La razionalizzazione del denominatore è una tecnica fondamentale dell’algebra che permette di eliminare le radici dai denominatori delle frazioni. In questa raccolta trovi esercizi svolti passo passo, organizzati per difficoltà crescente.
Esercizio 1 del 07/03/2026 — livello ★☆☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Esercizio 2 del 07/03/2026 — livello ★☆☆☆☆
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{5}\):
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \]
Esercizio 3 del 07/03/2026 — livello ★★☆☆☆
\[ \frac{2}{3\sqrt{7}} \]
Risultato
\[ \frac{2\sqrt{7}}{21} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{7}\):
\[ \frac{2}{3\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{3 \cdot 7} = \frac{2\sqrt{7}}{21} \]
Esercizio 4 del 07/03/2026 — livello ★★☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} \]
Risultato
\[ \sqrt{2}-1 \]
Svolgimento
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato \(\sqrt{2}-1\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1 \]
Esercizio 5 del 07/03/2026 — livello ★★☆☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} \]
Risultato
\[ \sqrt{5}+2 \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{5}+2\):
\[ \frac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2} = \frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2 \]
Esercizio 6 del 07/03/2026 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{3}-1} \]
Risultato
\[ \sqrt{3}+1 \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{3}+1\):
\[ \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1 \]
Esercizio 7 del 07/03/2026 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{4}{2+\sqrt{3}} \]
Risultato
\[ 8-4\sqrt{3} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(2-\sqrt{3}\):
\[ \frac{4(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4-3} = 8-4\sqrt{3} \]
Esercizio 8 del 07/03/2026 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{5}-\sqrt{2}\):
\[ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{3} \]
Esercizio 9 del 07/03/2026 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{7}+3} \]
Risultato
\[ 3-\sqrt{7} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{7}-3\):
\[ \frac{2(\sqrt{7}-3)}{(\sqrt{7}+3)(\sqrt{7}-3)} = \frac{2(\sqrt{7}-3)}{7-9} = \frac{2(\sqrt{7}-3)}{-2} = -(\sqrt{7}-3) = 3-\sqrt{7} \]
Esercizio 10 del 07/03/2026 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \frac{2+\sqrt{2}}{2} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per \(\sqrt{2}\):
\[ \frac{(\sqrt{2}+1)\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2+\sqrt{2}}{2} \]
Esercizio 11 del 07/03/2026 — livello ★★★★☆
\[ \frac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} \]
Risultato
\[ -3(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\):
\[ \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{3})} = \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{2-3} = \frac{3(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{-1} = -3(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \]
Esercizio 12 del 07/03/2026 — livello ★★★★☆
\[ \frac{5}{2-\sqrt{5}} \]
Risultato
\[ -10 - 5\sqrt{5} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(2+\sqrt{5}\):
\[ \frac{5(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{5(2+\sqrt{5})}{4-5} = \frac{10 + 5\sqrt{5}}{-1} = -10 - 5\sqrt{5} \]
Esercizio 13 del 07/03/2026 — livello ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1} \]
Risultato
\[ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2}{4} \]
Svolgimento
Prima razionalizziamo rispetto al gruppo \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\), moltiplicando per \(\sqrt{3} + \sqrt{2} - 1\):
\[ \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{3}+\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-1}{4 + 2\sqrt{6}} \]
Poi moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato \(4 - 2\sqrt{6}\). Dopo aver svolto i calcoli si ottiene:
\[ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - 2}{4} \]
Esercizio 14 del 07/03/2026 — livello ★★★★★
\[ \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \frac{\sqrt{30} + 2\sqrt{15} - 6}{12} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato parziale \((\sqrt{5} + \sqrt{3}) + \sqrt{2}\):
\[ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6 + 2\sqrt{15}} \]
Ora razionalizziamo il nuovo denominatore moltiplicando per \(6 - 2\sqrt{15}\). Dopo aver svolto i prodotti e semplificato si arriva al risultato:
\[ \frac{\sqrt{30} + 2\sqrt{15} - 6}{12} \]
Esercizio 15 del 07/03/2026 — livello ★★★☆☆
\[ \frac{2}{\sqrt{x}+1} \]
Risultato
\[ \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{x}-1\):
\[ \frac{2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x-1} \]
Esercizio 16 del 07/03/2026 — livello ★★★★☆
\[ \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2} \]
Risultato
\[ \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x-4} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato \(\sqrt{x}+2\):
\[ \frac{(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{x + 4\sqrt{x} + 4}{x-4} \]
Esercizio 17 del 07/03/2026 — livello ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}} \]
Risultato
\[ \sqrt{x+1} + \sqrt{x} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{x+1} + \sqrt{x}\):
\[ \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{(x+1) - x} = \sqrt{x+1} + \sqrt{x} \]
Esercizio 18 del 07/03/2026 — livello ★★★★☆
\[ \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}} \]
Risultato
\[ \sqrt{x+2} - \sqrt{x+1} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}\):
\[ \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+2} + \sqrt{x+1})(\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1})} = \frac{\sqrt{x+2} - \sqrt{x+1}}{(x+2) - (x+1)} = \sqrt{x+2} - \sqrt{x+1} \]
Esercizio 19 del 07/03/2026 — livello ★★★★★
\[ \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2}}{\sqrt{x}+\sqrt{2}} \]
Risultato
\[ \frac{x + 2 - 2\sqrt{2x}}{x-2} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato \(\sqrt{x} - \sqrt{2}\):
\[ \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{x}+\sqrt{2})(\sqrt{x}-\sqrt{2})} = \frac{x - 2\sqrt{2x} + 2}{x-2} \]
Esercizio 20 del 07/03/2026 — livello ★★★★★
\[ \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}} \]
Risultato
\[ \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \]
Svolgimento
Moltiplichiamo per il coniugato \(\sqrt{x} + \sqrt{x-1}\):
\[ \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{(\sqrt{x} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x} + \sqrt{x-1})} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x-1}}{x - (x-1)} = \sqrt{x} + \sqrt{x-1} \]