Questa raccolta propone 30 esercizi svolti sulle proprietà delle potenze, organizzati secondo un livello di difficoltà progressivo. Lo scopo non è soltanto eseguire correttamente i calcoli, ma imparare a riconoscere la struttura di un'espressione e a individuare la proprietà delle potenze che può essere applicata.
Studieremo il prodotto e il quoziente di potenze con la stessa base, la potenza di una potenza, la potenza di un prodotto e la potenza di un quoziente. Affronteremo inoltre esercizi sulle potenze con esponente zero, negativo e razionale.
Nei primi esercizi applicheremo una proprietà alla volta. Nei successivi sarà invece necessario utilizzare più proprietà in successione, prestando attenzione all'ordine con cui devono essere eseguite le diverse trasformazioni.
Quando compariranno variabili, denominatori oppure esponenti negativi e razionali, esamineremo anche le condizioni nelle quali le espressioni sono definite. In questo modo, ogni semplificazione conserverà non soltanto il valore dell'espressione, ma anche il dominio dell'espressione iniziale.
Esercizio 1 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ 2^3\cdot 2^4. \]
Risultato
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Svolgimento
L'espressione è il prodotto di due potenze con la stessa base, uguale a \(2\). Quando si moltiplicano potenze con la stessa base, si mantiene la base e si sommano gli esponenti:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Nel nostro caso gli esponenti sono \(3\) e \(4\). Pertanto
\[ 2^3\cdot 2^4=2^{3+4}=2^7. \]
Per definizione, \(2^7\) è il prodotto di sette fattori tutti uguali a \(2\):
\[ 2^7=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=128. \]
Di conseguenza,
\[ 2^3\cdot 2^4=128. \]
Esercizio 2 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ \frac{5^6}{5^4}. \]
Risultato
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Svolgimento
Al numeratore e al denominatore compaiono due potenze con la stessa base, uguale a \(5\). Poiché la base è diversa da zero, possiamo applicare la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
Si mantiene la base e si sottrae l'esponente del denominatore da quello del numeratore. Otteniamo quindi
\[ \frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2. \]
Calcoliamo la potenza rimasta:
\[ 5^2=5\cdot5=25. \]
Pertanto
\[ \frac{5^6}{5^4}=25. \]
Esercizio 3 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ \left(3^2\right)^3. \]
Risultato
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Svolgimento
L'espressione è costituita dalla potenza \(3^2\), elevata a sua volta alla terza potenza. Ci troviamo quindi davanti a una potenza di una potenza.
In questo caso gli esponenti non devono essere sommati. Si mantiene la base e si moltiplicano l'esponente interno e quello esterno:
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
L'esponente interno è \(2\), mentre quello esterno è \(3\). Pertanto
\[ \left(3^2\right)^3=3^{2\cdot3}=3^6. \]
Calcolando la sesta potenza di \(3\), otteniamo
\[ 3^6=3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3=729. \]
Lo stesso risultato potrebbe essere ricavato calcolando prima \(3^2=9\) e successivamente \(9^3=729\). L'applicazione della proprietà della potenza di una potenza permette però di mettere direttamente in evidenza la struttura dell'espressione. Di conseguenza,
\[ \left(3^2\right)^3=729. \]
Esercizio 4 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ (2\cdot5)^3. \]
Risultato
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Svolgimento
All'interno delle parentesi compare il prodotto \(2\cdot5\), e l'intero prodotto è elevato alla terza potenza. Possiamo quindi applicare la proprietà della potenza di un prodotto:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Questa proprietà stabilisce che l'esponente deve essere applicato a ciascun fattore del prodotto. Pertanto
\[ (2\cdot5)^3=2^3\cdot5^3. \]
Calcoliamo separatamente le due potenze:
\[ 2^3=8 \qquad\text{e}\qquad 5^3=125. \]
Di conseguenza,
\[ 2^3\cdot5^3=8\cdot125=1000. \]
Possiamo verificare il risultato calcolando prima il prodotto contenuto nelle parentesi:
\[ (2\cdot5)^3=10^3=1000. \]
Pertanto
\[ (2\cdot5)^3=1000. \]
Esercizio 5 — livello ★☆☆☆☆
Calcolare:
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4. \]
Risultato
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Svolgimento
L'espressione è un quoziente elevato alla quarta potenza. Possiamo procedere in due modi: semplificare prima il quoziente oppure applicare la proprietà della potenza di un quoziente.
In questo caso il primo procedimento è il più immediato, perché
\[ \frac{6}{3}=2. \]
Pertanto
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=2^4=16. \]
Possiamo ottenere lo stesso risultato applicando la proprietà
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Poiché il denominatore è \(3\neq0\), possiamo scrivere
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=\frac{6^4}{3^4}. \]
Calcolando numeratore e denominatore, otteniamo
\[ 6^4=1296 \qquad\text{e}\qquad 3^4=81. \]
Quindi
\[ \frac{6^4}{3^4}=\frac{1296}{81}=16. \]
Entrambi i procedimenti conducono dunque allo stesso risultato:
\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4=16. \]
Esercizio 6 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ x^4\cdot x^5. \]
Risultato
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Svolgimento
L'espressione è il prodotto di due potenze con la stessa base \(x\). Il fatto che la base sia rappresentata da una variabile, anziché da un numero assegnato, non modifica la proprietà da applicare.
Quando si moltiplicano due potenze con la stessa base, si mantiene la base e si sommano gli esponenti:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
Nel nostro caso la base comune è \(x\), mentre gli esponenti sono \(4\) e \(5\). Pertanto
\[ x^4\cdot x^5=x^{4+5}=x^9. \]
Non è necessaria alcuna condizione sulla variabile, perché compaiono soltanto potenze con esponenti interi positivi. L'uguaglianza è quindi valida per ogni \(x\in\mathbb{R}\):
\[ x^4\cdot x^5=x^9. \]
Esercizio 7 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ \frac{x^9}{x^4} \qquad (x\neq0). \]
Risultato
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Svolgimento
Prima di semplificare l'espressione, dobbiamo esaminarne il dominio. Poiché \(x^4\) compare al denominatore, il quoziente è definito soltanto quando
\[ x^4\neq0. \]
Una potenza con esponente intero positivo è uguale a zero se e soltanto se la sua base è uguale a zero. Pertanto
\[ x^4\neq0 \iff x\neq0. \]
Sotto questa condizione, il numeratore e il denominatore sono potenze con la stessa base \(x\). Possiamo quindi applicare la proprietà
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \qquad a\neq0. \]
Manteniamo la base \(x\) e sottraiamo l'esponente del denominatore da quello del numeratore:
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^{9-4}=x^5. \]
Sebbene l'espressione semplificata \(x^5\) sia definita anche per \(x=0\), il quoziente iniziale non lo è. La condizione \(x\neq0\) deve quindi essere mantenuta. Pertanto
\[ \frac{x^9}{x^4}=x^5 \qquad (x\neq0). \]
Esercizio 8 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ \left(x^3\right)^5. \]
Risultato
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Svolgimento
L'espressione è costituita dalla potenza \(x^3\), elevata a sua volta alla quinta potenza. Si tratta quindi di una potenza di una potenza.
In questo caso gli esponenti non devono essere sommati. Si mantiene la base e si moltiplicano l'esponente interno e quello esterno:
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
L'esponente interno è \(3\), mentre quello esterno è \(5\). Di conseguenza,
\[ \left(x^3\right)^5=x^{3\cdot5}=x^{15}. \]
Poiché tutti gli esponenti coinvolti sono interi positivi, l'uguaglianza è valida per ogni \(x\in\mathbb{R}\). Pertanto
\[ \left(x^3\right)^5=x^{15}. \]
Esercizio 9 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ (3x)^3. \]
Risultato
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Svolgimento
All'interno delle parentesi compare il prodotto tra il fattore numerico \(3\) e la variabile \(x\). Poiché l'intero prodotto è elevato alla terza potenza, l'esponente deve essere applicato a entrambi i fattori.
Utilizziamo la proprietà
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Ponendo \(a=3\), \(b=x\) e \(n=3\), otteniamo
\[ (3x)^3=3^3x^3. \]
Calcoliamo ora la potenza del fattore numerico:
\[ 3^3=3\cdot3\cdot3=27. \]
Pertanto
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Non sarebbe corretto scrivere \(3x^3\), perché l'esponente agisce sull'intero prodotto contenuto nelle parentesi e quindi anche sul fattore \(3\). Di conseguenza,
\[ (3x)^3=27x^3. \]
Esercizio 10 — livello ★★☆☆☆
Semplificare:
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4. \]
Risultato
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Svolgimento
L'intero quoziente \(\displaystyle\frac{x}{2}\) è elevato alla quarta potenza. Poiché il denominatore è il numero \(2\), che è diverso da zero, l'espressione è definita per ogni \(x\in\mathbb{R}\).
Possiamo quindi applicare la proprietà della potenza di un quoziente:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
L'esponente \(4\) deve essere applicato sia al numeratore sia al denominatore. Pertanto
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{2^4}. \]
Poiché
\[ 2^4=16, \]
otteniamo
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4=\frac{x^4}{16}. \]
Esercizio 11 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ 4^0\cdot 7^2. \]
Risultato
\[ 4^0\cdot 7^2=49. \]
Svolgimento
Nell'espressione compare la potenza \(4^0\). Per calcolarla utilizziamo la definizione di potenza con esponente zero.
Per ogni numero reale \(a\neq0\), si ha
\[ a^0=1. \]
La condizione \(a\neq0\) è essenziale, perché nel contesto delle proprietà algebriche delle potenze l'espressione \(0^0\) non viene definita.
In questo esercizio la base è \(4\), che è diversa da zero. Pertanto
\[ 4^0=1. \]
Inoltre,
\[ 7^2=7\cdot7=49. \]
Sostituendo questi valori nell'espressione iniziale, otteniamo
\[ 4^0\cdot7^2=1\cdot49=49. \]
Di conseguenza,
\[ 4^0\cdot7^2=49. \]
Esercizio 12 — livello ★★☆☆☆
Calcolare:
\[ 3^{-2}. \]
Risultato
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Svolgimento
L'esponente è negativo. Il segno meno dell'esponente non determina il segno della potenza, ma indica che dobbiamo prendere il reciproco della corrispondente potenza con esponente positivo.
Se \(a\neq0\) e \(n\in\mathbb{N}^*\), si definisce
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
In questo esercizio la base è \(3\), che è diversa da zero, quindi la potenza è definita. Applicando la definizione con \(a=3\) e \(n=2\), otteniamo
\[ 3^{-2}=\frac{1}{3^2}. \]
Poiché
\[ 3^2=9, \]
segue che
\[ 3^{-2}=\frac{1}{9}. \]
Non sarebbe corretto scrivere \(3^{-2}=-9\), perché il segno meno appartiene all'esponente e indica il passaggio al reciproco; non indica che il valore della potenza sia negativo.
Esercizio 13 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ x^{-3}\cdot x^7 \qquad (x\neq0). \]
Risultato
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Svolgimento
Nell'espressione compare la potenza \(x^{-3}\). Per definizione,
\[ x^{-3}=\frac{1}{x^3}. \]
Questo reciproco è definito soltanto quando \(x^3\neq0\), condizione equivalente a
\[ x\neq0. \]
Sotto questa condizione, le due potenze presenti nel prodotto hanno la stessa base \(x\). La proprietà del prodotto di potenze con la stessa base continua a valere per gli esponenti interi:
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}, \qquad a\neq0,\quad h,k\in\mathbb{Z}. \]
Sommiamo quindi algebricamente gli esponenti, tenendo conto del loro segno:
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^{-3+7}. \]
Poiché
\[ -3+7=4, \]
otteniamo
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4. \]
Possiamo verificare lo stesso risultato direttamente dalla definizione di esponente negativo:
\[ x^{-3}\cdot x^7=\frac{1}{x^3}\cdot x^7=\frac{x^7}{x^3}=x^{7-3}=x^4. \]
Sebbene l'espressione semplificata \(x^4\) sia definita anche per \(x=0\), l'espressione iniziale non lo è. La condizione \(x\neq0\) deve quindi essere mantenuta. Pertanto
\[ x^{-3}\cdot x^7=x^4 \qquad (x\neq0). \]
Esercizio 14 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ \left(x^2y^3\right)^4. \]
Risultato
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Svolgimento
All'interno delle parentesi compare il prodotto delle due potenze \(x^2\) e \(y^3\), e l'intero prodotto è elevato alla quarta potenza.
Applichiamo anzitutto la proprietà della potenza di un prodotto:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
Considerando \(x^2\) e \(y^3\) come i due fattori, otteniamo
\[ \left(x^2y^3\right)^4=\left(x^2\right)^4\left(y^3\right)^4. \]
Ciascun fattore è ora una potenza di una potenza. Utilizziamo quindi la proprietà
\[ \left(a^m\right)^n=a^{mn}. \]
Applicandola al primo fattore, otteniamo
\[ \left(x^2\right)^4=x^{2\cdot4}=x^8. \]
Applicandola al secondo fattore, otteniamo
\[ \left(y^3\right)^4=y^{3\cdot4}=y^{12}. \]
Sostituendo i risultati ricavati, segue che
\[ \left(x^2y^3\right)^4=x^8y^{12}. \]
Tutti gli esponenti coinvolti sono interi positivi e non compaiono denominatori. L'uguaglianza è quindi valida per ogni \(x,y\in\mathbb{R}\).
Esercizio 15 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} \qquad (x\neq0). \]
Risultato
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Svolgimento
Prima di semplificare l'espressione, dobbiamo esaminarne il dominio. La variabile \(x\) compare al denominatore del quoziente \(\displaystyle\frac{2}{x}\), quindi dobbiamo imporre
\[ x\neq0. \]
Inoltre, l'intero quoziente è elevato a un esponente negativo, quindi la sua base deve essere diversa da zero. Questa seconda condizione è automaticamente soddisfatta, perché il numeratore è \(2\neq0\) e dunque \(\displaystyle\frac{2}{x}\neq0\) ogni volta che \(x\neq0\).
Un esponente negativo indica il reciproco della corrispondente potenza con esponente positivo. Per \(a\neq0\), \(b\neq0\) e \(n\in\mathbb{N}^*\), vale
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n. \]
Applicando questa proprietà con \(a=2\), \(b=x\) e \(n=3\), otteniamo
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\left(\frac{x}{2}\right)^3. \]
Applichiamo ora la proprietà della potenza di un quoziente:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \qquad b\neq0. \]
Pertanto
\[ \left(\frac{x}{2}\right)^3=\frac{x^3}{2^3}. \]
Poiché
\[ 2^3=8, \]
segue che
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8}. \]
Anche se nella forma semplificata \(x\) non compare più al denominatore, la condizione \(x\neq0\) deve essere mantenuta, perché appartiene al dominio dell'espressione iniziale. Di conseguenza,
\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3}=\frac{x^3}{8} \qquad (x\neq0). \]
Esercizio 16 — livello ★★★☆☆
Calcolare:
\[ 25^{\frac{1}{2}}. \]
Risultato
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
Svolgimento
L'esponente è il numero razionale \(\displaystyle\frac{1}{2}\). Una potenza con esponente della forma \(\displaystyle\frac{1}{q}\) si interpreta mediante una radice.
Se \(a>0\) e \(q\in\mathbb{N}^*\), si definisce
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Quando \(q=2\), questa definizione diventa
\[ a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}. \]
Poiché la base \(25\) è positiva, possiamo quindi scrivere
\[ 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}. \]
Il simbolo \(\sqrt{25}\) indica la radice quadrata aritmetica di \(25\), cioè l'unico numero non negativo il cui quadrato è uguale a \(25\).
Poiché
\[ 5^2=25, \]
segue che
\[ \sqrt{25}=5. \]
Pertanto
\[ 25^{\frac{1}{2}}=5. \]
Il risultato è \(5\), non \(\pm5\). I numeri \(5\) e \(-5\) sono entrambi soluzioni dell'equazione \(x^2=25\), mentre il radicale \(\sqrt{25}\) indica soltanto la soluzione non negativa.
Esercizio 17 — livello ★★★☆☆
Calcolare:
\[ 8^{\frac{1}{3}}. \]
Risultato
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Svolgimento
L'esponente è \(\displaystyle\frac{1}{3}\). Una potenza con questo esponente rappresenta la radice cubica della base.
Per una base positiva \(a\), si ha
\[ a^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{a}. \]
Poiché \(8>0\), possiamo scrivere
\[ 8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}. \]
Dobbiamo quindi determinare il numero che, elevato alla terza potenza, dà \(8\).
Poiché
\[ 2^3=2\cdot2\cdot2=8, \]
otteniamo
\[ \sqrt[3]{8}=2. \]
Pertanto
\[ 8^{\frac{1}{3}}=2. \]
Esercizio 18 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} \qquad (x>0). \]
Risultato
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
Svolgimento
Nell'espressione compaiono potenze con esponente razionale. Nel contesto della teoria sviluppata assumiamo che la base sia strettamente positiva:
\[ x>0. \]
Sotto questa condizione, le proprietà delle potenze continuano a valere anche per gli esponenti razionali.
Le due potenze sono moltiplicate tra loro e hanno la stessa base \(x\). Possiamo quindi applicare la proprietà
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad a>0,\quad r,s\in\mathbb{Q}. \]
Manteniamo la base \(x\) e sommiamo gli esponenti:
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =x^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}. \]
Le due frazioni hanno lo stesso denominatore, quindi possiamo sommare i numeratori:
\[ \frac{2}{3}+\frac{1}{3} =\frac{2+1}{3} =\frac{3}{3} =1. \]
Di conseguenza,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x^1. \]
Poiché ogni numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso,
\[ x^1=x. \]
Pertanto
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}=x \qquad (x>0). \]
Possiamo verificare lo stesso risultato riscrivendo le potenze razionali mediante le radici:
\[ x^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 \qquad\text{e}\qquad x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}. \]
Di conseguenza,
\[ x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^2\cdot\sqrt[3]{x} =\left(\sqrt[3]{x}\right)^3 =x. \]
Esercizio 19 — livello ★★★☆☆
Calcolare:
\[ 27^{\frac{2}{3}}. \]
Risultato
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Svolgimento
L'esponente è il numero razionale \(\displaystyle\frac{2}{3}\). Il denominatore \(3\) indica una radice cubica, mentre il numeratore \(2\) indica che il risultato della radice deve essere elevato alla seconda potenza.
Se \(a>0\), \(p\in\mathbb{Z}\) e \(q\in\mathbb{N}^*\), si ha
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
In questo esercizio \(a=27\), \(p=2\) e \(q=3\). Pertanto
\[ 27^{\frac{2}{3}}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2. \]
La radice cubica di \(27\) è \(3\), perché
\[ 3^3=27. \]
Di conseguenza,
\[ 27^{\frac{2}{3}}=3^2=9. \]
Possiamo anche utilizzare la rappresentazione equivalente
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}, \qquad a>0. \]
In questo modo otteniamo
\[ 27^{\frac{2}{3}} =\sqrt[3]{27^2} =\sqrt[3]{729} =9, \]
poiché
\[ 9^3=729. \]
Entrambi i procedimenti sono corretti. In questo caso è più conveniente calcolare prima la radice cubica, perché permette di lavorare con numeri più piccoli. Pertanto
\[ 27^{\frac{2}{3}}=9. \]
Esercizio 20 — livello ★★★☆☆
Semplificare:
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 \qquad (x\neq0). \]
Risultato
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Svolgimento
Nell'espressione compare la potenza \(x^{-2}\). Per definizione,
\[ x^{-2}=\frac{1}{x^2}. \]
Questa espressione è definita soltanto quando \(x\neq0\). La stessa condizione deve quindi essere mantenuta durante tutta la semplificazione e nel risultato finale.
Semplifichiamo anzitutto la potenza di una potenza \(\left(x^{-2}\right)^3\). Per una base diversa da zero e per esponenti interi, vale
\[ \left(a^h\right)^k=a^{hk}. \]
L'esponente interno è \(-2\), mentre quello esterno è \(3\). Pertanto
\[ \left(x^{-2}\right)^3=x^{(-2)\cdot3}=x^{-6}. \]
Sostituendo questo risultato nell'espressione iniziale, otteniamo
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^{-6}\cdot x^9. \]
Le due potenze hanno ora la stessa base \(x\). Possiamo quindi sommare gli esponenti:
\[ x^{-6}\cdot x^9=x^{-6+9}. \]
Poiché
\[ -6+9=3, \]
otteniamo
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3. \]
Possiamo verificare il risultato direttamente dalla definizione di esponente negativo:
\[ \left(x^{-2}\right)^3 =\left(\frac{1}{x^2}\right)^3 =\frac{1}{x^6}. \]
Di conseguenza,
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9 =\frac{x^9}{x^6} =x^{9-6} =x^3. \]
Sebbene l'espressione semplificata \(x^3\) sia definita anche per \(x=0\), l'espressione iniziale non lo è. La condizione \(x\neq0\) deve quindi essere mantenuta. Pertanto
\[ \left(x^{-2}\right)^3\cdot x^9=x^3 \qquad (x\neq0). \]
Esercizio 21 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Risultato
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3}=2 \qquad (x\neq0). \]
Svolgimento
La variabile \(x\) compare al denominatore, quindi l'espressione è definita soltanto per \(x\neq0\).
Sviluppiamo separatamente il numeratore e il denominatore, applicando prima la proprietà della potenza di un prodotto e poi quella della potenza di una potenza:
\[ (4x^3)^2=4^2\left(x^3\right)^2=16x^6 \]
e
\[ (2x^2)^3=2^3\left(x^2\right)^3=8x^6. \]
Sostituendo questi risultati nel quoziente, otteniamo
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3} =\frac{16x^6}{8x^6} =\frac{16}{8}\cdot\frac{x^6}{x^6}. \]
Poiché \(x\neq0\), si ha \(\displaystyle\frac{x^6}{x^6}=1\). Pertanto
\[ \frac{(4x^3)^2}{(2x^2)^3}=2. \]
Esercizio 22 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Risultato
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} =a^3b^5 \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Svolgimento
Le potenze \(a^5\) e \(b^7\) compaiono al denominatore, quindi dobbiamo imporre \(a\neq0\) e \(b\neq0\).
Sviluppiamo il numeratore applicando la proprietà della potenza di un prodotto:
\[ \left(a^2b^3\right)^4 =\left(a^2\right)^4\left(b^3\right)^4 =a^{2\cdot4}b^{3\cdot4} =a^8b^{12}. \]
Sostituendo il risultato nel quoziente, otteniamo
\[ \frac{a^8b^{12}}{a^5b^7}. \]
Per ciascuna base sottraiamo l'esponente del denominatore da quello del numeratore:
\[ \frac{a^8b^{12}}{a^5b^7} =a^{8-5}b^{12-7} =a^3b^5. \]
Pertanto
\[ \frac{\left(a^2b^3\right)^4}{a^5b^7} =a^3b^5 \qquad (a\neq0,\ b\neq0). \]
Esercizio 23 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} \qquad (x\neq0). \]
Risultato
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{x^6}{4} \qquad (x\neq0). \]
Svolgimento
Poiché la variabile \(x\) compare al denominatore, l'espressione è definita soltanto per \(x\neq0\).
Sviluppiamo il numeratore:
\[ (2x^3)^4 =2^4\left(x^3\right)^4 =16x^{12}. \]
Sviluppiamo nello stesso modo il denominatore:
\[ (4x^2)^3 =4^3\left(x^2\right)^3 =64x^6. \]
Sostituendo i risultati ottenuti, abbiamo
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{16x^{12}}{64x^6} =\frac{16}{64}x^{12-6}. \]
Poiché \(\displaystyle\frac{16}{64}=\frac14\) e \(12-6=6\), segue che
\[ \frac{(2x^3)^4}{(4x^2)^3} =\frac{x^6}{4} \qquad (x\neq0). \]
Esercizio 24 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Risultato
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =a^3b^2 \qquad (a\geq0,\ b\geq0). \]
Svolgimento
Le condizioni \(a\geq0\) e \(b\geq0\) garantiscono che le potenze razionali presenti nell'espressione siano definite nel contesto considerato.
Distribuiamo l'esponente \(6\) sui due fattori:
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =\left(a^{\frac12}\right)^6 \left(b^{\frac13}\right)^6. \]
Applichiamo ora la proprietà della potenza di una potenza, moltiplicando gli esponenti:
\[ \left(a^{\frac12}\right)^6 =a^{\frac12\cdot6} =a^3 \]
e
\[ \left(b^{\frac13}\right)^6 =b^{\frac13\cdot6} =b^2. \]
Pertanto
\[ \left(a^{\frac12}b^{\frac13}\right)^6 =a^3b^2. \]
Esercizio 25 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Risultato
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\frac{y^6}{x^4} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Svolgimento
La condizione \(y\neq0\) è necessaria affinché il quoziente \(\displaystyle\frac{x^2}{y^3}\) sia definito. Poiché il quoziente è elevato a un esponente negativo, anche la sua base deve essere diversa da zero; dobbiamo quindi richiedere anche \(x\neq0\).
Un quoziente elevato a un esponente negativo viene trasformato nel suo reciproco elevato al corrispondente esponente positivo:
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2. \]
Distribuiamo ora l'esponente \(2\) al numeratore e al denominatore:
\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^2 =\frac{\left(y^3\right)^2}{\left(x^2\right)^2} =\frac{y^{3\cdot2}}{x^{2\cdot2}} =\frac{y^6}{x^4}. \]
Pertanto
\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} =\frac{y^6}{x^4} \qquad (x\neq0,\ y\neq0). \]
Esercizio 26 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}. \]
Risultato
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}=1. \]
Svolgimento
Le basi \(2\), \(4\) e \(8\) sono positive, quindi le potenze sono definite per ogni \(n\in\mathbb{R}\), e il denominatore \(8^n\) è sempre diverso da zero.
Riscriviamo \(4\) e \(8\) come potenze di \(2\):
\[ 4^n=\left(2^2\right)^n=2^{2n} \]
e
\[ 8^n=\left(2^3\right)^n=2^{3n}. \]
Sostituendo queste espressioni, otteniamo
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n} =\frac{2^n\cdot2^{2n}}{2^{3n}} =\frac{2^{n+2n}}{2^{3n}} =\frac{2^{3n}}{2^{3n}}. \]
Poiché \(2^{3n}\neq0\), il quoziente è uguale a \(1\). Pertanto
\[ \frac{2^n\cdot4^n}{8^n}=1. \]
Esercizio 27 — livello ★★★★☆
Semplificare:
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} \qquad (x\neq0). \]
Risultato
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} =3 \qquad (x\neq0). \]
Svolgimento
Poiché \(x\) compare al denominatore, l'espressione è definita soltanto per \(x\neq0\).
Sviluppiamo i due fattori del numeratore:
\[ (3x^2)^3 =3^3\left(x^2\right)^3 =27x^6 \]
e
\[ (2x)^2=2^2x^2=4x^2. \]
Il numeratore diventa quindi
\[ 27x^6\cdot4x^2=108x^8. \]
Sviluppiamo ora il denominatore:
\[ (6x^4)^2=6^2\left(x^4\right)^2=36x^8. \]
Pertanto
\[ \frac{(3x^2)^3(2x)^2}{(6x^4)^2} =\frac{108x^8}{36x^8} =\frac{108}{36}\cdot\frac{x^8}{x^8} =3. \]
Esercizio 28 — livello ★★★★★
Semplificare:
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} \qquad (a\neq0). \]
Risultato
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2}=1 \qquad (a\neq0). \]
Svolgimento
La condizione \(a\neq0\) garantisce che il denominatore non sia nullo. Se \(m\) e \(n\) sono interi, tutte le potenze considerate sono definite; più in generale, il procedimento vale ogni volta che le potenze coinvolte sono definite e valgono le consuete proprietà degli esponenti.
Al numeratore compaiono due potenze con la stessa base. Sommiamo quindi gli esponenti:
\[ a^{m+n}a^{m-n} =a^{(m+n)+(m-n)} =a^{2m}. \]
Al denominatore applichiamo la proprietà della potenza di una potenza:
\[ \left(a^m\right)^2=a^{2m}. \]
Numeratore e denominatore sono dunque uguali. Pertanto
\[ \frac{a^{m+n}a^{m-n}}{\left(a^m\right)^2} =\frac{a^{2m}}{a^{2m}} =1. \]
La semplificazione dipende dal fatto che gli esponenti \(m+n\) e \(m-n\) hanno somma \(2m\).
Esercizio 29 — livello ★★★★★
Semplificare:
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}. \]
Risultato
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n}=3. \]
Svolgimento
Poiché la base \(3\) è positiva, le potenze sono definite per ogni \(n\in\mathbb{R}\). Inoltre, \(2\cdot3^n\neq0\), quindi il quoziente è sempre definito.
Riscriviamo le due potenze presenti al numeratore mettendo in evidenza il fattore \(3^n\):
\[ 3^{n+2}=3^n\cdot3^2=9\cdot3^n \]
e
\[ 3^{n+1}=3^n\cdot3=3\cdot3^n. \]
Il numeratore diventa
\[ 3^{n+2}-3^{n+1} =9\cdot3^n-3\cdot3^n =3^n(9-3) =6\cdot3^n. \]
Sostituendo nel quoziente, otteniamo
\[ \frac{3^{n+2}-3^{n+1}}{2\cdot3^n} =\frac{6\cdot3^n}{2\cdot3^n} =\frac62 =3. \]
Esercizio 30 — livello ★★★★★
Semplificare:
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} \qquad (x>0). \]
Risultato
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =1 \qquad (x>0). \]
Svolgimento
La condizione \(x>0\) garantisce che tutte le potenze siano definite anche quando \(a\), \(b\) e \(c\) sono numeri reali. Inoltre, il denominatore è certamente diverso da zero.
Al numeratore sommiamo gli esponenti delle potenze con la stessa base:
\[ x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a} =x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)}. \]
La somma degli esponenti è
\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) =2a+2b+2c =2(a+b+c). \]
Il numeratore è quindi uguale a
\[ x^{2(a+b+c)}. \]
Al denominatore semplifichiamo prima il prodotto interno:
\[ x^ax^bx^c=x^{a+b+c}. \]
Elevando il risultato al quadrato, otteniamo
\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2=x^{2(a+b+c)}. \]
Numeratore e denominatore coincidono. Pertanto
\[ \frac{x^{a+b}x^{b+c}x^{c+a}} {\left(x^ax^bx^c\right)^2} =\frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} =1. \]