Le operazioni tra insiemi permettono di costruire nuovi insiemi a partire da insiemi dati. Le operazioni fondamentali sono l'unione, l'intersezione, la differenza, il complementare e la differenza simmetrica.
Accanto a queste operazioni, ha un ruolo importante anche il prodotto cartesiano, che non costruisce un insieme formato semplicemente dagli elementi degli insiemi di partenza, ma un insieme di coppie ordinate.
In questa pagina introduciamo le principali operazioni tra insiemi, ne diamo le definizioni formali, analizziamo alcuni esempi e raccogliamo le proprietà fondamentali dell'algebra degli insiemi.
Indice
- Insiemi e Appartenenza
- Unione tra Insiemi
- Intersezione tra Insiemi
- Differenza tra Insiemi
- Complementare di un Insieme
- Differenza Simmetrica
- Prodotto Cartesiano
- Proprietà Fondamentali delle Operazioni tra Insiemi
- Diagrammi di Venn
Insiemi e Appartenenza
Prima di introdurre le operazioni tra insiemi, richiamiamo alcune nozioni fondamentali. Un insieme è una collezione di oggetti, detti elementi. Gli elementi di un insieme sono considerati distinti: l'ordine con cui vengono elencati non è rilevante e un elemento ripetuto viene contato una sola volta.
Per indicare che un elemento \(x\) appartiene a un insieme \(A\), si scrive
\[ x \in A. \]
Per indicare invece che \(x\) non appartiene ad \(A\), si scrive
\[ x \notin A. \]
Ad esempio, se
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \]
allora
\[ 3\in A, \qquad 7\notin A. \]
Due insiemi sono uguali quando hanno esattamente gli stessi elementi. Per esempio,
\[ \{1,2,3\}=\{3,2,1\}. \]
Questo accade perché, negli insiemi, l'ordine degli elementi non conta.
Useremo inoltre il simbolo \(\emptyset\) per indicare l'insieme vuoto, cioè l'insieme che non contiene alcun elemento.
Infine, se ogni elemento di un insieme \(A\) appartiene anche a un insieme \(B\), diciamo che \(A\) è un sottoinsieme di \(B\) e scriviamo
\[ A\subseteq B. \]
Queste nozioni permettono di definire con precisione le principali operazioni tra insiemi.
Unione tra Insiemi
Dati due insiemi \(A\) e \(B\), l'unione di \(A\) e \(B\) è l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.
L'unione di \(A\) e \(B\) si indica con
\[ A\cup B. \]
Formalmente,
\[ A\cup B=\{x:x\in A \text{ oppure } x\in B\}. \]
La parola “oppure” va intesa in senso inclusivo: un elemento appartiene ad \(A\cup B\) se appartiene ad \(A\), oppure appartiene a \(B\), oppure appartiene a entrambi.
Ad esempio, siano
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Allora
\[ A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}. \]
Gli elementi \(3\) e \(4\), pur appartenendo a entrambi gli insiemi, compaiono una sola volta nell'unione. Infatti, in un insieme non si tiene conto delle ripetizioni.
Proprietà dell'unione
L'unione tra insiemi soddisfa alcune proprietà fondamentali.
- Proprietà commutativa: \[ A\cup B=B\cup A. \]
- Proprietà associativa: \[ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C). \]
- Proprietà idempotente: \[ A\cup A=A. \]
- Elemento neutro: \[ A\cup\emptyset=A. \]
La proprietà commutativa mostra che l'ordine degli insiemi non influisce sull'unione. La proprietà associativa permette invece di scrivere l'unione di tre insiemi senza ambiguità, omettendo le parentesi:
\[ A\cup B\cup C. \]
Intersezione tra Insiemi
Dati due insiemi \(A\) e \(B\), l'intersezione di \(A\) e \(B\) è l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono contemporaneamente ad \(A\) e a \(B\).
L'intersezione di \(A\) e \(B\) si indica con
\[ A\cap B. \]
Formalmente,
\[ A\cap B=\{x:x\in A \text{ e } x\in B\}. \]
Quindi un elemento appartiene ad \(A\cap B\) se e solo se appartiene sia ad \(A\) sia a \(B\).
Ad esempio, siano
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6,7\}. \]
Gli elementi comuni ai due insiemi sono \(3\), \(4\) e \(5\). Pertanto
\[ A\cap B=\{3,4,5\}. \]
Insiemi disgiunti
Due insiemi \(A\) e \(B\) si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, cioè se la loro intersezione è l'insieme vuoto:
\[ A\cap B=\emptyset. \]
Ad esempio, se
\[ A=\{1,3,5\}, \qquad B=\{2,4,6\}, \]
allora
\[ A\cap B=\emptyset. \]
Infatti nessun elemento di \(A\) appartiene anche a \(B\).
Proprietà dell'intersezione
L'intersezione tra insiemi soddisfa proprietà analoghe a quelle dell'unione.
- Proprietà commutativa: \[ A\cap B=B\cap A. \]
- Proprietà associativa: \[ (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C). \]
- Proprietà idempotente: \[ A\cap A=A. \]
- Elemento assorbente: \[ A\cap\emptyset=\emptyset. \]
La proprietà commutativa mostra che l'ordine degli insiemi non influisce sull'intersezione. La proprietà associativa permette invece di scrivere l'intersezione di tre insiemi senza ambiguità, omettendo le parentesi:
\[ A\cap B\cap C. \]
Differenza tra Insiemi
Dati due insiemi \(A\) e \(B\), la differenza tra \(A\) e \(B\) è l'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad \(A\), ma non appartengono a \(B\).
La differenza tra \(A\) e \(B\) si indica con
\[ A\setminus B. \]
Formalmente,
\[ A\setminus B=\{x:x\in A \text{ e } x\notin B\}. \]
Quindi un elemento appartiene ad \(A\setminus B\) se e solo se appartiene al primo insieme e non appartiene al secondo.
Ad esempio, siano
\[ A=\{1,2,3,4,5\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Gli elementi di \(A\) che non appartengono a \(B\) sono \(1\) e \(2\). Pertanto
\[ A\setminus B=\{1,2\}. \]
Invece, gli elementi di \(B\) che non appartengono ad \(A\) sono \(6\). Quindi
\[ B\setminus A=\{6\}. \]
La differenza non è commutativa
In generale, la differenza tra insiemi non è commutativa. Infatti, cambiando l'ordine degli insiemi, il risultato può cambiare:
\[ A\setminus B\neq B\setminus A. \]
Nell'esempio precedente abbiamo infatti ottenuto
\[ A\setminus B=\{1,2\}, \qquad B\setminus A=\{6\}. \]
Questo mostra che, nella differenza insiemistica, il primo insieme ha un ruolo diverso dal secondo: \(A\setminus B\) contiene ciò che rimane di \(A\) dopo aver escluso gli elementi che appartengono anche a \(B\).
Casi particolari
Per ogni insieme \(A\), valgono le seguenti proprietà:
- \[ A\setminus\emptyset=A. \]
- \[ A\setminus A=\emptyset. \]
- \[ \emptyset\setminus A=\emptyset. \]
La prima proprietà dice che togliere da \(A\) gli elementi dell'insieme vuoto non modifica \(A\). La seconda dice che, togliendo da \(A\) tutti gli elementi di \(A\), non rimane alcun elemento. La terza dice che dall'insieme vuoto non si può ottenere alcun elemento mediante differenza.
Complementare di un Insieme
Per definire il complementare di un insieme è necessario fissare un insieme universo, cioè un insieme \(U\) all'interno del quale stiamo lavorando.
Se \(A\) è un sottoinsieme di \(U\), il complementare di \(A\) rispetto a \(U\) è l'insieme formato da tutti gli elementi di \(U\) che non appartengono ad \(A\).
Il complementare di \(A\) si indica spesso con
\[ A^c. \]
Formalmente,
\[ A^c=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}. \]
Quindi un elemento appartiene ad \(A^c\) se e solo se appartiene all'insieme universo \(U\), ma non appartiene ad \(A\).
Ad esempio, sia
\[ U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \]
e sia
\[ A=\{2,4,6,8,10\}. \]
Allora il complementare di \(A\) rispetto a \(U\) è
\[ A^c=\{1,3,5,7,9\}. \]
Infatti \(A^c\) contiene tutti e soli gli elementi di \(U\) che non appartengono ad \(A\).
Dipendenza dall'insieme universo
Il complementare di un insieme non dipende soltanto dall'insieme \(A\), ma anche dall'insieme universo \(U\) scelto.
Per esempio, se
\[ A=\{2,4,6\} \]
e consideriamo come universo
\[ U=\{1,2,3,4,5,6\}, \]
allora
\[ A^c=\{1,3,5\}. \]
Se invece consideriamo come universo
\[ V=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, \]
allora il complementare di \(A\) rispetto a \(V\) è
\[ V\setminus A=\{1,3,5,7,8\}. \]
Per questo motivo, quando si parla di complementare, l'insieme universo deve essere chiaro dal contesto oppure dichiarato esplicitamente.
Proprietà del complementare
Se \(A\subseteq U\), allora valgono le seguenti proprietà:
- \[ A\cup A^c=U. \]
- \[ A\cap A^c=\emptyset. \]
- \[ (A^c)^c=A. \]
- \[ \emptyset^c=U. \]
- \[ U^c=\emptyset. \]
La prima proprietà dice che ogni elemento dell'universo appartiene ad \(A\) oppure al suo complementare. La seconda dice invece che nessun elemento può appartenere contemporaneamente ad \(A\) e al complementare di \(A\).
Differenza Simmetrica
Dati due insiemi \(A\) e \(B\), la differenza simmetrica di \(A\) e \(B\) è l'insieme formato dagli elementi che appartengono ad \(A\) oppure a \(B\), ma non appartengono a entrambi.
La differenza simmetrica di \(A\) e \(B\) si indica con
\[ A\triangle B. \]
Formalmente,
\[ A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A). \]
In modo equivalente, si può scrivere
\[ A\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B). \]
Questa seconda formula mostra che la differenza simmetrica si ottiene prendendo l'unione di \(A\) e \(B\) ed eliminando gli elementi comuni ai due insiemi.
Ad esempio, siano
\[ A=\{1,2,3,4\}, \qquad B=\{3,4,5,6\}. \]
Gli elementi che appartengono ad \(A\) ma non a \(B\) sono \(1\) e \(2\), mentre gli elementi che appartengono a \(B\) ma non ad \(A\) sono \(5\) e \(6\). Pertanto
\[ A\triangle B=\{1,2,5,6\}. \]
Gli elementi \(3\) e \(4\), essendo comuni ai due insiemi, non appartengono alla differenza simmetrica.
Proprietà della differenza simmetrica
La differenza simmetrica soddisfa alcune proprietà fondamentali.
- Proprietà commutativa: \[ A\triangle B=B\triangle A. \]
- Proprietà associativa: \[ (A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C). \]
- Elemento neutro: \[ A\triangle\emptyset=A. \]
- Differenza simmetrica di un insieme con se stesso: \[ A\triangle A=\emptyset. \]
La proprietà commutativa dipende dal fatto che nella differenza simmetrica non conta quale dei due insiemi contiene l'elemento, ma conta soltanto che l'elemento appartenga a uno solo dei due.
La proprietà \(A\triangle A=\emptyset\) esprime invece il fatto che ogni elemento di \(A\) appartiene a entrambi gli insiemi considerati, quindi nessun elemento appartiene a uno solo dei due.
Prodotto Cartesiano
Le operazioni considerate finora producono insiemi i cui elementi sono ancora elementi degli insiemi di partenza, oppure dell'insieme universo fissato. Il prodotto cartesiano ha una natura diversa: esso costruisce un insieme di coppie ordinate.
Dati due insiemi \(A\) e \(B\), il prodotto cartesiano di \(A\) e \(B\) è l'insieme di tutte le coppie ordinate \((a,b)\), dove il primo elemento appartiene ad \(A\) e il secondo appartiene a \(B\).
Il prodotto cartesiano di \(A\) e \(B\) si indica con
\[ A\times B. \]
Formalmente,
\[ A\times B=\{(a,b):a\in A \text{ e } b\in B\}. \]
Quindi, per costruire \(A\times B\), ogni elemento di \(A\) viene associato a ciascun elemento di \(B\), rispettando l'ordine della coppia.
Ad esempio, siano
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{3,4,5\}. \]
Allora
\[ A\times B=\{(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5)\}. \]
In ciascuna coppia, il primo elemento proviene da \(A\), mentre il secondo proviene da \(B\).
Coppie ordinate
Nel prodotto cartesiano l'ordine degli elementi della coppia è essenziale. In generale,
\[ (a,b)\neq(b,a). \]
Per esempio,
\[ (1,3)\neq(3,1). \]
Di conseguenza, in generale il prodotto cartesiano non è commutativo:
\[ A\times B\neq B\times A. \]
Infatti \(A\times B\) è formato da coppie il cui primo elemento appartiene ad \(A\) e il secondo a \(B\), mentre \(B\times A\) è formato da coppie il cui primo elemento appartiene a \(B\) e il secondo ad \(A\).
Prodotto cartesiano e piano cartesiano
Un esempio fondamentale di prodotto cartesiano è
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
Questo insieme è formato da tutte le coppie ordinate \((x,y)\), dove \(x\) e \(y\) sono numeri reali:
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(x,y):x\in\mathbb{R} \text{ e } y\in\mathbb{R}\}. \]
L'insieme \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) si indica anche con \(\mathbb{R}^2\) e rappresenta il piano cartesiano.
Proprietà del prodotto cartesiano
Il prodotto cartesiano soddisfa alcune proprietà utili.
- Prodotto con l'insieme vuoto: \[ A\times\emptyset=\emptyset, \qquad \emptyset\times A=\emptyset. \]
- Distributività rispetto all'unione: \[ A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C). \]
- Distributività rispetto all'intersezione: \[ A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C). \]
Se \(A\) e \(B\) sono insiemi finiti, allora il numero di elementi del prodotto cartesiano è dato da
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Infatti, per ciascun elemento di \(A\), si possono formare tante coppie quanti sono gli elementi di \(B\).
Proprietà Fondamentali delle Operazioni tra Insiemi
Le operazioni tra insiemi soddisfano alcune proprietà fondamentali. Queste proprietà permettono di trasformare e semplificare espressioni insiemistiche, in modo analogo a quanto avviene con le proprietà delle operazioni tra numeri.
In questa sezione supponiamo che \(A\), \(B\) e \(C\) siano insiemi contenuti in uno stesso insieme universo \(U\).
Proprietà di unione e intersezione
| Proprietà | Unione | Intersezione |
|---|---|---|
| Commutativa | \(A \cup B = B \cup A\) | \(A \cap B = B \cap A\) |
| Associativa | \((A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\) | \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\) |
| Idempotente | \(A \cup A = A\) | \(A \cap A = A\) |
| Elemento neutro | \(A \cup \varnothing = A\) | \(A \cap U = A\) |
| Elemento assorbente | \(A \cup U = U\) | \(A \cap \varnothing = \varnothing\) |
La tabella mostra una simmetria importante: molte proprietà dell'unione hanno una proprietà corrispondente per l'intersezione. Questa corrispondenza è detta dualità tra unione e intersezione.
Proprietà distributive
L'unione e l'intersezione sono legate anche dalle proprietà distributive:
\[ A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C). \]
\[ A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C). \]
La prima formula esprime la distributività dell'unione rispetto all'intersezione. La seconda esprime la distributività dell'intersezione rispetto all'unione.
Leggi di assorbimento
Valgono inoltre le seguenti leggi di assorbimento:
\[ A\cup(A\cap B)=A. \]
\[ A\cap(A\cup B)=A. \]
La prima uguaglianza dice che aggiungere ad \(A\) una parte già contenuta in \(A\) non modifica l'insieme. La seconda dice che intersecare \(A\) con un insieme che contiene certamente \(A\) lascia invariato \(A\).
Leggi del complementare
Per il complementare valgono le seguenti proprietà:
\[ A\cup A^c=U. \]
\[ A\cap A^c=\emptyset. \]
\[ (A^c)^c=A. \]
Inoltre valgono le leggi di De Morgan:
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c. \]
\[ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Le leggi di De Morgan mostrano come il complementare trasformi l'unione in intersezione e l'intersezione in unione.
Tutte queste proprietà costituiscono le regole di base dell'algebra degli insiemi e sono fondamentali per lavorare in modo rigoroso con espressioni insiemistiche.
Diagrammi di Venn
I diagrammi di Venn sono rappresentazioni grafiche usate per visualizzare insiemi e operazioni tra insiemi.
In un diagramma di Venn, l'insieme universo \(U\) viene solitamente rappresentato mediante un rettangolo, mentre gli insiemi contenuti in \(U\) vengono rappresentati mediante regioni chiuse, spesso cerchi o ovali.
Per due insiemi \(A\) e \(B\), le regioni del diagramma permettono di visualizzare in modo immediato le principali operazioni:
- \(A\cup B\) corrisponde alla regione formata dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi;
- \(A\cap B\) corrisponde alla regione comune ad \(A\) e \(B\);
- \(A\setminus B\) corrisponde alla parte di \(A\) che non appartiene a \(B\);
- \(A^c\) corrisponde alla parte dell'universo \(U\) esterna ad \(A\);
- \(A\triangle B\) corrisponde alla parte dell'unione \(A\cup B\) che non appartiene all'intersezione \(A\cap B\).
I diagrammi di Venn sono particolarmente utili per comprendere il significato delle operazioni tra insiemi e per controllare visivamente alcune proprietà, come le leggi di De Morgan:
\[ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c, \qquad (A\cap B)^c=A^c\cup B^c. \]
Tuttavia, un diagramma non sostituisce una dimostrazione formale. Per dimostrare un'identità tra insiemi, il metodo più rigoroso consiste nel mostrare che ogni elemento del primo insieme appartiene anche al secondo e viceversa.
Per esempio, per dimostrare un'uguaglianza del tipo
\[ X=Y, \]
si può procedere dimostrando le due inclusioni
\[ X\subseteq Y \qquad \text{e} \qquad Y\subseteq X. \]
In questo modo il ragionamento non dipende dalla figura, ma dalle definizioni degli insiemi e delle operazioni coinvolte.
Le operazioni tra insiemi permettono di descrivere con precisione relazioni fondamentali tra collezioni di oggetti. L'unione raccoglie gli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi considerati, l'intersezione individua gli elementi comuni, la differenza seleziona gli elementi che appartengono a un insieme ma non a un altro, il complementare dipende dall'insieme universo e la differenza simmetrica raccoglie gli elementi che appartengono a uno solo dei due insiemi.
Il prodotto cartesiano introduce invece un'operazione di natura diversa, perché costruisce insiemi di coppie ordinate. In questo modo diventa possibile descrivere relazioni, corrispondenze e strutture più complesse.
Queste nozioni costituiscono una parte fondamentale del linguaggio matematico e sono alla base di molti argomenti successivi, dalla logica alla combinatoria, dall'algebra alle funzioni.