Proprietà delle Potenze: 30 Esercizi Svolti Passo Passo

\[ 128 \]

Idea risolutiva

Le due potenze hanno la stessa base \(2\). Si applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base: si sommano gli esponenti e si mantiene la base invariata.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Identificazione di \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad m = 3 \qquad n = 4 \]

Applicazione della proprietà

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Calcolo numerico

\[ 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \]

Risultato

\[ \boxed{128} \]

\[ 25 \]

Idea risolutiva

Le due potenze hanno la stessa base \(5\). Si applica la proprietà del quoziente di potenze con la stessa base: si sottrae l'esponente del divisore da quello del dividendo.

Proprietà utilizzata

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0) \]

Identificazione di \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 5 \qquad m = 6 \qquad n = 4 \]

Applicazione della proprietà

\[ \frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 \]

Calcolo numerico

\[ 5^2 = 25 \]

Risultato

\[ \boxed{25} \]

\[ 729 \]

Idea risolutiva

Si ha una potenza elevata a sua volta a un esponente: si applica la proprietà della potenza di una potenza, moltiplicando i due esponenti.

Proprietà utilizzata

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Identificazione di \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 3 \qquad m = 2 \qquad n = 3 \]

Applicazione della proprietà

\[ \left(3^2\right)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \]

Calcolo numerico

\[ 3^6 = 729 \]

Risultato

\[ \boxed{729} \]

\[ 1000 \]

Idea risolutiva

Si ha il prodotto di due fattori elevato a un esponente. La proprietà della potenza di un prodotto permette di distribuire l'esponente su ciascun fattore.

Proprietà utilizzata

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Identificazione di \(a\), \(b\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad b = 5 \qquad n = 3 \]

Applicazione della proprietà

\[ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \]

Calcolo numerico

\[ 2^3 = 8 \qquad 5^3 = 125 \]

\[ 8 \cdot 125 = 1000 \]

Risultato

\[ \boxed{1000} \]

\[ 16 \]

Idea risolutiva

Si ha un quoziente elevato a un esponente. Si può applicare la proprietà della potenza di un quoziente, oppure semplificare prima la frazione.

Metodo 1 — semplificazione diretta

\[ \frac{6}{3} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \]

Metodo 2 — proprietà della potenza di un quoziente

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16 \]

Risultato

\[ \boxed{16} \]

\[ x^9 \]

Idea risolutiva

Come nell'esercizio 1, ma con base letterale \(x\). Si sommano gli esponenti.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Applicazione

\[ x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9 \]

Risultato

\[ \boxed{x^9} \]

\[ x^5 \]

Proprietà utilizzata

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0) \]

Applicazione

\[ \frac{x^9}{x^4} = x^{9-4} = x^5 \]

Risultato

\[ \boxed{x^5} \]

\[ x^{15} \]

Proprietà utilizzata

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Applicazione

\[ \left(x^3\right)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \]

Risultato

\[ \boxed{x^{15}} \]

\[ 27x^3 \]

Idea risolutiva

Si applica la proprietà della potenza di un prodotto con \(a = 3\) e \(b = x\). Attenzione: l'esponente va distribuito anche sul coefficiente numerico, non solo sulla variabile.

Proprietà utilizzata

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Applicazione

\[ (3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 \]

Calcolo

\[ 3^3 = 27 \]

Risultato

\[ \boxed{27x^3} \]

\[ \dfrac{x^4}{16} \]

Proprietà utilizzata

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Applicazione

\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{x^4}{16}} \]

\[ 49 \]

Idea risolutiva

Qualunque base non nulla elevata a \(0\) dà \(1\). Questa proprietà vale perché \(a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0\), ma anche \(a^m \div a^m = 1\).

Proprietà utilizzata

\[ a^0 = 1 \qquad (a \neq 0) \]

Applicazione

\[ 4^0 \cdot 7^2 = 1 \cdot 49 = 49 \]

Risultato

\[ \boxed{49} \]

\[ \dfrac{1}{9} \]

Idea risolutiva

Un esponente negativo indica il reciproco della potenza con esponente positivo. Non produce un risultato negativo, bensì una frazione.

Proprietà utilizzata

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0) \]

Applicazione

\[ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{1}{9}} \]

\[ x^4 \]

Idea risolutiva

Si applica la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base anche quando uno degli esponenti è negativo: la regola è identica, si sommano algebricamente gli esponenti.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Applicazione

\[ x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4 \]

Risultato

\[ \boxed{x^4} \]

\[ x^8\, y^{12} \]

Idea risolutiva

Il prodotto \(x^2 y^3\) è elevato alla quarta potenza. Si distribuisce l'esponente su ciascun fattore, poi si applica la potenza di potenza per ognuno.

Proprietà utilizzate

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{e} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Applicazione

\[ \left(x^2 y^3\right)^4 = \left(x^2\right)^4 \cdot \left(y^3\right)^4 = x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = x^8 y^{12} \]

Risultato

\[ \boxed{x^8\, y^{12}} \]

\[ \dfrac{x^3}{8} \]

Idea risolutiva

Un quoziente con esponente negativo equivale al reciproco dello stesso quoziente con esponente positivo. Si invertono numeratore e denominatore, poi si elevano entrambi a \(3\).

Proprietà utilizzate

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

Applicazione

\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3} = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{x^3}{8}} \]

\[ 5 \]

Idea risolutiva

Un esponente della forma \(\tfrac{1}{q}\) indica la radice \(q\)-esima. In particolare, \(a^{1/2} = \sqrt{a}\).

Proprietà utilizzata

\[ a^{1/q} = \sqrt[q]{a} \]

Applicazione

\[ 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5 \]

Verifica

\[ 5^2 = 25 \checkmark \]

Risultato

\[ \boxed{5} \]

\[ 2 \]

Proprietà utilizzata

\[ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} \]

Applicazione

\[ 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \]

Verifica

\[ 2^3 = 8 \checkmark \]

Risultato

\[ \boxed{2} \]

\[ x \]

Idea risolutiva

La proprietà del prodotto di potenze con la stessa base vale anche per esponenti frazionari. Si sommano le frazioni con denominatore comune.

Proprietà utilizzata

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Somma degli esponenti

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Risultato

\[ x^{2/3} \cdot x^{1/3} = x^1 = x \]

\[ \boxed{x} \]

\[ 9 \]

Idea risolutiva

Un esponente \(\tfrac{p}{q}\) indica la radice \(q\)-esima della base elevata alla \(p\). Conviene prima estrarre la radice, poi elevare a potenza: i numeri restano più piccoli e gestibili.

Proprietà utilizzata

\[ a^{p/q} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p} \]

Applicazione — metodo radice poi potenza

\[ 27^{2/3} = \left(27^{1/3}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \]

Verifica — metodo alternativo

\[ 27^{2/3} = \left(27^2\right)^{1/3} = 729^{1/3} = \sqrt[3]{729} = 9 \checkmark \]

Risultato

\[ \boxed{9} \]

\[ x^3 \]

Idea risolutiva

Si procede in due fasi: prima si semplifica la potenza di potenza, poi si moltiplica usando la proprietà del prodotto con la stessa base.

Fase 1 — potenza di potenza

\[ \left(x^{-2}\right)^3 = x^{(-2)\cdot 3} = x^{-6} \]

Fase 2 — prodotto con stessa base

\[ x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3 \]

Risultato

\[ \boxed{x^3} \]

\[ 2 \]

Idea risolutiva

Si sviluppano separatamente numeratore e denominatore distribuendo l'esponente esterno, poi si semplifica il quoziente.

Sviluppo del numeratore

\[ (4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6 \]

Sviluppo del denominatore

\[ (2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^6 \]

Quoziente

\[ \frac{16x^6}{8x^6} = \frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} = 2 \cdot 1 = 2 \]

Risultato

\[ \boxed{2} \]

\[ a^3\, b^5 \]

Sviluppo del numeratore

\[ \left(a^2 b^3\right)^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = a^8 b^{12} \]

Quoziente — si sottraggono gli esponenti per ciascuna base

\[ \frac{a^8 b^{12}}{a^5 b^7} = a^{8-5} \cdot b^{12-7} = a^3 b^5 \]

Risultato

\[ \boxed{a^3\, b^5} \]

\[ \dfrac{x^6}{4} \]

Sviluppo del numeratore

\[ (2x^3)^4 = 2^4 \cdot x^{12} = 16x^{12} \]

Sviluppo del denominatore

\[ (4x^2)^3 = 4^3 \cdot x^6 = 64x^6 \]

Quoziente

\[ \frac{16x^{12}}{64x^6} = \frac{16}{64} \cdot x^{12-6} = \frac{1}{4}\, x^6 = \frac{x^6}{4} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{x^6}{4}} \]

\[ a^3\, b^2 \]

Proprietà utilizzate

\[ (AB)^n = A^n B^n \qquad \text{e} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Distribuzione dell'esponente 6

\[ \left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^6 = \left(a^{1/2}\right)^6 \cdot \left(b^{1/3}\right)^6 \]

Potenza di potenza

\[ \left(a^{1/2}\right)^6 = a^{\,\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3 \]

\[ \left(b^{1/3}\right)^6 = b^{\,\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2 \]

Risultato

\[ \boxed{a^3\, b^2} \]

\[ \dfrac{y^6}{x^4} \]

Idea risolutiva

Un quoziente con esponente negativo si trasforma nel quoziente invertito con esponente positivo. Poi si applica la potenza di quoziente.

Inversione per l'esponente negativo

\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} = \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} \]

Potenza di quoziente

\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} = \frac{(y^3)^2}{(x^2)^2} = \frac{y^6}{x^4} \]

Risultato

\[ \boxed{\dfrac{y^6}{x^4}} \]

\[ 1 \]

Idea risolutiva

Tutte le basi (\(2\), \(4\), \(8\)) sono potenze di \(2\). Si riscrive tutto in base \(2\), poi si applicano le proprietà dei prodotti e quozienti.

Riscrittura in base 2

\[ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} \qquad 8^n = (2^3)^n = 2^{3n} \]

Sostituzione

\[ \frac{2^n \cdot 2^{2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{n + 2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{3n}}{2^{3n}} = 2^0 = 1 \]

Risultato

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Sviluppo del numeratore — primo fattore

\[ (3x^2)^3 = 27x^6 \]

Sviluppo del numeratore — secondo fattore

\[ (2x)^2 = 4x^2 \]

Prodotto del numeratore

\[ 27x^6 \cdot 4x^2 = 108\, x^8 \]

Sviluppo del denominatore

\[ (6x^4)^2 = 36x^8 \]

Quoziente finale

\[ \frac{108\, x^8}{36\, x^8} = \frac{108}{36} \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]

Risultato

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idea risolutiva

Il numeratore e il denominatore si riducono alla stessa potenza di \(a\) grazie alle proprietà del prodotto, della potenza di potenza e del quoziente. L'identità vale per \(a\neq0\), con esponenti per i quali le potenze considerate sono definite.

Semplificazione del numeratore

\[ a^{m+n} \cdot a^{m-n} = a^{(m+n)+(m-n)} = a^{2m} \]

Semplificazione del denominatore

\[ \left(a^m\right)^2 = a^{2m} \]

Quoziente

\[ \frac{a^{2m}}{a^{2m}} = a^{2m - 2m} = a^0 = 1 \]

Risultato

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Idea risolutiva

Al numeratore si hanno due potenze di \(3\) con esponenti parametrici consecutivi. Si raccoglie il fattore comune \(3^n\) al numeratore, poi si semplifica col denominatore.

Riscrittura degli esponenti al numeratore

\[ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n \]

\[ 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n \]

Raccoglimento di \(3^n\)

\[ 3^{n+2} - 3^{n+1} = 9 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 3^n(9 - 3) = 6 \cdot 3^n \]

Quoziente

\[ \frac{6 \cdot 3^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{6}{2} = 3 \]

Risultato

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Idea risolutiva

Si riduce sia numeratore che denominatore a un'unica potenza di \(x\) con esponente espresso in termini di \(a\), \(b\), \(c\). Se \(a\), \(b\), \(c\) sono esponenti reali, l'identità va considerata per \(x>0\), così che tutte le potenze siano definite nei numeri reali.

Semplificazione del numeratore

Si usa la proprietà del prodotto di potenze con la stessa base, sommando tutti gli esponenti:

\[ x^{a+b} \cdot x^{b+c} \cdot x^{c+a} = x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} \]

Somma degli esponenti:

\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \]

Quindi il numeratore vale \(x^{2(a+b+c)}\).

Semplificazione del denominatore

Prima si riduce il prodotto interno, poi si eleva al quadrato:

\[ x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c} \]

\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2 = x^{2(a+b+c)} \]

Quoziente

\[ \frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} = x^0 = 1 \]

Risultato

\[ \boxed{1} \]