizio 5 — livello ★★☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Svolgimento
Dalla seconda equazione ricaviamo:
\[ y=7-x. \]
Sostituiamo nella prima:
\[ x^2+(7-x)^2=25. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (7-x)^2=x^2-14x+49. \]
Otteniamo quindi:
\[ x^2+x^2-14x+49=25. \]
Riduciamo:
\[ 2x^2-14x+49=25. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2x^2-14x+24=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x^2-7x+12=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
Da cui:
\[ x=3 \qquad \text{oppure} \qquad x=4. \]
Troviamo i valori di \(y\).
Se \(x=3\):
\[ y=7-3=4. \]
Se \(x=4\):
\[ y=7-4=3. \]
Pertanto:
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y=12,\\ x+y=6. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Svolgimento
Dalla seconda equazione ricaviamo \(y\):
\[ y=6-x. \]
Sostituiamo nella prima equazione:
\[ x^2+(6-x)=12. \]
Semplificando:
\[ x^2-x+6=12. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ x^2-x-6=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Quindi:
\[ x=3 \qquad \text{oppure} \qquad x=-2. \]
Calcoliamo i valori corrispondenti di \(y\).
Se \(x=3\):
\[ y=6-3=3. \]
Se \(x=-2\):
\[ y=6-(-2)=8. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\ y=2x+2. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Svolgimento
Entrambe le equazioni esprimono \(y\). Uguagliamo quindi i secondi membri:
\[ x^2-1=2x+2. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ x^2-2x-3=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). \]
Quindi:
\[ x=3 \qquad \text{oppure} \qquad x=-1. \]
Calcoliamo \(y\) usando l’equazione lineare:
\[ y=2x+2. \]
Se \(x=3\):
\[ y=2\cdot 3+2=8. \]
Se \(x=-1\):
\[ y=2\cdot(-1)+2=0. \]
Dunque:
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x-y=1. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Svolgimento
Dalla seconda equazione ricaviamo:
\[ x=y+1. \]
Sostituiamo nella prima equazione:
\[ (y+1)^2+y^2=13. \]
Sviluppiamo:
\[ y^2+2y+1+y^2=13. \]
Riduciamo:
\[ 2y^2+2y+1=13. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2y^2+2y-12=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ y^2+y-6=0. \]
Scomponiamo:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2). \]
Quindi:
\[ y=-3 \qquad \text{oppure} \qquad y=2. \]
Calcoliamo \(x\) da \(x=y+1\).
Se \(y=-3\):
\[ x=-3+1=-2. \]
Se \(y=2\):
\[ x=2+1=3. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2-y=8,\\ x+y=4. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Svolgimento
Dalla seconda equazione otteniamo:
\[ y=4-x. \]
Sostituiamo nella prima equazione:
\[ x^2-(4-x)=8. \]
Facciamo attenzione al segno meno davanti alla parentesi:
\[ x^2-4+x=8. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ x^2+x-12=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]
Quindi:
\[ x=-4 \qquad \text{oppure} \qquad x=3. \]
Calcoliamo \(y\) usando \(y=4-x\).
Se \(x=-4\):
\[ y=4-(-4)=8. \]
Se \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Svolgimento
La seconda equazione dà già \(y\) in funzione di \(x\):
\[ y=x+2. \]
Sostituiamo nella prima:
\[ x^2+(x+2)^2=10. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Quindi:
\[ x^2+x^2+4x+4=10. \]
Riduciamo:
\[ 2x^2+4x+4=10. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2x^2+4x-6=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x^2+2x-3=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1). \]
Quindi:
\[ x=-3 \qquad \text{oppure} \qquad x=1. \]
Troviamo \(y\).
Se \(x=-3\):
\[ y=-3+2=-1. \]
Se \(x=1\):
\[ y=1+2=3. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Esercizio 11 — livello ★★★☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=20,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Svolgimento
Dalla seconda equazione ricaviamo:
\[ x=y+2. \]
Sostituiamo nella prima equazione:
\[ (y+2)^2+y^2=20. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Quindi:
\[ y^2+4y+4+y^2=20. \]
Riduciamo:
\[ 2y^2+4y+4=20. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2y^2+4y-16=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ y^2+2y-8=0. \]
Scomponiamo:
\[ y^2+2y-8=(y+4)(y-2). \]
Da cui:
\[ y=-4 \qquad \text{oppure} \qquad y=2. \]
Ricaviamo \(x\) usando \(x=y+2\).
Se \(y=-4\):
\[ x=-4+2=-2. \]
Se \(y=2\):
\[ x=2+2=4. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Esercizio 12 — livello ★★★☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=13. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Svolgimento
Dalla prima equazione ricaviamo:
\[ y=1-x. \]
Sostituiamo nella seconda equazione:
\[ x^2+(1-x)^2=13. \]
Sviluppiamo:
\[ (1-x)^2=x^2-2x+1. \]
Quindi:
\[ x^2+x^2-2x+1=13. \]
Riduciamo:
\[ 2x^2-2x+1=13. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2x^2-2x-12=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x^2-x-6=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Da cui:
\[ x=3 \qquad \text{oppure} \qquad x=-2. \]
Calcoliamo \(y\) usando \(y=1-x\).
Se \(x=3\):
\[ y=1-3=-2. \]
Se \(x=-2\):
\[ y=1-(-2)=3. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2-4x,\\ y=-3. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Svolgimento
La seconda equazione fornisce direttamente il valore di \(y\):
\[ y=-3. \]
Sostituiamo questo valore nella prima equazione:
\[ -3=x^2-4x. \]
Portiamo tutto al secondo membro:
\[ x^2-4x+3=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Quindi:
\[ x=1 \qquad \text{oppure} \qquad x=3. \]
In entrambi i casi il valore di \(y\) è lo stesso, cioè:
\[ y=-3. \]
Otteniamo quindi:
\[ (1,-3) \qquad \text{e} \qquad (3,-3). \]
Pertanto:
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y=10,\\ y=x+4. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Svolgimento
La seconda equazione dà già \(y\) in funzione di \(x\):
\[ y=x+4. \]
Sostituiamo nella prima:
\[ x^2+(x+4)=10. \]
Otteniamo:
\[ x^2+x+4=10. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ x^2+x-6=0. \]
Scomponiamo:
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]
Quindi:
\[ x=-3 \qquad \text{oppure} \qquad x=2. \]
Calcoliamo i corrispondenti valori di \(y\).
Se \(x=-3\):
\[ y=-3+4=1. \]
Se \(x=2\):
\[ y=2+4=6. \]
Pertanto:
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Svolgimento
Il sistema contiene la somma dei quadrati e il prodotto \(xy\). Usiamo l’identità:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Poiché:
\[ x^2+y^2=5 \qquad \text{e} \qquad xy=2, \]
otteniamo:
\[ (x+y)^2=5+2\cdot 2=9. \]
Quindi:
\[ x+y=3 \qquad \text{oppure} \qquad x+y=-3. \]
Studiamo separatamente i due casi.
Se:
\[ x+y=3 \qquad \text{e} \qquad xy=2, \]
i due numeri sono \(1\) e \(2\). Otteniamo quindi:
\[ (1,2) \qquad \text{e} \qquad (2,1). \]
Se invece:
\[ x+y=-3 \qquad \text{e} \qquad xy=2, \]
i due numeri sono \(-1\) e \(-2\). Otteniamo quindi:
\[ (-1,-2) \qquad \text{e} \qquad (-2,-1). \]
Pertanto:
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x+y=4,\\ x^2+y^2=10. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Svolgimento
Dalla prima equazione ricaviamo:
\[ y=4-x. \]
Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione:
\[ x^2+(4-x)^2=10. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (4-x)^2=x^2-8x+16. \]
Quindi:
\[ x^2+x^2-8x+16=10. \]
Riduciamo i termini simili:
\[ 2x^2-8x+16=10. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2x^2-8x+6=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x^2-4x+3=0. \]
Scomponiamo il trinomio:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Pertanto:
\[ x=1 \qquad \text{oppure} \qquad x=3. \]
Calcoliamo i valori corrispondenti di \(y\) usando \(y=4-x\).
Se \(x=1\):
\[ y=4-1=3. \]
Se \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Quindi:
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Esercizio 17 — livello ★★★★☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Svolgimento
Il sistema contiene \(x^2+y^2\) e \(xy\). Per ricavare informazioni sulla somma \(x+y\), usiamo l’identità:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Dal sistema sappiamo che:
\[ x^2+y^2=25 \qquad \text{e} \qquad xy=12. \]
Quindi:
\[ (x+y)^2=25+2\cdot 12=49. \]
Da cui otteniamo due possibilità:
\[ x+y=7 \qquad \text{oppure} \qquad x+y=-7. \]
Studiamo separatamente i due casi.
Se:
\[ x+y=7 \qquad \text{e} \qquad xy=12, \]
i due numeri sono \(3\) e \(4\). Otteniamo quindi:
\[ (3,4) \qquad \text{e} \qquad (4,3). \]
Se invece:
\[ x+y=-7 \qquad \text{e} \qquad xy=12, \]
i due numeri sono \(-3\) e \(-4\). Otteniamo quindi:
\[ (-3,-4) \qquad \text{e} \qquad (-4,-3). \]
Pertanto:
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Esercizio 18 — livello ★★★★☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=8,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Risultato
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Svolgimento
Dalla seconda equazione ricaviamo:
\[ x=y+2. \]
Sostituiamo nella prima equazione:
\[ (y+2)^2+y^2=8. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Quindi:
\[ y^2+4y+4+y^2=8. \]
Riduciamo:
\[ 2y^2+4y+4=8. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2y^2+4y-4=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ y^2+2y-2=0. \]
Questa equazione non si scompone con numeri interi, quindi usiamo la formula risolutiva:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}. \]
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta=4+8=12. \]
Quindi:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}. \]
Poiché \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), otteniamo:
\[ y=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} = -1\pm\sqrt{3}. \]
Ricaviamo ora \(x\) usando \(x=y+2\).
Se:
\[ y=-1+\sqrt{3}, \]
allora:
\[ x=-1+\sqrt{3}+2=1+\sqrt{3}. \]
Se:
\[ y=-1-\sqrt{3}, \]
allora:
\[ x=-1-\sqrt{3}+2=1-\sqrt{3}. \]
Pertanto:
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Esercizio 19 — livello ★★★★☆
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x+y=3. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\varnothing. \]
Svolgimento
Dalla seconda equazione ricaviamo:
\[ y=3-x. \]
Sostituiamo nella prima equazione:
\[ x^2+(3-x)^2=1. \]
Sviluppiamo il quadrato:
\[ (3-x)^2=x^2-6x+9. \]
Quindi:
\[ x^2+x^2-6x+9=1. \]
Riduciamo:
\[ 2x^2-6x+9=1. \]
Portiamo tutto al primo membro:
\[ 2x^2-6x+8=0. \]
Dividiamo per \(2\):
\[ x^2-3x+4=0. \]
Calcoliamo il discriminante:
\[ \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7. \]
Poiché \(\Delta<0\), l’equazione non ha soluzioni reali.
Di conseguenza il sistema non ammette soluzioni reali:
\[ S=\varnothing. \]
Esercizio 20 — livello ★★★★★
Risolvere il sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x^2-y^2=5. \end{cases} \]
Risultato
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]
Svolgimento
In questo sistema compaiono \(x^2+y^2\) e \(x^2-y^2\). Conviene sommare e sottrarre le due equazioni, così da ricavare separatamente \(x^2\) e \(y^2\).
Sommiamo membro a membro:
\[ (x^2+y^2)+(x^2-y^2)=13+5. \]
Al primo membro \(+y^2\) e \(-y^2\) si eliminano:
\[ 2x^2=18. \]
Quindi:
\[ x^2=9. \]
Da cui:
\[ x=3 \qquad \text{oppure} \qquad x=-3. \]
Ora sottraiamo la seconda equazione dalla prima:
\[ (x^2+y^2)-(x^2-y^2)=13-5. \]
Al primo membro \(x^2\) si elimina e otteniamo:
\[ 2y^2=8. \]
Quindi:
\[ y^2=4. \]
Da cui:
\[ y=2 \qquad \text{oppure} \qquad y=-2. \]
Poiché le equazioni dipendono solo da \(x^2\) e \(y^2\), tutte le combinazioni dei segni sono ammesse.
Pertanto:
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]