Esercizio del 19/03/2026 - 09:00 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 3 \quad y = 2 \]
Svolgimento
Metodo della somma/differenza
Sommando le due equazioni membro a membro si eliminano le \(y\):
\[ (x+y)+(x-y) = 5+1 \implies 2x = 6 \implies x = 3 \]
Calcolo di \(y\)
Sostituiamo \(x=3\) nella prima equazione:
\[ 3+y = 5 \implies y = 2 \]
Verifica
\[ 3+2=5 \quad 3-2=1 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 3 \quad y = 2} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 09:15 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ x + y = 6 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 4 \quad y = 2 \]
Svolgimento
Metodo di sostituzione
Dalla prima equazione si ricava \(x\) in funzione di \(y\):
\[ x = 2y \]
Sostituzione nella seconda equazione
\[ 2y + y = 6 \implies 3y = 6 \implies y = 2 \]
Calcolo di \(x\)
\[ x = 2\cdot2 = 4 \]
Verifica
\[ 4-4=0 \quad 4+2=6 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 4 \quad y = 2} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 09:30 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 3x + y = 10 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 3 \quad y = 1 \]
Svolgimento
Metodo di sostituzione
Dalla prima equazione: \(y = 10 - 3x\). Sostituendo nella seconda:
\[ x + 3(10-3x) = 6 \implies x+30-9x = 6 \implies -8x = -24 \implies x = 3 \]
Calcolo di \(y\)
\[ y = 10-9 = 1 \]
Verifica
\[ 9+1=10 \quad 3+3=6 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 3 \quad y = 1} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 09:45 — livello ★★☆☆☆
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 14 \\ x + y = 4 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 2 \quad y = 2 \]
Svolgimento
Metodo di sostituzione
Dalla seconda equazione: \(x = 4-y\). Sostituendo nella prima:
\[ 5(4-y)+2y = 14 \implies 20-5y+2y = 14 \implies -3y = -6 \implies y = 2 \]
Calcolo di \(x\)
\[ x = 4-2 = 2 \]
Verifica
\[ 10+4=14 \quad 2+2=4 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 2 \quad y = 2} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 10:00 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 2 \quad y = 1 \]
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Si moltiplica la seconda equazione per \(3\) per poi sommarla alla prima ed eliminare \(y\):
\[ \begin{cases} 2x-3y=1 \\ 12x+3y=27 \end{cases} \]
Somma delle equazioni
\[ 14x = 28 \implies x = 2 \]
Calcolo di \(y\)
\[ 4\cdot2+y=9 \implies y=1 \]
Verifica
\[ 4-3=1 \quad 8+1=9 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 2 \quad y = 1} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 10:15 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 2y = 4 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 2 \quad y = 3 \]
Svolgimento
Metodo di eliminazione
I coefficienti di \(y\) sono già opposti: sommando le equazioni si elimina \(y\).
\[ (3x+2y)+(5x-2y) = 12+4 \implies 8x = 16 \implies x = 2 \]
Calcolo di \(y\)
\[ 3\cdot2+2y=12 \implies 2y=6 \implies y=3 \]
Verifica
\[ 6+6=12 \quad 10-6=4 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 2 \quad y = 3} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 10:30 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + y = 3 \\[6pt] x + \dfrac{y}{2} = 4 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 3 \quad y = 2 \]
Svolgimento
Eliminazione delle frazioni
Si moltiplicano le equazioni per il rispettivo mcm dei denominatori.
Prima equazione \(\times\,3\): \(x + 3y = 9\)
Seconda equazione \(\times\,2\): \(2x + y = 8\)
Sistema ridotto
Dalla prima: \(x = 9-3y\). Sostituendo nella seconda:
\[ 2(9-3y)+y = 8 \implies 18-6y+y=8 \implies -5y=-10 \implies y=2 \]
Calcolo di \(x\)
\[ x = 9-6 = 3 \]
Verifica
\[ 1+2=3 \quad 3+1=4 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 3 \quad y = 2} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 10:45 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 4x - 3y = -1 \\ 2x + 5y = 19 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 2 \quad y = 3 \]
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Si moltiplica la seconda equazione per \(2\):
\[ \begin{cases} 4x-3y=-1 \\ 4x+10y=38 \end{cases} \]
Sottrazione della prima dalla seconda
\[ 13y = 39 \implies y = 3 \]
Calcolo di \(x\)
\[ 2x+15=19 \implies x=2 \]
Verifica
\[ 8-9=-1 \quad 4+15=19 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 2 \quad y = 3} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 11:00 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases} \]
Risultato
Infinite soluzioni \((x = \frac{6-3y}{2},\; y \in \mathbb{R})\)
Svolgimento
Analisi del sistema
Si moltiplica la prima equazione per \(2\):
\[ 4x+6y=12 \]
Questa è identica alla seconda equazione. Le due equazioni descrivono la stessa retta.
Sistema indeterminato
Il sistema ha infinite soluzioni. Ogni punto della retta \(2x+3y=6\) è soluzione. Parametrizzando con \(y=t\):
\[ x = \frac{6-3t}{2}, \quad y = t \quad (t \in \mathbb{R}) \]
Risultato
\[ \boxed{\text{Infinite soluzioni:} \quad x = \frac{6-3t}{2},\; y = t \quad (t \in \mathbb{R})} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 11:15 — livello ★★★☆☆
\[ \begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 8 \end{cases} \]
Risultato
Nessuna soluzione
Svolgimento
Analisi del sistema
Si moltiplica la prima equazione per \(2\):
\[ 6x-2y=10 \]
Ma la seconda equazione dice \(6x-2y=8\). Abbiamo \(10 \neq 8\): contraddizione.
Sistema impossibile
Le due equazioni rappresentano due rette parallele distinte che non si intersecano mai.
Il sistema non ammette soluzioni.
Risultato
\[ \boxed{\text{Sistema impossibile — nessuna soluzione}} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 11:30 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} 5x + 2y = 13 \\ 3x + 4y = 19 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 1 \quad y = 4 \]
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Si moltiplica la prima equazione per \(2\) per rendere i coefficienti di \(y\) uguali:
\[ \begin{cases} 10x+4y=26 \\ 3x+4y=19 \end{cases} \]
Sottrazione
\[ 7x = 7 \implies x = 1 \]
Calcolo di \(y\)
\[ 5+2y=13 \implies y=4 \]
Verifica
\[ 5+8=13 \quad 3+16=19 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 1 \quad y = 4} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 11:45 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 5x + 2y = 22 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 4 \quad y = 1 \]
Svolgimento
Metodo di eliminazione
Si moltiplicano le equazioni per eliminare \(y\): prima \(\times\,2\) e seconda \(\times\,3\):
\[ \begin{cases} 4x-6y=10 \\ 15x+6y=66 \end{cases} \]
Somma delle equazioni
\[ 19x = 76 \implies x = 4 \]
Calcolo di \(y\)
\[ 8-3y=5 \implies y=1 \]
Verifica
\[ 8-3=5 \quad 20+2=22 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 4 \quad y = 1} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 12:00 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y = 4 \\ x \cdot y = 3 \end{cases} \]
Risultato
\[ (x,y) = (1,3) \quad \text{oppure} \quad (x,y) = (3,1) \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si tratta di un sistema non lineare. Dalla prima equazione si ricava \(x = 4-y\) e si sostituisce nella seconda.
Equazione di secondo grado
\[ (4-y)\cdot y = 3 \implies 4y-y^2=3 \implies y^2-4y+3=0 \implies (y-1)(y-3)=0 \]
Soluzioni
\(y=1 \implies x=3\) \(y=3 \implies x=1\)
Interpretazione
\(x\) e \(y\) sono le due radici del trinomio \(t^2-4t+3=0\), cioè i numeri la cui somma è \(4\) e il cui prodotto è \(3\).
Risultato
\[ \boxed{(x,y)=(1,3) \quad \text{oppure} \quad (x,y)=(3,1)} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 12:15 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y + z = 2 \\ x + y - z = 4 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1 \]
Svolgimento
Eliminazione per sottrazioni
Sottraendo la seconda equazione dalla prima si elimina \(x\) e \(z\):
\[ (x+y+z)-(x-y+z) = 6-2 \implies 2y=4 \implies y=2 \]
Sottraendo la terza dalla prima si elimina \(x\) e \(y\):
\[ (x+y+z)-(x+y-z) = 6-4 \implies 2z=2 \implies z=1 \]
Calcolo di \(x\)
\[ x = 6-y-z = 6-2-1 = 3 \]
Verifica
\[ 3+2+1=6 \quad 3-2+1=2 \quad 3+2-1=4 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 1} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 12:30 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} x + y + z = 9 \\ 2x + y + z = 12 \\ x + 2y + z = 11 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4 \]
Svolgimento
Eliminazione per sottrazioni
Sottraendo la prima dalla seconda si isola \(x\):
\[ (2x+y+z)-(x+y+z)=12-9 \implies x=3 \]
Sottraendo la prima dalla terza si isola \(y\):
\[ (x+2y+z)-(x+y+z)=11-9 \implies y=2 \]
Calcolo di \(z\)
\[ z = 9-x-y = 9-3-2 = 4 \]
Verifica
\[ 3+2+4=9 \quad 6+2+4=12 \quad 3+4+4=11 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 3 \quad y = 2 \quad z = 4} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 12:45 — livello ★★★★☆
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 5 \\ 3x + 2y + z = 10 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \]
Svolgimento
Riduzione a due equazioni in due incognite
Sommando la prima e la seconda equazione si elimina \(y\):
\[ 3x+z=6 \quad \text{...(I)} \]
Sommando la seconda e la terza si elimina \(y\):
\[ 4x+3z=15 \quad \text{...(II)} \]
Risoluzione del sistema 2×2
Da (I): \(z=6-3x\). Sostituendo in (II):
\[ 4x+3(6-3x)=15 \implies 4x+18-9x=15 \implies -5x=-3 \]
Hmm, ricontrolliamo. Da (I): \(z=6-3x\). In (II): \(4x+18-9x=15 \implies -5x=-3 \implies x=\tfrac{3}{5}\)...
Ricalcoliamo: eq1+eq2: \((2x+y-z)+(x-y+2z)=1+5 \implies 3x+z=6\). eq2+eq3: \((x-y+2z)+(3x+2y+z)=5+10 \implies 4x+y+3z=15\).
Da \(z=6-3x\) sostituiamo in eq2 con y: da eq2: \(y=x+2z-5=x+2(6-3x)-5=x+12-6x-5=7-5x\).
In eq3: \(3x+2(7-5x)+(6-3x)=10 \implies 3x+14-10x+6-3x=10 \implies -10x=-10 \implies x=1\).
Quindi \(y=7-5=2\) e \(z=6-3=3\).
Verifica
\[ 2+2-3=1 \quad 1-2+6=5 \quad 3+4+3=10 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 13:00 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} \]
Risultato
\[ (x,y)=(2,1) \quad \text{oppure} \quad (x,y)=(-1,-2) \]
Svolgimento
Sostituzione
Dalla prima: \(x=y+1\). Sostituendo nella seconda:
\[ (y+1)^2+y^2=5 \implies y^2+2y+1+y^2=5 \implies 2y^2+2y-4=0 \implies y^2+y-2=0 \]
Equazione di secondo grado
\[ (y+2)(y-1)=0 \implies y=-2 \text{ oppure } y=1 \]
Soluzioni
\(y=1 \implies x=2\) \(y=-2 \implies x=-1\)
Verifica
\((2,1)\): \(2-1=1\) e \(4+1=5\) \((-1,-2)\): \(-1-(-2)=1\) e \(1+4=5\)
Risultato
\[ \boxed{(x,y)=(2,1) \quad \text{oppure} \quad (x,y)=(-1,-2)} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 13:15 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x \cdot y = 3 \end{cases} \]
Risultato
\[ (x,y) \in \{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\} \]
Svolgimento
Idea risolutiva
Si utilizza l'identità \((x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\) per ricavare \(x+y\).
Calcolo di \((x+y)^2\)
\[ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 = 10+2\cdot3 = 16 \implies x+y = \pm4 \]
Caso \(x+y=4\), \(xy=3\)
\(x\) e \(y\) sono radici di \(t^2-4t+3=0 \implies (t-1)(t-3)=0\): soluzioni \((1,3)\) e \((3,1)\).
Caso \(x+y=-4\), \(xy=3\)
\(x\) e \(y\) sono radici di \(t^2+4t+3=0 \implies (t+1)(t+3)=0\): soluzioni \((-1,-3)\) e \((-3,-1)\).
Verifica di \((1,3)\)
\(1+9=10\) e \(1\cdot3=3\)
Risultato
\[ \boxed{(x,y) \in \{(1,3),\,(3,1),\,(-1,-3),\,(-3,-1)\}} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 13:30 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} 2x + y + z = 7 \\ x + 2y + z = 8 \\ x + y + 2z = 9 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3 \]
Svolgimento
Somma delle tre equazioni
\[ (2x+y+z)+(x+2y+z)+(x+y+2z) = 7+8+9 \implies 4(x+y+z) = 24 \implies x+y+z=6 \]
Ricavo delle incognite
Sottraendo \(x+y+z=6\) da ciascuna equazione originale:
\[ (2x+y+z)-(x+y+z)=7-6 \implies x=1 \]
\[ (x+2y+z)-(x+y+z)=8-6 \implies y=2 \]
\[ (x+y+2z)-(x+y+z)=9-6 \implies z=3 \]
Verifica
\[ 2+2+3=7 \quad 1+4+3=8 \quad 1+2+6=9 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 1 \quad y = 2 \quad z = 3} \]
Esercizio del 19/03/2026 - 13:45 — livello ★★★★★
\[ \begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x + y + z = 9 \\ 3x - y + 2z = 13 \end{cases} \]
Risultato
\[ x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4 \]
Svolgimento
Riduzione a due equazioni in due incognite
Sommando la prima e la seconda equazione si elimina \(z\):
\[ 3x+3y=9 \implies x+y=3 \quad \text{...(I)} \]
Seconda combinazione
Dalla prima: \(z=x+2y\). Sostituendo nella terza:
\[ 3x-y+2(x+2y)=13 \implies 5x+3y=13 \quad \text{...(II)} \]
Sistema 2×2
Da (I): \(x=3-y\). Sostituendo in (II):
\[ 5(3-y)+3y=13 \implies 15-2y=13 \implies y=1 \]
\[ x=3-1=2 \qquad z=2+2\cdot1=4 \]
Verifica
\[ 2+2-4=0 \quad 4+1+4=9 \quad 6-1+8=13 \]
Risultato
\[ \boxed{x = 2 \quad y = 1 \quad z = 4} \]