Raccolta di esercizi sullo studio del segno di funzioni polinomiali e fratte. Risoluzioni passo passo con schemi grafici e analisi degli zeri (numeratore e denominatore).
Esercizio del 09/02/2026 - 09:00 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = (x-3)(x+1) \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < -1 \text{ o } x > 3; \quad f(x) = 0 \text{ per } x=-1,\,3; \quad f(x) < 0 \text{ per } -1 < x < 3 \]
Svolgimento
Zeri
\(x=3\) e \(x=-1\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x) > 0\) per \(x < -1\) oppure \(x > 3\).
\(f(x) = 0\) in \(x = -1\) e \(x = 3\).
\(f(x) < 0\) per \(-1 < x < 3\).
Esercizio del 09/02/2026 - 09:15 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = -(x+2)(x-4) \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < 4; \quad f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } x > 4 \]
Svolgimento
Nota sul segno globale
Il fattore \(-1\) inverte il segno del prodotto \((x+2)(x-4)\).
Zeri
\(x=-2\) e \(x=4\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x) > 0\) per \(-2 < x < 4\).
\(f(x) < 0\) per \(x < -2\) oppure \(x > 4\).
Esercizio del 09/02/2026 - 09:30 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = x^2 - 5x + 6 \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } x < 2 \text{ o } x > 3; \quad f(x) < 0 \text{ per } 2 < x < 3 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \]
Zeri
\(x=2\) e \(x=3\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x) > 0\) per \(x < 2\) oppure \(x > 3\).
\(f(x) < 0\) per \(2 < x < 3\).
Esercizio del 09/02/2026 - 09:45 — livello ★★☆☆☆
\[ f(x) = -x^2 + x + 6 \]
Risultato
\[ f(x) > 0 \text{ per } -2 < x < 3; \quad f(x) < 0 \text{ per } x < -2 \text{ o } x > 3 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ -x^2+x+6 = -(x^2-x-6) = -(x-3)(x+2) \]
Zeri
\(x=-2\) e \(x=3\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x) > 0\) per \(-2 < x < 3\).
\(f(x) < 0\) per \(x < -2\) oppure \(x > 3\).
Esercizio del 09/02/2026 - 10:00 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = (x+1)(x-2)(x-5) \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } -1<x<2 \text{ o } x>5; \quad f<0 \text{ per } x<-1 \text{ o } 2<x<5 \]
Svolgimento
Zeri
\(x=-1\), \(x=2\), \(x=5\).
Regola del segno per tre fattori
Si parte dal segno per \(x \to +\infty\) (tutti e tre i fattori positivi \(\to +\)) e si alterna ad ogni zero.
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(-1 < x < 2\) oppure \(x > 5\).
\(f < 0\) per \(x < -1\) oppure \(2 < x < 5\).
Esercizio del 09/02/2026 - 10:20 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x-1}{x+3} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x<-3 \text{ o } x>1; \quad f<0 \text{ per } -3<x<1 \]
Svolgimento
Dominio
\(x \neq -3\).
Zeri
\(x=1\) (numeratore); polo in \(x=-3\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(x < -3\) oppure \(x > 1\).
\(f = 0\) in \(x = 1\).
\(f < 0\) per \(-3 < x < 1\).
Esercizio del 09/02/2026 - 10:40 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = x^3 - 4x \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } -2<x<0 \text{ o } x>2; \quad f<0 \text{ per } x<-2 \text{ o } 0<x<2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^3-4x = x(x^2-4) = x(x-2)(x+2) \]
Zeri
\(x=-2\), \(x=0\), \(x=2\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(-2 < x < 0\) oppure \(x > 2\).
\(f < 0\) per \(x < -2\) oppure \(0 < x < 2\).
Esercizio del 09/02/2026 - 11:00 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{x^2-4}{x-1} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } -2<x<1 \text{ o } x>2; \quad f<0 \text{ per } x<-2 \text{ o } 1<x<2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ \frac{(x-2)(x+2)}{x-1} \]
Dominio
\(x \neq 1\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(-2 < x < 1\) oppure \(x > 2\).
\(f < 0\) per \(x < -2\) oppure \(1 < x < 2\).
Esercizio del 09/02/2026 - 11:20 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = (2x+1)(x-3)^2 \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x>-\tfrac{1}{2},\,x\neq3; \quad f<0 \text{ per } x<-\tfrac{1}{2} \]
Svolgimento
Zeri
\(x = -1/2\) (semplice) e \(x = 3\) (doppio).
Osservazione
Il fattore \((x-3)^2\) è sempre \(\geq 0\): non cambia il segno agli attraversamenti. Il segno di \(f\) cambia solo in \(x=-1/2\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(x > -1/2\) con \(x \neq 3\).
\(f = 0\) in \(x = -1/2\) e \(x = 3\).
\(f < 0\) per \(x < -1/2\).
Esercizio del 09/02/2026 - 11:40 — livello ★★★☆☆
\[ f(x) = \frac{(x+2)(x-1)}{x(x-4)} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x<-2 \text{ o } 0<x<1 \text{ o } x>4 \]
Svolgimento
Dominio
\(x \neq 0\) e \(x \neq 4\).
Zeri
\(x=-2\) e \(x=1\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(x < -2\) oppure \(0 < x < 1\) oppure \(x > 4\).
\(f < 0\) per \(-2 < x < 0\) oppure \(1 < x < 4\).
Esercizio del 09/02/2026 - 12:00 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = x^4 - 5x^2 + 4 \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x<-2,\;-1<x<1,\;x>2; \quad f<0 \text{ per } -2<x<-1,\;1<x<2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione biquadratica
\[ x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \]
Zeri
\(x=\pm1\) e \(x=\pm2\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(x < -2\) oppure \(-1 < x < 1\) oppure \(x > 2\).
\(f < 0\) per \(-2 < x < -1\) oppure \(1 < x < 2\).
Esercizio del 09/02/2026 - 12:20 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x^2+x-6} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x<-3 \text{ o } 1<x<2; \quad f<0 \text{ per } -3<x<1 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ \frac{(x-1)(x-2)}{(x+3)(x-2)} \]
Semplificazione per \(x\neq2\)
\[ = \frac{x-1}{x+3} \]
C.e.: \(x\neq-3\), \(x\neq2\).
Schema dei segni (forma ridotta)
Radici della ridotta: \(x=1\) (zero), \(x=-3\) (polo).
Conclusione
\(f > 0\) per \(x < -3\) oppure \(x > 1\) (con \(x\neq2\)).
\(f < 0\) per \(-3 < x < 1\).
\(f = 0\) solo in \(x=1\).
Esercizio del 09/02/2026 - 12:40 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = (x^2-1)(x^2-9) \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x<-3,\;-1<x<1,\;x>3; \quad f<0 \text{ per } -3<x<-1,\;1<x<3 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ (x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \]
Zeri
\(x=\pm1\) e \(x=\pm3\).
Osservazione
Si può studiare il segno fattore per fattore oppure direttamente sui due trinomi:
\(x^2-1 \geq 0\) per \(|x|\geq1\); \(x^2-9 \geq 0\) per \(|x|\geq3\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(x < -3\) oppure \(-1 < x < 1\) oppure \(x > 3\).
\(f < 0\) per \(-3 < x < -1\) oppure \(1 < x < 3\).
Esercizio del 09/02/2026 - 13:00 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = \frac{x^3-x}{x^2-4} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } -2<x<-1,\;0<x<1,\;x>2; \quad \text{(vedi schema)} \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)} \]
Dominio
\(x\neq\pm2\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(-2 < x < -1\) oppure \(0 < x < 1\) oppure \(x > 2\).
\(f < 0\) per \(x < -2\) oppure \(-1 < x < 0\) oppure \(1 < x < 2\).
Esercizio del 09/02/2026 - 13:20 — livello ★★★★☆
\[ f(x) = x^2(x-2)(x+3) \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x<-3 \text{ o } x>2,\;x\neq0; \quad f<0 \text{ per } -3<x<0 \text{ o } 0<x<2 \]
Svolgimento
Zeri
\(x=0\) (doppio), \(x=-3\) (semplice), \(x=2\) (semplice).
Osservazione
\(x^2 \geq 0\) sempre: non cambia il segno. Lo zero doppio \(x=0\) è un punto di tangenza: il segno di \(f\) non cambia attraversandolo.
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(x < -3\) oppure \(x > 2\) (con \(x\neq0\)).
\(f < 0\) per \(-3 < x < 0\) oppure \(0 < x < 2\).
\(f = 0\) in \(x=-3\), \(x=0\), \(x=2\).
Esercizio del 09/02/2026 - 13:40 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)^2(x+2)} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x < -2,\; -1 < x < 1,\; x>1 \quad (f=0 \text{ in } x=-1,\,0) \]
Svolgimento
Zeri e poli
Zero doppio: \(x=0\) — tangenza, il segno non cambia.
Zero semplice: \(x=-1\) — il segno cambia.
Polo doppio: \(x=1\) — \((x-1)^2>0\) sempre, il segno non cambia attraversandolo.
Polo semplice: \(x=-2\) — il segno cambia.
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(-2 < x < -1\) oppure \(x > 1\) (con \(x\neq0\), ma \(f(0)=0\) è zero).
Più precisamente: \(f > 0\) per \(-2 < x < -1\) o \((1 < x)\); \(f=0\) in \(x=-1\) e \(x=0\).
Esercizio del 09/02/2026 - 14:00 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^4-1}{x^3-x} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } -1<x<0 \text{ o } x>1; \quad f<0 \text{ per } x<-1 \text{ o } 0<x<1 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ \frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x(x^2-1)} = \frac{(x^2+1)(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} \]
Semplificazione per \(x\neq\pm1\)
\[ = \frac{x^2+1}{x} \]
C.e.: \(x\neq0\), \(x\neq\pm1\).
Forma ridotta: \(\dfrac{x^2+1}{x}\)
Il numeratore \(x^2+1 > 0\) sempre. Il segno dipende solo da \(x\).
Schema dei segni (forma originale)
Conclusione
\(f > 0\) per \(x > 0\) (con \(x\neq1\)), cioè \(0 < x < 1\) oppure \(x > 1\).
\(f < 0\) per \(x < 0\) (con \(x\neq-1\)).
Esercizio del 09/02/2026 - 14:20 — livello ★★★★★
\[ f(x) = (x^2+2x-3)^2 \]
Risultato
\[ f \geq 0 \text{ sempre}; \quad f=0 \text{ per } x=-3 \text{ e } x=1 \]
Svolgimento
Fattorizzazione
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1) \]
Osservazione fondamentale
Qualunque numero reale elevato al quadrato è non negativo. Quindi \(f(x) = [(x+3)(x-1)]^2 \geq 0\) per ogni \(x\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f(x) \geq 0\) per ogni \(x \in \mathbb{R}\).
\(f(x) = 0\) solo in \(x=-3\) e \(x=1\).
\(f(x) > 0\) per tutti gli altri valori.
Esercizio del 09/02/2026 - 14:40 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{(x+1)^2(x-2)}{x^2(x+3)} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } x<-3 \text{ o } x>2;\quad f<0 \text{ per } {-3}<x<0 \text{ o } 0<x<2 \]
Svolgimento
Zeri e poli
Zero doppio: \(x=-1\) — tangenza, segno invariato.
Zero semplice: \(x=2\).
Polo doppio: \(x=0\) — \(x^2>0\), segno invariato.
Polo semplice: \(x=-3\).
Schema dei segni
Conclusione
\(f > 0\) per \(x > 2\).
\(f < 0\) per \(x < -3\) oppure \(-3 < x < -1\) oppure \(-1 < x < 0\) oppure \(0 < x < 2\).
\(f = 0\) in \(x=-1\) e \(x=2\).
Esercizio del 09/02/2026 - 15:00 — livello ★★★★★
\[ f(x) = \frac{x^3+x^2-4x-4}{x^2-x-2} \]
Risultato
\[ f>0 \text{ per } -2<x<-1 \text{ o } x>2; \quad f<0 \text{ per } x<-2 \text{ o } -1<x<2 \]
Svolgimento
Fattorizzazione del numeratore
Si raggruppa: \(x^3+x^2-4x-4 = x^2(x+1)-4(x+1) = (x+1)(x^2-4) = (x+1)(x-2)(x+2)\).
Denominatore
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1) \]
Semplificazione per \(x\neq-1\) e \(x\neq2\)
\[ f(x) = \frac{(x+1)(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)} = x+2 \]
Schema dei segni (forma originale per evidenziare poli/zeri)
Conclusione
La forma ridotta è \(f(x)=x+2\) per \(x\neq-1,\,x\neq2\).
\(f > 0\) per \(x > -2\) (con \(x\neq-1,\,2\)).
\(f < 0\) per \(x < -2\).
\(f = 0\) in \(x=-2\) (zero della forma ridotta).