In questa pagina vedremo come calcolare la derivata della funzione potenza utilizzando due forme equivalenti del rapporto incrementale: una nella variabile \(h\), con \(h\to 0\), e una nella variabile \(x\), con \(x\to x_0\).
Sia \(n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\) e consideriamo la funzione potenza:
\[ f(x)=x^n \]
Le due forme del rapporto incrementale sono:
\[ \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h} \qquad , \qquad \lim_{x\to x_0}\frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Indice
- Limite del rapporto incrementale per \( h\to 0 \)
- Limite del rapporto incrementale per \( x\to x_0 \)
Limite del rapporto incrementale per \( h\to 0 \)
Calcoliamo la derivata della funzione potenza mediante la definizione di rapporto incrementale:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
Sostituendo \(f(x)=x^n\), otteniamo:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^n-x^n}{h} \]
Applichiamo ora il teorema binomiale:
\[ (x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n \]
Sostituendo lo sviluppo del binomio nel rapporto incrementale:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ x^n + nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n - x^n }{h} \]
Semplificando i termini \(x^n\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{ nx^{n-1}h + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n }{h} \]
Dividendo ogni termine per \(h\):
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \left( nx^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^{n-3}h^2 + \cdots + h^{n-1} \right) \]
Passando al limite per \(h\to 0\), tutti i termini contenenti potenze positive di \(h\) tendono a \(0\). Rimane quindi:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \]
Concludiamo dunque che:
\[ \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]
Limite del rapporto incrementale per \( x\to x_0 \)
Calcoliamo ora la derivata della funzione potenza nella forma:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \]
Sostituendo \(f(x)=x^n\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} \]
Il numeratore è una differenza di potenze. Utilizziamo quindi la scomposizione:
\[ x^n-x_0^n = (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Sostituendo nel rapporto incrementale:
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \frac{ (x-x_0) \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) }{x-x_0} \]
Semplificando il fattore \(x-x_0\):
\[ f'(x_0) = \lim_{x\to x_0} \left( x^{n-1} + x^{n-2}x_0 + \cdots + x_0^{n-1} \right) \]
Passando al limite per \(x\to x_0\), ciascun termine tende a \(x_0^{\,n-1}\). Poiché compaiono \(n\) termini uguali a \(x_0^{\,n-1}\), otteniamo:
\[ f'(x_0) = nx_0^{\,n-1} \]
In conclusione:
\[ f'(x) = nx^{n-1} \qquad , \qquad \forall x\in\mathbb{R} \]